I geometrins "vilda västern" omdefinierar matematiker sfären | Quanta Magazine

Om du någon gång har suttit fast i trafiken en regnig eftermiddag, har du förmodligen sett regndroppar som rasar mot varandra genom bilrutan. När par av droppar kolliderar smälter de samman till en ny droppe och förlorar sina separata identiteter.

Den sammansmältningen är möjlig eftersom vattendropparna är nästan sfäriska. När formerna är flexibla – som regndroppar är – förändras ingenting av att fästa en sfär. Inom vissa områden av matematiken är en sfär fäst vid en sfär fortfarande en sfär, men kanske en större eller klumpigare sådan. Och om en sfär klistras på en munk har du fortfarande en munk - med en blister. Men om två munkar smälter samman bildar de en tvåhålsform. För matematiker är det något helt annat.

Den kvaliteten gör sfärer till ett avgörande testfall för geometrar. Matematiker kan ofta överföra lärdomar om sfärer till mer komplexa former genom att titta på vad som händer när du syr ihop de två. Faktum är att de kan tillämpa denna teknik på vilket mångfald som helst - en klass av matematiska objekt som inkluderar enkla former som sfärer och munkar, såväl som oändliga strukturer som ett tvådimensionellt plan eller tredimensionellt utrymme.

Sfärer är särskilt viktiga i en underdisciplin av geometri som kallas kontaktgeometri. I kontaktgeometri motsvarar varje punkt på ett tredimensionellt grenrör - såsom 3D-rymden vi lever i - ett plan. Planen kan luta och vrida sig från punkt till punkt. Om de gör det på ett sätt som uppfyller vissa matematiska kriterier, kallas hela uppsättningen av plan en kontaktstruktur. Ett grenrör (som 3D-rymden) tillsammans med en kontaktstruktur (alla plan) kallas ett kontaktgrenrör.

Även om kontaktstrukturer kan tyckas vara lite mer än dekoration, ger de grundläggande insikter om de mångfalder de lever på, såväl som kopplingar till fysik. Moderna matematiker kan använda kontaktgrenrör för att omformulera teorier om hur ljus beter sig och hur vatten flödar genom rymden.

Resultat om tredimensionella kontaktgrenrör kommer ofta tillbaka till sfärer. Om du limmar en kontaktsfär på ett annat kontaktgrenrör, till exempel en 3D-munk, kan 3D-versionen av sfären donera delar av sin kontaktstruktur till facket. Om du vill bevisa att en munk kan ha en kontaktstruktur vars plan vrider sig tusen gånger när de cirklar kring munkhålet, kan du först bygga den strukturen på sfären och sedan lägga till den i munken genom att skära ett litet hål i båda formerna och lappa ihop dem längs kanterna. Matematiker som utforskar vilka kontaktstrukturer som kan existera på en given mångfald förlitar sig ofta på detta ramverk, sa John Etnyre, en matematiker vid Georgia Institute of Technology. "De gör mycket arbete för att minska problemet till att förstå vad som händer på sfären," sa han.

As Jonathan Bowden, en matematiker vid universitetet i Regensburg, uttrycker det: "Om du inte kan förstå en sfär, hur kan jag då kunna förstå något annat?"

Vi tenderar att tänka på sfärer som enkla former: De är bara alla punkter som är ett fast avstånd från en mittpunkt. Exempel inkluderar en cirkel, som är endimensionell, såväl som den tvådimensionella ytan på en vanlig boll som en basketboll. Men när du lägger till kontaktstrukturer kan sfärer bli mer komplicerade än du kanske förväntar dig. Och när matematiker försöker sortera igenom ett oorganiserat hav av kontaktgrenrör, kan nya typer av sfärer ge dem ledtrådar om vad de kan fiska upp ur djupet.

I en färsk tidning som uppdaterades i sak förra veckan, fyra matematiker — Bowden, Fabio Gironella, Agustin Moreno och Zhengyi Zhou — har avslöjat en ny typ av kontaktsfär och, med den, ett oändligt antal nya kontaktgrenrör.

Full kontakt Sport

Som ett fält uppstod kontaktgeometri gradvis under loppet av århundraden. Även om moderna matematiker ser tillbaka ser antydningar till kontaktgeometri i studiet av optik på 17-talet och termodynamik på 19-talet, bara på 1950-talet var frasen "kontaktgrenrör" användes först i ett papper, enligt matematikern Hansjörg Geiges' ämnets historia.

