Predstavitev
Predstavljajte si, da se pred vami razteza mreža šesterokotnikov, podobnih satju. Nekateri šesterokotniki so prazni; drugi so napolnjeni s 6-metrskim visokim stebrom iz trdnega betona. Rezultat je nekakšen labirint. Več kot pol stoletja so si matematiki zastavljali vprašanja o takšnih naključno ustvarjenih labirintih. Kako velik je največji splet očiščenih poti? Kakšne so možnosti, da obstaja pot od enega roba do središča mreže in spet nazaj? Kako se te možnosti spreminjajo, ko se mreža povečuje in na njene robove dodaja vedno več šesterokotnikov?
Na ta vprašanja je enostavno odgovoriti, če je bodisi veliko praznega prostora ali veliko betona. Recimo, da je vsakemu šesterokotniku naključno dodeljeno njegovo stanje, neodvisno od vseh drugih šesterokotnikov, z verjetnostjo, ki je konstantna v celotni mreži. Lahko bi bila recimo 1-odstotna verjetnost, da je vsak šesterokotnik prazen. Beton prekriva mrežo, vmes pa pušča le majhne žepke zraka, zaradi česar je možnost, da bi našli pot do roba, dejansko enaka ničli. Po drugi strani pa, če obstaja 99-odstotna verjetnost, da je vsak šesterokotnik prazen, obstaja le tanek razpršeni betonski zidovi, ločeni odseki odprtega prostora - ni veliko labirinta. Iskanje poti od središča do roba je v tem primeru skoraj gotovo.
Pri velikih mrežah pride do izjemno nenadne spremembe, ko verjetnost doseže 1/2. Tako kot se led stopi v tekočo vodo pri točno nič stopinjah Celzija, se značaj labirinta drastično spremeni na tej prehodni točki, imenovani kritična verjetnost. Pod kritično verjetnostjo bo večina mreže ležala pod betonom, medtem ko prazne poti vedno pridejo v slepe ulice. Nad kritično verjetnostjo ostanejo ogromni predeli prazni in betonske stene bodo zagotovo propadle. Če se ustavite točno pri kritični verjetnosti, se bosta beton in praznina uravnotežila in nobena ne bo mogla prevladati nad labirintom.
"Na kritični točki se pojavi višja stopnja simetrije," je dejal Michael Aizenman, matematični fizik na univerzi Princeton. "To odpira vrata v ogromno matematiko." Ima tudi praktične aplikacije za vse, od oblikovanja plinskih mask do analiz, kako se širijo nalezljive bolezni ali kako nafta pronica skozi kamenje.
V članek objavljen lansko jesen, so štirje raziskovalci končno izračunali možnost iskanja poti za labirinte pri kritični verjetnosti 1/2.
Tekma z orožjem
Kot doktorski študent v Franciji sredi 2000-ih, Pierre Nolin zelo podrobno preučil scenarij kritične verjetnosti. Po njegovem mnenju je naključni labirint "res lep model, morda eden najpreprostejših modelov, ki si jih lahko izmislite." Proti koncu doktorskega študija, ki ga je končal leta 2008, je Nolina prevzelo posebej zahtevno vprašanje o tem, kako se obnaša šestkotna mreža pri kritični verjetnosti. Recimo, da zgradite mrežo okoli osrednje točke, tako da se približa krogu, in od tam naključno zgradite svoj labirint. Nolin je želel raziskati možnost, da boste lahko našli odprto pot, ki sega od roba do sredine in nazaj ven, ne da bi se vrnili sami. Matematiki temu pravijo monokromatska dvokraka pot, ker sta notranja in zunanja »kraka« na odprtih poteh. (Včasih se takšne mreže enakovredno obravnavajo kot narejene iz dveh različnih barv, recimo svetlo modre in temno modre, namesto iz odprtih in zaprtih celic.) Če povečate velikost labirinta, se bo povečala tudi dolžina potrebne poti. in možnost, da najdemo tako pot, bo čedalje manjša. Toda kako hitro se možnosti zmanjšajo, ko se labirint poljubno poveča?
