Sannolikhet och talteori kolliderar — på ett ögonblick

Deras ambitioner var alltid höga. När Will Sawin och Melanie Matchett Wood först började arbeta tillsammans sommaren 2020, satte de sig för att ompröva nyckelkomponenterna i några av de mest lockande gissningarna inom talteorin. Ämnen för deras uppmärksamhet, klassgrupper, är intimt besläktade med grundläggande frågor om hur aritmetik fungerar när siffror sträcker sig bortom heltalen. Sawin, vid Columbia University, och Trä, vid Harvard, ville göra förutsägelser om strukturer som är ännu mer generella och matematiskt skrämmande än klassgruppen.

Redan innan de hade formulerat sina förutsägelser, bevisade de i oktober ett nytt resultat som låter matematiker tillämpa ett av sannolikhetsteorins mest användbara verktyg, inte bara på klassgrupper utan också på samlingar av tal, nätverk och många andra matematiska objekt.

"Detta kommer bara att bli det grundläggande dokumentet som alla vänder sig till när de börjar tänka på dessa problem," sa David Zureick-Brown, en matematiker vid Emory University. "Det känns inte som att du behöver uppfinna saker från början längre."

En klasslag

En klassgrupp är ett exempel på en strukturerad matematisk uppsättning som kallas en grupp. Grupper inkluderar många välbekanta uppsättningar, som heltal. Det som gör heltalen till en grupp, snarare än bara en uppsättning tal, är att du kan lägga ihop dess element och få ett annat heltal. I allmänhet är en uppsättning en grupp om den kommer med någon operation som, liksom addition, kombinerar två element till ett tredje element på ett sätt som uppfyller vissa grundläggande krav. Till exempel bör det finnas en version av noll, ett element som inte ändrar någon av de andra.

Heltalen, som matematiker brukar kalla $latex mathbb{Z}$, är oändliga. Men många grupper har ett begränsat antal element. För att till exempel skapa en grupp som har fyra element, överväg mängden {0, 1, 2, 3}. Istället för att göra vanlig addition, dividera summan av två valfria tal med 4 och ta resten. (Under dessa regler, 2 + 2 = 0 och 2 + 3 = 1.) Denna grupp kallas $latex mathbb{Z}/4mathbb{Z}$.

I allmänhet, om du vill skapa en grupp med $latex n$ element, kan du ta siffrorna noll igenom n – 1 och beakta resten när du dividerar med n. Den resulterande gruppen kallas $latex mathbb{Z}/nmathbb{Z}$, även om detta inte alltid är den enda gruppen med n element.

Klassgruppen dyker upp när talteoretiker undersöker strukturen av tal bortom heltalen. För att göra detta lägger de till nya tal till heltalen, som t.ex i (kvadratroten av −1), $latex sqrt{5}$ eller till och med $latex sqrt{–5}$.

– Det vi är vana vid om siffror är inte längre sant i det här sammanhanget. Eller åtminstone, de är inte nödvändigtvis sanna”, sa Jordan ellenberg, en matematiker vid University of Wisconsin, Madison.

Specifikt fungerar factoring annorlunda i förlängningar av heltal. Om du bara håller dig till heltal kan tal faktoriseras till primtal (tal som bara kan delas med sig själva och 1) på bara ett sätt. Till exempel är 6 2 × 3, och det kan inte räknas in i andra primtal. Denna egenskap kallas unik faktorisering.

Men om du lägger till $latex sqrt{–5}$ i ditt talsystem har du inte längre unik faktorisering. Du kan faktorisera 6 till primtal på två olika sätt. Det är fortfarande 2 × 3, men det är också $latex (1 + sqrt{–5})$ × $latex (1 – sqrt{–5})$.

Klassgrupper skapas från sådana tillägg till heltal. "Klassgrupper är otroligt viktiga," sa Wood. "Och så det är naturligt att undra: Hur brukar de vara?"

Storleken på klassgruppen förknippad med eventuell förlängning av heltal är en barometer för hur mycket unik faktorisering som går sönder. Även om matematiker har bevisat att klassgrupper alltid är ändliga, är det komplicerat att ta reda på deras struktur och storlek. Det är därför 1984 Henri Cohen och Hendrik Lenstra vågade sig på några gissningar. Deras gissningar, nu kallade Cohen-Lenstra-heuristiken, gällde alla klassgrupper som dyker upp när man lägger till nya kvadratrötter till heltalen. Om alla dessa klassgrupper var samlade, föreslog Cohen och Lenstra svar på frågor som: Hur stor andel av dem innehåller gruppen $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$? Eller $latex mathbb{Z}/7mathbb{Z}$? Eller någon annan känd typ av ändlig grupp?