Vid den tiden var matematiker redan medvetna om några exempel på kontaktgrenrör. Av tekniska skäl finns kontaktgrenrör endast i udda dimensioner. Standard tredimensionellt utrymme har en kontaktstruktur som består av rader av plan som gradvis lutar framåt. Denna struktur sträcker sig naturligtvis till vad matematiker kallar den tredimensionella sfären. (Detta är ytan på en fyrdimensionell boll, ungefär som den tvådimensionella matematiska sfären är ytan på en vanlig tredimensionell boll.)

Från och med slutet av 1960-talet började matematiker presentera nya exempel på kontaktgrenrör. 1968 gjorde Mikhael Gromov framsteg när det gäller att hitta nya kontaktstrukturer på vissa grenrör, såsom tredimensionellt rymd och Jean Martinet följde efter 1971 med exempel på så kallade kompakta former (som är ändliga med en tydlig gräns) som 3D-sfären. 1977 kom Robert Lutz på hur man skapar en ny kontaktstruktur på vilket tredimensionellt grenrör som helst. Lutzs konstruktion gick ut på att skära upp kontaktgrenröret, vrida upp det och sy ihop det på ett sätt som höll den underliggande formen densamma, men tvingade kontaktstrukturen till en ny konfiguration. Det resulterade i en ny kontaktstruktur för oändligt 3D-utrymme, 3D-sfären och valfritt antal ännu främmande föremål, till exempel en kub där du, om du sticker din hand genom botten, ser den dingla ner från toppen.

Ändå lämnade dessa resultat sena 20-talets matematiker med många obesvarade frågor om kontaktgrenrör. Vilka typer av kontaktstrukturer fanns där ute? Hur ska de kategoriseras? "När matematiker kommer till något ämne vill de alltid klassificera eller förstå objekt," sa Yakov Eliashberg, en matematiker vid Stanford University som var avgörande för den tidiga utvecklingen av kontaktgeometri.

I dimensioner fem och högre – kom ihåg att kontaktgrenrör bara kan ha ett udda antal dimensioner – dessa frågor är fortfarande inte besvarade. I det tredimensionella fallet gjordes mycket av framstegen nästan på egen hand av Eliashberg, som anlände till Berkeley, Kalifornien, på 1980-talet som en invandrare från Sovjetunionen.

Vrid och skrik

Föranledd av en fråga från en ny Berkeley-bekantskap vid namn Jesús Gonzalo Pérez, som hade studerat Lutzs teknik för att skapa nya kontaktgrenrör, märkte Eliashberg att alla tredimensionella kontaktgrenrör man kunde få med hjälp av Lutz strategi hade vissa gemensamma drag. 1989 publicerade han en seminalpapper beskriver dessa grenrör i detalj. Han kallade den nya klassen av kontaktgrenrör "övervridna" på grund av hur kontaktstrukturens plan roterade flera gånger, utöver den vridning som krävs för att kvalificera sig som en kontaktstruktur. Eliashbergs papper från 1989 besvarade praktiskt taget alla frågor som matematiker kan ha om övervridna grenrör i tre dimensioner, men alla andra kontaktgrenrör - som Eliashberg kallade "tight" på grund av hur lite kontaktstrukturen vrids - var mycket svårare att komma åt.

"Medan övervridna strukturer finns i överflöd, är täta kontaktstrukturer mer sällsynta eller åtminstone mycket sämre förstådda", säger Moreno, matematiker vid Heidelbergs universitet.

En skillnad mellan övertvinnade och täta kontaktgrenrör blir tydlig om vi ser ett grenrör som gränsen för ett större utrymme. Eftersom kontaktgrenrör är uddadimensionella, bildar de alltid kanten på ett jämndimensionellt grenrör. (Tänk på hur den endimensionella kurvan av en cirkel omger en tvådimensionell skiva, eller hur en oändlig linje skär det tvådimensionella planet i två separata halvor.) Kontaktgeometri har en jämndimensionell motsvarighet som kallas symplektisk geometri. Matematiker ville veta om det inre av ett kontaktgrenrör - som alltid är jämnt - bildar ett symplektiskt grenrör eller inte.

Om den gör det kallas det ursprungliga kontaktgrenröret "fyllbart". Fyllbarhet är en speciell egenskap. Resultat av Eliashberg och Gromov från 1980-talet och början av 1990-talet antydde att påfyllningsbara kontaktgrenrör inte kan vridas över – de måste vara täta. Men det omvända scenariot var grumligare - kan ett grenrör vara tätt men inte fyllbart?

