En kort historia om knepig matematisk plattsättning | Quanta Magazine

Varje dag ser vi exempel på återkommande motiv. Denna symmetri och regelbundenhet kan verka vardaglig och nästan osynlig, som med murverk på byggnadsväggar eller det hexagonala mönstret i en bikaka. Eller om vi har turen att stöta på något som det eleganta kakelarbetet i spanska Alhambra eller MC Eschers kreativa teckningar, kan mönstren inspirera och förvåna oss.

I århundraden har matematiker lekt med dessa återkommande former och urholkat fascinerande insikter och nya möjligheter från dem. Skönheten i matematiken konkurrerar med skönheten i själva designen.

De enklaste plattorna är gjorda av identiska polygoner med lika långa sidor och lika stora vinklar sammanfogade helkant med helkant. Men även om det finns oändligt många av dessa "regelbundna" polygoner - en för varje antal sidor - finns det bara tre regelbundna plattor, bildade av former med tre, fyra eller sex sidor - det vill säga trianglar, kvadrater och hexagoner.

De andra formerna är helt enkelt inte byggda för det. En vanlig femkant (med fem sidor) har en inre vinkel på 108 grader. Detta delar sig inte jämnt i 360 grader, så varje försök att sätta ihop vanliga femhörningar till en plattsättning är skyldig att skapa luckor som inte kan fyllas; vi säger att den vanliga femhörningen inte kan belägga planet. Och vanliga polygoner med mer än sex sidor har inre vinklar som är för stora för att tre ska mötas på en enda punkt, och så kan de inte heller.

En annan syn på plattsättning med vanliga polygoner kommer från Johannes Kepler, idag mest känd för sina upptäckter om planetrörelser. År 1619 visade han att även om du använder mer än en vanlig polygon kan du bara skapa åtta nya plattsättningsmönster där konfigurationen runt varje vertex är identisk. (Om vi ​​tillåts avvika från denna begränsning finns det fler möjligheter.)

När vi tillåter oregelbundna polygoner blir saker mer intressanta. Överraskande nog kan varje triangel lägga till planet, och ännu mer överraskande, så kan varje fyrhörning.

Å andra sidan är det omöjligt att belägga planet med någon konvex polygon på mer än sex sidor; summan av de inre vinklarna är alldeles för stor. Så det lämnar bara pentagoner och hexagoner som återstående möjligheter.

I sin doktorsavhandling från 1918 bevisade Karl Reinhardt att det är möjligt att belägga planet med oändligt många konvexa hexagoner - de utan fördjupningar - som han grupperade i tre familjer.

Konvexa femhörningar som belägger planet var svårare att klassificera. Reinhardt upptäckte fem familjer av sådana femhörningar; 50 år senare hittade Richard Kershner tre till. Sedan 1975 skrev Martin Gardner om problemet för Scientific American, vilket uppmärksammar både professionella matematiker och amatörer. En sådan amatör, en datorprogrammerare vid namn Richard James III, skickade Gardner ett exempel på en nionde familj och frågade: "Håller du med om att Kershner missade den här?" Han hade.

Marjorie Rice, en hemmafru, läste också Gardners kolumn och började fundera över problemet vid sitt köksbord. Hon pysslade i över två år och upptäckte fyra familjer till av plattsättning femhörningar.

Forskare hittade en 14:e familj av kaklade femhörningar 1985, och tre decennier senare hittade ett annat team en 15:e familj med hjälp av en datorsökning. Ingen visste om denna upptäckt fullbordade listan, eller om det fanns fler familjer som fortfarande gömde sig. Den frågan besvarades 2017 när Michaël Rao visat att alla konvexa tegelpantagoner - och med dem alla konvexa tegelpolygoner - hade hittats.

Alla dessa plattsättningar upprepas. Det vill säga att de har en periodisk symmetri, vilket i princip betyder att om vi skulle spåra plattsättningen på ett papper och skjuta det pappret åt vissa håll så skulle det stämma exakt med plattsättningen igen.

Andra typer av symmetrier är också möjliga. Till exempel innebär en spegelsymmetri att våra mönster kommer att ställas i linje om vi vänder vårt kalkerpapper upp och ner runt en fast linje. Rotationssymmetri betyder att de hamnar i linje om vi roterar vårt papper. Och vi kan kombinera åtgärder för att få en glidreflektionssymmetri, vilket är som att skjuta papperet och sedan vända det.

År 1891 bevisade den ryske kristallografen Evgraf Fedorov att det bara finns 17 sätt som dessa symmetrier kan kombineras på. Eftersom denna begränsning gäller alla periodiska dekorationer av planet, kallas dessa allmänt för de 17 "tapetgrupperna."

