Beskrivning
Vi tenderar att tänka på matematik som rent logiskt, men undervisningen i matematik, dess värderingar, dess användbarhet och dess funktion är späckad med nyanser. Så vad är "bra" matematik? År 2007, matematikern Terence tao skrev en uppsats för Bulletin från American Mathematical Society som försökte svara på denna fråga. I dag, som mottagare av en Fields-medalj, ett genombrottspris i matematik och ett MacArthur-stipendium, är Tao en av de mest hedrade och produktiva matematikerna i livet. I det här avsnittet ansluter han sig till vår programledare och matematikerkollega Steven Strogatz att återuppleva förutsättningarna för bra matematik.
Lyssna på Apple Podcasts, Spotify, Google Podcasts, häft, TuneIn eller din favoritpoddapp, eller så kan du streama det från Quanta.
Avskrift
STEVEN STROGATZ: Tillbaka i oktober 2007, långt tillbaka när den första generationens iPhone fortfarande var en het handelsvara och aktiemarknaden var på en rekordnivå före den stora lågkonjunkturen, var Terence Tao, professor i matematik vid UCLA, fast besluten att svara på en fråga som länge hade diskuterats bland matematiker: Vad är egentligen bra matematik?
Handlar det om rigor? Elegans? Verkliga verktyg? Terry skrev en mycket omtänksam och generös, jag skulle till och med säga öppenhjärtad, uppsats om alla sätt som matematik kan vara bra på. Men nu, mer än 15 år senare, behöver vi tänka om vad bra matematik är?
Jag heter Steve Strogatz, och det här är "The Joy of Why", en podcast från Quanta Magazine där min medvärd Janna Levin och jag turas om att utforska några av de största obesvarade frågorna inom matematik och naturvetenskap idag.
(Temaspel)
Här idag för att återkomma till den eviga frågan om vad som gör matematik bra är Terry Tao själv. Professor Tao har skrivit mer än 300 forskningsartiklar om ett otroligt brett utbud av matematik inklusive harmonisk analys, partiella differentialekvationer, kombinatorik, talteori, datavetenskap, slumpmässiga matriser och mycket mer. Han har kallats "Matematikens Mozart". Och som vinnare av en Fields-medalj, ett genombrottspris i matematik, ett MacArthur Fellowship och många andra utmärkelser, är den monikern verkligen välförtjänt.
Terry, välkommen till "The Joy of Why."
TERENCE TAO: Kul att vara här.
STROGATZ: Jag är väldigt glad över att kunna prata med dig om den här frågan om vad det är som gör vissa typer av matematisk forskning bra. Jag kan minnas att jag ganska livligt bläddrade igenom Bulletin från American Math Society tillbaka 2007 och stöter på din uppsats om denna fråga som du poserade för oss. Det är något som alla matematiker tänker på. Men för folk där ute som kanske inte är så bekanta, kan du berätta för oss hur du landade på den här frågan? Hur definierade du bra matematik då?
TAO: Okej, ja. Det var faktiskt en uppmaning. Så redaktören för Bulletin hade då bett mig att bidra med en artikel. Jag tror att jag hade en väldigt naiv uppfattning om vad matematik var som student. Jag hade den här idén att det fanns något slags råd av gråskägg som skulle dela ut problem för folk att arbeta på. Och det var en slags chock för mig som doktorand att inse att det faktiskt inte fanns den här centrala myndigheten för att dela ut problem, och folk gjorde självstyrd forskning.
Jag fortsatte att gå på samtal och lyssna på hur andra matematiker pratade om vad de tycker är spännande och vad som gör dem glada för matematik, och det faktum att varje matematiker har olika sätt att närma sig matematik. Som, vissa skulle ägna sig åt tillämpningar, vissa genom slags estetisk skönhet, andra genom att bara lösa problem. De ville lösa ett problem och de skulle fokusera på typ av de svåraste, de mest utmanande uppgifterna. Vissa skulle fokusera på teknik; vissa skulle försöka göra saker så eleganta som möjligt.
Men det som slog mig när jag lyssnade på så många av dessa olika matematiker som pratar om vad de tycker är värdefullt i matematik är att även om vi alla hade olika ideal om hur bra matematik ska se ut, tenderar de alla att konvergera till samma sak.
Om ett stycke matematik är riktigt bra, kommer människor som strävar efter skönhet så småningom att råka ut för det. Människor som förföljer, som värdesätter, ni vet, teknisk kraft eller tillämpningar kommer så småningom att landa på det.
Eugene Wigner hade en mycket berömd uppsats om matematikens orimliga effektivitet inom de fysikaliska vetenskaperna för nästan ett sekel sedan, där han just observerade att det fanns områden inom matematiken - till exempel Riemannsk geometri, studiet av krökt rymd - som från början bara var en rent teoretisk övning för matematiker, ni vet, som försökte bevisa att parallella postulat och så vidare, som visade sig vara exakt vad Einstein och Poincaré och Hilbert behövde för att beskriva den allmänna relativitetsteoriens matematik. Och det är bara ett fenomen som uppstår.
Så det är inte bara matematiken, det som matematiker tycker är intellektuellt intressant i slutändan blir fysiskt viktigt. Men även inom matematiken råkar ämnen som matematiker tycker är eleganta också ge djup insikt.
Vad jag känner är att, du vet, det finns en del platonisk bra matematik där ute, och alla våra olika värdesystem är bara olika sätt att komma åt det där objektiva bra.
STROGATZ: Det är väldigt intressant. Eftersom jag själv är en sorts person som är benägen att tänka platoniskt, är jag frestad att hålla med. Även om jag är lite förvånad över att höra dig säga det, för jag skulle ha trott att var du var på väg från början verkade vara, liksom, det finns så många olika synpunkter på detta. Det är dock ett intressant faktum, ett slags empiriskt faktum, att vi konvergerar om att komma överens om vad som är bra eller inte bra, även om vi, som du säger, kommer till det från så många olika värderingar.
TAO: Höger. Konvergensen kan ta tid. Du vet, så det finns definitivt fält, till exempel, där de ser mycket bättre ut mätt med ett mått än andra. Som att de kanske har många applikationer, men deras presentation är extremt äcklig, du vet.
(Strogatz skrattar)
Eller saker som är väldigt eleganta men som ännu inte har många bra tillämpningar i den verkliga världen. Men jag känner att det kommer att gå ihop till slut.
STROGATZ: Tja, låt mig fråga dig om denna kontaktpunkt med den verkliga världen. Det är en intressant spänning i matematik. Och, du vet, som små barn, låt oss säga, när vi först lär oss om geometri, kanske du tror att trianglar är verkliga, eller cirklar eller raka linjer är verkliga, och att de kan berätta för dig om de rektangulära former du ser i byggnader ute i världen, eller att lantmätare behöver använda geometri. Och trots allt kommer ordet från mätningen av jorden, rätt, "geometri." Och så, det fanns en tid då geometri var empirisk.
