Kontinuerliga kvantvandringar för MAX-CUT är heta

Kontinuerliga kvantvandringar för MAX-CUT är heta

Tidsstämpel: 13 februari 2024 8:56

Robert J. Banks1, Ehsan Haque2, Farah Nazef2, Fatima Fethallah2, Fatima Ruqaya2, Hamza Ahsan2, Het Vora2, Hibah Tahir2, Ibrahim Ahmad2, Isaac Hewins2, Ishaq Shah2, Krish Baranwal2, Mannan Arora2, Mateen Asad2, Mubasshirah Khan2, Nabian Hasan2, Nuh Azad2, Salgai Fedaiee2, Shakeel Majeed2, Shayam Bhuyan2, Tasfia Tarannum2, Yahya Ali2, Dan E. Browne3och PA Warburton1,4

1London Centre for Nanotechnology, UCL, London WC1H 0AH, Storbritannien
2Newham Collegiate Sixth Form Centre, 326 Barking Rd, London, E6 2BB, Storbritannien
3Institutionen för fysik och astronomi, UCL, London WC1E 6BT, Storbritannien
4Institutionen för elektronik- och elektroteknik, UCL, London WC1E 7JE, Storbritannien

Hitta det här uppsatsen intressant eller vill diskutera? Scite eller lämna en kommentar på SciRate.

Abstrakt

Genom att utnyttja kopplingen mellan tidsoberoende Hamiltonianer och termalisering görs heuristiska förutsägelser om prestandan för kontinuerliga kvantvandringar för MAX-CUT. De resulterande förutsägelserna beror på antalet trianglar i den underliggande MAX-CUT-grafen. Vi utökar dessa resultat till den tidsberoende miljön med kvantvandringar i flera steg och Floquet-system. Tillvägagångssättet som följs här ger ett nytt sätt att förstå rollen av enhetlig dynamik för att tackla kombinatoriska optimeringsproblem med kontinuerliga kvantalgoritmer.

Kontinuerliga kvantvandringar för MAX-CUT är heta PlatoBlockchain Data Intelligence. Vertikal sökning. Ai.

Populär sammanfattning

Kombinatoriska optimeringsproblem förekommer i många aspekter av dagens liv. Exempel är att hitta den kortaste vägen, maximera vinsten och schemalägga leveranser optimalt. Dessa problem är vanligtvis svåra att lösa. Här fokuserar vi på det kanoniska problemet som kallas MAX-CUT. Kontinuerliga kvantvandringar presenterar ett nytt sätt att ta itu med optimeringsproblem genom att utnyttja kvanteffekter. I detta dokument diskuterar vi hur man optimerar kontinuerliga kvantvandringar för MAX-CUT.

Kontinuerliga kvantvandringar innehåller en fri parameter. En väl optimerad parameter resulterar i bättre kvalitet på lösningen. För att optimera kvantvandringen använder vi den väletablerade hypotesen att slutna system kan termalisera. Den tillhörande temperaturen visar sig vara hög. Genom att effektivt modellera tillståndstätheten för kvantvandringen kan vi på ett tillförlitligt sätt uppskatta det optimala valet av fri parameter utan en (klassisk) variationsmässig yttre slinga. Viktigt är att det uppskattade optimala valet av den fria parametern kan kopplas till egenskaperna hos den underliggande MAX-CUT-grafen.

Detta arbete presenterar ett nytt tillvägagångssätt, som kombinerar statistisk fysik med kvantoptimering. Framtida arbete kan innebära att utvidga insikterna i detta dokument till ett bredare utbud av kvantmetoder för optimering.

► BibTeX-data

► Referenser

[1] Edward Farhi och Sam Gutmann. "Kvantberäkning och beslutsträd". Phys. Rev. A 58, 915-928 (1998).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.58.915

[2] Andrew M. Childs. "Universell beräkning genom kvantvandring". Phys. Rev. Lett. 102, 180501 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.102.180501

[3] Kunkun Wang, Yuhao Shi, Lei Xiao, Jingbo Wang, Yogesh N. Joglekar och Peng Xue. "Experimentell realisering av kontinuerliga kvantvandringar på riktade grafer och deras tillämpning i pagerank". Optica 7, 1524–1530 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1364 / OPTICA.396228

[4] Yunkai Wang, Shengjun Wu och Wei Wang. "Kontrollerad kvantsökning på strukturerade databaser". Phys. Rev. Res. 1, 033016 (2019).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevResearch.1.033016

[5] Yang Wang, Shichuan Xue, Junjie Wu och Ping Xu. "Kontinuerlig-tids kvantvandringsbaserad centralitetstestning på viktade grafer". Scientific Reports 12, 6001 (2022).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41598-022-09915-1

