En gammal gissning faller, vilket gör sfärerna mycket mer komplicerade | Quanta Magazine

I början av juni skapades buzz när matematiker landade på Londons Heathrow-flygplats. Deras destination var University of Oxford och en konferens till ära av 65-årsdagen michael hopkins, en matematiker vid Harvard University som hade fungerat som mentor för många av deltagarna.

Hopkins gjorde sig ett namn i slutet av 1980-talet för sitt arbete med sju gissningar om att Doug Ravenel från University of Rochester hade formulerat ett decennium tidigare. De hade att göra med tekniker för att bestämma när två former, eller utrymmen, som kan se olika ut verkligen är likadana. Hopkins och hans medarbetare bevisade alla Ravenels gissningar utom en, ett problem med ett suggestivt men mystiskt namn som kallas teleskopförmodan.

Vid den tiden lade Hopkins sitt arbete på Ravenels gissningar till vila. I decennier efteråt verkade teleskopförmodan nästan omöjlig att lösa.

"Du kunde inte röra ett sådant teorem," sa Hopkins.

Men när matematiker landade i London, gick det rykten om att det hade gjorts - av en grupp på fyra matematiker med anknytning till Massachusetts Institute of Technology, av vilka tre hade fått råd av Hopkins i forskarskolan. Den yngsta av de fyra, en doktorand som heter Ishan Levy, var planerad att hålla ett föredrag på tisdagen, den andra dagen av konferensen, vilket verkade vara när ett bevis kunde tillkännages.

"Jag hade hört rykten om att det här skulle komma, och jag visste inte exakt vad jag skulle förvänta mig," sa Vesna Stojanoska, en matematiker vid University of Illinois, Urbana-Champaign som deltog i konferensen.

Det stod snart klart att ryktena var sanna. Med början på tisdagen och under de kommande tre dagarna, Levy och hans medförfattare — Robert Burklund, Jeremy Hahn och Tomer Schlank — förklarade för skaran på cirka 200 matematiker hur de hade bevisat att teleskopets gissning var falsk, vilket gjorde den till den enda av Ravenels ursprungliga gissningar som inte var sanna.

Motbevisningen av teleskopförmodan har vidsträckta implikationer, men en av de enklaste och mest djupgående är detta: Det betyder att i mycket höga dimensioner (tänk på en 100-dimensionell sfär), är universum av olika former mycket mer komplicerat än matematiker förväntade sig.

Kartläggning av kartorna

För att klassificera former, eller topologiska utrymmen, skiljer matematiker mellan skillnader som betyder något och de som inte gör det. Homotopi teori är ett perspektiv för att göra dessa distinktioner. Den anser att en boll och ett ägg i grunden är samma topologiska utrymme, eftersom du kan böja och sträcka den ena in i den andra utan att slita heller. På samma sätt anser homotopi teorin att en boll och ett innerslang är fundamentalt olika eftersom man måste riva ett hål i bollen för att deformera den till innerslangen.

Homotopi är användbart för att klassificera topologiska utrymmen - skapa ett diagram över alla möjliga former. Det är också viktigt för att förstå något annat matematiker bryr sig om: kartor mellan utrymmen. Om du har två topologiska utrymmen, är ett sätt att undersöka deras egenskaper att leta efter funktioner som omvandlar, eller kartlägger, punkter på den ena till punkter på den andra - mata in en punkt på utrymme A, få en punkt på utrymme B som din utdata, och gör det för alla punkter på A.

För att se hur dessa kartor fungerar och varför de belyser egenskaperna hos de inblandade utrymmena, börja med en cirkel. Mappa den nu till den tvådimensionella sfären, som är ytan på en boll. Det finns oändligt många sätt att göra detta på. Om du föreställer dig sfären som jordens yta, kan du till exempel placera din cirkel på vilken latitud som helst. Ur homotopiteorins perspektiv är de alla likvärdiga, eller homotopiska, eftersom de alla kan krympa ner till en punkt vid nord- eller sydpolen.