Men det jag ville fråga dig har att göra med en kommentar som John von Neumann gjord. Så von Neumann, för alla som inte känner till, var själv en stor matematiker. Och han gjorde denna kommentar i denna uppsats, "Matematikern”, om förhållandet mellan matematiken och den empiriska världen, den verkliga världen, där han säger ungefär att matematiska idéer har sitt ursprung i empirin, men att någon gång, när man väl får de matematiska idéerna, börjar ämnet ta sitt liv. egen. Och då är det mer som ett kreativt konstverk. Estetiska kriterier blir viktiga. Men han säger att det skapar fara. Att när ett ämne börjar bli för långt borta från sin empiriska källa, som speciellt i dess andra eller tredje generation, säger han att det finns en chans att ämnet kan drabbas av för mycket abstrakt inavel och att det riskerar att degenereras.
Några tankar om det? Jag menar, måste matematiken hålla kontakten med dess empiriska källa?
TAO: Ja, jag tror att det måste vara jordat. När jag säger att, empiriskt, alla dessa olika sätt att göra matematik konvergerar, är det bara för att - detta händer bara när ämnet är friskt. Så, du vet, de goda nyheterna är att det vanligtvis är det.
Men till exempel, matematiker värderar korta bevis framför långa, allt annat lika. Men man skulle kunna föreställa sig människor som går överbord och, liksom, ett underområde av matematiken är besatta av att göra bevis så korta som möjligt och ha dessa extremt ogenomskinliga tvåradsbevis av djupa satser. Och de gör det till en typ av den här tävlingen, och sedan blir det ett sådant här abstrut spel och då tappar du all intuition. Du tappar kanske djupare förståelse för att du bara är så besatt av att göra alla dina bevis så korta som möjligt. Nu händer det faktiskt inte i praktiken. Men det här är ett slags teoretiskt exempel, och jag tror att von Neumann gjorde en liknande poäng.
Och på sextio- och sjuttiotalet, liksom, fanns det en era av matematik där abstraktion gjorde enorma framsteg i att förenkla och förena mycket matematik som tidigare var väldigt empiriskt. Speciellt inom algebra insåg folk, du vet, tal och polynom och många andra objekt som tidigare behandlats separat, ni kan alla tänka på dem som medlemmar av samma algebraiska klass, i det här fallet en ring.
Och många framsteg inom matematiken gjordes genom att hitta rätt abstraktion, du vet, oavsett om det var ett topologiskt rum eller ett vektorrum, vad som helst, och bevisa satser i stor allmänhet. Och det är ibland vad vi kallar Bourbaki-eran i matematik. Och den vek lite för långt från att vara jordad.
Vi hade naturligtvis, liksom, hela New Math-avsnittet i USA, där pedagoger försökte lära ut matematik i Bourbaki-stil och insåg så småningom att det inte var den lämpliga pedagogiken på den nivån.
Men nu har pendeln svängt tillbaka en hel del. Vi har typ - ämnet har mognat ganska mycket och alla områden inom matematik, geometri, topologi, vad som helst, vi har typ av tillfredsställande formaliseringar och vi vet typ vad de rätta abstraktionerna är. Och nu fokuserar fältet återigen på sammankopplingar och applikationer. Det ansluter mycket mer till den verkliga världen nu.
Jag menar, inte bara typ av fysik, som är en traditionell koppling, utan, du vet, datavetenskap, biovetenskap, samhällsvetenskap, du vet. Med framväxten av big data kan i stort sett nästan alla mänskliga discipliner nu matematiseras i viss utsträckning.
STROGATZ: Jag är väldigt intresserad av ordet som du använde för en minut sedan om "sammankopplingar", eftersom det verkar vara en central punkt för oss att diskutera. Det är något du nämner i din uppsats att du, tillsammans med dessa, vad du kallar "lokala" kriterier om elegans, eller verkliga tillämpningar, eller vad som helst, nämner denna "globala" aspekt av bra matematik: att bra matematik ansluter till andra bra matematik.
Det är nästan nyckeln till vad som gör den bra, att den är integrerad med andra delar. Men det är intressant eftersom det nästan låter som cirkelresonemang: att bra matematik är den matematik som ansluter till annan bra matematik. Men det är en riktigt kraftfull idé, och jag undrar bara om du kan utöka den lite mer.
TAO: Ja, så, jag menar, vad matematik handlar om — en av de saker som matematik gör är att den skapar kopplingar som är väldigt grundläggande och grundläggande, men inte uppenbara om man bara tittar på det från ytnivån. Ett mycket tidigt exempel på detta är Descartes uppfinning av kartesiska koordinater som gjorde en grundläggande koppling mellan geometri - studiet av punkter och linjer och rumsliga objekt - och tal, algebra.
Så, till exempel, en cirkel du kan tänka dig som ett geometriskt objekt, men du kan också tänka på det som en ekvation: x2 + y2 = 1 är ekvationen för en cirkel. På den tiden var det en väldigt revolutionerande koppling. Du vet, de gamla grekerna såg talteori och geometri som nästan helt osammanhängande ämnen.
Men med Descartes fanns detta grundläggande samband. Och nu är det internaliserat; du vet, hur vi lär ut matematik. Det är inte längre förvånande att om du har ett geometriskt problem så attackerar du det med siffror. Eller om du har problem med siffror, kan du attackera det med geometri.
Det beror lite på att både geometri och siffror är aspekter av samma matematiska koncept. Vi har ett helt fält som kallas algebraisk geometri, vilket varken är algebra eller geometri, men det är ett enhetligt ämne som studerar objekt som du antingen kan tänka på som geometriska former, som linjer och cirklar och så vidare, eller som ekvationer.
Men egentligen är det en holistisk förening av de två som vi studerar. Och när ämnet har fördjupats, har vi insett att det på något sätt är mer grundläggande än antingen algebra eller geometri separat, på något sätt. Så dessa kopplingar hjälper oss att upptäcka en sorts riktig matematik som till en början, på något sätt, våra empiriska studier bara ger oss ett hörn av ämnet.
Det är den här berömda liknelsen om elefanten, jag glömmer var, att om du har... Det finns fyra blinda män, och de upptäcker en elefant. Och en av dem känner på elefantens ben och de tänker, "Åh, det här, det är väldigt grovt. Det måste vara som ett träd eller något.”
Och en av dem känner på stammen, och det är först långt senare som de ser att det finns ett enda elefantobjekt som förklarar alla deras separata hypoteser. Ja, så vi är alla blinda i början, du vet. Vi tittar bara på skuggorna i Platons grotta och inser först senare -
STROGATZ: Oj, du är väldigt filosofisk här. Detta är något. Jag kan inte motstå nu: Om du ska börja prata om elefanten och de blinda människorna, tyder det på att du tror att matematik finns där ute - att det är något som liknar elefanten och att vi är blinda... Eller, du vet, vi försöker se något som existerar oberoende av människor. Är det verkligen vad du tror?
TAO: När du gör bra matematik, typ, är det inte bara att skjuta runt symboler. Du känner att det finns något verkligt objekt som du försöker förstå, och alla våra ekvationer vi har är bara en slags approximationer av det, eller skuggor.
Du kan diskutera den filosofiska poängen med vad som faktiskt är verklighet och så vidare. Jag menar, det här är saker du faktiskt kan röra vid, och ju mer verkliga saker blir matematiskt, desto mindre fysiska verkar de ibland. Som du sa, geometri var från början, du vet, en mycket påtaglig sak med objekt i fysiskt utrymme som du kunde - du vet, du kan faktiskt bygga en cirkel och en kvadrat och så vidare.