[6] Andrew M. Childs, Richard Cleve, Enrico Deotto, Edward Farhi, Sam Gutmann och Daniel A. Spielman. "Exponentiell algoritmisk hastighetsökning genom en kvantvandring". I ACM (2003).
https: / / doi.org/ 10.1145 / 780542.780552

[7] Josh A. Izaac, Xiang Zhan, Zhihao Bian, Kunkun Wang, Jian Li, Jingbo B. Wang och Peng Xue. "Centralitetsmått baserat på kontinuerliga kvantvandringar och experimentellt förverkligande". Phys. Rev. A 95, 032318 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.95.032318

[8] T. Loke, JW Tang, J. Rodriguez, M. Small och JB Wang. "Jämföra klassiska och kvanta pageranks". Quantum Information Processing 16, 25 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1007 / s11128-016-1456-z

[9] Andrew M. Childs och Jeffrey Goldstone. "Spatial search by quantum walk". Phys. Rev. A 70, 022314 (2004).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.70.022314

[10] Adam Callison, Nicholas Chancellor, Florian Mintert och Viv Kendon. "Hitta spinglasjordtillstånd med hjälp av kvantvandringar". New Journal of Physics 21, 123022 (2019).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1367-2630/​ab5ca2

[11] Puya Mirkarimi, Adam Callison, Lewis Light, Nicholas Chancellor och Viv Kendon. "Jämföra hårdheten för max 2-sat probleminstanser för kvantalgoritmer och klassiska algoritmer". Phys. Rev. Res. 5, 023151 (2023).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevResearch.5.023151

[12] Adam Callison. "Kontinuerlig-tids kvantberäkning". Doktorsavhandling. Imperial College London. (2021).
https: / / doi.org/ 10.25560 / 91503

[13] Adam Callison, Max Festenstein, Jie Chen, Laurentiu Nita, Viv Kendon och Nicholas Chancellor. "Energetiskt perspektiv på snabbsläckning vid kvantglödgning". PRX Quantum 2, 010338 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.2.010338

[14] JM Deutsch. "Kvantstatistisk mekanik i ett slutet system". Phys. Rev. A 43, 2046–2049 (1991).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.43.2046

[15] Mark Srednicki. "Kaos och kvanttermisering". Phys. Rev. E 50, 888-901 (1994).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevE.50.888

[16] Joshua M Deutsch. "Eigenstate-termaliseringshypotes". Reports on Progress in Physics 81, 082001 (2018).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1361-6633/​aac9f1

[17] Marcos Rigol. "Fördelning av termalisering i ändliga endimensionella system". Phys. Rev. Lett. 103, 100403 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.103.100403

[18] Fabian HL Essler och Maurizio Fagotti. "Släck dynamik och avkoppling i isolerade integrerbara kvantspinnkedjor". Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment 2016, 064002 (2016).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1742-5468/​2016/​06/​064002

[19] Marlon Brenes, Tyler LeBlond, John Goold och Marcos Rigol. "Eigenstate-termalisering i ett lokalt stört integrerbart system". Phys. Rev. Lett. 125, 070605 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.125.070605

[20] Jae Dong Noh. "Eigenstate-termaliseringshypotes och egentillstånd-till-egenstat-fluktuationer". Phys. Rev. E 103, 012129 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevE.103.012129

[21] David A. Huse, Rahul Nandkishore, Vadim Oganesyan, Arijeet Pal och SL Sondhi. "Lokaliseringsskyddad kvantordning". Phys. Rev. B 88, 014206 (2013).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.88.014206

[22] Rahul Nandkishore och David A. Huse. "Mångkroppslokalisering och termalisering i kvantstatistisk mekanik". Annual Review of Condensed Matter Physics 6, 15–38 (2015). arXiv:https://​/​doi.org/​10.1146/​annurev-conmatphys-031214-014726.
https: / / doi.org/ 10.1146 / annurev-conmatphys-031214-014726
arXiv:https://doi.org/10.1146/annurev-conmatphys-031214-014726

[23] Ehud Altman. "Mångkroppslokalisering och kvanttermalisering". Nature Physics 14, 979–983 (2018).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41567-018-0305-7

[24] Marcos Rigol, Vanja Dunjko och Maxim Olshanii. "Termalisering och dess mekanism för generiska isolerade kvantsystem". Nature 452, 854–858 (2008).
https: / / doi.org/ 10.1038 / nature06838

