Beskrivning
Gina, geometristudenten, stannade uppe för sent i går kväll och gjorde sina läxor medan hon tittade The Great British Bake Off, så när hon äntligen gick och lade sig var hennes sömniga sinne fortfarande fullt av cupcakes och kompasser. Detta ledde till en högst ovanlig dröm.
Gina fann sig själv som domare för Great Brownie Bake Off vid Imaginary University, en skola där eleverna lär sig mycket geometri men väldigt lite aritmetik. Lag av Imaginary U-studenter fick i uppdrag att göra den största brownien de kunde, och det var upp till Gina att avgöra vinnaren.
Team Alpha var först i mål och de presenterade stolt sin rektangulära brownie för bedömning. Gina drog fram en linjal och mätte brownien: Den var 16 tum lång och 9 tum bred. Team Beta följde snabbt efter med sin fyrkantiga brownie, som mätte 12 tum på varje sida. Det var då besvären började.
"Vår brownie är mycket längre än din," sa Team Alphas kapten. "Vårt är klart större, så vi är vinnarna!"
"Men kortsidan på din rektangel är mycket kortare än sidan på vår fyrkant", sa en representant från Team Beta. ”Vårt torg är klart större. Vi har vunnit!"
Gina tyckte att det var konstigt att bråka om detta. "Ytan på den rektangulära brownien är 9 gånger 16, vilket är 144 kvadrattum", sa hon. "Ytan på den fyrkantiga brownien är 12 gånger 12, vilket också är 144 kvadrattum. Browniesna har samma storlek: Det är en slips.”
Båda lagen såg förbryllade ut. "Jag förstår inte vad du menar med "tider", sa en elev, som aldrig hade fått lära sig multiplikation. "Inte jag heller", sa en annan. En tredje sa: "Jag hörde talas om att studenter vid Complex College mätte arean med siffror en gång, men vad betyder det ens?" Imaginary University var verkligen en konstig plats, även när drömmar går.
Vad skulle Gina göra? Hur kunde hon övertyga teamen om att deras brownies var lika stora om de inte förstod hur man mäter area och multiplicerar siffror? Som tur var hade Gina en genial idé. "Ge mig en kniv," sa hon.
Gina mätte 12 tum ner längs långsidan av den rektangulära brownien och gjorde ett snitt parallellt med kortsidan. Detta förvandlade den stora rektangeln till två mindre: en som mätte 9 x 12 och den andra 9 x 4. Med tre snabba snitt förvandlade hon 9-av-4-biten till tre mindre 3-av-4-bitar. Lite omarrangering resulterade i hörbara oohs och aahs från publiken: Gina hade förvandlat rektangeln till en exakt kopia av torget.
Båda lagen fick nu komma överens om att deras brownies var lika stora. Genom att dissekera den ena och ordna om den för att bilda den andra, visade Gina att de två browniesna upptog samma totala yta. Dissektioner som denna har använts i geometri i tusentals år för att visa att figurer är lika stora, och det finns många anmärkningsvärda resultat om dissektioner och ekvivalens. Än idag använder matematiker fortfarande dissektion och omarrangemang för att fullt ut förstå när vissa former är likvärdiga, vilket leder till några överraskande nyliga resultat.
Du har antagligen sett geometriska dissektioner i mattelektionen när du utvecklade områdesformlerna för grundläggande former. Till exempel kanske du kommer ihåg att arean av ett parallellogram är lika med längden på dess bas gånger dess höjd: Detta beror på att ett parallellogram kan dissekeras och omordnas till en rektangel.
Denna dissektion visar att arean av parallellogrammet är lika med arean av en rektangel med samma bas och höjd, vilket, som alla som inte gick på Imaginary University vet, är produkten av dessa två siffror.
På tal om Imaginary U, Great Brownie Bake Off höll på att värmas upp. Team Gamma närmade sig med en stor triangulär brownie. "Här är vinnaren", meddelade de djärvt. "Båda våra sidor är mycket längre än de andra."
Gina mätte sidorna. "Detta har samma område också!" utbrast hon. "Detta är en rätvinklig triangel, och benen mäter 18 och 16, och så området är..." Gina stannade en stund och märkte de förbryllade blickarna i allas ansikten. "Åh, strunt i det. Ge mig bara kniven."
Gina skar skickligt från mittpunkten av hypotenusan till mittpunkten av det längre benet, och roterade sedan den nybildade triangeln så att den blev en perfekt rektangel när den bäddades in i den större biten.
"Det är precis vår brownie!" ropade Team Alpha. Visst var den resulterande rektangeln 9 gånger 16: exakt samma storlek som deras.
Team Beta hade sina tvivel. "Men hur står den här triangeln i jämförelse med vår kvadrat?" frågade deras lagledare.
Gina var redo för det. "Vi vet redan att rektangeln och kvadraten är lika stora, så genom transitivitet har triangeln och kvadraten samma storlek." Transitivitet är en av jämlikhetens viktigaste egenskaper: Den säger att om a = b och b = coch sedan a = c. Gina fortsatte, "Om arean av den första brownien är lika med arean av den andra, och arean av den andra brownien är lika med arean av den tredje, måste den första och den tredje brownien också ha lika stor yta."
