Теоретик, который видит математику в искусстве, музыке и писательстве | Журнал Кванта

Сара Харт всегда следила за скрытыми способами проникновения математики в другие области. В детстве ее поразило повсеместное распространение цифры 3 в ее сказках. Мать Харт, учительница математики, поощряла ее поиск закономерностей, давая ей математические головоломки, чтобы скоротать время.

В 2000 году Харт получил докторскую степень по теории групп, а затем стал профессором Биркбека Лондонского университета. Исследования Харта исследовали структуру групп Кокстера, более общих версий структур, которые каталогизируют симметрию многоугольников и призм. В 2023 году она опубликовала Однажды Прайм, книга о том, как математика появляется в художественной литературе и поэзии. «Поскольку мы, люди, являемся частью Вселенной, вполне естественно, что наши формы творческого самовыражения, в том числе литература, также будут проявлять склонность к шаблонам и структурам», — писал Харт. «Математика, таким образом, является ключом к совершенно иному взгляду на литературу».

С 2020 года Харт является профессором геометрии в Грешам-колледже в Лондоне. У Грешама нет традиционных курсов; вместо этого каждый из профессоров читает по несколько публичных лекций в год. Харт — первая женщина, когда-либо занимавшая 428-летнюю должность, которую в 17 веке занимал Исаак Барроу, известный тем, что научил другого Исаака (Ньютона). Совсем недавно его проводил Роджер Пенроуз, математик, лауреат Нобелевской премии по физике 2020 года. Харт говорил с Quanta о том, как математика и искусство влияют друг на друга. Интервью было сокращено и отредактировано для ясности.

Почему вы решили написать книгу о связях между математикой и литературой?

Эти связи менее изучены и менее известны, чем связи между математикой и, скажем, музыкой. Связь между математикой и музыкой прославлялась, по крайней мере, еще со времен пифагорейцев. Однако, несмотря на то, что были письменные и академические исследования конкретных книг, авторов или жанров, я не видел книги для широкой аудитории о более широких связях между математикой и литературой.

Как люди, занимающиеся искусством, должны относиться к математике?

Между математикой и, скажем так, другими искусствами есть много общего. В литературе, как и в музыке и искусстве, вообще никогда не начинаешь с ничего. Если вы поэт, вы выбираете: будет ли у меня хайку с его очень точными числовыми ограничениями, или я напишу сонет с определенным количеством строк, определенной схемой рифмы, определенным размером? Даже в том, что не имеет схемы рифм, будут переносы строк и ритм. Будут ограничения, которые вдохновляют на творчество и помогают сосредоточиться.

В математике у нас то же самое. У нас есть некоторые основные правила. В рамках этого мы можем исследовать, играть и доказывать теоремы. Что математика может сделать для искусства, так это помочь найти новые структуры, показать, каковы возможности. Как будет выглядеть музыкальное произведение, не имеющее тональности? Мы можем подумать о 12 тонах и расположить их по-разному, и вот все способы, которыми вы можете это сделать. Вот разные цветовые решения, которые вы можете придумать, вот разные формы поэтического размера.

Какой пример того, как литература повлияла на математику?

Тысячи лет назад в Индии поэты пытались задуматься о возможных размерах. В санскритской поэзии есть длинные и короткие слоги. Длинный в два раза длиннее короткого. Если вы хотите подсчитать, сколько из них занимает время, равное трем, вы можете выбрать короткие, короткие, короткие или длинные, короткие или короткие, длинные. Есть три способа сделать три. Есть пять способов составить фразу длиной четыре. И есть восемь способов составить фразу длиной пять. В этой последовательности, которую вы получаете, каждый член представляет собой сумму двух предыдущих. Вы в точности воспроизводите то, что мы сегодня называем последовательностью Фибоначчи. Но это было за столетия до Фибоначчи.

А как насчет влияния математики на литературу?

Довольно простая последовательность, но она работает очень и очень мощно, — это книга Элеоноры Кэттон. Светила, который вышел в 2013 году. Она использовала последовательность: 1,1/2, 1/4, 1/8, 1/16. Каждая глава в этой книге вдвое короче предыдущей. Это создает действительно захватывающий эффект, потому что темп ускоряется, а выбор персонажей становится все более ограниченным. Все движется к своему завершению. В конце главы очень короткие.