Men i modern geometri, du vet, arbetar vi i högre dimensioner. Vi kan prata om diskreta geometrier, alla typer av galna topologier. Och, jag menar, ämnet förtjänar fortfarande att kallas geometri, även om det inte finns någon jord som mäts längre. Den antika grekiska etymologin är väldigt föråldrad men det är det, men det finns definitivt något där. Huruvida - hur verkligt du vill kalla det. Men jag antar att poängen är att i syfte att faktiskt göra matematik så hjälper det att tro att det är på riktigt.
STROGATZ: Ja, är inte det intressant? Det gör det. Det verkar som att det är något som går väldigt djupt in i matematikens historia. Jag slogs av en uppsats av Arkimedes som skrev till sin vän, eller åtminstone kollega, Eratosthenes.
Vi pratar nu, typ 250 f.Kr. Och han gör anmärkningen, han har upptäckt ett sätt att hitta området för vad vi skulle kalla segmentet av en parabel. Han tar en parabel, han skär över den med ett linjesegment som är i en sned vinkel mot parabelns axel, och han räknar ut detta område. Han får ett väldigt vackert resultat. Men han säger något till Eratosthenes som: "Dessa resultat var inneboende i siffrorna hela tiden." Du vet, liksom, de är där. De är där. De väntar bara på att han ska hitta.
Det är inte som att han skapade dem. Det är inte som poesi. Jag menar, det är faktiskt intressant, eller hur? Att många stora artister — Michelangelo pratade om att släppa statyn från stenen, du vet, som om den fanns där till att börja med. Och det låter som du och många andra stora matematiker har - som du säger, det är väldigt användbart att tro på den här idén, att den finns där och väntar på oss och väntar på att de rätta hjärnorna ska upptäcka den.
TAO: Höger. Tja, jag tror att en manifestation av det är att idéer som ofta är väldigt komplicerade att förklara när de först upptäcks, de blir förenklade. Jag menar, du vet, ofta är anledningen till att något ser väldigt djupt eller svårt ut i början att du inte har rätt notation.
Till exempel har vi decimalnotation nu för att manipulera siffror, och det är väldigt bekvämt. Men tidigare hade vi typ romerska siffror och då fanns det ännu fler primitiva talsystem som bara var riktigt, riktigt svåra att arbeta med om man ville göra matematik.
Euklids Elements, du vet - några av argumenten i dessa gamla texter. Som, det finns en sats i Euklids Elements Jag tror det heter dårarnas bro eller något. Det är som påståendet att, jag tror att påståendet är som en likbent triangel, de två basvinklarna är lika. Som, det här är som ett tvåradigt bevis i moderna geometriska texter, du vet, med rätt axiom. Men Euklid hade det här fruktansvärda sättet att göra det på. Och det var där många studenter i geometri i den klassiska eran helt och hållet gav upp matematiken.
STROGATZ: Sann. (skrattar)
TAO: Men du vet, vi har nu ett mycket bättre sätt att göra det på. Så ofta är de komplikationer vi ser i matematik artefakter av våra egna begränsningar. Och så, när vi mognar, du vet, blir saker enklare. Och det känns mer verkligt på grund av det. Vi ser inte artefakterna. Vi ser essensen.
STROGATZ: Tja, så tillbaka till din uppsats: När du skrev den, vid den tiden — jag menar, det här var ganska tidigt i din karriär, inte i början, men ändå. Varför kände du då att det var viktigt att försöka definiera vad bra matematik var?
TAO: Jag tror... Så vid det laget började jag redan ge råd till doktorander, och jag märkte att, du vet, det fanns vissa missuppfattningar om, typ, vad som är bra och vad som inte är det. Och jag pratade också med matematiker inom olika områden, och vad ens område värderades i matematik verkade annorlunda än andras. Men ändå, på något sätt studerade vi alla samma ämne.
Och ibland sa någon något som liksom gnuggade mig på fel sätt, du vet, som "Den här matematiken har inga tillämpningar, därför har den inget värde." Eller "Detta bevis är bara för komplicerat; därför har det inget värde”, eller något. Eller omvänt, du vet, "Detta bevis är för enkelt; därför är det inte värt...” Du vet. Som att det var en del, typ av snobbism och så vidare, ibland stötte jag på.
Och enligt min erfarenhet kom den bästa matematiken när jag förstod en annan synvinkel, ett annat sätt att tänka om matematik än någon inom ett annat område och tillämpa det på ett problem som jag brydde mig om. Så min erfarenhet av hur man använder matematik på rätt sätt, hur man använder den, var så olik dessa - typ av "det enda sanna sättet att göra matematik."
Jag kände att den här poängen måste göras på något sätt. Att det verkligen finns ett pluralistiskt sätt att göra matematik på, men medan matematik fortfarande är förenat.
STROGATZ: Det är väldigt avslöjande, för jag hade undrat, du vet, typ, i min introduktion nämnde jag de många olika grenarna av matematik som du har utforskat, och jag inkluderade inte ens några. Som, jag kan minnas för bara några år sedan, ditt arbete om detta mysterium inom vätskedynamik, om huruvida vissa ekvationer som vi tror gör ett bra jobb med att approximera vatten och lufts rörelser. Jag vill inte gå in på detaljer för mycket, men bara för att säga, här är du, folk tänker på att du gör talteori eller harmonisk analys, och plötsligt arbetar du med flödesdynamikfrågor. Jag menar, jag inser att det är partiella differentialekvationer. Men ändå verkar din bredd av intresse vara relaterad till din bredd av att acceptera olika insikter, olika värdefulla idéer från alla olika sätt att göra bra matematik.
TAO: Jag glömmer vem som sa det, men det finns två typer av matematiker. Det finns igelkottar och rävar. En räv är någon som kan lite om allt. En igelkott är en varelse som kan en sak väldigt, väldigt väl. Och ingen är bättre än den andra. De kompletterar varandra. Jag menar, i matematik behöver du människor som är riktigt djupa domänexperter inom ett delområde, och de kan ett ämne ut och in. Och du behöver människor som kan se sambanden mellan ett område och ett annat. Så jag identifierar mig definitivt som en räv, men jag jobbar med många igelkottar. Det arbete jag är mest stolt över är ofta ett sådant samarbete.
STROGATZ: Åh, ja. Inser de att de är igelkottar?
TAO: Tja, okej, rollerna förändras med tiden. Det finns liksom andra samarbeten där jag är igelkotten och någon annan är räven. Dessa är liksom inte permanenta - du vet, de finns inte i ditt DNA.
STROGATZ: Ah, bra poäng. Vi kan adoptera — vi kan bära båda kappor.
Tja, vad sägs om, fanns det ett svar på uppsatsen vid den tiden? Sa folk något tillbaka till dig?
TAO: Jag fick en ganska positiv respons i allmänhet. Jag menar Bulletin för AMS Det är inte en publikation med stor spridning, tror jag. Och dessutom sa jag egentligen inte något särskilt kontroversiellt. Dessutom, den här typen av tidigare sociala medier, så jag tror att det kanske finns några mattebloggar som tog upp det, men det fanns ingen Twitter. Det fanns inget som fick det att bli viralt.
