Beskrivning
I århundraden har matematiker försökt förstå och modellera vätskors rörelse. Ekvationerna som beskriver hur krusningar rynkar ytan på en damm har också hjälpt forskare att förutsäga vädret, designa bättre flygplan och karakterisera hur blod strömmar genom cirkulationssystemet. Dessa ekvationer är bedrägligt enkla när de är skrivna på rätt matematiska språk. Men deras lösningar är så komplexa att det kan vara oöverkomligt svårt att förstå även grundläggande frågor om dem.
Den kanske äldsta och mest framträdande av dessa ekvationer, formulerade av Leonhard Euler för mer än 250 år sedan, beskriver flödet av en idealisk, inkompressibel vätska: en vätska utan viskositet, eller inre friktion, som inte kan tvingas in i en mindre volym. "Nästan alla icke-linjära vätskeekvationer är typ härledda från Eulers ekvationer," sa Tarek Elgindi, en matematiker vid Duke University. "De är de första kan man säga."
Ändå är mycket okänt om Eulers ekvationer - inklusive om de alltid är en korrekt modell av idealt vätskeflöde. Ett av de centrala problemen inom vätskedynamik är att ta reda på om ekvationerna någonsin misslyckas, vilket ger meningslösa värden som gör dem oförmögna att förutsäga en vätskas framtida tillstånd.
Matematiker har länge misstänkt att det finns initiala förhållanden som gör att ekvationerna går sönder. Men de har inte kunnat bevisa det.
In en förtryck publicerat på nätet förra månaden, har ett par matematiker visat att en viss version av Eulers ekvationer verkligen misslyckas ibland. Beviset markerar ett stort genombrott - och även om det inte helt löser problemet för den mer allmänna versionen av ekvationerna, ger det hopp om att en sådan lösning äntligen är inom räckhåll. "Det är ett fantastiskt resultat," sa Tristan Buckmaster, en matematiker vid University of Maryland som inte var involverad i arbetet. "Det finns inga resultat av detta slag i litteraturen."
Det finns bara en hake.
Det 177 sidor långa beviset - resultatet av ett decenniumlångt forskningsprogram - använder datorer i stor utsträckning. Detta gör det utan tvekan svårt för andra matematiker att verifiera det. (De är faktiskt fortfarande i färd med att göra det, även om många experter tror att det nya arbetet kommer att visa sig vara korrekt.) Det tvingar dem också att räkna med filosofiska frågor om vad ett "bevis" är och vad det kommer att göra. menar om det enda gångbara sättet att lösa sådana viktiga frågor framöver är med hjälp av datorer.
Att se odjuret
I princip, om du känner till platsen och hastigheten för varje partikel i en vätska, borde Euler-ekvationerna kunna förutsäga hur vätskan kommer att utvecklas för all framtid. Men matematiker vill veta om det faktiskt är så. Kanske i vissa situationer kommer ekvationerna att fortsätta som förväntat, och producera exakta värden för vätskans tillstånd vid varje givet ögonblick, bara för att ett av dessa värden plötsligt ska skjuta i höjden till oändligheten. Vid den tidpunkten sägs Euler-ekvationerna ge upphov till en "singularitet" - eller, mer dramatiskt, att "spränga".
När de väl träffar den singulariteten kommer ekvationerna inte längre att kunna beräkna vätskans flöde. Men "från och med några år sedan föll det folk kunde göra väldigt, mycket långt ifrån [bevisa sprängning]", sa Charlie Fefferman, en matematiker vid Princeton University.
Det blir ännu mer komplicerat om du försöker modellera en vätska som har viskositet (som nästan alla verkliga vätskor gör). Ett miljoner dollar Millennium Prize från Clay Mathematics Institute väntar på alla som kan bevisa om liknande misslyckanden förekommer i Navier-Stokes ekvationer, en generalisering av Eulers ekvationer som står för viskositeten.
2013, Thomas Hou, en matematiker vid California Institute of Technology, och Guo Luo, nu vid Hang Seng University of Hong Kong, föreslog ett scenario där Eulers ekvationer skulle leda till en singularitet. De utvecklade en datorsimulering av en vätska i en cylinder vars övre halva virvlade medurs medan dess nedre halva virvlade moturs. När de körde simuleringen började mer komplicerade strömmar röra sig upp och ner. Det ledde i sin tur till konstigt beteende längs cylinderns gräns där motsatta flöden möttes. Vätskans virvel - ett mått på rotation - växte så snabbt att den verkade redo att blåsa upp.
Hou och Luos arbete var suggestivt, men inte ett sant bevis. Det beror på att det är omöjligt för en dator att beräkna oändliga värden. Det kan komma väldigt nära att se en singularitet, men det kan faktiskt inte nå det - vilket betyder att lösningen kan vara mycket exakt, men det är fortfarande en approximation. Utan stöd av ett matematiskt bevis kan värdet av virveln bara tyckas öka till oändligheten på grund av någon artefakt av simuleringen. Lösningarna kan istället växa till enorma antal innan de återigen avtar.
