Beskrivning
Som många människor som skulle fortsätta att bli matematiker, Wei Ho växte upp med att tävla i matematiktävlingar. I åttonde klass vann hon Mathcounts delstatstävlingen i Wisconsin, och hennes lag tog en tredje plats på nationals.
Till skillnad från många framtida matematiker var hon inte säker på att hon någonsin ville bli det.
"Jag ville göra allt, hela tiden," sa Ho. "Jag tog balett på största allvar fram till tidig gymnasietid. Jag redigerade den litterära tidningen. Jag gjorde debatt och kriminalteknik. Jag spelade tennis och fotboll och piano och fiol.” Däremot verkade många framgångsrika matematiker vara besatta av matematik med undantag för allt annat. Hur kunde hon, en person med många passioner, konkurrera med den nivån av fokus?
Till slut drogs Ho till matematikens stränghet. Hon tycker fortfarande om balett, att läsa romaner och göra kryptiska korsord, även om hon hjälper till att återuppfinna det matematiska maskineriet som ligger till grund för grundläggande matematiska objekt, som polynomekvationer, som har långvariga och förbryllande öppna frågor förknippade med dem.
Ho studerar välbekanta geometriska objekt, men hon omformulerar frågorna för att placera dem i de rationella talens område - tal som kan skrivas som bråk. "Då börjar sifferteorin att blandas in i allt detta", sa hon.
Hon är särskilt intresserad av elliptiska kurvor, som definieras av en viss typ av polynomekvation som har tillämpningar inom olika grenar av matematiken. Elliptiska kurvor förekommer i analys - i stort sett studiet av kontinuerliga saker, som de reella talen - och i algebra, som handlar om att hitta och definiera exakta matematiska strukturer. (Även om deras fokus är annorlunda, delas analys och algebra mer av känslighet än av en strikt gräns, eftersom det finns gott om överlappning mellan dem.)
Beskrivning
I en barriärbrytande preprint som släpptes 2018, Ho och hennes samarbetspartner Levent Alpöge vid Harvard University upptäckt en ny övre gräns för antalet heltalslösningar till polynom som definierar elliptiska kurvor. Deras teknik bygger på det decennier gamla arbetet av Louis Mordell, en amerikansk matematiker som emigrerade till Storbritannien 1906. I sin artikel kunde Ho och Alpöge ta fram ny information om fördelningen av dessa heltalslösningar som hade undgått andra lag som studerade liknande problem.
Ho tillbringar året (på tjänstledighet från sin fakultetstjänst vid University of Michigan) som gästprofessor vid Institute for Advanced Study, där hon nyligen utsågs till den första chefen för IAS:s Women and Mathematics-program. Hon är också stipendiat 2023 i American Mathematical Society och forskare vid Princeton University.
Hon är hoppfull om att regi av programmet för kvinnor och matematik "åtminstone kommer att hjälpa samhället mer, hjälpa fler människor, istället för att bara jag är på mitt kontor och gör matteforskning ensam eller med samarbetspartners", sa hon. "Jag kan bevisa teorem, och kanske en dag kan jag bevisa en teorem som om 100 år kommer att ha betydelse. Kanske kanske inte. Men jag kände att jag inte gjorde tillräckligt stor inverkan på världen eller på människor runt omkring mig.”
Quanta pratade med Ho i en serie videokonferenser. Intervjuerna har förtätats och redigerats för tydlighetens skull.
Hur skulle du beskriva ditt sätt att göra matematik?
Ibland delar matematiker in oss i algebraiska och analytiska personer. Matematiken jag gör berör båda sidor, men i grunden är jag en algebraist, även om jag är geometrisk på det sätt jag tänker. Jag brukar ofta se algebra och geometri som i huvudsak samma sak.
Det är inte helt korrekt, men i grund och botten sedan Descartes verk och särskilt under förra seklet, har de två ämnena blivit riktigt nära varandra. Det finns en ganska exakt ordbok som i vissa situationer kan hjälpa till att översätta en geometrisk bild till algebraiska konsekvenser.
I mitt eget fall hjälper den geometriska bilden ofta till att formulera påståenden och gissningar och ge intuition, men sedan översätter vi dem till algebra när vi skriver. Det är lättare att upptäcka misstag eftersom algebra vanligtvis är mer rigorös. Det kan också vara lättare att använda algebra när geometrin blir för svår att visualisera.
Vilka idéer har du fokuserat på i ditt senaste arbete?
En hel del av mitt arbete har att göra med elliptiska kurvor, som är mycket naturliga objekt i talteori och aritmetisk geometri.
Det borde vara svårt att ha heltalslösningar av ekvationer som dessa. Vi förväntar oss i princip att nästan alla kurvor inte ska ha några heltalslösningar. Men det är väldigt svårt att bevisa det.
Levent och jag studerade denna fördelning av antalet integralpunkter. Vi använder en klassisk konstruktion från Mordells bok från 1969 Diofantiska ekvationer. Vi kan ge en övre gräns för antalet integralpunkter på en elliptisk kurva. Andra människor har gett övre gränser. Vi hittade en annan gräns som är enkel att ange.
Vilken roll spelade Mordells tidigare arbete i ditt senaste resultat?
Vår fråga handlar om integrerade punkter på elliptiska kurvor. Mordell har ett sätt att relatera det till något annat som vi kan studera.
Det är något vi gör hela tiden i matematik: Vi vill förstå ett objekt, men vi måste hitta en proxy för att förstå det. Ibland är den proxyn väldigt korrekt. Ibland tappar den information. Men det är faktiskt något vi kan komma åt.
