Мишель Талагранд получил премию Абеля за борьбу со случайностью | Журнал Кванта

Вокруг нас происходят случайные процессы. Сегодня идет дождь, а на следующий нет; акции и облигации приобретают и теряют в цене; пробки сливаются и исчезают. Поскольку ими управляют многочисленные факторы, которые сложным образом взаимодействуют друг с другом, невозможно предсказать точное поведение таких систем. Вместо этого мы думаем о них с точки зрения вероятностей, характеризуя результаты как вероятные или редкие.

Сегодня французский теоретик вероятностей Мишель Талагранд был удостоен Абелевской премии — одной из высших наград в области математики — за глубокое и глубокое понимание подобных процессов. Премия, вручаемая королем Норвегии, создана по образцу Нобелевской премии и составляет 7.5 миллионов норвежских крон (около 700,000 XNUMX долларов США). Когда ему сказали, что он победил, «мой разум опустел», — сказал Талагранд. «Когда я начинал, та математика, которой я занимаюсь, была совсем не модной. Это считалось низшей математикой. Тот факт, что мне дали эту награду, является абсолютным доказательством того, что это не так».

Другие математики с этим согласны. Работа Талагранда «изменила мой взгляд на мир», сказал Ассаф Наор Принстонского университета. Сегодня добавил Хельге Холден, председателя комитета премии Абеля, «становится очень популярным описывать и моделировать события реального мира с помощью случайных процессов. Ящик с инструментами Талагранда появляется сразу же.

Талагранд рассматривает свою жизнь как цепочку маловероятных событий. Он едва окончил начальную школу в Лионе: хотя он интересовался наукой, но не любил учиться. Когда ему было 5 лет, он потерял зрение на правый глаз после отслоения сетчатки; в 15 лет он перенес три отслоения сетчатки на другом глазу, из-за чего ему пришлось провести месяц в больнице с завязанными глазами, опасаясь, что он ослепнет. Его отец, профессор математики, навещал его каждый день, занимая его обучением математике. «Так я познал силу абстракции», Талагранд написал в 2019 после получения премии Шоу, еще одной крупной математической награды, размер которой составляет 1.2 миллиона долларов. (Талагранд использует часть этих денег вместе со своим выигрышем Абеля, чтобы учредить собственную премию, «признающую достижения молодых исследователей в областях, которым я посвятил свою жизнь».)

Пока он выздоравливал, он пропустил полгода в школе, но у него появилось вдохновение сосредоточиться на учебе. Он преуспел в математике и после окончания колледжа в 1974 году был принят на работу во Французский национальный центр научных исследований, крупнейший исследовательский институт Европы, где проработал до выхода на пенсию в 2017 году. За это время он получил докторскую степень; влюбился в свою будущую жену-статистика с первого взгляда (он сделал ей предложение через три дня после знакомства); и постепенно развил интерес к теории вероятности, опубликовав сотни статей по этой теме.

Это не было предопределено. Талагранд начал свою карьеру с изучения многомерных геометрических пространств. «За 10 лет я так и не понял, в чем я хорош», — сказал он. Но он не сожалеет об этом обходном пути. В конечном итоге это привело его к теории вероятностей, где «у меня была другая точка зрения… которая дала мне возможность взглянуть на вещи по-другому», — сказал он. Это позволило ему исследовать случайные процессы через призму многомерной геометрии.

«Он использует свою геометрическую интуицию для решения чисто вероятностных вопросов», — сказал Наор.

Случайный процесс — это совокупность событий, результаты которых изменяются в зависимости от случайности таким образом, который можно смоделировать — например, последовательность подбрасываний монеты, траектории атомов в газе или общее количество осадков за день. Математики хотят понять взаимосвязь между отдельными результатами и совокупным поведением. Сколько раз нужно подбросить монетку, чтобы понять, честно ли это? Выйдет ли река из берегов?

Талагранд сосредоточился на процессах, результаты которых распределяются в соответствии с колоколообразной кривой, называемой гауссовой. Такие распределения распространены в природе и обладают рядом желательных математических свойств. Он хотел знать, что можно с уверенностью сказать об экстремальных результатах в таких ситуациях. Поэтому он доказал набор неравенств, которые устанавливают жесткие верхние и нижние границы возможных результатов. «Получить хорошее неравенство — это произведение искусства», — сказал Холден. Это искусство полезно: методы Талагранда могут дать оптимальную оценку, скажем, самого высокого уровня, до которого река может подняться в ближайшие 10 лет, или магнитуды самого сильного потенциального землетрясения.

Когда мы имеем дело со сложными многомерными данными, найти такие максимальные значения может быть непросто.

Предположим, вы хотите оценить риск наводнения реки, который будет зависеть от таких факторов, как количество осадков, ветер и температура. Вы можете смоделировать высоту реки как случайный процесс. Талагранд потратил 15 лет на разработку метода, называемого обобщенной цепочкой, который позволил ему создать многомерное геометрическое пространство, связанное с таким случайным процессом. Его метод «даёт возможность извлечь максимальную пользу из геометрии», — сказал Наор.