Sådana vändningar hade hänt tidigare: En simulering skulle indikera att ett värde i ekvationerna sprängdes, bara för att mer sofistikerade beräkningsmetoder skulle visa motsatsen. "Dessa problem är så känsliga att vägen är full av vrakdelar från tidigare simuleringar," sa Fefferman. Det var faktiskt så Hou fick sin start på detta område: Flera av hans tidigare resultat motbevisade bildandet av hypotetiska singulariteter.
Ändå, när han och Luo publicerade sin lösning, trodde de flesta matematiker att det mycket troligt var en sann singularitet. "Det var väldigt noggrant, väldigt exakt," sa Vladimir Sverak, en matematiker vid University of Minnesota. "De gick verkligen långt för att fastställa att detta är ett verkligt scenario." Efterföljande arbete av Elgindi, Sverak och andra bara stärkte den övertygelsen.
Men ett bevis var svårfångat. "Du har sett odjuret," sa Fefferman. "Då försöker du fånga det." Det innebar att visa att den ungefärliga lösning som Hou och Luo så noggrant simulerade är, i en specifik matematisk mening, mycket, mycket nära en exakt lösning av ekvationerna.
Nu, nio år efter den första iakttagelsen, Hou och hans tidigare doktorand Jiajie Chen har äntligen lyckats bevisa existensen av den närliggande singulariteten.
Flytten till självliknande land
Hou, senare sällskap av Chen, utnyttjade det faktum att den ungefärliga lösningen från 2013 vid en närmare analys verkade ha en speciell struktur. När ekvationerna utvecklades genom tiden, visade lösningen vad som kallas ett självliknande mönster: Dess form liknade senare mycket som sin tidigare form, bara omskalad på ett specifikt sätt.
Som ett resultat behövde matematikerna inte försöka titta på själva singulariteten. Istället kunde de studera det indirekt genom att fokusera på en tidigare tidpunkt. Genom att zooma in på den delen av lösningen i rätt takt – bestämt utifrån lösningens liknande struktur – kunde de modellera vad som skulle hända senare, inklusive med själva singulariteten.
Det tog några år för dem att hitta en självliknande analog till 2013 års explosionsscenario. (Tidigare i år använde ett annat team av matematiker, som inkluderade Buckmaster, olika metoder för att hitta en liknande ungefärlig lösning. De använder för närvarande den lösningen för att utveckla ett oberoende bevis på singularitetsbildning.)
Med en ungefärlig självliknande lösning i handen behövde Hou och Chen visa att en exakt lösning finns i närheten. Matematiskt motsvarar detta att bevisa att deras ungefärliga självliknande lösning är stabil – att även om du skulle störa den en aning och sedan utveckla ekvationerna med början på de störda värdena, skulle det inte finnas något sätt att undkomma en liten stadsdel runt ungefärlig lösning. "Det är som ett svart hål," sa Hou. "Om du börjar med en profil i närheten kommer du att sugas in."
Men att ha en allmän strategi var bara ett steg mot lösningen. "Kräsna detaljer spelar roll," sa Fefferman. När Hou och Chen tillbringade de kommande åren med att utarbeta dessa detaljer fann de att de var tvungna att lita på datorer igen - men den här gången på ett helt nytt sätt.
En hybrid metod
Bland deras första utmaningar var att lista ut det exakta påståendet de var tvungna att bevisa. De ville visa att om de tog någon uppsättning värden nära sin ungefärliga lösning och kopplade in den i ekvationerna, skulle utmatningen inte kunna avvika långt. Men vad innebär det att en ingång ligger "nära" den ungefärliga lösningen? De var tvungna att specificera detta i ett matematiskt uttalande — men det finns många sätt att definiera begreppet avstånd i detta sammanhang. För att deras bevis skulle fungera behövde de välja rätt.
"Det måste mäta olika fysiska effekter," sa Rafael de la Llave, en matematiker vid Georgia Institute of Technology. "Så det måste väljas med en djup förståelse av problemet."
När de väl hade rätt sätt att beskriva "närhet" var Hou och Chen tvungna att bevisa påståendet, som kokade ner till en komplicerad ojämlikhet som involverade termer från både de omskalade ekvationerna och den ungefärliga lösningen. Matematikerna var tvungna att se till att värdena för alla dessa termer balanserades ut till något mycket litet: Om ett värde blev stort måste andra värden vara negativa eller hållas i schack.
"Om du gör något lite för stort eller lite för litet, går allt sönder," sa Javier Gómez-Serrano, en matematiker vid Brown University. "Så det är väldigt, väldigt försiktigt, känsligt arbete."
"Det är en riktigt hård kamp", tillade Elgindi.
För att få de snäva gränser de behövde på alla dessa olika villkor bröt Hou och Chen ojämlikheten i två stora delar. De kunde ta hand om den första delen för hand, med tekniker inklusive en som går tillbaka till 18-talet, då den franske matematikern Gaspard Monge sökte ett optimalt sätt att transportera jord för att bygga befästningar för Napoleons armé. "Sånt här har gjorts tidigare, men jag tyckte att det var slående att [Hou och Chen] använde det för detta," sa Fefferman.