[25] Giulio Biroli, Corinna Kollath och Andreas M. Läuchli. "Effekt av sällsynta fluktuationer på termalisering av isolerade kvantsystem". Phys. Rev. Lett. 105, 250401 (2010).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.105.250401

[26] Lea F. Santos och Marcos Rigol. "Debut av kvantkaos i endimensionella bosoniska och fermioniska system och dess relation till termalisering". Phys. Rev. E 81, 036206 (2010).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevE.81.036206

[27] R. Steinigeweg, J. Herbrych och P. Prelovšek. "Eigenstate-termalisering inom isolerade spinkedjesystem". Phys. Rev. E 87, 012118 (2013).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevE.87.012118

[28] Hyungwon Kim, Tatsuhiko N. Ikeda och David A. Huse. "Testa om alla egentillstånd följer egentillståndets termaliseringshypotes". Phys. Rev. E 90, 052105 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevE.90.052105

[29] R. Steinigeweg, A. Khodja, H. Niemeyer, C. Gogolin och J. Gemmer. "Att driva gränserna för egentillståndets termaliseringshypotes mot mesoskopiska kvantsystem". Phys. Rev. Lett. 112, 130403 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.112.130403

[30] Keith R. Fratus och Mark Srednicki. "Eigenstate-termalisering i system med spontant bruten symmetri". Phys. Rev. E 92, 040103 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevE.92.040103

[31] Abdellah Khodja, Robin Steinigeweg och Jochen Gemmer. "Relevansen av termaliseringshypotesen för egentillstånd för termisk avslappning". Phys. Rev. E 91, 012120 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevE.91.012120

[32] Rubem Mondaini och Marcos Rigol. "Eigenstate-termalisering i den tvådimensionella transversella fältmodellen. ii. off-diagonala matriselement av observerbara objekt”. Phys. Rev. E 96, 012157 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevE.96.012157

[33] Toru Yoshizawa, Eiki Iyoda och Takahiro Sagawa. "Numerisk analys av stor avvikelse av egentillståndets termaliseringshypotes". Phys. Rev. Lett. 120, 200604 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.120.200604

[34] David Jansen, Jan Stolpp, Lev Vidmar och Fabian Heidrich-Meisner. "Eigenstate-termalisering och kvantkaos i holstein-polaronmodellen". Phys. Rev. B 99, 155130 (2019).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.99.155130

[35] S. Trotsky, YA. Chen, A. Flesch, IP McCulloch, U. Schollwöck, J. Eisert och I. Bloch. "Söka avslappningen mot jämvikt i en isolerad starkt korrelerad endimensionell bosegas". Nature Physics 8, 325–330 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1038 / nphys2232

[36] Govinda Clos, Diego Porras, Ulrich Warring och Tobias Schaetz. "Tidsupplöst observation av termalisering i ett isolerat kvantsystem". Phys. Rev. Lett. 117, 170401 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.117.170401

[37] Adam M. Kaufman, M. Eric Tai, Alexander Lukin, Matthew Rispoli, Robert Schittko, Philipp M. Preiss och Markus Greiner. "Quantum termalization genom intrassling i ett isolerat många-kroppssystem". Science 353, 794–800 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1126 / science.aaf6725

[38] G. Kucsko, S. Choi, J. Choi, PC Maurer, H. Zhou, R. Landig, H. Sumiya, S. Onoda, J. Isoya, F. Jelezko, E. Demler, NY Yao och MD Lukin. "Kritisk termalisering av ett oordnat dipolärt spinnsystem i diamant". Phys. Rev. Lett. 121, 023601 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.121.023601

[39] Yijun Tang, Wil Kao, Kuan-Yu Li, Sangwon Seo, Krishnanand Mallayya, Marcos Rigol, Sarang Gopalakrishnan och Benjamin L. Lev. "Termalisering nära integrerbarhet i en dipolär kvant newtons vagga". Phys. Rev. X 8, 021030 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.8.021030

[40] JR Johansson, PD Nation, och Franco Nori. "Qutip: Ett pythonramverk med öppen källkod för dynamiken i öppna kvantsystem". Computer Physics Communications 183, 1760–1772 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.cpc.2012.02.021

[41] JR Johansson, PD Nation, och Franco Nori. "Qutip 2: Ett pytonramverk för dynamiken i öppna kvantsystem". Computer Physics Communications 184, 1234–1240 (2013).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.cpc.2012.11.019

[42] Aric A. Hagberg, Daniel A. Schult och Pieter J. Swart. "Utforska nätverksstruktur, dynamik och funktion med nätverkx". I Gaël Varoquaux, Travis Vaught och Jarrod Millman, redaktörer, Proceedings of the 7th Python in Science Conference. Sidorna 11 – 15. Pasadena, CA USA (2008). URL: https://conference.scipy.org/​proceedings/​SciPy2008/​paper_2/​.
https://​/​conference.scipy.org/​proceedings/​SciPy2008/​paper_2/​