Cohen och Lenstra uppmanade talteoretiker att överväga inte bara isolerade exempel på klassgrupper, utan statistik som ligger till grund för klassgrupper som helhet. Deras förutsägelser utnyttjade en vision av matematiken som ett universum med mönster som skulle avslöjas på alla nivåer.

Nästan 40 år senare anses Cohen-Lenstras heuristik allmänt vara sann, även om ingen har varit i närheten av att bevisa dem. Deras inverkan på matematiken har varit påtaglig, säger Nigel Boston, professor emeritus vid University of Wisconsin, Madison. "Det som har upptäckts är denna fantastiska webb," sa han. "Det finns den här enorma infrastrukturen för hur vi tror att världen är sammansatt."

Det enda spelet i stan

Oförmögna att ta itu med heuristiken direkt, kom matematiker på mer lösbara problem som de hoppades skulle belysa situationen. Ur det arbetet framkom en användbar mängd kvantiteter som matematiker började kalla ögonblick, efter en term som används i sannolikhetsteorin.

Med sannolikhet kan ögonblick hjälpa dig att räkna ut fördelningarna bakom slumptal. Tänk till exempel fördelningen av den dagliga högsta temperaturen den 1 januari i New York City - chanserna att den 1 januari nästa år kommer det att vara 10 grader Fahrenheit, eller 40 grader, eller 70 eller 120. Allt du behöver arbeta med är tidigare data: en historik över den dagliga högsta den 1 januari varje år sedan början av den registrerade historien.

Om du beräknar medelvärdet av dessa temperaturer lär du dig lite, men inte allt. En genomsnittlig hög temperatur på 40 grader säger dig inte chansen att temperaturen kommer att vara över 50 grader eller under 20.

Men detta ändras om du får mer information. Specifikt kan du lära dig medelvärdet av kvadraten på temperaturen, en kvantitet som kallas det andra momentet av fördelningen. (Genomsnittet är det första ögonblicket.) Eller så kan du lära dig medelvärdet av kuberna, vilket är känt som det tredje ögonblicket, eller medelvärdet av de fjärde potenserna - det fjärde ögonblicket.

På 1920-talet hade matematiker räknat ut att om ögonblicken i den här serien växer tillräckligt långsamt, kan du genom att känna till alla ögonblicken dra slutsatsen att endast en möjlig fördelning har dessa ögonblick. (Även om detta inte nödvändigtvis låter dig beräkna fördelningen direkt.)

"Det är verkligen ointuitivt," sa Wood. ”Om man tänker på en kontinuerlig distribution så har den någon form. Det känns som att det har mer än vad som bara kan fångas i en sekvens av siffror."

Matematiker som var intresserade av Cohen-Lenstra-heuristiken kom fram till att precis som moment i sannolikhetsteorin kunde användas för att få en sannolikhetsfördelning, kan moment definierade på ett speciellt sätt för klassgrupper vara en lins genom vilken vi kan se deras storlek och struktur . Jacob Tsimerman, en matematiker vid University of Toronto, sa att han inte kan föreställa sig hur fördelningen av klassgruppstorlekar direkt skulle kunna beräknas. Att använda ögonblick, sa han, är "mer än enklare. Det är det enda spelet i stan.”

Det här magiska ögonblicket

Medan varje ögonblick i sannolikhet är associerat med ett heltal - tredje potens, fjärde potens, och så vidare - motsvarar de nya storheterna som introducerats av talteoretiker var och en en grupp. Dessa nya ögonblick beror på att man ofta kan reducera en grupp till en mindre grupp genom att kollapsa olika element tillsammans.

För att beräkna det ögonblick som är kopplat till en grupp G, ta alla möjliga klassgrupper — en för varje ny kvadratrot du lägger till heltal. För varje klassgrupp, räkna upp antalet olika sätt du kan komprimera den till G. Ta sedan medelvärdet av dessa siffror. Denna process kan tyckas invecklad, men den är mycket lättare att arbeta med än den faktiska fördelningen bakom Cohen och Lenstras förutsägelser. Även om Cohen-Lenstra-heuristiken i sig är komplicerad att ange, är de förutsägande momenten i distributionen alla 1.

"Det får dig att tänka, wow, kanske stunderna är det naturliga sättet att närma sig det," sa Ellenberg. "Det verkar mer trovärdigt att kunna bevisa att något är lika med 1 än att bevisa att det är lika med någon galen oändlig produkt."

När matematiker studerar fördelningar över grupper (klassgrupper eller annat) får de en ekvation för varje grupp G, med sannolikheterna som nu representerar, säg, andelen klassgrupper som ser ut som $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$. Med oändligt många ekvationer, och oändligt många möjliga klassgrupper, är det knepigt att lösa sannolikheterna. Det är inte självklart att det ens är vettigt att göra det.