Det lämnade den andra delen av ojämlikheten. Att tackla det skulle kräva datorhjälp. Till att börja med var det så många beräkningar som behövde göras, och så mycket precision som krävdes, att "mängden arbete du skulle behöva göra med penna och papper skulle vara svindlande," sa de la Llave. För att få olika termer att balansera var matematikerna tvungna att utföra en rad optimeringsproblem som är relativt lätta för datorer men oerhört tidskrävande för människor. En del av värdena berodde också på mängder från den ungefärliga lösningen; eftersom det beräknades med en dator var det enklare att även använda en dator för att utföra dessa ytterligare beräkningar.
"Om du försöker göra några av dessa uppskattningar manuellt, kommer du förmodligen att överskatta någon gång, och sedan förlorar du," sa Gómez-Serrano. "Siffrorna är så små och snäva ... och marginalen är otroligt tunn."
Men eftersom datorer inte kan manipulera ett oändligt antal siffror, uppstår oundvikligen små fel. Hou och Chen var tvungna att noggrant spåra dessa fel för att se till att de inte stör resten av balansgången.
Till slut kunde de hitta gränser för alla termer och komplettera beviset: Ekvationerna hade verkligen producerat en singularitet.
Bevis med dator
Det är fortfarande öppet om mer komplicerade ekvationer - Euler-ekvationerna utan närvaro av en cylindrisk gräns och Navier-Stokes-ekvationerna - kan utveckla en singularitet. "Men [det här arbetet] ger mig åtminstone hopp," sa Hou. "Jag ser en väg framåt, ett sätt att kanske till och med lösa hela Millennium-problemet."
Samtidigt arbetar Buckmaster och Gómez-Serrano på ett eget datorstödt bevis – ett som de hoppas ska vara mer allmänt och därför kan ta itu med inte bara problemet som Hou och Chen löste, utan även massor av andra.
Dessa ansträngningar markerar en växande trend inom området vätskedynamik: användningen av datorer för att lösa viktiga problem.
"Inom ett antal olika områden inom matematiken förekommer det allt oftare," sa Susan Friedlander, en matematiker vid University of Southern California.
Men inom vätskemekanik är datorstödda bevis fortfarande en relativt ny teknik. Faktum är att när det kommer till påståenden om singularitetsbildning är Hou och Chens bevis det första i sitt slag: Tidigare datorstödda bevis kunde bara ta itu med leksaksproblem i området.
Sådana bevis är inte så mycket kontroversiella som "en smaksak", sa Peter Constantin från Princeton University. Matematiker är generellt överens om att ett bevis måste övertyga andra matematiker om att något resonemang är korrekt. Men, menar många, det borde också förbättra deras förståelse av varför ett visst påstående är sant, snarare än att bara ge validering att det är korrekt. "Lär vi oss något fundamentalt nytt, eller vet vi bara svaret på frågan?" sa Elgindi. "Om du ser matematik som en konst, så är detta inte så estetiskt tilltalande."
"En dator kan hjälpa. Det är underbart. Det ger mig insikt. Men det ger mig ingen full förståelse”, tillade Constantin. "Förståelse kommer från oss."
För sin del hoppas Elgindi fortfarande att kunna arbeta fram ett alternativt bevis på sprängning helt för hand. "Jag är överlag glad att detta existerar," sa han om Hou och Chens arbete. "Men jag ser det som mer av en motivation att försöka göra det på ett mindre datorberoende sätt."
Andra matematiker ser datorer som ett viktigt nytt verktyg som kommer att göra det möjligt att attackera tidigare svårlösta problem. "Nu är arbetet inte längre bara papper och penna," sa Chen. "Du har möjlighet att använda något mer kraftfullt."
Enligt honom och andra (inklusive Elgindi, trots hans personliga preferens för att skriva korrektur för hand) finns det en god möjlighet att det enda sättet att lösa stora problem inom vätskedynamik - det vill säga problem som involverar allt mer komplicerade ekvationer - kan vara att förlita sig på mycket på datorhjälp. "Det verkar för mig som om att försöka göra det här utan att använda datorstödda bevis är som att knyta en eller möjligen två händer bakom ryggen," sa Fefferman.
Om det i slutändan blir fallet och "du inte har något val", sa Elgindi, "så borde människor ... som jag själv, som skulle säga att det här är suboptimalt, vara tysta." Det skulle också innebära att fler matematiker skulle behöva börja lära sig de färdigheter som behövs för att skriva datorstödda korrektur – något som Hou och Chens arbete förhoppningsvis kommer att inspirera. "Jag tror att det var många människor som helt enkelt väntade på att någon skulle lösa ett sådant problem innan de investerade någon av sin egen tid i detta tillvägagångssätt," sa Buckmaster.
Som sagt, när det kommer till debatter om i vilken utsträckning matematiker bör förlita sig på datorer, "det är inte så att du behöver välja sida", sa Gómez-Serrano. "[Hou och Chens] bevis skulle inte fungera utan analysen, och beviset skulle inte fungera utan datorhjälp. … Jag tror att värdet är att människor kan tala de två språken.”
Med det, sa de la Llave, "det finns ett nytt spel i stan."