[43] Feng Xia, Jiaying Liu, Hansong Nie, Yonghao Fu, Liangtian Wan och Xiangjie Kong. "Random walks: En översyn av algoritmer och applikationer". IEEE Transactions on Emerging Topics in Computational Intelligence 4, 95–107 (2020).
https://​/​doi.org/​10.1109/​tetci.2019.2952908

[44] Henrik Wilming, Thiago R. de Oliveira, Anthony J. Short och Jens Eisert. "Jämviktstider i slutna kvantsystem för många kroppar". Sida 435–455. Springer International Publishing. (2018).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-319-99046-0_18

[45] James R. Garrison och Tarun Grover. "Kodar en enskild egentillstånd den fullständiga hamiltoniska?". Fysisk recension X 8 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevx.8.021026

[46] Peter Reimann. "Eigenstate-termalisering: Deutschs tillvägagångssätt och bortom". New Journal of Physics 17, 055025 (2015).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1367-2630/​17/​5/​055025

[47] Tameem Albash och Daniel A. Lidar. "Adiabatisk kvantberäkning". Recensioner av Modern Physics 90 (2018).
https: / ⠀ </ ⠀ <doi.org/†<10.1103 / ⠀ <revmodphys.90.015002

[48] Philipp Hauke, Helmut G Katzgraber, Wolfgang Lechner, Hidetoshi Nishimori och William D Oliver. "Perspektiv för kvantglödgning: metoder och implementeringar". Reports on Progress in Physics 83, 054401 (2020).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1361-6633/​ab85b8

[49] Leo Zhou, Sheng-Tao Wang, Soonwon Choi, Hannes Pichler och Mikhail D. Lukin. "Quantum approximativ optimeringsalgoritm: Prestanda, mekanism och implementering på kortsiktiga enheter". Phys. Rev. X 10, 021067 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.10.021067

[50] Laba och Tkachuk. "Geometriska egenskaper för kvantutveckling: krökning och torsion". Condensed Matter Physics 20, 13003 (2017).
https://​/​doi.org/​10.5488/​cmp.20.13003

[51] Kh.P. Gnatenko, HP Laba och VM Tkachuk. "Geometriska egenskaper hos evolutionära graftillstånd och deras upptäckt på en kvantdator". Physics Letters A 452, 128434 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.physleta.2022.128434

[52] Luca D'Alessio, Yariv Kafri, Anatoli Polkovnikov och Marcos Rigol. "Från kvantkaos och termalisering av egentillstånd till statistisk mekanik och termodynamik". Advances in Physics 65, 239–362 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1080 / 00018732.2016.1198134

[53] Edward Farhi, David Gosset, Itay Hen, AW Sandvik, Peter Shor, AP Young och Francesco Zamponi. "Prestandan av den kvantadiabatiska algoritmen på slumpmässiga instanser av två optimeringsproblem på vanliga hypergrafer". Fysisk granskning A 86 (2012).
https: / ⠀ </ ⠀ <doi.org/†<10.1103 / ⠀ <physreva.86.052334

[54] Mark Jeansonne och Joe Foley. "Översyn av den exponentiellt modifierade gaussiska (emg) funktionen sedan 1983". Journal of Chromatography Science 29, 258–266 (1991).
https://​/​doi.org/​10.1093/​chromsci/​29.6.258

[55] Yuri Kalambet, Yuri Kozmin, Ksenia Mikhailova, Igor Nagaev och Pavel Tikhonov. "Rekonstruktion av kromatografiska toppar med hjälp av den exponentiellt modifierade gaussiska funktionen". Journal of Chemometrics 25, 352–356 (2011).
https://​/​doi.org/​10.1002/​cem.1343

[56] Stephen J. Blundell och Katherine M. Blundell. "Begrepp i termisk fysik". Oxford University Press. (2009).
https: / / doi.org/ 10.1093 / acprof: oso / 9780199562091.001.0001

[57] Elizabeth Crosson och Samuel Slezak. "Klassisk simulering av kvantmodeller för hög temperatur" (2020). arXiv:2002.02232.
arXiv: 2002.02232

[58] Maxime Dupont, Nicolas Didier, Mark J. Hodson, Joel E. Moore och Matthew J. Reagor. "Entanglement perspektiv på den ungefärliga kvantoptimeringsalgoritmen". Fysisk granskning A 106 (2022).
https: / ⠀ </ ⠀ <doi.org/†<10.1103 / ⠀ <physreva.106.022423

