Aldrig upprepade plattor kan skydda kvantinformation | Quanta Magazine

Om du vill kakla ett badrumsgolv är fyrkantiga plattor det enklaste alternativet — de passar ihop utan några luckor i ett rutmönster som kan fortsätta i det oändliga. Det kvadratiska rutnätet har en egenskap som delas av många andra plattsättningar: Flytta över hela rutnätet med en fast mängd, och det resulterande mönstret går inte att skilja från originalet. Men för många matematiker är sådana "periodiska" plattsättningar tråkiga. Om du har sett en liten fläck så har du sett allt.

På 1960-talet började matematiker studera "aperiodiska" kakeluppsättningar med mycket rikare beteende. Den kanske mest kända är ett par diamantformade plattor som upptäcktes på 1970-talet av den polymatetiske fysikern och blivande Nobelpristagaren Roger Penrose. Kopior av dessa två brickor kan bilda oändligt många olika mönster som fortsätter för evigt, så kallade Penrose-plattor. Men oavsett hur du arrangerar brickorna kommer du aldrig att få ett återkommande mönster.

"Det här är plattsättningar som egentligen inte borde existera," sa Nikolas Breuckmann, fysiker vid University of Bristol.

I över ett halvt sekel har aperiodiska plattsättningar fascinerat matematiker, amatörer och forskare inom många andra områden. Nu har två fysiker upptäckt ett samband mellan aperiodiska plattsättningar och en till synes orelaterade gren av datavetenskap: studiet av hur framtida kvantdatorer kan koda information till skydda den från fel. I en papper som publicerades på preprint-servern arxiv.org i november, visade forskarna hur man omvandlar Penrose-plattor till en helt ny typ av kvantfelkorrigerande kod. De konstruerade också liknande koder baserade på två andra typer av aperiodisk plattsättning.

Kärnan i korrespondensen är en enkel observation: I både aperiodiska plattsättningar och kvantfelskorrigerande koder avslöjar det ingenting om systemet som helhet att lära sig om en liten del av ett stort system.

"Det är en av de vackra sakerna som verkar uppenbara i efterhand," sa Toby Cubitt, en kvantinformationsforskare vid University College London. "Du tänker: 'Varför tänkte jag inte på det?'"

Förbjuden kunskap

Vanliga datorer representerar information med hjälp av bitar med två distinkta tillstånd, märkta 0 och 1. Kvantbitar, eller qubits, har likaså två tillstånd, men de kan också coaxas till så kallade superpositioner där deras 0- och 1-tillstånd samexisterar. Genom att utnyttja mer utarbetade superpositioner som involverar många qubits, kvantdatorer kan utföra vissa beräkningar mycket snabbare än någon konventionell maskin.

Ändå är kvantöverlagringar skrämmande varelser. Mät en qubit i ett superpositionstillstånd och den kommer att kollapsa till antingen 0 eller 1, vilket tar bort all pågående beräkning. För att göra saken värre kan fel som härrör från svaga interaktioner mellan qubits och deras miljö efterlikna de destruktiva effekterna av mätning. Allt som gnuggar en qubit på fel sätt, oavsett om det är en nyfiken forskare eller en herrelös foton, kan förstöra beräkningen.

Denna extrema bräcklighet kan göra att kvantberäkning låter hopplöst. Men 1995, tillämpade matematikern Peter Shor upptäckt ett smart sätt att lagra kvantinformation. Hans kodning hade två nyckelegenskaper. För det första kunde den tolerera fel som bara påverkade enskilda qubits. För det andra kom det med en procedur för att korrigera fel när de inträffade, vilket förhindrar dem från att hopa sig och spåra ur en beräkning. Shors upptäckt var det första exemplet på en kvantfelskorrigerande kod, och dess två nyckelegenskaper är de definierande egenskaperna hos alla sådana koder.

Den första egenskapen härrör från en enkel princip: Hemlig information är mindre sårbar när den delas upp. Spionnätverk använder en liknande strategi. Varje spion vet väldigt lite om nätverket som helhet, så organisationen förblir säker även om någon individ blir tillfångatagen. Men kvantfelkorrigerande koder tar denna logik till det yttersta. I ett kvantspionnätverk skulle ingen enskild spion veta något alls, men tillsammans skulle de veta mycket.

Varje kvantfelkorrigerande kod är ett specifikt recept för att distribuera kvantinformation över många kvantbitar i ett kollektivt överlagringstillstånd. Denna procedur omvandlar effektivt ett kluster av fysiska qubits till en enda virtuell qubit. Upprepa processen många gånger med en stor mängd qubits, så får du många virtuella qubits som du kan använda för att utföra beräkningar.