Ja, jag tror också att matematiker i allmänhet inte spenderar mycket av sin tid och intellektuella kapital på spekulationer. Jag menar, det finns en annan matematiker som heter Minhyong Kim som hade den här mycket trevliga metaforen att för matematiker är trovärdighet som valuta, som pengar. Om du bevisar teorem och du visar att du kan ämnet, samlar du på något sätt denna trovärdighetsvaluta i banken. Och när du väl har tillräckligt med valuta har du råd att spekulera lite genom att vara lite filosofisk och säga vad som kan vara sant snarare än vad du faktiskt kan bevisa.
Men vi tenderar att vara konservativa, och vi vill inte ha en övertrassering på vårt bankkonto. Du vet, du vill inte att det mesta av ditt skrivande ska vara spekulativt och bara som en procent för att faktiskt bevisa något.
STROGATZ: Rimligt nog. Så okej. Så det har gått många år sedan dess. Vad pratar vi om? Det är mer än 15 år.
TAO: Åh ja, tiden går fort.
STROGATZ: Har din åsikt ändrats? Är det något vi behöver revidera?
TAO: Tja, mattekulturen förändras ganska mycket. Jag hade redan en bred syn på matematik, och nu har jag en ännu bredare.
Så, ett mycket konkret exempel är: Datorstödda bevis var fortfarande kontroversiella 2007. Det fanns en berömd gissning som heter Kepler-förmodan, som handlar om det mest effektiva sättet att packa enhetsbollar i tredimensionellt utrymme. Och det finns en standardpackning, jag tror att den heter kubisk central packning eller något, som Kepler gissade vara den bästa möjliga.
Detta löstes till slut, men Beviset var mycket datorstödt. Det var ganska komplicerat, och [Thomas] Halesså småningom skapade faktiskt ett helt datorspråk för att formellt verifiera just detta bevis, men det accepterades inte som ett riktigt bevis på många år. Men det illustrerade hur kontroversiellt konceptet med ett bevis på att du behövde datorhjälp för att verifiera var.
Under åren sedan har det funnits många, många andra exempel på bevis där en människa kan reducera ett komplicerat problem till något som fortfarande kräver en dator för att verifiera. Och sedan går datorn vidare och verifierar det. Vi har utvecklat metoder för hur man gör detta på ett ansvarsfullt sätt. Du vet, hur man publicerar kod och data och sätt att kontrollera och nya saker med öppen källkod och så vidare. Och nu finns det en utbredd acceptans av datorstödda bevis.
Nu tror jag att nästa kulturskifte blir om AI-genererade bevis kommer att accepteras. Just nu är AI-verktyg inte på den nivån där de kan generera bevis för att verkligen föra fram matematiska problem. Kanske läxor på grundnivå, de kan typ hantera, men forska i matematik, de är inte på den nivån än. Men någon gång kommer vi att börja se AI-stödda papper komma ut och det kommer att bli en debatt.
Vår kultur har förändrats på vissa sätt... Redan 2007 var det bara en bråkdel av matematikerna som gjorde sina förtryck tillgängliga innan de publicerades. Författare bevakade svartsjukt sina förtryck tills de fick beskedet om acceptans från tidskriften. Och då kanske de delar.
Men nu lägger alla sina papper på offentliga servrar som arXiv. Det finns mycket mer öppenhet för att lägga in videor och blogginlägg om var idéerna i en tidning kommer ifrån. För att människor inser att det är det som gör arbetet mer inflytelserik och mer effektfullt. Om du försöker att inte publicera ditt arbete och vara mycket hemlighetsfull om det, gör det inget plask.
Matte har blivit mycket mer samarbetsvillig. Du vet, för 50 år sedan skulle jag säga att majoriteten av artiklarna i matematik var ensamförfattare. Nu är definitivt majoriteten två eller tre eller fyra författare. Och vi har precis börjat se riktigt stora projekt som vi gör inom vetenskapen, du vet, som tiotals, hundratals människor samarbetar. Det är fortfarande svårt för matematiker att göra, men jag tror att vi kommer att nå dit.
Samtidigt blir vi mycket mer tvärvetenskapliga. Vi arbetar mycket mer med andra vetenskaper. Vi arbetar mellan matematikområdena. Och på grund av internet kan vi samarbeta med människor över hela världen. Så sättet vi gör matematik på håller definitivt på att förändras.
Jag hoppas att vi i framtiden kommer att kunna använda amatörmattegemenskapen mer. Det finns andra områden som astronomi, där astronomer drar nytta av amatörastronomigemenskapen, som, du vet, många kometer, till exempel, hittas av amatörer.
Men matematiker... Det finns några isolerade områden inom matematiken, som till exempel, sida vid sida, tvådimensionell sida vid sida, och kanske att hitta poster i primtal. Det finns några mycket utvalda områden inom matematik där amatörer bidrar, och de är välkomna. Men det finns många hinder. Inom de flesta områden inom matematiken behöver du så mycket träning och internaliserad eller konventionell visdom att vi inte kan tränga in saker. Men detta kan komma att ändras i framtiden. Kanske skulle en effekt av AI vara att tillåta amatörmatematiker att bidra meningsfullt till matematiken.
STROGATZ: Det är väldigt intressant.
[Paus för infogning av annons]
STROGATZ: Så amatörerna kan, med hjälp av AI:er, antingen ställa nya frågor som är bra eller hjälpa till med bra utforskningar av befintliga frågor, sånt?
TAO: Det finns många olika metoder — ja. Så, till exempel, finns det nu projekt för att formalisera bevis på stora satser i dessa saker som kallas formella korrekturassistenter, som är som datorspråk som till 100 % kan verifiera att ett teorem är sant eller inte och — är bevisat eller inte. Detta möjliggör faktiskt storskaligt samarbete inom matematik.
Så tidigare, om du samarbetar med 10 andra personer för att bevisa ett teorem, och var och en bidrar med ett steg, måste alla verifiera alla andras matematik. För grejen med matematik är att om ett steg har ett fel i sig kan det hela falla isär.
Så du behöver förtroende, och så — därför förhindrar detta, detta hämmar verkligen riktigt storskaliga samarbeten inom matematik. Men det finns nu, det har funnits framgångsrika exempel på att riktigt stora satser har formaliserats där det finns en enorm gemenskap, de känner inte alla varandra, de litar inte på varandra, men de kommunicerar genom uppladdning till något Github-förråd eller något, som individuella bevis på enskilda steg i argumentationen. Och den formella proof-mjukvaran verifierar allt, så du behöver inte oroa dig för förtroende. Så vi möjliggör nya samarbetssätt, som vi inte har sett tidigare.
STROGATZ: Det är verkligen intressant att höra din vision, Terry. Det är en fascinerande tanke. Du hör inte frasen "medborgare matematiker." Du hör talas om medborgarvetenskap, men varför inte medborgarmatte?
Men jag undrar bara, finns det några trender som du är orolig för, till exempel med datorstödda korrektur eller AI-genererade korrektur? Kommer vi att veta att vissa resultat är sanna, men vi kommer inte att förstå varför?
TAO: Så det är ett problem. Jag menar, det är redan ett problem redan före tillkomsten av AI. Så det finns många fält där uppsatserna i ett ämne blir längre och längre, hundratals sidor. Och jag är hoppfull att AI faktiskt omvänt kan hjälpa till att förenkla och det kan förklara såväl som bevisa.