Методика очень общая и поэтому широко применима. Предположим, вы хотите проанализировать огромный многомерный набор данных, который зависит от тысяч параметров. Чтобы сделать значимый вывод, вам нужно сохранить наиболее важные особенности набора данных, охарактеризовав его всего с помощью нескольких параметров. (Например, это один из способов анализа и сравнения сложных структур различных белков.) Многие современные методы достигают такого упрощения за счет применения случайной операции, которая отображает многомерные данные в пространство более низкой размерности. . Математики могут использовать общий метод цепочки Талагранда, чтобы определить максимальное количество ошибок, которые вносит этот процесс, что позволяет им определить вероятность того, что какая-то важная особенность не сохранится в упрощенном наборе данных.

Работа Талагранда не ограничивалась анализом лучших и худших возможных результатов случайного процесса. Он также изучил, что происходит в среднем случае.

Во многих процессах случайные отдельные события в совокупности могут привести к весьма детерминированным результатам. Если измерения независимы, то итоговые значения становятся очень предсказуемыми, даже если каждое отдельное событие предсказать невозможно. Например, подбросьте честную монету. Ничего заранее сказать о том, что произойдет, нельзя. Подбросьте его 10 раз, и вы получите четыре, пять или шесть орлов — что близко к ожидаемому значению в пять орлов — примерно в 66% случаев. Но подбросьте монету 1,000 раз, и в 450% случаев вы получите от 550 до 99.7 орлов, и этот результат еще более сконцентрирован вокруг ожидаемого значения 500. «Он исключительно резкий относительно среднего значения», — сказал Холден.

«Несмотря на то, что в чем-то так много случайности, случайность компенсируется сама собой», — сказал Наор. «То, что поначалу казалось ужасным беспорядком, на самом деле организовано».

Это явление, известное как концентрация меры, встречается и в гораздо более сложных случайных процессах. Талагранд придумал набор неравенств, которые позволяют количественно оценить эту концентрацию, и доказал, что она возникает во многих различных контекстах. Его методы отличались от предыдущих работ в этой области. Доказательство первого такого неравенства, как он написал в своем эссе 2019 года, было «волшебным опытом». Он находился «в состоянии постоянного восторга».

Он особенно гордится одним из своих последующих неравенств в концентрации. «Нелегко получить результат, который пытается думать о Вселенной и в то же время имеет одностраничное доказательство, которое легко объяснить», — сказал он. (Он с восторгом вспоминает, как однажды воспользовался услугой такси, владелец которой узнал его имя, выучив неравенство на уроке вероятности в бизнес-школе. «Это было необычно», — сказал он.)

Как и его общий метод цепочки, неравенства концентрации Талагранда встречаются во всей математике. «Удивительно, как далеко это заходит», — сказал Наор. «Талаграндское неравенство — это винты, которые скрепляют вещи».

Рассмотрим задачу оптимизации, в которой вам нужно рассортировать предметы разного размера по корзинам — модель распределения ресурсов. Когда у вас много вещей, очень сложно определить наименьшее количество контейнеров, которые вам понадобятся. Но неравенства Талагранда могут подсказать вам, сколько корзин вам может понадобиться, если размеры предметов случайны.

Подобные методы использовались для доказательства явлений концентрации в комбинаторике, физике, информатике, статистике и других областях.

Совсем недавно Талагранд применил свое понимание случайных процессов, чтобы доказать важную гипотезу о спиновых стеклах — неупорядоченных магнитных материалах, созданных в результате случайных, часто противоречивых взаимодействий. Талагранд был разочарован тем, что, хотя спиновые стекла математически четко определены, физики понимали их лучше, чем математики. «Это была заноза в нашей ноге», — сказал он. Он доказал результат — о так называемой свободной энергии спиновых стекол — который послужил основой для более математической теории.

На протяжении всей своей карьеры исследования Талагранда отличались «способностью просто сделать шаг назад и найти общие принципы, которые можно использовать повсюду», сказал Наор. «Он снова и снова посещает и думает о чем-то с разных точек зрения. И в конце концов он выдвигает идею, которая становится рабочей лошадкой, которую все используют».

«Мне очень нравится понимать простые вещи, потому что мой мозг очень медленный», — сказал Талагранд. «Поэтому я думаю о них очень, очень долго». По его словам, им движет желание «понять что-то глубоко и чисто, что значительно упрощает теорию». Тогда следующее поколение сможет начать с этого и добиться прогресса на своих собственных условиях».

За последнее десятилетие он добился этого, написав учебники — не только о случайных процессах и спиновых стеклах, но и о области, в которой он вообще не работает, — квантовой теории поля. Он хотел узнать об этом, но понял, что все учебники, которые он смог найти, были написаны физиками и для физиков, а не математиков. Поэтому он написал его сам. «После того, как вы больше не можете ничего изобретать, вы можете их объяснить», — сказал он.