Na preprostejša sorodna vprašanja je bilo odgovorjeno že pred desetletji. Izračuni iz leta 1979 po Marcel den Nijs ocenili možnost, da lahko najdete eno pot ali krak od roba do središča. (Primerjajte to z Nolinovo zahtevo, da mora biti en krak notri in ločen zunaj.) Den Nijsovo delo je napovedalo, da je možnost, da najdemo en krak v šesterokotni mreži, sorazmerna z $latex 1/n^{5/48}$ , kje n je število ploščic od središča do roba ali polmer mreže. Leta 2002, Gregory Lawler, Oded Schramm in Wendelin Werner končno dokazano da je bila napoved z eno roko pravilna. Za jedrnato količinsko opredelitev padajoče verjetnosti, ko se velikost mreže povečuje, raziskovalci uporabljajo eksponent iz imenovalca, 5/48, ki je znan kot enokraki eksponent.
Nolin je želel izračunati bolj izmuzljiv monokromatski dvokraki eksponent. Numerične simulacije leta 1999 je pokazala, da je zelo blizu 0.3568, vendar matematikom ni uspelo določiti njegove točne vrednosti.
Veliko lažje je bilo izračunati tisto, kar je znano kot polikromatski dvokraki eksponent, ki označuje možnost, da lahko z začetkom v sredini najdete ne samo »odprto« pot do oboda, ampak tudi ločeno »zaprto« pot. (Pomislite na zaprto pot kot tisto, ki prečka vrhove betonskih sten labirinta.) Leta 2001 sta Stanislav Smirnov in Werner dokazano da je bil ta eksponent 1/4. (Ker je 1/4 bistveno večja od 5/48, se $latex 1/n^{1/4}$ krči hitreje kot $latex 1/n^{5/48}$ kot n raste. Možnost polikromatične strukture z dvema krakoma je torej veliko manjša kot možnost enokrake, kot bi lahko pričakovali.)
Ta izračun se je močno opiral na znanje o obliki grozdov v grafu. Predstavljajte si, da je labirint pri kritični verjetnosti izjemno velik - sestavljen iz milijonov in milijonov šesterokotnikov. Sedaj poiščite skupino praznih šesterokotnikov in z debelo črno konico ostrite robove grozda. Posledica tega verjetno ne bo preprost, okrogel madež. Od milj v zraku bi videli vijugasto krivuljo, ki se nenehno podvoji nazaj, pogosto se zdi, kot da se bo prekrižala, a nikoli povsem zavezujoča.
To je vrsta krivulje, imenovana krivulja SLE, ki jo je predstavil Schramm v a Papir 2000 ki je na novo definiral področje. Matematik, ki proučuje možnosti za iskanje ene odprte in ene zaprte poti, ve, da morajo biti te poti znotraj večjih skupin odprtih in zaprtih mest, ki se na koncu srečajo vzdolž krivulje SLE. Matematične lastnosti krivulj SLE se nato pretvorijo v neprecenljive informacije o poteh znotraj labirinta. Toda če matematiki iščejo več poti iste vrste, krivulje SLE izgubijo velik del svoje učinkovitosti.
Do leta 2007 sta Nolin in njegov sodelavec Vincent Beffara ustvarila numerične simulacije, ki kažejo, da je enobarvni dvokraki eksponent približno 0.35. To je bilo sumljivo blizu 17/48 - vsota enokrakega eksponenta, 5/48, in polikromatskega dvokrakega eksponenta, 1/4 (ali 12/48). "17/48 je res osupljiv," je dejal Nolin. Začel je sumiti, da je 17/48 pravi odgovor - kar pomeni, da obstaja preprosta povezava med različnimi vrstami eksponentov. Lahko bi jih samo seštel. »Rekli smo, OK, predobro je, da bi bilo lažno; mora biti res.”
Predstavitev
Nekaj časa iz domneve Nolina in Beffare ni bilo nič, čeprav jo je Nolin objavil na svoji spletni strani, da so lahko drugi delali na njej. Leta 2017 se je preselil v Hongkong, da bi prevzel mesto profesorja na mestni univerzi v Hongkongu, in nadaljeval s problemom. 2018 izpostavil eksponent v pogovoru s Wei Qian, ki je bil takrat podoktorski študij na Univerzi v Cambridgeu v Angliji. Qian je proučeval naključno geometrijo v zveznem in ne diskretnem kontekstu, s posebnim poudarkom na SLE krivuljah. Bila je sredi projekta, ki je uporabljal SLE za izračun eksponentov v drugi vrsti naključnega modela, in Nolin je začela sumiti, da je njeno strokovno znanje pomembno tudi za enobarvni eksponent z dvema krakoma. Par je kmalu našel na videz preprosto enačbo, katere rešitev bi dala eksponent, vendar se je ta enačba zanašala na vmesno količino, povezano s prostorom, ki ga obdaja krivulja SLE na robu mreže. Nolin in Qian nista mogla določiti te številke.