De fysiska qubits som utgör varje virtuell qubit är som dessa omedvetna kvantspioner. Mät någon av dem, så lär du dig ingenting om tillståndet för den virtuella qubit som den är en del av - en egenskap som kallas lokal omöjlighet att särskilja. Eftersom varje fysisk qubit inte kodar information, kommer fel i enstaka qubits inte att förstöra en beräkning. Den information som betyder något finns på något sätt överallt, men ingenstans särskilt.

"Du kan inte fästa det till någon enskild qubit," sa Cubitt.

Alla kvantfelkorrigerande koder kan absorbera minst ett fel utan någon effekt på den kodade informationen, men de kommer alla så småningom att ge efter när fel ackumuleras. Det är där den andra egenskapen hos kvantfelkorrigerande koder slår in - den faktiska felkorrigeringen. Detta är nära relaterat till lokal omöjlighet att särskilja: Eftersom fel i enskilda qubits inte förstör någon information, är det alltid möjligt att ångra eventuella fel med fastställda procedurer som är specifika för varje kod.

Tagen på en tur

Zhi Li, en postdoc vid Perimeter Institute for Theoretical Physics i Waterloo, Kanada, var väl bevandrad i teorin om kvantfelskorrigering. Men ämnet var långt ifrån hans tankar när han inledde ett samtal med sin kollega Latham Boyle. Det var hösten 2022, och de två fysikerna var på en kvällsbuss från Waterloo till Toronto. Boyle, en expert på aperiodisk plattsättning som bodde i Toronto vid den tiden och nu är vid University of Edinburgh, var ett bekant ansikte på de där skyttelturerna, som ofta fastnade i tung trafik.

"Normalt kan de vara väldigt olyckliga," sa Boyle. "Det här var som det största genom tiderna."

Innan den ödesdigra kvällen kände Li och Boyle till varandras arbete, men deras forskningsområden överlappade inte direkt, och de hade aldrig haft en en-mot-en-konversation. Men liksom otaliga forskare inom orelaterade områden var Li nyfiken på aperiodiska plattsättningar. "Det är väldigt svårt att inte vara intresserad," sa han.

Intresset förvandlades till fascination när Boyle nämnde en speciell egenskap hos aperiodiska plattsättningar: lokal omöjlighet att skiljas åt. I det sammanhanget betyder termen något annat. Samma uppsättning plattor kan bilda oändligt många plattor som ser helt olika ut överlag, men det är omöjligt att skilja mellan två plattor genom att undersöka vilket lokalt område som helst. Det beror på att varje ändlig fläck av varje plattsättning, oavsett hur stor, kommer att dyka upp någonstans i varannan plattsättning.

"Om jag ploppar ner dig i den ena eller den andra plattan och ger dig resten av ditt liv att utforska, kommer du aldrig att kunna ta reda på om jag lägger ner dig i din kakelsättning eller mitt kakel," sa Boyle.

För Li verkade detta lockande likt definitionen av lokal omöjlighet att särskilja i kvantfelskorrigering. Han nämnde kopplingen till Boyle, som omedelbart blev förvirrad. Den underliggande matematiken i de två fallen var ganska olika, men likheten var för spännande för att avfärda.

Li och Boyle undrade om de kunde dra ett mer exakt samband mellan de två definitionerna av lokal oskiljbarhet genom att bygga en kvantfelskorrigerande kod baserad på en klass av aperiodiska plattsättningar. De fortsatte att prata genom hela den två timmar långa bussturen, och när de anlände till Toronto var de säkra på att en sådan kod var möjlig - det gällde bara att konstruera ett formellt bevis.

Kvantplattor

Li och Boyle bestämde sig för att börja med Penrose-plattor, som var enkla och välbekanta. För att omvandla dem till en kvantfelskorrigerande kod, måste de först definiera hur kvanttillstånd och -fel skulle se ut i detta ovanliga system. Den delen var lätt. Ett oändligt tvådimensionellt plan täckt med Penrose-plattor, som ett rutnät av qubits, kan beskrivas med hjälp av kvantfysikens matematiska ram: Kvanttillstånden är specifika plattsättningar istället för 0:or och 1:or. Ett fel raderar helt enkelt en enstaka lapp av plattsättningsmönstret, på det sätt som vissa fel i qubit-arrayer utplånar tillståndet för varje qubit i ett litet kluster.