[59] JM Deutsch. "Termodynamisk entropi av ett egentillstånd för energi i många kroppar". New Journal of Physics 12, 075021 (2010).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1367-2630/​12/​7/​075021

[60] JM Deutsch, Haibin Li och Auditya Sharma. "Mikroskopiskt ursprung för termodynamisk entropi i isolerade system". Phys. Rev. E 87, 042135 (2013).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevE.87.042135

[61] Lea F. Santos, Anatoli Polkovnikov och Marcos Rigol. "Entropi av isolerade kvantsystem efter en släckning". Phys. Rev. Lett. 107, 040601 (2011).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.107.040601

[62] Michael A. Nielsen och Isaac L. Chuang. "Kvantberäkning och kvantinformation: 10-årsjubileumsutgåva". Cambridge University Press. (2010).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511976667

[63] Edward Farhi, Jeffrey Goldstone och Sam Gutmann. "En ungefärlig kvantoptimeringsalgoritm" (2014). arXiv:1411.4028.
arXiv: 1411.4028

[64] Milena Grifoni och Peter Hänggi. "Driven kvanttunneling". Physics Reports 304, 229–354 (1998).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​S0370-1573(98)00022-2

[65] Masahito Ueda. "Kvantjämvikt, termalisering och förvärmning i ultrakalla atomer". Nature Reviews Physics 2, 669–681 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1038 / s42254-020-0237-x

[66] Luca D'Alessio och Anatoli Polkovnikov. "Mångkroppsenergilokaliseringsövergång i periodiskt drivna system". Annals of Physics 333, 19–33 (2013).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.aop.2013.02.011

[67] Luca D'Alessio och Marcos Rigol. "Långtidsbeteende hos isolerade periodiskt drivna interagerande gittersystem". Fysisk recension X 4 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevx.4.041048

[68] Achilleas Lazarides, Arnab Das och Roderich Moessner. "Jämviktstillstånd för generiska kvantsystem som är föremål för periodisk körning". Phys. Rev. E 90, 012110 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevE.90.012110

[69] Keith R. Fratus och Mark Allen Srednicki. "Eigenstate-termalisering och spontant symmetribrott i den endimensionella transversella fältmodellen med kraft-lagsinteraktioner" (2016). arXiv:1611.03992.
arXiv: 1611.03992

[70] Attila Felinger, Tamás Pap och János Inczédy. "Kurvanpassning till asymmetriska kromatogram med det utökade kalmanfiltret i frekvensdomänen". Talanta 41, 1119-1126 (1994).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0039-9140(94)80081-2

[71] KF Riley, MP Hobson och SJ Bence. "Matematiska metoder för fysik och ingenjörskonst: En omfattande guide". Cambridge University Press. (2006). 3 upplaga.
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511810763

[72] Brian C. Hall. "En elementär introduktion till grupper och representationer" (2000). arXiv:math-ph/​0005032.
arXiv: math-ph / 0005032

[73] Michael M. Wolf, Frank Verstraete, Matthew B. Hastings och J. Ignacio Cirac. "Områdeslagar i kvantsystem: Ömsesidig information och korrelationer". Phys. Rev. Lett. 100, 070502 (2008).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.100.070502

[74] Martin Kliesch och Arnau Riera. "Egenskaper för termiska kvanttillstånd: Temperaturens lokalitet, sönderfall av korrelationer och mer". I fundamentala teorier om fysik. Sidorna 481–502. Springer International Publishing (2018).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-319-99046-0_20

[75] SH Simon. "Oxford solid state grunderna". OUP Oxford. (2013).

Citerad av

[1] R. Au-Yeung, B. Camino, O. Rathore och V. Kendon, "Quantum algorithms for scientific applications", arXiv: 2312.14904, (2023).

[2] Sebastian Schulz, Dennis Willsch och Kristel Michielsen, "Guidad kvantvandring", arXiv: 2308.05418, (2023).

Ovanstående citat är från SAO / NASA ADS (senast uppdaterad framgångsrikt 2024-02-14 02:07:09). Listan kan vara ofullständig eftersom inte alla utgivare tillhandahåller lämpliga och fullständiga citatdata.

On Crossrefs citerade service Inga uppgifter om citerande verk hittades (sista försök 2024-02-14 02:07:08).

Detta papper publiceras i Quantum under Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) licens. Upphovsrätten kvarstår med de ursprungliga upphovsrättsinnehavarna som författarna eller deras institutioner.

Tidsstämpel:

Mer från Quantum Journal