"Opravil sem veliko izračunov, vendar še vedno nisem mogel izračunati te lastnosti," je dejal Qian. "Ni mi uspelo, zato sem se za nekaj časa ustavil."
"Nikoli tega nismo nikomur omenili, ker nismo bili prepričani, ali bi bilo koristno ali ne," je dodal Nolin.
Eksponent hrbtenice
Enobarvni eksponent z dvema krakoma je še posebej zanimiv, ker opisuje tudi "hrbtenico" mreže: zbirko šesterokotnikov, ki so povezani z dvema različnima krakoma, ki segata v dva kraka, ki se ne prekrivata: enega do roba labirinta in enega do njegovo središče. Ko so ta mesta obarvana, tvorijo mrežo, ki sega čez celotno mrežo in se imenuje hrbtenica. Ko raziskovalci modelirajo širjenje bolezni ali poroznih skalnih formacij, je hrbtenica avtocesta, po kateri lahko tečejo mikrobi ali nafta. Eksponent, ki sta ga iskala Nolin in Qian, razkriva velikost hrbtenice in se imenuje eksponent hrbtenice.
Nolin in Qian nista bila edina po hrbtenici. Xin Sonce, takrat na Univerzi v Pensilvaniji, je prav tako poskušal izračunati glavni eksponent. V preteklih letih so Sun in sodelavci, vključno z Nino Holden z univerze v New Yorku, odkrili način za preučevanje krivulj SLE z uporabo naključnih fraktalnih površin. Te razširjene, ukrivljene površine imajo nazobčane robove, ki segajo v dolge vitice. Do nekaterih točk je le kratek skok od sosedov, do drugih pa večmesečna pot. Na določenih mestih so ti učinki preveč ekstremni, da bi jih lahko vizualizirali. "Pravzaprav tega ni mogoče narisati" popolnoma natančno, je dejal Holden. "Površino bi morali precej raztegniti."
Poleti 2022 je Sun vključil Zijieja Zhuanga, študenta drugega letnika podiplomskega študija, da se pridruži preučevanju naključnega labirinta pri kritični verjetnosti. Upoštevali so naključne labirinte, kjer so šesterokotniki ležali na naključni fraktalni površini namesto na ravni ravnini. Ker naključje določa, kje in za koliko se površina raztegne in stisne, ima površina edinstvene lastnosti. (Zaradi teh lastnosti so takšne površine uporabne tudi za fizike, ki preučujejo modele kvantne gravitacije v dvodimenzionalnem vesolju, zaradi česar so jih poimenovali: Liouvillove kvantne gravitacijske površine.) Na primer, če vzamete škarje na takšno površino, se oblike dve polovici nista odvisni druga od druge. "Takšna neodvisnost resnično izjemno poenostavi stvari," je dejal Scott Sheffield Tehnološkega inštituta Massachusetts. Ko so stvari naključne, o njih veste manj, vendar to lahko pomeni manj informacij, ki jih je treba dolgočasno upoštevati.
Sun in Zhuang sta najprej poskušala določiti verjetnost, da obstaja odprta pot, ki povezuje majhen krog okoli središča mreže z večjim, okoliškim krogom. Ko so odgovorili na to vprašanje, je Sun predlagal še večji cilj: izračun možnosti, da obstajata dve poti, ki povezujeta ugnezdene kroge, kar bi jim omogočilo izračun hrbtenične eksponente. Kmalu pa so zašli v težave. "Ta pristop smo poskušali več mesecev, vendar se zdi, da izračun ni zelo sprejemljiv," je Zhuang zapisal v elektronskem sporočilu.