Men Gina hade för roligt med dissektioner för att sluta där. "Eller så kan vi bara göra några fler nedskärningar."
Först roterade Gina rektangeln som tidigare var en triangel. Sedan klippte hon den med exakt samma mönster som hon hade använt på Team Alphas rektangel.
Sedan visade hon hur denna nya dissektion av Team Gammas triangel kunde förvandlas till Team Betas kvadrat, precis som hon hade gjort med Team Alphas rektangel.
I den här situationen säger vi att triangeln och kvadraten är "saxkongruenta": Du kan tänka dig att använda en sax för att skära upp en figur i ändligt många bitar som sedan kan omarrangeras för att bilda den andra. När det gäller triangeln och kvadraten visar brownies exakt hur denna saxkongruens fungerar.
Lägg märke till att mönstret fungerar i båda riktningarna: Det kan användas för att förvandla triangeln till kvadraten eller kvadraten till triangeln. Med andra ord är saxkongruens symmetrisk: Om form A är saxkongruent med form B, så är form B också saxkongruent med form A.
Faktum är att ovanstående argument som involverar triangeln, rektangeln och kvadraten visar att saxkongruens också är transitiv. Eftersom triangeln är sax kongruent med rektangeln och rektangeln är sax kongruent med kvadraten, är triangeln sax kongruent med kvadraten. Beviset finns i mönstren: Lägg bara över dem på mellanformen, som gjordes med rektangeln ovan.
Om du skär triangeln i bitar som gör rektangeln och sedan skär upp rektangeln i bitar som gör kvadraten, kan de resulterande bitarna användas för att bilda någon av de tre formerna.
Det faktum att saxkongruens är transitiv är kärnan i ett fantastiskt resultat: Om två polygoner har samma area är de saxkongruenta. Detta betyder att, givet två polygoner med samma area, kan du alltid skära upp den ena i ett ändligt antal bitar och ordna om dem för att göra den andra.
Beviset för denna anmärkningsvärda sats är också anmärkningsvärt enkelt. Skär först varje polygon i trianglar.
För det andra, förvandla varje triangel till en rektangel, liknande hur Gina arrangerade om den triangulära brownien.
Nu kommer den knepiga tekniska delen: Förvandla varje rektangel till en ny rektangel som är en enhet bred.
För att göra detta, börja skära av bitar från rektangeln som är en enhet breda.
Om du kan hugga rektangeln till ett helt antal bitar med bredd 1, är du klar: stapla dem bara ovanpå varandra. Annars, sluta hacka när den sista biten är mellan 1 och 2 enheter bred, och stapla resten på varandra.
Oroa dig inte om själva rektangeln är mindre än 1 enhet bred: Dela den bara på mitten och använd de två delarna för att göra en ny rektangel som är dubbelt så lång och hälften så tjock. Upprepa vid behov tills du har en rektangel mellan 1 och 2 enheter bred.
Föreställ dig nu att denna sista rektangel har höjd h och bredd w, med 1 w < 2. Vi ska skära upp den rektangeln och ordna om den till en rektangel med bredd 1 och höjd h × w. För att göra detta, överlägg h × w rektangel med önskad hw × 1 rektangel så här.
Klipp sedan från hörn till hörn längs den prickade linjen och klipp av den lilla triangeln längst ner till höger efter den högra kanten på hw × 1 rektangel.
Detta skär av h × w rektangel i tre delar som kan omarrangeras till en hw × 1 rektangel. (För att motivera denna sista dissektion krävs några smarta argument som involverar liknande trianglar. Se övningarna nedan för detaljer.)
Lägg slutligen den sista rektangeln ovanpå stapeln, och du har framgångsrikt förvandlat denna polygon - egentligen vilken polygon som helst - till en rektangel med bredd 1.
Nu om arean av den ursprungliga polygonen var A, då måste höjden på denna rektangel vara A, så varje polygon med area A är en sax kongruent med en rektangel med bredd 1 och höjd A. Det betyder att om två polygoner har area A, då är de båda saxkongruenta med samma rektangel, så genom transitivitet är de saxkongruenta med varandra. Detta visar att varje polygon med area A är sax kongruent med varannan polygon med area A.
Men även detta kraftfulla resultat var inte tillräckligt för att framgångsrikt slutföra bedömningen av Imaginary Universitys Brownie Bake Off. Det fanns fortfarande ett bidrag kvar, och ingen var förvånad över vad Team Pi dök upp med.
I samma ögonblick som Gina såg den där cirkeln komma vaknade hon kallsvettig ur sin dröm. Hon visste att det var omöjligt att skära upp en cirkel i ändligt många bitar och ordna om dem för att bilda en kvadrat, eller en rektangel, eller vilken polygon som helst. 1964 bevisade matematikerna Lester Dubins, Morris Hirsch och Jack Karush att en cirkel inte är en sax kongruent med någon polygon. Ginas dröm hade förvandlats till en geometrisk mardröm.