Så det finns redan experimentell programvara där, till exempel, om du tar ett bevis som har formaliserats, kan du faktiskt konvertera det till ett interaktivt läsbart dokument, där du har beviset och du ser stegen på hög nivå och om det finns en mening du förstår inte att du kan dubbelklicka på den, så expanderar den till mindre steg. Snart tror jag att du också kan få en AI-chatbot som sitter bredvid dig medan du går igenom beviset, och de kan ta frågor och de kan förklara varje steg som om de vore författaren. Jag tror att vi redan är väldigt nära det.
Det finns bekymmer. Vi måste ändra hur vi utbildar våra elever, särskilt nu när många av våra traditionella sätt att tilldela läxor och så vidare, vi är nästan vid den punkt där dessa AI-verktyg bara omedelbart kan svara på många av våra vanliga tentafrågor. Och så måste vi lära våra elever nya färdigheter, som hur man verifierar om en AI-genererad utdata är korrekt eller inte och hur man får en andra åsikt.
Och vi kan se tillkomsten av en mer experimentell sida av matematik, du vet. Så, matematik är nästan helt teoretisk, medan de flesta vetenskaper har både en teoretisk och experimentell komponent. Vi kan så småningom få resultat som först bara bevisas av datorer och, som du säger, vi förstår inte. Men när vi väl har den data som AI, de datorgenererade bevisen ger, kanske vi kan köra experiment.
Det finns lite experimentell matematik nu. Människor studerar till exempel stora datamängder av olika saker, t.ex. elliptiska kurvor. Men det kan bli mycket större i framtiden.
STROGATZ: Jösses, du har en väldigt optimistisk syn, låter det som för mig. Det är inte som guldåldern är i det förflutna. Om jag hör dig rätt, tror du att det finns mycket spännande saker framför dig.
TAO: Ja, många av de nya tekniska verktygen är mycket stärkande. Jag menar, AI i allmänhet har många komplexa upp- och nackdelar. Och utanför vetenskaperna finns det många möjliga störningar i ekonomin, immateriella rättigheter och så vidare. Men inom matematiken tror jag att förhållandet bra till dåligt är bättre än på många andra områden.
Och du vet, internet har verkligen förändrat sättet vi gör matematik på. Jag samarbetar med många människor inom många olika områden. Jag skulle inte kunna göra detta utan internet. Det faktum att jag kan gå in på Wikipedia eller vad som helst och börja lära mig ett ämne, och jag kan maila någon, och vi kan samarbeta online. Om jag var tvungen att göra saker för gammalt där jag bara kunde prata med folk på min avdelning och använda fysisk post för allt annat, skulle jag inte kunna göra den matte som jag gör nu.
STROGATZ: Wow, okej. Jag måste bara understryka det du just sa, för jag trodde aldrig på en miljon år att jag skulle höra det här: Terry Tao läser Wikipedia för att lära mig matematik?
TAO: Som utgångspunkt. Jag menar, det är inte alltid Wikipedia, utan bara för att få nyckelorden, och sedan kommer jag att göra en mer specialiserad sökning på, säg, MathSciNet eller någon annan databas. Men ja.
STROGATZ: Det är ingen kritik. Jag menar, jag gör samma sak. Wikipedia är faktiskt, om det finns någon kritik mot matematiken på Wikipedia, kanske det är att det ibland är lite för avancerat för läsarna som det är avsett för, tror jag. Inte alltid. Jag menar, det beror på. Det varierar mycket från artikel till artikel. Men det är bara roligt. Jag älskar att höra det.
TAO: Jag menar, dessa verktyg, du måste kunna kontrollera resultatet. Du vet, så, jag menar, anledningen till att jag kan använda Wikipedia för att göra matematik är för att jag redan kan tillräckligt med matematik för att jag kan känna lukten om en del av Wikipedia i matematik är misstänkt eller inte. Du vet, det kan få några källor och en av dem kommer att vara en bättre källa än den andra. Och jag känner författarna, och jag har en idé om vilken referens som kommer att vara bättre för mig. Om jag använde Wikipedia för att lära mig om ett ämne som jag inte hade någon erfarenhet av, så tror jag att det skulle vara mer av en slumpmässig variabel.
STROGATZ: Tja, så vi har pratat ganska mycket om vad det är som gör bra matematik, den möjliga framtiden för nya typer av bra matematik. Men vi kanske borde ta upp frågan: Varför spelar detta ens roll? Varför är det viktigt att matte är bra?
TAO: Tja, så, först och främst menar jag, varför har vi matematiker överhuvudtaget? Varför värdesätter samhället matematiker och ger oss resurser att göra det vi gör? Du vet, det är för att vi ger något värde. Vi kan ha applikationer till den verkliga världen. Det finns ett intellektuellt intresse, och några av de teorier vi utvecklar ger så småningom insikt i andra fenomen.
Och all matematik är inte lika värdefull. Jag menar, du skulle kunna beräkna fler och fler siffror av pi, men någon gång lär du dig ingenting. Varje ämne behöver någon form av värdebedömning eftersom du måste allokera resurser. Det finns så mycket matematik där ute. Vilka framsteg vill du lyfta fram och publicera och låta andra människor veta om, och vilka kanske bara borde sitta tyst i en journal någonstans?
Även om du tror att ett ämne är helt objektivt och, du vet, det bara finns sant eller falskt, måste vi fortfarande göra val. Du vet, bara för att tid är en begränsad resurs. Uppmärksamhet är en begränsad resurs. Pengar är en begränsad resurs. Så det här är alltid viktiga frågor.
STROGATZ: Tja, intressant att du nämner om publicering, eftersom det är något som jag tycker är utmärkande för ditt arbete, att du också har ansträngt dig för att göra matematik tillgängligt för allmänheten genom din blogg, genom olika artiklar du har skrivit. Jag minns att jag diskuterade en som du skrev i Amerikansk forskare om universalitet och den idén. Varför är det viktigt att göra matematik allmänt tillgänglig och begriplig? Jag menar, vad är det du försöker göra?
TAO: Det hände liksom organiskt. Tidigt i min karriär var World Wide Web fortfarande väldigt nytt, och matematiker började ha webbsidor med olika innehåll, men det fanns inte så mycket av en central katalog. Innan Google och så vidare var det faktiskt svårt att hitta individuella resurser.
Så, jag började typ göra små kataloger på min webbsida. Och jag skulle också göra webbsidor för mina egna tidningar, och jag skulle göra några kommentarer. Till en början var det mer för min egen skull, bara som ett organisatoriskt verktyg, bara för att hjälpa mig hitta saker. Som en biprodukt var den tillgänglig för allmänheten, men jag var typ den primära konsumenten, eller åtminstone så trodde jag, av mina egna webbsidor.
Men jag minns mycket tydligt, det var en gång när jag skrev ett papper och jag lade det på min webbsida, och jag hade en liten undersida som hette "Vad är nytt?" Och jag sa bara: "Här är ett papper. Det finns en fråga i den som jag fortfarande inte kunde svara på, och jag vet inte hur jag ska lösa den.” Och jag gjorde precis den här kommentaren. Och två dagar senare fick jag ett e-postmeddelande där det stod: "Åh, jag kollade precis på din hemsida. Jag vet svaret på detta. Det finns ett papper som kommer att lösa ditt problem.”