"När du har oändliga summor kan saker gå fel," sa Wood.

Men matematiker, som fortfarande inte kunde hitta andra vägar för att studera fördelningarna, fortsatte att återvända till ögonblicksproblemet. I arbete publicerat i Annaler för matematik 2016, Ellenberg, tillsammans med Akshay Venkatesh och Craig Westerland, använda ögonblick att studera klassgruppers statistik i en något annan miljö än vad Cohen och Lenstra hade tänkt sig. Denna idé var återanvändas flera gånger. Men varje gång forskare använde ögonblicken, skulle de luta sig mot egenheter i deras specifika problem för att bevisa att den oändliga uppsättningen av ekvationer hade en lösning. Det innebar att deras tekniker inte var överförbara. Nästa matematiker som behövde använda ögonblick skulle behöva lösa ögonblicksproblemet igen.

I början av deras samarbete planerade Sawin och Wood också att gå denna väg. De skulle använda ögonblick för att göra förutsägelser om hur mer komplicerade versioner av klassgrupper fördelades. Men ungefär ett år in i projektet vände de sitt fokus till själva ögonblicksproblemet.

Att bli avstängd

Kollegor beskriver Sawin och Wood som ovanligt passionerade för sitt arbete. "De är båda väldigt smarta. Men det finns många smarta människor, säger Zureick-Brown. "De har bara den här positiva inställningen till att göra matematik."

Till en början ville Sawin och Wood använda ögonblick för att bredda Cohen-Lenstras förutsägelser till nya inställningar. Men de blev snart missnöjda med deras argument för ögonblicksproblem. "Vi hade behov av att skriva liknande argument upprepade gånger," påminde Sawin. Dessutom, tillade han, verkade det matematiska språket de använde "inte vara kärnan i vad argumentet gjorde... Idéerna fanns där, men vi hade helt enkelt inte hittat rätt sätt att uttrycka dem."

Sawin och Wood grävde djupare i sina bevis och försökte ta reda på vad som egentligen fanns under det hela. De slutade med ett bevis som löste ögonblicksproblemet, inte bara för deras specifika tillämpning, utan för varje fördelning av grupper - och för alla typer av andra matematiska strukturer.

De delar upp problemet i små, hanterbara steg. Istället för att försöka lösa hela sannolikhetsfördelningen i ett svep fokuserade de på bara en liten del av ögonblicken.

Till exempel, för att lösa momentproblemet för en sannolikhetsfördelning över grupper, skulle varje moment vara associerat med en grupp G. Till en början skulle Sawin och Wood titta på ett ekvationssystem som endast inkluderade momenten för en begränsad lista med grupper. De lade sedan långsamt till grupper till listan och tittade på fler och fler ögonblick varje gång. Genom att stegvis göra problemet mer komplext gjorde de varje steg till ett lösbart problem. Bit för bit byggde de upp till en fullständig lösning av ögonblicksproblemet.

"Den fasta listan är ungefär som glasögonen du sätter på dig, och ju fler grupper du är villig att överväga, desto bättre är dina glasögon," förklarade Wood.

När de äntligen dammade av de sista främmande detaljerna, fann de sig själva med ett argument vars rankor sträckte sig över matematiken. Deras resultat fungerade för klassgrupper, för grupper associerade med geometriska former, för nätverk av punkter och linjer, såväl som för andra uppsättningar med mer matematisk inveckladhet. I alla dessa situationer hittade Sawin och Wood en formel som tar in en uppsättning ögonblick och spottar ut fördelningen som har dessa ögonblick (så länge som ögonblicken inte växer för snabbt, bland andra krav).

"Det är väldigt mycket i Melanies stil," sa Ellenberg. "För att säga: 'Låt oss bevisa ett mycket allmänt teorem som hanterar många olika fall ungefär enhetligt och elegant.'"

Sawin och Wood är nu på väg tillbaka till sitt ursprungliga mål. I början av januari delade de en ny pappersmaskin det korrigerar felaktiga Cohen-Lenstra förutsägelser gjord i slutet av 1980-talet av Cohen och hans kollega Jacques Martinet. Utöver det har de ännu fler resultat i sin kö, med planer på att utöka heuristiken till ännu fler nya situationer. "Jag vet inte om det här projektet någonsin kommer att ta slut," sa Sawin.

Det ögonblicksproblem som Sawin och Wood löste har varit "en sorts en tagg i bakhuvudet för många olika frågor", sa Tsimerman. "Jag tror att många matematiker kommer att andas ut av lättnad."