"Under lång tid var det möjligt att det att vara tight egentligen bara var en reflektion av att vara fyllbar", sa Etnyre. Eliashberg hade bevisat att en tredimensionell sfär bara har en tät kontaktstruktur, som också är fyllbar. Men 2002, tillsammans med Ko Honda vid University of California, Los Angeles, Etnyre hittade ett exempel av ett tredimensionellt kontaktgrenrör som var tätt men ej fyllbart.

I högre dimensionella fall var saker osäkra. ”Vi har många verktyg för att studera kontaktstrukturer i dimension tre, och vi har praktiskt taget inga i höga dimensioner. Och det är ett verkligt problem”, sa Etnyre.

"Inom kontakttopologi är högre dimensioner verkligen vilda västern. Folk vet egentligen ingenting om vad som händer”, sa Honda. Frågan blev: Finns det täta men ej fyllbara kontaktgrenrör i höga dimensioner? Och i så fall, hur ser de ut?

Håller det tätt

2013 tre matematiker hittade en väg att skapa sådana grenrör, men "grenrören som de konstruerade var faktiskt väldigt, väldigt komplicerade", sa Etnyre. Det var okänt, tillade han, om den komplexitetsnivån var nödvändig. Om så är fallet kan det fortfarande finnas en nära koppling mellan täthet och fyllbarhet för enkla grenrör som sfärer.

2015 visade Bowden, då vid Ludwig Maximilian-universitetet i München, och två samarbetspartners att vissa kontaktgrenrör noggrant kunde skäras upp och lappas ihop för att bilda en sfär utan att offra deras kontaktstrukturer. Deras arbete föreslog att matematiker inte bara kunde överföra en kontaktstruktur från en sfär till en mer komplicerad kontaktgren – den vanliga riktningen på saker och ting – utan också skapa en helt ny kontaktstruktur på en sfär genom att börja med ett mer komplicerat exempel.

År 2019 hade han börjat arbeta med Gironella och Moreno. Det året, de publicerade ett papper bygger på tekniker av flera tidigare matematiker. De tre hittade exempel på kontaktgrenrör som hade symplektiska fyllningar, men ombytliga sådana: Fyllningarna, kallade "svaga fyllningar", försvann om kontaktgrenröret justerades på precis rätt sätt.

Efter pandemins början började de misstänka att de skulle kunna konstruera sfärer med önskade egenskaper. De tog några av kontaktgrenrören och omarbetade dem försiktigt till sfärer: skär ett hål här, lappade det där. När de var färdiga hade de en oändlig samling av täta men icke-fyllbara sfärer. Och eftersom sfärer kan överföra delar av sina kontaktstrukturer till andra grenrör, skapade detta täta men icke-fyllbara kontaktgrenrör av alla former och varianter.

De tre visade Zhou ett tidigt utkast till sitt papper i mitten av 2022, i hopp om att han skulle korrekturläsa några av deras beräkningar. Zhou hade tidigare samarbetat med både Moreno och Gironella och var bekant med några av de tekniker som deras utkast använde. "Jag läste igenom tidningen och jag insåg att det här hade en enorm potential för att få ännu starkare resultat", säger Zhou, matematiker vid den kinesiska vetenskapsakademin. Han återvände till dem full av nya idéer.

Gruppen införlivade Zhous insikter i sin uppsats, och de fyra lade ut den online i november 2022. Deras arbete visar att täta men icke-fyllbara sfärer i dimensionerna fem och uppåt är möjliga, och använder det resultatet för att skapa många nya exempel på täta kontaktgrenrör som bara är svagt fyllbara, vilket medger de ombytliga "svaga fyllningarna" i 2019-tidningen. Sedan förra veckan uppdaterade de tidningen med en viktig generalisering. De kan nu hitta täta och svagt fyllbara kontaktstrukturer för alla grenrör med dimension sju eller högre.

Även om deras bevis avslöjar ett oändligt antal nya exempel, har studiet av högre-dimensionella kontaktgrenrör - och till och med av högre-dimensionella sfärer - bara börjat.

"Detta ger oss en inblick i vad som verkar vara en väldigt vild och typ av komplicerad värld," sa Moreno och tillade senare: "Högre dimensioner kommer att äta upp uppmärksamheten från flera generationer framöver, skulle jag säga."

"Just nu försöker du bara hitta några exempel; du försöker särskilja saker; du försöker bara få en känsla av vad som finns där. Och att förstå saker på sfären är en slags grodd, eller fröet som kan hjälpa dig att förstå andra situationer, säger Etnyre. "Vi har inte riktigt verktygen för att ta nästa steg ännu."

Quanta genomför en serie undersökningar för att bättre betjäna vår publik. Ta vår matematikläsarundersökning och du kommer att delta för att vinna gratis Quanta merch.