Och det fick mig att först och främst inse att folk faktiskt besökte min webbsida, vilket jag inte riktigt visste. Men den interaktionen med samhället kan verkligen - ja, det kan hjälpa mig att direkt lösa mina frågor.
Det heter den här lagen Metcalfes lag i nätverk det, du vet, om du har n människor, och de pratar alla med varandra, det handlar om n2 kopplingar mellan dem. Och så, ju större publik och ju större forum där alla kan prata med alla andra, desto fler potentiella kontakter kan du skapa och desto fler bra saker kan hända.
Jag menar, i min karriär beror så mycket av de upptäckter jag har gjort, eller de kopplingar jag har gjort, på grund av en oväntad koppling. Hela min karriärerfarenhet har varit att fler kontakter är lika med bara bättre saker som händer.
STROGATZ: Jag tycker att ett vackert exempel på det du bara hänvisar till, men jag skulle älska att höra dig prata om det, är de kontakter du skapade med personer inom datavetenskap som är intresserade av frågor som har med medicinsk resonanstomografi att göra , MRI. Kan du berätta lite om den historien?
TAO: Så, det här var ungefär 2006, 2005, tror jag. Så, det fanns ett tvärvetenskapligt program här på campus vid UCLA om, tror jag, multiscale geometrisk analys, eller något liknande, där de sammanförde rena matematiker som var intresserade av typ av multiscale typgeometri i sin egen rätt, och sedan, du vet, människor som hade mycket konkreta datatypproblem.
Och jag hade precis börjat arbeta med några problem i slumpmatristeorin, så jag var typ känd som någon som kunde manipulera matriser. Och jag träffade någon som jag redan kände, Emmanuel Candès, för på den tiden jobbade han alldeles intill i Caltech. Och han och en annan medarbetare, Justin Romberg, hade de upptäckt detta ovanliga fenomen.
Så de tittade på MRI-bilder, men de är väldigt långsamma. För att samla in tillräckligt med riktigt högupplösta bilder av en människokropp, eller tillräckligt för att kanske fånga en tumör, eller vilken medicinskt viktig egenskap man nu vill hitta, tar det ofta flera minuter eftersom de måste skanna alla dessa olika vinklar och sedan syntetisera data . Och det här var faktiskt ett problem, eftersom små barn, till exempel, att bara sitta stilla i tre minuter i MRI-maskinen var ganska problematiskt.
Så de experimenterade på ett annat sätt, med någon linjär algebra. De hoppades på att få en 10%, 20% bättre prestandaförbättring. Du vet, en lite skarpare bild genom att justera standardalgoritmen lite.
Så standardalgoritmen kallades minsta kvadratapproximation, och de gjorde något annat, kallat total variationsminimering. Men sedan när de körde datormjukvaran fick de en nästan perfekt rekonstruktion av sin testbild. Massiv, massiv förbättring. Och de kunde inte förklara detta.
Men Emmanuel var på det här programmet, och vi pratade på te eller något. Och han nämnde just detta och faktiskt, min första tanke var att du måste ha gjort ett misstag i din beräkning, att det du säger faktiskt inte är möjligt. Och jag minns att jag gick tillbaka hem den natten och försökte skriva ner ett verkligt bevis på att det de såg faktiskt inte kunde hända. Och sedan halvvägs insåg jag att jag hade gjort ett antagande som inte var sant. Och då insåg jag att det faktiskt kunde fungera. Och så kom jag på vad som kan vara förklaringen. Och sedan arbetade vi tillsammans, och vi hittade faktiskt en bra förklaring och vi publicerade den.
Och när vi väl gjorde det insåg folk att det fanns många andra situationer där du var tvungen att göra en mätning som normalt krävde massor av data, och i vissa fall kan du ta en mycket mindre mängd data och ändå få en riktigt hög upplösningsmätning.
Så nu, moderna MRI-maskiner, till exempel - en skanning som brukade ta tre minuter kan nu ta 30 sekunder eftersom den här programvaran, denna algoritm är fast, hårdkodad i maskinerna nu.
STROGATZ: Det är en vacker historia, det är en så bra historia. Jag menar, prata om viktig matematik som förändrar liv, bokstavligen, i det här sammanhanget med medicinsk bildbehandling. Jag älskar serendipiteten i det och din öppenhet, du vet, att höra den här idén och sedan tänka, ja, "det här är omöjligt, jag kan bevisa det." Och sedan inse, nej, faktiskt. Fantastiskt att se matematik göra så stor inverkan.
Okej, jag tror det är bäst att jag låter dig gå, Terry. Det har varit ett sant nöje att diskutera kärnan i bra matematik med dig. Tack så mycket för att du var med oss idag.
TAO: Ja, nej, det har varit ett nöje.
[Paus för infogning av annons]
STROGATZ: "The Joy of Why" är en podcast från Quanta Magazine, en redaktionellt oberoende publikation som stöds av Simons Foundation. Finansieringsbeslut av Simons Foundation har inget inflytande på valet av ämnen, gäster eller andra redaktionella beslut i denna podcast eller i Quanta Magazine.
"The Joy of Why" är producerad av PRX Productions. Produktionsteamet är Caitlin Faulds, Livia Brock, Genevieve Sponsler och Merritt Jacob. Exekutiv producent för PRX Productions är Jocelyn Gonzales. Morgan Church och Edwin Ochoa gav ytterligare hjälp. Från Quanta Magazine, gav John Rennie och Thomas Lin redaktionell vägledning, med stöd från Matt Carlstrom, Samuel Velasco, Nona Griffin, Arleen Santana och Madison Goldberg.
Vårt temamusik kommer från APM Music. Julian Lin kom på podcastnamnet. Avsnittskonsten är av Peter Greenwood och vår logotyp är av Jaki King och Kristina Armitage. Speciellt tack till Columbia Journalism School och Burt Odom-Reed vid Cornell Broadcast Studios.
Jag är din värd, Steve Strogatz. Om du har några frågor eller kommentarer till oss, vänligen maila oss på . Tack för att du lyssna.
- SEO-drivet innehåll och PR-distribution. Bli förstärkt idag.
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai. Styrka dig själv. Tillgång här.
- PlatoAiStream. Web3 Intelligence. Kunskap förstärkt. Tillgång här.
- Platoesg. Kol, CleanTech, Energi, Miljö, Sol, Avfallshantering. Tillgång här.
- PlatoHealth. Biotech och kliniska prövningar Intelligence. Tillgång här.