Predstavitev
Čeprav Nolin in Qian nista uspela najti vrednosti eksponenta, sta medtem napredovala na druge načine. Qian je vzela dopust s svojega položaja v Francoskem nacionalnem centru za znanstvene raziskave in se pridružila Nolinu kot profesorica na City University of Hong Kong. (Tudi poročila sta se.) Poleti 2021 je naletela na nekaj člankov Suna in njegovih sodelavcev, ki so jo zanimali, zato je po odpravi omejitev potovanj zaradi pandemije decembra 2022 načrtovala obisk Inštituta za napredne študije v Princetonu. , New Jersey, kjer je Sun preživel leto.
Obisk se je izkazal za dobičkonosnega. Ko je Qian opisal enačbo, ki sta jo našla z Nolinom, je Sun začela razmišljati, da bi bila primerna za njegovo in Zhuangovo tehniko prekrivanja labirintov na površinah kvantne gravitacije Liouville. "To je nekako naključje," je dejal Sun. "En tip ima ključavnico, en tip ima ključ."
Zhuang je bil nekoliko skeptičen. "Nimamo napovedi in niti ne vemo, ali bo formula imela lepo rešitev," je dejal, ko je opisal takratno stanje. Sun in Zhuang sta naslednjih nekaj mesecev uporabila svoje tehnike kvantne gravitacije Liouvilla – ključ – da bi odklenila izmuzljivo količino v Nolinovi in Qianovi enačbi iz prejšnjih let – ključavnico.
Po štirih mesecih dela sta Sun in Zhuang odprla metaforično ključavnico. Sun je poslal e-pošto Zhuangu, Qianu in Nolinu, v katerem je objavil: "Odlične novice: Natančna formula za hrbtenični eksponent." Ugotovil je, da je bil odgovor zmerno zapleten izraz kvadratnih korenov in trigonometrične sinusne funkcije. Bilo je v skladu s prejšnjimi ocenami, neskončen tok števk, ki se je začel z 0.3566668.
Štirje so svoje delo spremenili v pisni članek in izpopolnjevali argument, dokler se zamisli Nolina in Qiana na eni strani ter Suna in Zhuanga na drugi niso združile v dokaz, ki ga je Sheffield, ki je bil Sunov doktorski svetovalec, označil za »lepo dragulj." "Strategija dokazovanja je vsekakor presenetljiva in zelo izvirna, a potem, ko jo vidite, se zdi tudi nekaj naravnega," je dejal Holden.
Nolin obžaluje svoj sum iz leta 2011, da je bil eksponent natančno 17/48. »Kar nekaj časa smo zavajali teren. Nisem zelo ponosen na to.” Glavni eksponent se presenetljivo razlikuje od svojih polikromatskih sorodnikov. Ne samo, da je iracionalen, ampak je tudi transcendentalen, kar pomeni, da kot $latex pi$ in e, je ni mogoče zapisati kot rešitev preproste polinomske enačbe.
"Dokaz v resnici ne pojasni, od kod prihaja ta formula," je dejal. "Pokazali smo ga fizikom in res se veselimo njihovega vpogleda."
Transcendentalna narava nosilnega eksponenta je pritegnila pozornost drugih na tem področju. Gregory Huber iz Chan Zuckerberg Biohub, ki je soavtor a nadaljnji članek o hrbteničnem eksponentu je dejal, da meni, da je rezultat "prvi vpogled v novo celino" v statistični mehaniki. Čeprav je združevanje SLE krivulj in Liouvillove kvantne gravitacije izjemno tehnično, je jasen in preprost numerični odgovor, ki se je pojavil, je zapisal "neverjetno preprost in eleganten."
- Distribucija vsebine in PR s pomočjo SEO. Okrepite se še danes.
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai. Opolnomočite se. Dostopite tukaj.
- PlatoAiStream. Web3 Intelligence. Razširjeno znanje. Dostopite tukaj.
- PlatoESG. Ogljik, CleanTech, Energija, Okolje, sončna energija, Ravnanje z odpadki. Dostopite tukaj.
- PlatoHealth. Obveščanje o biotehnologiji in kliničnih preskušanjih. Dostopite tukaj.