Nästa steg var att identifiera kakelkonfigurationer som inte skulle påverkas av lokaliserade fel, som de virtuella qubit-tillstånden i vanliga kvantfelskorrigerande koder. Lösningen, som i en vanlig kod, var att använda superpositioner. En noggrant utvald överlagring av Penrose-plattor liknar ett badrumsplattor som föreslagits av världens mest obeslutsamma inredare. Även om en bit av den röriga ritningen saknas, kommer den inte att förråda någon information om den övergripande planlösningen.

För detta tillvägagångssätt var Li och Boyle först tvungna att särskilja två kvalitativt olika relationer mellan distinkta Penrose-plattor. Med tanke på vilken plattsättning som helst kan du generera ett oändligt antal nya plattsättningar genom att flytta den i valfri riktning eller rotera den. Uppsättningen av alla plattsättningar som genereras på detta sätt kallas en ekvivalensklass.

Men alla Penrose-plattor faller inte i samma ekvivalensklass. En plattsättning i en ekvivalensklass kan inte omvandlas till en plattsättning i en annan klass genom någon kombination av rotationer och translationer – de två oändliga mönstren är kvalitativt olika, men ändå lokalt omöjliga att särskilja.

Med denna distinktion på plats kunde Li och Boyle äntligen konstruera en felkorrigerande kod. Kom ihåg att i en vanlig kvantfelkorrigerande kod kodas en virtuell kvantbit i överlagringar av fysiska kvantbitar. I deras tiling-baserade kod är de analoga tillstånden överlagringar av alla plattsättningar inom en enda ekvivalensklass. Om planet är kaklat med denna typ av överlagring, finns det en procedur för att fylla i luckor utan att avslöja någon information om det övergripande kvanttillståndet.

"Penrose-plattan visste på något sätt om kvantfelskorrigering innan kvantdatorns uppfinning," sa Boyle.

Li och Boyles intuition på bussresan hade varit rätt. På en djup nivå var de två definitionerna av lokal omöjlighet i sig omöjliga att särskilja.

Att hitta mönstret

Även om den var matematiskt väldefinierad, var Li och Boyles nya kod knappast praktisk. Kanterna på brickor i Penrose-plattor faller inte med jämna mellanrum, så att specificera deras fördelning kräver kontinuerliga reella tal snarare än diskreta heltal. Kvantdatorer, å andra sidan, använder vanligtvis diskreta system som rutnät av qubits. Ännu värre, Penrose-plattor är endast lokalt omöjliga att särskilja på ett oändligt plan, vilket inte översätts väl till den ändliga verkliga världen.

"Det är en mycket nyfiken koppling," sa Barbara Terhal, en kvantberäkningsforskare vid Delft University of Technology. "Men det är också bra att få ner det till jorden."

Li och Boyle har redan tagit ett steg i den riktningen genom att konstruera två andra kakelbaserade koder där det underliggande kvantsystemet är ändligt i det ena fallet och diskret i det andra. Den diskreta koden kan också göras ändlig, men andra utmaningar kvarstår. Båda finita koderna kan bara korrigera fel som är klustrade tillsammans, medan de mest populära kvantfelskorrigerande koderna kan hantera slumpmässigt fördelade fel. Det är ännu inte klart om detta är en inneboende begränsning av kakelbaserade koder eller om det skulle kunna kringgås med en smartare design.

"Det finns massor av uppföljningsarbete som kan göras," sa Felix Flicker, fysiker vid University of Bristol. "Alla bra tidningar borde göra det."

Det är inte bara de tekniska detaljerna som behöver förstås bättre – den nya upptäckten väcker också mer grundläggande frågor. Ett självklart nästa steg är att avgöra vilka andra plattsättningar som också fungerar som koder. Bara förra året upptäckte matematiker en familj av aperiodiska plattsättningar att var och en bara använder en enda bricka. "Det skulle vara fascinerande att se hur den här senaste utvecklingen kanske kan kopplas till problemet med kvantfelskorrigering", skrev Penrose i ett mejl.

En annan riktning innebär att utforska samband mellan kvantfelkorrigerande koder och vissa modeller av kvantgravitation. I en 2020 papper, Boyle, Flicker och den sena Madeline Dickens visade att aperiodiska plattsättningar förekommer i rum-tidsgeometrin hos dessa modeller. Men den kopplingen härrörde från en egenskap hos plattsättningen som inte spelar någon roll i Li och Boyles arbete. Det verkar som om kvantgravitation, kvantfelskorrigering och aperiodiska plattsättningar är olika pusselbitar vars konturer forskare precis har börjat förstå. Precis som med aperiodiska plattsättningar själva kan det vara anmärkningsvärt subtilt att ta reda på hur delarna passar ihop.

"Det finns djupa rötter som förbinder dessa olika saker," sa Flicker. "Denna lockande uppsättning förbindelser ber om att bli klara."