Другой пример несколько более сложной математической структуры — так называемые ортогональные латинские квадраты. Латинский квадрат похож на сетку судоку. В данном случае это будет сетка 10 на 10. Каждое число появляется ровно один раз в каждой строке и в каждом столбце. Ортогональные латинские квадраты образуются путем наложения двух латинских квадратов, поэтому в каждом пробеле находится пара чисел. Сетка, образованная первым числом в каждой паре, представляет собой латинский квадрат, как и сетка, образованная вторым числом в каждой паре. Более того, в сетке пар ни одна пара не появляется более одного раза.

Они очень полезны во всех отношениях. Из них можно сделать коды, исправляющие ошибки, которые полезны для отправки сообщений по своего рода зашумленным каналам. Но одна из замечательных особенностей этих конкретных 10-го размера заключается в том, что один из величайших математиков всех времен, Леонард Эйлер, считал, что они не могут существовать. Это был один из немногих случаев, когда он допустил ошибку; вот почему это было так интересно. Спустя долгое время после того, как он выдвинул гипотезу о том, что эти вещи не могут существовать при определенных размерах, она была опровергнута, и в 1959 году были найдены квадраты такого размера. чехол для варгана of Scientific American этот год.

Спустя годы французский писатель Жорж Перек искал структуру, которую можно было бы использовать в своей книге. Жизнь: Руководство пользователя. Он выбрал один из этих ортогональных латинских квадратов. Он разместил свою книгу в многоквартирном доме в Париже, в котором было 100 комнат площадью 10 на 10 квадратных метров. Каждая глава находилась в отдельной комнате, и каждая глава имела свой уникальный колорит. У него были списки из 10 вещей — разных тканей, цветов и тому подобного. В каждой главе будет использоваться уникальная комбинация. Это действительно увлекательный способ структурировать книгу.

Вы явно цените хорошее письмо. Что вы думаете о качестве написания научных статей по математике?

Это очень изменчиво! Я знаю, что мы ценим краткость, но мне кажется, что иногда это заходит слишком далеко. Слишком много статей, в которых нет полезных примеров.

Что мы на самом деле ценим, так это гениальный аргумент, который, поскольку он так ловко охватывает все случаи одновременно, является также кратким и элегантным. Это не то же самое, что сжать ваш длинный аргумент в меньшем пространстве, чем ему необходимо, покрыв страницу загадочными символами, которые вы создали, чтобы сделать запись короче, но которые не только читателю, но, вероятно, вам самим придется кропотливо распаковывать. еще раз, чтобы иметь хоть какой-то смысл в том, что происходит.

Мы не уделяем достаточно внимания полезным обозначениям, которые напоминают читателю, что имеется в виду. Правильные обозначения могут полностью преобразовать часть математики, а также освободить место для обобщений. Подумайте об историческом переходе от написания неизвестного, его квадрата и куба тремя разными буквами, и насколько более вероятно и даже возможно начать думать о  когда вы начали писать  и  вместо этого.

Видите ли вы эволюцию в связях между математикой и искусством?

Постоянно появляются новые вещи. В 1990-е годы фракталы были повсюду. На стене каждой студенческой комнаты в общежитии висело изображение набора Мандельброта или что-то в этом роде. Все говорили: «О, это интересно, фракталы». Например, музыканты, композиторы используют в своих композициях фрактальные последовательности.

Когда мне было около 16, появились новые штуки, называемые графическими калькуляторами. Очень волнующе. И друг моей матери дал мне эту программу, которая могла нарисовать множество Мандельброта на одном из этих маленьких графических калькуляторов. Там было около, я не знаю, 200 пикселей. Вы программируете эту штуку, а потом мне пришлось оставить ее на 12 часов. В конце он нанесет эти 200 точек. Так что в конце 80-х – начале 90-х этим могли заниматься даже простые школьники и создавать для себя такие картинки.

Судя по всему, даже когда вы учились в школе, вас уже очень интересовала хардкорная математика.

 Думаю, мне было интересно еще до того, как я осознал, что это означает, что я занимаюсь математикой. Мол, я всегда делал выкройки, когда был крошечным ребенком.