Kartlägg sedan cirkeln på den tvådimensionella ytan av ett inre rör (en enhålig torus). Återigen, det finns oändligt många sätt att göra detta på, och de flesta är homotopiska. Men inte alla. Du kan placera en cirkel horisontellt eller vertikalt runt torusen, och ingen av dem kan smidigt deformeras till den andra. Det här är två (av många) sätt att kartlägga en cirkel på torusen, medan det bara finns ett sätt att kartlägga den på en sfär, vilket återspeglar en grundläggande skillnad mellan de två utrymmena: torusen har ett hål medan sfären inte har något.

Det är lätt att räkna hur vi kan kartlägga från cirkeln till den tvådimensionella sfären eller torus. Det är välbekanta utrymmen som är lätta att visualisera. Men att räkna kartor är mycket svårare när högre dimensionella utrymmen är inblandade.

Dimensionsskillnader

Om två sfärer har samma dimension, finns det alltid oändligt många kartor mellan dem. Och om utrymmet du avbildar från är lägre dimensionellt än utrymmet du avbildar till (som i vårt exempel på den endimensionella cirkeln avbildad på en tvådimensionell sfär), finns det alltid bara en karta.

Dels av den anledningen är det mest intressant att räkna kartor när utrymmet du kartlägger från har en högre dimension än det utrymme du kartlägger till, som när du kartlägger en sjudimensionell sfär på en tredimensionell sfär. I sådana fall är antalet kartor alltid ändligt.

"Kartor mellan sfärer i allmänhet tenderar att vara mer intressanta när källan har en större dimension," sa Hahn.

Dessutom beror antalet kartor bara på skillnaden i antalet dimensioner (när dimensionerna blir tillräckligt stora jämfört med skillnaden). Det vill säga antalet kartor från en 73-dimensionell sfär till en 53-dimensionell sfär är detsamma som antalet kartor från en 225-dimensionell sfär till en 205-dimensionell sfär, eftersom skillnaden i dimension i båda fallen är 20.

Matematiker skulle vilja veta antalet kartor mellan utrymmen av någon skillnad i dimension. De har lyckats beräkna antalet kartor för nästan alla skillnader i dimension upp till 100: Det finns 24 kartor mellan sfärer när skillnaden är 20 och 3,144,960 23 XNUMX när den är XNUMX.

Men att beräkna antalet kartor för en skillnad större än 100 förbrukar modern datorkraft. Och samtidigt har matematiker inte upptäckt tillräckligt många mönster i antalet kartor för att extrapolera ytterligare. Deras mål är att fylla i en tabell som anger antalet kartor för eventuell skillnad i dimension, men det målet känns väldigt långt borta.

"Det här är inte en fråga jag förväntar mig en fullständig lösning på under mina barnbarns livstid", säger Ravenel, som är 76.

Teleskopets gissning gör en förutsägelse om hur antalet kartor växer när skillnaden i dimension ökar. I själva verket förutspår den att antalet växer långsamt. Om det hade varit sant hade det gjort problemet med att fylla i tabellen lite lättare.

Tvivlar till misstro

Teleskopgissningen fick sitt namn på ett osannolikt sätt.

Det utgick från det faktum att i mycket höga dimensioner går geometrisk intuition bildad i lägre dimensioner ofta sönder, och det är svårt att räkna kartor mellan sfärer. Men när han formulerade sin gissning förstod Ravenel att du inte måste. Istället för att räkna kartor mellan sfärer kan du göra en enklare proxyräkning av kartor mellan sfärer och objekt som kallas teleskop.

Teleskop involverar en serie kopior av en sluten högre dimensionell kurva, var och en en förminskad version av den som kom före den. Serien av kurvor liknar de sammankopplade rören i ett verkligt hopfällbart teleskop. "Lika bisarrt som det här teleskopet låter när du beskriver det, det är faktiskt ett lättare föremål att hantera än själva sfären," sa Ravenel.

Men fortfarande kan sfärer kartläggas på teleskop på många olika sätt, och utmaningen är att veta när dessa kartor är genuint distinkta.

För att avgöra om två utrymmen är homotopa krävs ett matematiskt test som kallas en invariant, vilket är en beräkning baserad på utrymmenas egenskaper. Om beräkningen ger ett annat värde för varje utrymme vet du att de är unika ur homotopins perspektiv.

