Скрытая связь, изменившая теорию чисел | Журнал Кванта

Существует три вида простых чисел. Первый представляет собой одиночный выброс: 2, единственное четное простое число. После этого половина простых чисел оставляет в остатке 1 при делении на 4. Другая половина оставляет остаток 3. (5 и 13 попадают в первый лагерь, 7 и 11 — во второй.) Нет очевидной причины, по которой остаток Простые числа -1 и простые числа остаток-3 должны вести себя принципиально по-разному. Но они это делают.

Одно из ключевых отличий проистекает из свойства, называемого квадратичной взаимностью, впервые доказанного Карлом Гауссом, возможно, самым влиятельным математиком XIX века. «Это довольно простое утверждение, которое находит применение повсюду, во всех видах математики, а не только в теории чисел», — сказал Джеймс Рикардс, математик из Университета Колорадо, Боулдер. «Но это также достаточно неочевидно, чтобы быть действительно интересным».

Теория чисел — это раздел математики, который занимается целыми числами (в отличие, скажем, от форм или непрерывных величин). Простые числа — те, которые делятся только на 1 и на самих себя — составляют ее основу, так же, как ДНК является основой биологии. Квадратичная взаимность изменила представление математиков о том, как много можно доказать о них. Если вы думаете о простых числах как о горном хребте, взаимность подобна узкой тропе, которая позволяет математикам взбираться на ранее недосягаемые вершины и с этих вершин видеть истины, которые были скрыты.

Хотя это старая теорема, у нее продолжают появляться новые приложения. Этим летом Рикардс и его коллега Кэтрин Стангевместе с двумя студентами, опроверг широко распространенную гипотезу о том, как маленькие круги можно упаковать внутри большего. Результат шокировал математиков. Петр Сарнак, специалист по теории чисел из Института перспективных исследований и Принстонского университета, поговорила со Штанге на конференции вскоре после того, как ее команда размещены их бумага. «Она сказала мне, что у нее есть противоположный пример», — вспоминает Сарнак. «Я сразу спросила ее: «Вы где-нибудь используете взаимность?» И это действительно было то, что она использовала».

Шаблоны в парах простых чисел

Чтобы понять взаимность, вам сначала нужно понять модульную арифметику. Модульные операции основаны на вычислении остатков при делении на число, называемое модулем. Например, 9 по модулю 7 равно 2, потому что если разделить 9 на 7, останется 2. В системе счисления по модулю 7 есть 7 чисел: {0, 1, 2, 3, 4, 5. , 6}. Вы можете складывать, вычитать, умножать и делить эти числа.

Как и в случае с целыми числами, эти системы счисления могут иметь совершенные квадраты — числа, которые являются произведением другого числа на себя. Например, 0, 1, 2 и 4 являются полными квадратами по модулю 7 (0 × 0 = 0, 1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4 и 3 × 3 = 2 по модулю 7). Каждый обычный квадрат будет равен 0, 1, 2 или 4 по модулю 7. (Например, 6 × 6 = 36 = 1 по модулю 7.) Поскольку модульные системы счисления конечны, идеальные квадраты встречаются чаще.

Квадратичная взаимность вытекает из относительно простого вопроса. Даны два простых числа p и q, если ты это знаешь p это идеальный квадрат по модулю q, можешь сказать или нет q это идеальный квадрат по модулю p?

Оказывается, пока либо p or q оставляет остаток 1 при делении на 4, если p это идеальный квадрат по модулю q, то q также является полным квадратом по модулю p. Говорят, что два простых числа отвечают взаимностью.

С другой стороны, если у них обоих в остатке останется 3 (например, 7 и 11), то они не отвечают взаимностью: p является квадратом по модулю q, что означает, что q не будет квадратом по модулю p. В этом примере 11 — квадрат по модулю 7, так как 11 = 4 по модулю 7, а мы уже знаем, что 4 — один из совершенных квадратов по модулю 7. Отсюда следует, что 7 не является квадратом по модулю 11. Если взять список обычных квадраты (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …) и посмотрите их остатки по модулю 11, тогда 7 никогда не появится.

Говоря техническим языком, это действительно странно!

Сила обобщения

Как и многие математические идеи, взаимность оказала большое влияние, поскольку ее можно обобщить.

Вскоре после того, как Гаусс опубликовал первое доказательство квадратичной взаимности в 1801 году, математики попытались расширить эту идею за пределы квадратов. «Почему не третьи или четвертые державы? Они предположили, что, возможно, существует кубический закон взаимности или закон взаимности четвертой степени», — сказал он. Кит Конрад, теоретик чисел из Университета Коннектикута.