När bestämde du dig för att fokusera på matematik?
Jag tror inte att det var någon vändpunkt för mig. Jag är nöjd med mitt liv och min karriär nu, men jag känner att om saker och ting hade varit lite annorlunda hade jag kunnat vara lycklig inom många karriärer eller andra områden. Kanske är det något de flesta matematiker inte skulle säga, eftersom de gillar att prata om hur passionerade de är i matematik och hur de aldrig skulle kunna tänka på något annat. För mig tror jag inte att det är sant.
Jag är nyfiken på många olika saker. Kanske blev jag matematiker för att jag var frustrerad över bristen på rigor på andra områden. Som barn tränades jag att tänka som en matematiker på något sätt, för det var så vi gjorde saker hemma. Min pappa spelade mattespel med mig, vilket innebar att jag lärde mig logiskt resonemang från en ung ålder. Jag ville att saker skulle bevisas.
Men jag var inte säker på att jag skulle bli en bra matematiker.
Varför?
När jag var yngre kände jag inte så många mattemänniskor som liknade mig på olika sätt. Vi slänger runt dessa ord om förebilder. Det är inte bara det att jag inte såg tillräckligt många kvinnor eller asiatiska amerikanska kvinnor.
Vad jag menar är att jag inte såg många människor som brinner för andra saker än matematik. Det fick mig att tvivla mycket på mig själv. Hur kan jag bli framgångsrik i matematik om jag inte lägger 100 % av min tid på att tänka på matematik? Det var vad jag såg omkring mig. Jag hade intrycket av att andra närmade sig matematik på ett annat sätt än jag, mina kamrater och människor äldre än jag. Jag tyckte det var svårt att göra en karriär där jag inte skulle bli så. Jag skulle ha andra intressen.
Den mänskliga aspekten är något jag inte såg att andra brydde sig lika mycket om. Jag var rädd att en del av mig skulle göra mig dålig på att bli matematiker.
Beskrivning
Du utnämndes precis till chef för IAS:s kvinnor och matematikprogram. Vad erbjuder det programmet kvinnliga matematiker?
Det är en veckolång workshop för kvinnor i olika karriärstadier, inklusive kvinnor på grundutbildningen, doktorander, postdoktorer och vissa juniorer och seniora fakulteter. Det är att lära sig matematik i en stödjande miljö.
Studenter som kanske inte visste att de vill ägna sig åt matematik möter mycket seniora matematiker och får mentorskap hela vägen upp. De kan se många olika människor i olika karriärstadier och prata med människor om deras erfarenheter. Jag tror inte att det finns många andra program som har hela det utbudet och är fokuserade på ett visst delområde.
2023 års program kallas "Patterns in Integers." Det kommer att ha många människor inom additiv kombinatorik och analytisk talteori. Vi tar in människor från olika karriärvägar för dem att träffa.
För de äldre doktorander som redan arbetar inom detta område träffar de postdoktorer, juniorer och seniora fakulteter inom sitt område och får en chans att arbeta tillsammans med dem under en vecka.
Du är också involverad i Stacks projekt, som är en omfattande onlineresurs. Vad är unikt med det?
Den stora volymen och tillgängligheten av den. Det är detta enorma - mer än 7,500 XNUMX sidor om du skrev ut det - online-samarbetsprojekt. Men realistiskt sett [matematikern från Columbia University] Aise Johan de Jong skriver nästan allt. Det är en rigorös, noggrant skriven resurs för algebraiska geometrar. Det är en fantastisk sak han har gjort för samhället.
Varje eller varannan vecka växer det. Det är en pålitlig referens för nästan vad som helst. Den täcker en enorm mängd algebraisk geometri som du skulle behöva titta på som 20 läroböcker för.
Det är att leva i den meningen att saker kan läggas till och redigeras. Om det finns misstag kommer de att fångas.
Det andra som är lite intressant med det är taggsystemet. Även om det här dokumentet ständigt växer kan du fortfarande referera till en specifik tagg för alltid. Det finns över 21,000 XNUMX permanenta taggar för specifika resultat som du kanske vill citera. Pieter Belmans byggde hela bakänden, som även har använts i andra projekt. Andra människor har anpassat tekniken för det.
Problemet är – och det vet Johan – att han så småningom inte kommer att kunna fortsätta skriva detta. En dag, om vi vill att detta ska fortsätta, behöver det andra människor vara mer involverade.
Vilken roll spelar dina workshops i Stacks-projektet?
Poängen är att börja engagera yngre människor. Vi låter dem skriva bitar och bitar som så småningom kan införlivas i det. Det finns vissa spänningar här, för för att webbplatsen ska förbli korrekt och av hög kvalitet som resurs måste den modereras noggrant. Så Johan behöver fortfarande göra mycket av arbetet med att lägga in saker i det. Det kan inte vara som Wikipedia där vem som helst kan röra det. Det är lite olyckligt men det måste hända om du vill att det här ska fungera.
Vi försöker hitta sätt att sakta få fler människor involverade i Stacks-projektet. Vi tar in mentorer för att arbeta med projekt med doktorander och postdoktorer. De lär sig lite algebraisk geometri. Sedan skriver de något.
We bara publicerad en volym med ett gäng expository-artiklar som vi hoppas så småningom ska gå in i Stacks-projektet.
Stacks-projektet kan fortsätta att vara extremt effektfullt i hundratals år om tillräckligt många engagerar sig och håller igång det.