- vir: https://www.quantamagazine.org/maze-proof-establishes-a-backbone-for-statistical-mechanics-20240207/
- :ima
- : je
- :ne
- :kje
- ][str
- $GOR
- 2001
- 2008
- 2011
- 2017
- 2018
- 2021
- 2022
- 35%
- a
- Sposobna
- O meni
- nad
- AC
- accord
- Račun
- natančno
- čez
- dejansko
- dodajte
- dodano
- dodajanje
- napredno
- zadeve
- po
- spet
- Avgust
- AIR
- vsi
- skupaj
- Prav tako
- Želja
- prilagodljiv
- an
- Analize
- in
- Še ena
- odgovor
- kdo
- aplikacije
- pristop
- približuje
- SE
- Argument
- ARM
- orožjem
- okoli
- AS
- dodeljena
- At
- pozornosti
- nazaj
- Hrbtenica
- Ravnovesje
- BE
- lepa
- postal
- ker
- bilo
- pred
- začel
- Začetek
- spodaj
- med
- Big
- Bit
- črna
- Modra
- telo
- tako
- prinesel
- izgradnjo
- vendar
- by
- izračun
- izračuna
- izračun
- izračun
- Izračuni
- se imenuje
- poziva
- Cambridge
- prišel
- CAN
- ne more
- primeru
- ujete
- Celice
- Celzija
- center
- Osrednji
- Stoletje
- nekatere
- izziv
- chan
- priložnost
- kvote
- spremenite
- Spremembe
- značaja
- označuje
- Krog
- krogi
- mesto
- City University of Hong Kong
- jasno
- Zapri
- zaprto
- Grozd
- naključje
- sodelavci
- zbirka
- Stolpec
- kombinirani
- združevanje
- kako
- prihajajo
- storiti
- popolnoma
- zapleten
- računanje
- izračuni
- Izračunajte
- betonska
- domnevo
- povezane
- Povezovanje
- šteje
- stalna
- nenehno
- ozadje
- neprekinjeno
- kontrast
- Pogovor
- popravi
- bi
- ustvarjajo
- ustvaril
- kritično
- Cross
- krivulja
- Temnomodra
- mrtva
- desetletja
- december
- vsekakor
- Stopnja
- odvisna
- opisano
- opisuje
- Opisuje
- Oblikovanje
- Podatki
- Ugotovite,
- določa
- DID
- drugačen
- Težave
- števk
- zmanjšuje
- bolezen
- bolezni
- izrazit
- do
- Ne
- Prevladujejo
- dont
- By
- Podvoji
- navzdol
- drastično
- pripravi
- vsak
- prej
- lažje
- lahka
- Edge
- učinkovito
- učinkovitost
- Učinki
- bodisi
- E-naslov
- pojavile
- nastane
- konec
- Endless
- konča
- Anglija
- Celotna
- vzpostavlja
- ocenjeni
- ocene
- Tudi
- sčasoma
- Tudi vsak
- vse
- točno
- pričakovati
- strokovno znanje
- Pojasnite
- raziskuje
- izraz
- razširiti
- razširitev
- ekstremna
- izredno
- ni uspelo
- false
- počuti
- Nekaj
- Polje
- ugotovil
- napolnjena
- končno
- Najdi
- iskanje
- prva
- stanovanje
- Pretok
- Osredotočite
- za
- obrazec
- Formula
- Naprej
- je pokazala,
- štiri
- Francija
- francosko
- iz
- polno
- funkcija
- GAS
- Gem
- ustvarila
- dobili
- Daj
- dana
- Giving
- Pogled
- dobro
- prisodil
- diplomiral
- graf
- teža
- veliko
- Mreža
- Grow
- raste
- Guy
- imel
- Pol
- strani
- Imajo
- ob
- he
- močno
- jo
- več
- Highway
- njegov
- Hits
- Hong
- Hong Kong
- Kako
- Vendar
- HTML
- http
- HTTPS
- velika
- i
- ICE
- Ideje
- if
- slika
- in
- V drugi
- Vključno
- Povečajte
- neodvisnost
- Neodvisni
- nalezljiv
- Nalezljive bolezni
- Podatki
- v notranjosti
- vpogled
- primer
- Namesto
- Inštitut
- Zanimivo
- v
- Uvedeno
- neprecenljivo
- vedno
- neracionalno
- IT
- ITS
- sam
- Jersey
- pridružite
- pridružil
- Potovanje
- samo
- hranijo
- Ključne
- Otrok
- vrste
- Vedite