Но они застряли, сказал Конрад, «потому что не существует простой схемы». Ситуация изменилась, когда Гаусс ввёл взаимность в область комплексных чисел, которые добавляют квадратный корень из минус 1, представленный выражением i, к обычным числам. Он выдвинул идею о том, что теоретики чисел могут анализировать не только обычные целые числа, но и другие целочисленные математические системы, такие как так называемые гауссовы целые числа, которые представляют собой комплексные числа, действительная и мнимая части которых являются целыми числами.

С появлением гауссовских целых чисел изменилось само представление о том, что считать простым. Например, 5 больше не является простым, потому что 5 = (2 + i) × (2 - i). «Вам придется начинать все сначала, как будто вы снова в начальной школе», — сказал Конрад. В 1832 году Гаусс доказал закон взаимности четвертой степени для комплексных целых чисел, носящих его имя.

Внезапно математики научились применять к этим новым системам счисления такие инструменты, как модульная арифметика и факторизация. По словам Конрада, источником вдохновения послужила квадратичная взаимность.

Закономерности, которые раньше были неуловимы без комплексных чисел, теперь начали проявляться. К середине 1840-х годов Готхольд Эйзенштейн и Карл Якоби доказали первые кубические законы взаимности.

Затем, в 1920-х годах, Эмиль Артин, один из основателей современной алгебры, открыл то, что Конрад называет «окончательным законом взаимности». Все остальные законы взаимности можно рассматривать как частные случаи закона взаимности Артина.

Столетие спустя математики все еще разрабатывают новые доказательства первого квадратичного закона взаимности Гаусса и обобщают его на новые математические контексты. Наличие множества различных доказательств может быть полезным. «Если вы хотите распространить результат на новую настройку, возможно, один из аргументов будет легко перенесен, а другие — нет», — сказал Конрад.

Почему взаимность так полезна

Квадратичная взаимность используется в таких разнообразных областях исследований, как теория графов, алгебраическая топология и криптография. В последнем случае влиятельный алгоритм шифрования с открытым ключом, разработанный в 1982 году Шафи Голдвассер и Сильвио Микали зависит от умножения двух больших простых чисел p и q вместе и выводим результат, N, вместе с номером, x, который не является квадратом по модулю N. Алгоритм использует N и x для шифрования цифровых сообщений в строки больших чисел. Единственный способ расшифровать эту строку — решить, является ли каждое число в зашифрованной строке квадратом по модулю. N — практически невозможно без знания значений простых чисел p и q.

И, конечно же, квадратичная взаимность неоднократно возникает в теории чисел. Например, его можно использовать для доказательства того, что любое простое число, равное 1 по модулю 4, можно записать в виде суммы двух квадратов (например, 13 равно 1 по модулю 4, а 13 = 4 + 9 = 2).² + 3²). Напротив, простые числа, равные 3 по модулю 4, никогда не могут быть записаны как сумма двух квадратов.

Сарнак отметил, что взаимность можно использовать для решения открытых вопросов, например, для выяснения того, какие числа можно записать в виде суммы трех кубов. Известно, что числа, равные 4 или 5 по модулю 9, не равны сумме трех кубов, но другие остаются загадкой. (В 2019 году Эндрю Букер сгенерированные заголовки когда он обнаружил, что (8,866,128,975,287,528 8,778,405,442,862,239 2,736,111,468,807,040 33 XNUMX XNUMX)³ + (−XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX)³ + (−XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX)³ = XNUMX.)

По словам Штанге, несмотря на множество применений и множество различных доказательств, в взаимности есть что-то, что остается загадкой.

«Что часто случается с математическим доказательством, так это то, что вы можете проследить каждый шаг; вы можете поверить, что это правда», — сказала она. «И вы все равно можете выйти из другого конца с чувством: «Но почему?»

Понимание на интуитивном уровне того, что отличает 7 и 11 от 5 и 13, может быть навсегда недосягаемым. «Мы можем манипулировать лишь определенным количеством уровней абстракции», — сказала она. «Это проявляется повсюду в теории чисел… и все же это всего лишь шаг за пределы того, что вы действительно можете просто знать».

Quanta проводит серию опросов, чтобы лучше обслуживать нашу аудиторию. Возьми наш опрос читателей по математике и вы будете участвовать в бесплатном выигрыше Quanta мерч.