Det finns många typer av invarianter, och vissa kan uppfatta skillnader som andra invarianter är blinda för. Teleskopets gissning förutspår att en invariant kallas Morava E-teorin (och dess symmetrier) kan perfekt skilja alla kartor mellan sfärer och teleskop upp till homotopi - det vill säga om Morava E-teorin säger att kartorna är distinkta, de är distinkta, och om det står att de är lika, är de samma.

Men 1989 hade Ravenel börjat tvivla på att det var sant. Hans skepsis framkom från beräkningar han utförde som inte verkade stämma överens med gissningarna. Men det var inte förrän i oktober samma år, när en massiv jordbävning drabbade Bay Area medan han var i Berkeley, som dessa tvivel kodades till fullvärdig misstro.

"Jag kom till denna slutsats inom en eller två dagar efter jordbävningen, så jag gillar att tro att något hände som fick mig att tro att det inte var sant," sa Ravenel.

Att motbevisa teleskopets gissning skulle kräva att man hittade en mer kraftfull invariant som kunde se saker Morava E-teorin kan inte. Under decennier verkade ingen sådan invariant vara tillgänglig, vilket placerade gissningarna utom räckhåll. Men de senaste årens framsteg ändrade det - och Burklund, Hahn, Levy och Schlank utnyttjade det.

Den exploderande exotiska

Deras bevis bygger på en uppsättning verktyg som kallas algebraisk K-teori, som etablerades på 1950-talet av Alexander Grothendieck och har utvecklats snabbt under det senaste decenniet. Den har tillämpningar inom matematik, inklusive i geometri, där den har förmågan att överladda en invariant.

De fyra författarna använder algebraisk K-teori som en gadget: De matar in Morava E-teori, och deras utdata är en ny invariant som de refererar till som algebraisk K-teori om Moravas fasta punkter E-teori. De tillämpar sedan denna nya invariant på kartor från sfärer till teleskop och bevisar att den kan se kartor som Morava E-teorin kan inte.

Och det är inte bara det att denna nya invariant ser några fler kartor. Den ser många fler, till och med oändligt många fler. Så många fler att det är rättvist att säga Morava E-teorin skrapade knappt på ytan när det gällde att identifiera kartor från sfärer till teleskop.

Oändligt fler kartor från sfärer till teleskop betyder oändligt mycket fler kartor mellan sfärerna själva. Antalet sådana kartor är begränsat för varje skillnad i dimension, men det nya beviset visar att antalet växer snabbt och obönhörligt.

Att det finns så många kartor pekar på en oroande geometrisk verklighet: Det finns så många sfärer.

1956 identifierade John Milnor de första exemplen på vad som kallas "exotiska" sfärer. Dessa är utrymmen som kan deformeras till den faktiska sfären ur homotopins perspektiv men skiljer sig från sfären i en viss exakt mening. Exotiska sfärer existerar inte alls i dimension ett, två eller tre, och ingen har upptäckt exempel på dem under dimension sju - dimensionen där Milnor först hittade dem. Men när dimensionen växer exploderar antalet exotiska sfärer. Det finns 16,256 15 i dimension 523,264 och 19 XNUMX i dimension XNUMX.

Och ändå, hur stora dessa siffror än är, betyder motbevisandet av teleskopets gissning att det finns många, många fler. Motbevisningen innebär att det finns fler kartor mellan sfärer än vad som förutsågs när Ravenel uttalade gissningen, och det enda sättet du får fler kartor är genom att ha en större variation av sfärer att kartlägga mellan.

Det finns olika typer av framsteg inom matematik och naturvetenskap. En sort skapar ordning i kaos. Men en annan förstärker kaoset genom att skingra hoppfulla antaganden som inte var sanna. Motbevisningen av teleskopförmodan är sådan. Det fördjupar geometrins komplexitet och ökar oddsen att många generationer barnbarn kommer och går innan någon helt förstår kartor mellan sfärer.

"Varje större framsteg i ämnet verkar berätta för oss att svaret är mycket mer komplicerat än vi trodde tidigare," sa Ravenel.