- znanje
- znano
- ve
- Kong
- velika
- večja
- Največji
- Zadnja
- položi
- pustite
- odhodu
- levo
- dolžina
- manj
- laž
- Dvignil
- light
- kot
- LINK
- Tekočina
- zaklepanje
- Long
- si
- izgubiti
- Sklop
- nižje
- je
- revije
- Znamka
- Izdelava
- Maske
- Massachusetts
- Tehnološki inštitut Massachusetts
- ogromen
- math
- matematični
- matematika
- mogoče
- pomeni
- kar pomeni,
- mehanika
- Srečati
- omenjeno
- morda
- milijoni
- MIT
- Model
- modeli
- zmerno
- mesecev
- več
- Najbolj
- premaknjeno
- veliko
- več
- morajo
- Ime
- nacionalni
- naravna
- Narava
- Blizu
- potrebna
- sosedi
- Niti
- nikoli
- Novo
- New Jersey
- NY
- novice
- Naslednja
- lepo
- št
- nič
- zdaj
- Številka
- Kvota
- of
- pogosto
- Olje
- on
- ONE
- tiste
- samo
- odprite
- odprt
- Odpre
- or
- izvirno
- Ostalo
- drugi
- ven
- več
- par
- Pandemija
- Papir
- članki
- zlasti
- pot
- poti
- Pennsylvania
- Peter
- fizik
- Mesta
- letalo
- načrtovano
- platon
- Platonova podatkovna inteligenca
- PlatoData
- žepi
- Točka
- točke
- zastavljeno
- Stališče
- mogoče
- objavljene
- Praktično
- pred
- napovedano
- napoved
- Napovedi
- Princeton
- verjetno
- problem
- Učitelj
- donosno
- Napredek
- Projekt
- dokazilo
- Lastnosti
- nepremičnine
- Ponosni
- dokazano
- Quantamagazine
- Količina
- Kvantna
- vprašanje
- vprašanja
- hitro
- precej
- naključno
- naključno ustvarjeno
- precej
- Doseže
- res
- na novo opredeljeno
- besedilu
- rafiniranje
- povezane
- pomembno
- zahteva
- Raziskave
- raziskovalci
- Omejitve
- povzroči
- Razkrije
- skala
- Korenine
- krog
- Je dejal
- Enako
- pravijo,
- Scenarij
- znanstveno
- iskanje
- glej
- Zdi se,
- poslan
- ločena
- več
- Oblikujte
- Oblike
- je
- Kratke Hlače
- je pokazala,
- strani
- Enostavno
- poenostavlja
- simulacije
- sit
- Spletna mesta
- Velikosti
- skeptičen
- majhna
- manj
- So
- trdna
- Rešitev
- nekaj
- Nekaj
- Včasih
- Kmalu
- Predlogi
- Vesolje
- posebna
- Poraba
- porabljen
- razlivanje
- namaz
- kvadrat
- Začetek
- Država
- Statistično
- Korak
- Še vedno
- stop
- ustavil
- Strategija
- tok
- Struktura
- študent
- študiral
- Študije
- študija
- Študij
- v bistvu
- uspeh
- taka
- nenadoma
- poletje
- ne
- Preverite
- Površina
- presenetljivo
- Okolica
- Sumljivo
- Bodite
- tehnični
- tehnika
- tehnike
- Tehnologija
- kot
- da
- O
- Graf
- Država
- njihove
- Njih
- POTEM
- Tukaj.
- te
- jih
- tanka
- stvari
- mislim
- Misli
- ta
- tisti,
- čeprav?
- mislil
- skozi
- čas
- do
- skupaj
- tudi
- vzel
- Topi
- Trace
- Prehod
- prevesti
- potovanja
- izjemno
- Poskušal
- Res
- poskuša
- Obrnjen
- dva
- tip
- Pod
- edinstven
- Vesolje
- univerza
- univerza v Cambridgeu
- odklepanje
- dokler
- uporaba
- Rabljeni
- koristno
- uporabo
- vrednost
- zelo
- vincent
- obisk
- hotel
- je
- washington
- Voda
- način..
- načini
- we
- web
- webp
- Spletna stran
- Dobro
- so bili
- Kaj
- kdaj
- ali
- ki
- medtem
- WHO
- katerih
- bo
- z
- v
- brez
- delo
- deluje
- bi
- bi dal
- pisni
- Napisal
- leto
- let
- york
- Vi
- Vaša rutina za
- zefirnet
- nič
- Zuckerberg