Когда я был совсем маленьким, моей любимой игрушкой были очень простые деревянные расписные плитки. Они были разных цветов. Я превращал их в выкройки, а затем день или около того с гордостью смотрел на них, а затем делал еще один.

Когда я стал немного старше, я играл с числами и рассматривал закономерности. Я приходил к маме и говорил: «Мне скучно». А потом она говорила: «Ну, можешь ли ты определить, какова закономерность количества точек, необходимых для составления треугольника?» или что бы это ни было. Она просила меня заново открыть для себя треугольные числа или что-то в этом роде, и я был очень взволнован.

Бедная моя мама, с каким количеством удивительных изобретений я пошёл бы к маме. «Я разработал совершенно новый способ делать что-то!» И она говорила: «Хорошо, это очень приятно. Но, знаете, Декарт подумал об этом много веков назад». И тогда я пойду; Несколько дней спустя мне пришла в голову еще одна потрясающая идея. «Это прекрасно, дорогая. Но у древних греков он был».

Помните ли вы какие-нибудь особенно приятные моменты из своей карьеры математического исследователя?

Моменты, когда вы, наконец, понимаете, в чем состоит закономерность, которую вы видите, всегда приносят удовлетворение, а также когда вы решаете, как завершить доказательство, над которым вы боролись. Мои самые сильные воспоминания об этом чувстве восторга (вероятно, потому, что я испытал его впервые) относятся к началу моей исследовательской карьеры. Но все равно приятно ощущать это «ага», когда ты наконец понимаешь, что происходит.

Очень рано я пытался доказать кое-что о бесконечных группах Кокстера. Я разрешил некоторые случаи, а, рассматривая остальные, придумал метод, который будет работать, если будет соблюден определенный критерий. Вы можете записать эти отношения в виде графика, поэтому я начал собирать коллекцию графиков, к которым можно было бы применить мою технику. Это было под Рождество одного года.

Через некоторое время мой набор картинок стал напоминать определенный набор графов, которые были перечислены в книге о группах Кокстера, которая лежала у меня в офисе, и я начал надеяться, что это был именно этот набор графов. Если бы это было так, то это заполнило бы дыру в моем доказательстве и моя теорема была бы закончена. Но я не мог проверить наверняка, пока не вернулся в университет после Рождества — это было еще до того, как можно было просто загуглить все. Я думаю, что предвкушение необходимости ждать подтверждения моей догадки сделало меня еще лучше, когда я добрался до книги и сравнил свой рукописный набор диаграмм с диаграммами в книге, и они действительно совпали.

Что вы думаете о вопросе о том, создается или открывается математика? Почти никто не станет утверждать, что кто-то из романистов, о которых вы пишете в своей книге, «открыл» свои романы. Это принципиальная разница между математикой и литературой или нет?

Вероятно, так оно и есть, хотя некоторые резонансы все же есть.

Занятие математикой похоже на открытие. Если бы мы изобретали математику, наверняка было бы не так сложно что-то доказывать! Иногда мы отчаянно хотим, чтобы что-то было правдой, но это не так. Я полагаю, что мы не можем избежать логических последствий.

Когда вы это делаете, все это похоже на открытие. Некоторые варианты выбора отражают то, что мы испытываем в реальном мире, например, аксиомы геометрии, с которыми мы работаем, которые выбираются потому, что они примерно соответствуют реальности — хотя даже там не существует такой вещи, как «точка» или «точка». линия» (потому что мы не можем нарисовать что-то, что не занимает места, а линия в геометрии не имеет ширины и простирается бесконечно далеко).

В некоторой степени этому континууму можно найти параллели в литературе. Как только вы определите правила сонета, вам будет сложно написать тот, первая строка которого заканчивается словами «апельсин» или «дымоход».

Но я не могу удержаться и не поделиться чем-нибудь, Дж.Р.Р. Толкин говорил о писательстве Хоббит: «Все началось с того, что я читал экзаменационные работы, чтобы подзаработать. … Что ж, однажды я подошел к пустой странице в экзаменационной тетради и что-то написал на ней. «В норе в земле жил хоббит». Больше я ничего не знал об этих существах, и прошли годы, прежде чем его история разрослась. Я не знаю, откуда взялось это слово».

Хоббиты — он их создал или открыл?