Men som de alltid verkar göra, förvandlade matematiker detta hinder till ny matematik. År 1990 bevisade Miklós Laczkovich att det är möjligt att skära upp en cirkel och ordna om den till en kvadrat, så länge du kan använda oändligt små, oändligt bortkopplade, oändligt taggiga bitar som omöjligt kunde tillverkas med en sax.
Hur överraskande och spännande som Laczkovichs resultat var, det visade bara att en sådan nedbrytning är teoretiskt möjlig. Den förklarade inte hur man konstruerade bitarna, bara att de kunde existera. Det var där Andras Máthé, Oleg Pikhurko och Jonathan Noel kom in: I början av 2022 lagt ut ett papper där de matchade Laczkovichs prestation, men med stycken som är möjliga att visualisera.
Tyvärr kommer du inte att kunna använda deras resultat för att lösa eventuella browniebake-offs. Enbart sax kan inte producera 10:an200 bitar som behövs för deras nedbrytning. Men det är ytterligare ett steg framåt för att svara på en lång rad frågor som började när Arkimedes först uppfann, eller upptäckte, $latex pi$. Och det håller oss på väg mot att uppfinna, eller upptäcka, ny matematik som tidigare generationer inte kunde drömma om.
övningar
1. Förklara hur vi vet att i härledningen av areaformeln för ett parallellogram så passar triangeln vi skär av perfekt in i utrymmet på andra sidan av parallellogrammet.
2. Förklara varför vilken triangel som helst kan dissekeras till en rektangel.
För övningarna 3 och 4, betrakta diagrammet som används för att visa att en h × w rektangel är sax kongruent med an hw × 1 rektangel, med punkter märkta.
3. Förklara varför $latextriangel$ XYQ liknar $latextriangle$ ABX. Vad gör detta längden på QY?
4. Förklara varför $latextriangel$ PCX är kongruent med $latextriangel$ AZQ.
Klicka för svar 1:
Det finns många sätt att visa att de två trianglarna är kongruenta. Ett sätt är att notera att avståndet mellan parallella linjer är konstant, så de två räta trianglarna har ett par kongruenta ben.
Och i ett parallellogram är motsatta sidor kongruenta, vilket gör de två trianglarna kongruenta av hypotenusa-bentriangelkongruenssatsen. Du kan också göra ett argument med hjälp av kongruenssatsen vinkel-sida-vinkeltriangel.
Klicka för svar 2:
Ett av de stora elementära resultaten i triangelgeometri är triangelns mittsegmentsats: Om du kopplar samman mittpunkterna på två sidor av en triangel är det resulterande linjesegmentet parallellt med och halva längden av den tredje sidan.
Eftersom segmentet är parallellt med den tredje sidan är vinklarna 1 och 3 kongruenta motsvarande vinklar. Och vinklarna 1 och 2 är invändiga vinklar på samma sida, så de är kompletterande, vilket innebär att deras mått summerar till 180 grader. Eftersom $latexangle$ 1 är kongruent med $latexangle$ 3, betyder det att vinklarna 3 och 2 också är kompletterande.
Således, när du vänder den övre triangeln runt och åt höger, kommer de kongruenta sidorna att matcha perfekt, och vinklarna 2 och 3 kommer att bilda en rak linje.
Detta förvandlar triangeln till ett parallellogram, som, som vi redan vet, kan förvandlas till en rektangel.
Klicka för svar 3:
Eftersom BXYZ är en rektangel, båda $latexangle$ ZBC och $latexangle$ ZYX är räta vinklar. Och eftersom motsatta sidor av en rektangel är parallella, gör detta $latexangle$ YQX kongruent med $latexangle$ AXB, eftersom de är alternativa inre vinklar. Alltså $latextriangel$ XYQ liknar $latextriangle$ ABX genom vinkel-vinkellikhet. I liknande trianglar är sidor i proportion, så $latex frac{XY}{AB} = frac{QY}{BX}$. Alltså, $latex frac{h}{hw} = frac{QY}{w}$, och så QY = 1. Lägg märke till att eftersom $latexangle$ ADC är en rät vinkel och $latexvinkel$ DAP och $latexvinkel$ YQX är kongruenta motsvarande vinklar, detta gör $latextriangel$ DAP kongruent med $latextriangle$ YQX. Detta bevisar att du kan skjuta $latextriangle$ YQX på den plats som för närvarande upptas av $latextriangel$ DAP, som behövs i saxkongruensargumentet.
Klicka för svar 4:
Lägg märke till att $latexvinkel$ AZQ och $latexangle$ PCX är båda räta vinklar och därmed kongruenta. Med hjälp av egenskaper för parallella linjer som i övning 3 kan vi också se $latexvinkeln$ AQZ och $latexvinkel$ PX förlängning är kongruenta motsvarande vinklar. Även i övning 3 visade vi det QY = 1. Detta gör QZ = w − 1, vilket är exakt vad CX är lika med. Alltså $latextriangel$ PCX är kongruent med $latextriangel$ AZQ genom vinkel-sida-vinkel triangelkongruens. Detta motiverar den andra delen av argumentet att en h × w rektangel är sax kongruent med an hw × 1 rektangel.