- Källa: https://www.quantamagazine.org/what-makes-for-good-mathematics-20240201/
- : har
- :är
- :inte
- :var
- ][s
- $UPP
- 1
- 10
- 15 år
- 15%
- 2005
- 2006
- 250
- 30
- 300
- 50
- 50 Years
- a
- Able
- Om oss
- om det
- SAMMANDRAG
- abstraktion
- AC
- godkännande
- accepterade
- acceptera
- tillgänglig
- åtkomst
- Konto
- tvärs
- faktiska
- faktiskt
- Ad
- Annat
- adress
- anta
- avancera
- avancerat
- framsteg
- första advent
- råda
- estetisk
- Efter
- igen
- ålder
- sedan
- enas
- framåt
- AI
- AI chatbot
- LUFT
- ais
- algoritm
- levande
- Alla
- fördela
- tillåter
- nästan
- längs
- redan
- också
- Även
- alltid
- amatör-
- amerikan
- bland
- mängd
- an
- analys
- Ancient
- och
- Annan
- svara
- vilken som helst
- längre
- någon
- något
- isär
- app
- Apple
- tillämpningar
- Tillämpa
- närmar sig
- lämpligt
- ÄR
- OMRÅDE
- områden
- Argumentet
- argument
- runt
- Konst
- Artikeln
- artiklar
- Artister
- AS
- be
- aspekt
- aspekter
- Bistånd
- Antagandet
- astronomi
- At
- attackera
- uppmärksamhet
- publik
- Författaren
- författat
- myndighet
- Författarna
- tillgänglig
- Utmärkelser
- Axis
- tillbaka
- Badrum
- Bank
- bankkonto
- barriärer
- bas
- grundläggande
- BE
- vackert
- Skönhet
- därför att
- blir
- blir
- passande
- varit
- innan
- börja
- Börjar
- Där vi får lov att vara utan att konstant prestera,
- varelser
- tro
- fördel
- BÄST
- Bättre
- mellan
- Stor
- Stora data
- större
- störst
- Bit
- Blogg
- Blogginlägg
- bloggar
- kropp
- båda
- grenar
- bredd
- Ha sönder
- genombrott
- BRO
- Föra
- bred
- sända
- bredare
- brock
- SLUTRESULTAT
- byggnader
- men
- by
- beräkning
- Ring
- kallas
- kom
- Campus
- KAN
- kapital
- Karriär
- Vid
- fall
- brottning
- Orsakerna
- grotta
- centrala
- central myndighet
- Århundrade
- vissa
- säkerligen
- utmanande
- chans
- byta
- ändrats
- byte
- chatbot
- chattar
- ta
- kontroll
- val
- kyrka
- Circle
- cirklar
- cirkulär
- medborgare
- klass
- Stäng
- Co-Host
- koda
- samarbeta
- samverkan
- samarbeten
- kollega
- samla
- COLUMBIA
- komma
- kommer
- Comets
- kommande
- kommentar
- kommentar
- kommentarer
- råvara
- kommunicera
- samfundet
- Komplement
- fullständigt
- komplex
- komplicerad
- komponent
- Compute
- dator
- Datavetenskap
- datorgenererad
- datorer
- begrepp
- oro
- betong
- gissa
- Anslutning
- anslutning
- Anslutningar
- ansluter
- konservativ
- Konsumenten
- kontakta
- innehåll
- sammanhang
- bidra
- bidrar
- kontroversiell
- Bekväm
- konventionell
- konvergerar
- Konvergens
- omvänt
- konvertera
- cornell
- Corner
- korrekt
- kunde
- Rådet
- Kurs
- skapas
- Kreativ
- varelse
- Trovärdighet
- kriterier
- kritik
- folkmassa
- kultur
- kultur
- Valuta
- nedskärningar
- FARA
- datum
- datavetenskap
- datauppsättningar
- Databas
- Dagar
- diskussion
- beslut
- djup
- djupare
- definiera
- definitivt
- demonstrera
- Avdelning
- beror
- beskriva
- förtjänar
- detaljer
- bestämd
- utveckla
- utvecklade
- DID
- olika
- svårt
- siffror
- dimensioner
- direkt
- kataloger
- disciplin
- Upptäck
- upptäckt
- diskutera
- diskutera
- Störningar
- utmärkande
- tydligt
- DNA-
- do
- dokumentera
- gör
- inte
- gör
- domän
- inte
- Dörr
- ner
- nackdelar
- Dynamiken
- varje
- Tidig
- jord
- ekonomi
- redaktör
- Ledare
- utbilda
- lärare
- Edwin
- effektivitet
- effektiv
- ansträngning
- Einstein
- antingen
- elefant
- Elliptiska
- annars
- Annars
- ge
- möjliggör
- möjliggör
- råka ut för
- änden
- tillräckligt
- Hela
- helt
- episod
- lika
- lika
- ekvationer
- Era
- fel
- speciellt
- UPPSATS
- huvudsak
- Även
- så småningom
- Varje
- alla
- alla
- allt
- exakt
- examen
- exempel
- exempel
- exciterade
- spännande
- verkställande
- Exekutiv producent
- Motionera
- befintliga
- finns
- Bygga ut
- erfarenhet
- experimentell
- experimentera
- experiment
- experter
- Förklara
- förklara
- förklaring
- utforskas
- Utforska
- utsträckning
- extremt
- Faktum
- verkligt
- ganska
- Höst
- falsk
- bekant
- kända
- fantastisk
- långt
- fascinerande
- Favoriten
- Leverans
- känna
- känns
- Kompis
- filt
- få
- fält
- Fält
- figured
- siffror
- Slutligen
- hitta
- finna
- Förnamn
- vätska
- Vätskedynamik
- Fokus
- fokusering
- För
- formell
- Formellt
- vidare
- Forum
- hittade
- fundament
- fyra
- fox
- fraktion
- vän
- från
- grundläggande
- finansiering
- rolig
- framtida
- lek
- gav
- Allmänt
- generera
- generering
- generös
- skaffa sig
- blir
- få
- GitHub
- Ge
- Go
- Går
- kommer
- Golden
- god
- bra jobb
- fick
- uppgradera
- stor
- grekisk
- Greenwood
- Griffin
- grundad
- Guard
- antar
- gäster
- vägleda
- hade
- halvvägs
- sidan
- hända
- hänt
- Happening
- händer
- Hård
- Har
- har
- he
- friska
- höra
- hörsel
- igelkott
- hjälpa
- hjälpa
- hjälper
- här.
- Hög
- högnivå
- hög upplösning
- högre
- Markera
- honom
- han själv
- hans
- historia
- helhetssyn
- Hem
- hemsida
- hedrad
- hoppas
- hoppingivande
- hoppas
- värd
- HET
- Hur ser din drömresa ut
- How To
- HTTPS
- stor
- Enormt
- humant
- läsbar
- Hundratals
- i
- Tanken
- ideal
- idéer
- identifiera
- if
- bild
- bilder
- bild
- Imaging
- Inverkan
- effektfull
- med Esport
- omöjligt
- förbättring
- in
- lutande
- innefattar
- Inklusive
- oberoende
- individuellt
- påverka
- Inflytelserik
- inneboende
- initialt
- insikt
- insikter
- Omedelbart
- integrerade
- intellektuella
- immateriella rättigheter
- avsedd
- interaktion
- interaktiva
- intresse
- intresserad
- intressant
- Internet
- in
- Beskrivning
- intuition
- uppfinning
- iPhone
- isolerat
- IT
- DESS
- Jacob
- Jobb
- John
- sammanfogning
- gå med oss
- Fogar
- tidskriften
- journalistik
- glädje
- bara
- hålls
- Nyckel
- nyckelord
- barn
- Snäll
- slag
- King
- Vet
- känd
- vet
- land
- språk
- Språk
- Large
- storskalig
- större
- senare
- Lag
- LÄRA SIG
- inlärning
- t minst
- mindre
- Låt
- Nivå
- livet
- Life Sciences
- tycka om
- begränsningar
- Begränsad
- Lin
- linje
- linjär
- rader
- Lyssna
- liten
- Bor
- logisk
- logotyp
- Lång
- längre
- se
- ser ut som
- du letar
- UTSEENDE
- förlorar
- Lot
- Föremål
- älskar
- Maskinen
- Maskiner
- gjord
- magasinet
- Majoritet
- göra
- GÖR
- Framställning
- hantera
- många
- marknad
- massiv
- matte
- matematisk
- matematiskt
- matematik
- Matris
- matt
- Materia
- mogen
- Maj..