När man väl är bekant med denna klassificering av symmetrimönster är det nästan omöjligt att se en periodisk design, hur komplicerad den än är, och inte se den som ett pussel att avkoda: Var och hur, exakt, upprepas det? Var är de symmetrierna?

Naturligtvis är inte varje kakeldesign periodisk. Det är möjligt, och ofta enkelt, att placera plattor i planet så att den resulterande designen aldrig upprepas. I vårt exempel med hexagoner, kvadrater och trianglar kan du göra detta genom att helt enkelt rotera en enda hexagon och polygonerna som omger den med 30 grader. Den resulterande plattsättningen har inte längre translationella symmetrier.

1961 antog logikern Hao Wang att om en uppsättning former plattar planet så måste formerna kunna lägga till plattan på planet med jämna mellanrum. Bara några år senare bevisade hans doktorand Robert Berger att han hade fel genom att upptäcka en enorm uppsättning av över 20,000 XNUMX brickor som kaklade planet, men bara icke-periodiskt. Sådana kakeluppsättningar kallas aperiodiska.

Även om Berger och andra kunde minska storleken på dessa aperiodiska uppsättningar avsevärt, i mitten av 1970-talet fångade Roger Penrose världens uppmärksamhet genom att upptäcka mycket små uppsättningar av sina egna aperiodiska plattor. De minsta uppsättningarna kräver bara två brickor.

Dessa former och mönster fängslade matematiker, vetenskapsmän och allmänheten. Men de tog upp en uppenbar nästa fråga: Finns det en enda aperiodisk bricka? Teorin för kakelteorins ultimata sökande var nu att hitta en sådan "einstein"-bricka - inte uppkallad efter fysikern, utan efter den tyska frasen "en sten."

2010 var Joshua Socolar och Joan Taylor mycket nära att upptäcka en einstein. Problemet med deras tillvägagångssätt var det deras kakel måste kopplas bort; det här skulle vara som att plattsätta planet med former som staten Hawaii, en enda enhet som består av separata regioner, snarare än med sammanhängande former som Kalifornien. Allt oftare misstänkte matematiker att om en einstein existerade så måste det vara något mycket geometriskt komplicerat.

I mars 2023 chockade en amatör världen igen. En pensionerad trycktekniker och matematisk hobby vid namn David Smith hade upptäckt inte bara en aperiodisk monotil, utan en oändlig familj av dessa svårfångade einsteins. Han spelade in Craig Kaplan, Chaim Goodman-Strauss och Joseph Samuel Myers – experter på datavetenskap, matematik och teorin om plattsättning – och tillsammans presenterade de en geometriskt enkel einstein kallad hattbrickan (som internet tyckte såg ut som en T-shirt) ).

Reaktionen var snabb och positiv. Upptäckarna talade på konferenser och höll föredrag online. Matematiska konstnärer tog chansen att hitta kreativa sätt att producera Escher-liknande mönster baserat på dessa nya geometriskt intressanta plattor. Hattbrickan dök till och med upp i monologen i ett tv-program sent på kvällen.

Ändå fanns det fortfarande utrymme för förbättringar. För att kakla planet med hatten måste du vända ungefär en sjundedel av brickorna upp och ner. En husägare som vill kakla sitt badrum med hattkakeln måste köpa två typer av plattor: en vanlig kakel och dess spegelbild. Var detta verkligen nödvändigt?

Redan innan spänningen i hattbrickan hade tystnat gjorde teamet ett nytt tillkännagivande. Smith hade hittat, i den oändliga familjen av aperiodiska monotiler, en som han kallade ett "spöke" som kunde belägga planet utan att behöva reflekterade kopior. En sann einstein hade äntligen dykt upp.

Vi är nu mitt uppe i ett återupplivande av den matematiska utforskningen av plattsättningar och tesseller. Den har förlitat sig på viktiga bidrag från amatörer, inspirerat kreativiteten hos matematiska konstnärer och utnyttjat datorernas kraft för att flytta kunskapens gränser framåt. Och från den har vi uppnått nya insikter om symmetrins, geometrins och designens natur.

Rättelse: Oktober 30, 2023
Den ursprungliga versionen av denna artikel angav att det är omöjligt att belägga planet med någon polygon på mer än sex sidor. Detta gäller endast om polygonen är konvex.

Quanta genomför en serie undersökningar för att bättre betjäna vår publik. Ta vår matematikläsarundersökning och du kommer att delta för att vinna gratis Quanta merch.