- kanske
- me
- betyda
- mätning
- Media
- medicinsk
- Medlemmar
- Män
- nämna
- nämnts
- träffade
- metriska
- kanske
- miljon
- sinnen
- minimering
- minut
- minuter
- missuppfattningar
- misstag
- Modern Konst
- lägen
- pengar
- mer
- Morgan
- mest
- motioner
- MRT
- mycket
- Musik
- måste
- my
- Själv
- Mystery
- naiv
- namn
- Behöver
- behövs
- behov
- Varken
- aldrig
- Nya
- nyheter
- Nästa
- trevligt
- natt
- Nej
- normalt
- inget
- anmälan
- nu
- Nyans
- antal
- nummer
- objektet
- mål
- objekt
- Uppenbara
- ÅTTA
- oktober
- of
- Ofta
- oh
- Okej
- on
- gång
- ONE
- ettor
- nätet
- endast
- opak
- öppen källkod
- Öppenheten
- Yttrande
- Optimistiska
- or
- organiskt
- organisatoriska
- Övriga
- Övrigt
- vår
- ut
- föråldrad
- produktion
- utanför
- över
- egen
- Pack
- packad
- sidor
- Papper
- papper
- Parallell
- särskilt
- särskilt
- reservdelar till din klassiker
- Godkänd
- Tidigare
- Personer
- procent
- perfekt
- prestanda
- permanenta
- personen
- Peter
- Fenomenet
- fysisk
- Fysiska vetenskaper
- Fysiskt
- Fysik
- plockade
- bit
- plato
- Platon Data Intelligence
- Platons
- PlatonData
- snälla du
- nöje
- podcast
- Podcasting
- Poesi
- Punkt
- Synvinkel
- poäng
- pose
- positiv
- möjlig
- inlägg
- potentiell
- kraft
- den mäktigaste
- praktiken
- praxis
- exakt
- presentation
- pretty
- förhindrar
- tidigare
- primär
- Prime
- primitiva
- Priset
- Problem
- problematisk
- problem
- producerad
- producent
- Produktion
- produktioner
- Professor
- Program
- Framsteg
- projekt
- fruktsam
- bevis
- korrektur
- ordentligt
- egenskapen
- Äganderätter
- skyddad
- stolt
- Bevisa
- beprövade
- ge
- förutsatt
- tillhandahålla
- bevisa
- allmän
- Offentliggörande
- publicly
- publicera
- publicerade
- publicering
- ren
- rent
- Syftet
- bedriva
- Tryckande
- sätta
- Puts
- Quantamagazin
- fråga
- frågor
- tyst
- ganska
- slumpmässig
- snarare
- ratio
- läsare
- verklig
- verkliga världen
- Verkligheten
- inser
- insåg
- inse
- verkligen
- Anledningen
- lågkonjunktur
- register
- minska
- referens
- avses
- relaterad
- relation
- relativitet
- frisättande
- ihåg
- avlägsnas
- Repository
- Obligatorisk
- Kräver
- forskning
- löst
- resonans
- resurs
- Resurser
- respons
- ansvarsfullt
- resultera
- Resultat
- avslöjande
- revidera
- revolutionerande
- höger
- rättigheter
- Ringa
- Rise
- roller
- roman
- ungefär
- Körning
- Nämnda
- Samma
- säga
- säger
- säger
- scanna
- Skola
- Vetenskap
- VETENSKAPER
- Sök
- Andra
- sekunder
- hemlighetsfull
- se
- se
- verka
- verkade
- verkar
- sett
- segmentet
- välj
- Val
- självstyrd
- mening
- separat
- Servrar
- uppsättningar
- flera
- former
- Dela
- skifta
- Kort
- skall
- sida
- liknande
- Enkelt
- enklare
- förenklade
- förenkla
- förenkla
- eftersom
- enda
- sitta
- Sittande
- situationer
- färdigheter
- långsam
- mindre
- So
- Social hållbarhet
- sociala medier
- Samhället
- Mjukvara
- värvning
- LÖSA
- Lösa
- några
- på något sätt
- någon
- något
- ibland
- något
- någonstans
- snart
- eftersträvas
- ljud
- Källa
- Källor
- Utrymme
- rumsliga
- speciell
- specialiserad
- spekulation
- spekulativ
- spendera
- Spotify
- kvadrat
- kvadrater
- standard
- stanford
- starta
- igång
- Starta
- startar
- .
- Stater
- bo
- Steg
- Steg
- Steve
- Fortfarande
- lager
- aktiemarknaden
- STEN
- Historia
- rakt
- steg
- student
- Studenter
- studier
- Studios
- Läsa på
- Studerar
- ämne
- framgångsrik
- sådana
- Föreslår
- stödja
- Som stöds
- yta
- överraskad
- förvånande
- misstänksam
- syntetisera
- System
- Ta
- tar
- tar
- Diskussion
- tala
- Talks
- påtaglig
- uppgifter
- Te
- Undervisning
- grupp
- Teknisk
- Tekniken
- teknisk
- tala
- Tend
- tiotals
- testa
- än
- Tack
- den där
- Smakämnen
- Området
- Framtiden
- världen
- deras
- Dem
- tema
- sedan
- teoretiska
- Teorin
- Där.
- därför
- Dessa
- de
- sak
- saker
- tror
- Tänkande
- Tredje
- Tredje generationen
- detta
- fastän?
- trodde
- tre
- tredimensionella
- Genom
- tid
- till
- i dag
- tillsammans
- alltför
- verktyg
- verktyg
- ämnen
- Totalt
- Rör
- traditionell
- Utbildning
- transformerad
- behandlad
- träd
- Trender
- försökte
- sann
- Litar
- prova
- försöker
- Vrida
- vänder
- tweaking
- två
- Typ
- typer
- UCLA
- Understrykning
- förstå
- förståeligt
- förståelse
- förstått
- Oväntat
- enhetlig
- fackliga
- enhet
- United
- tills
- uppladdning
- på
- POSTEN
- us
- användning
- Begagnade
- användbara
- med hjälp av
- vanligen
- verktyg
- utnyttja
- Värdefulla
- värde
- värderas
- Värden
- variabel
- olika
- verifiera
- mycket
- VET
- Video
- utsikt
- virala
- syn
- av
- väntar
- vill
- ville
- var
- tittar
- Vatten
- Sätt..
- sätt
- we
- bära
- webb
- webp
- välkommen
- välkomnade
- VÄL
- były
- Vad
- Vad är
- oberoende
- när
- medan
- om
- som
- medan
- VEM
- Hela
- varför
- bred
- brett
- utbredd
- wikipedia
- kommer
- vinnare
- visdom
- med
- inom
- utan
- undrar
- ord
- Wordpress
- Arbete
- arbetade
- arbetssätt
- fungerar
- världen
- orolig
- oro
- skulle
- wow
- skriva
- skrivning
- skriven
- Fel
- skrev
- år
- ja
- ännu
- Om er
- Din
- zephyrnet