Den överraskande enkla matematiken bakom förbryllande matchningar | Quanta Magazine

Det är mästerskapsmatchen i Imaginary Math League, där Atlanta Algebras kommer att möta Carolina Cross Products. De två lagen har inte spelat mot varandra den här säsongen, men tidigare under året besegrade Atlanta Brooklyn Bisectors med 10-5 och Brooklyn besegrade Carolina med 7-3. Ger det oss någon inblick i vem tar titeln?

Tja, här är en tankegång. Om Atlanta slår Brooklyn, så är Atlanta bättre än Brooklyn, och om Brooklyn slår Carolina, då är Brooklyn bättre än Carolina. Så om Atlanta är bättre än Brooklyn och Brooklyn är bättre än Carolina, borde Atlanta vara bättre än Carolina och vinna mästerskapet.

Om du spelar tävlingsspel eller sport vet du att det aldrig är så enkelt att förutsäga resultatet av en match. Men ur en rent matematisk synvinkel har detta argument en viss tilltalande. Den använder en viktig idé i matematik som kallas transitivitet, en välbekant egenskap som gör att vi kan konstruera strängar av jämförelser över relationer. Transitivitet är en av de matematiska egenskaperna som är så grundläggande att du kanske inte ens märker det.

Till exempel är likheten mellan siffror transitiv. Det betyder att om vi vet det a = b och b = c, det kan vi dra slutsatsen a = c. Relationen "större än" är också transitiv: För reella tal, om a > b och b > coch sedan a > c. När relationer är transitiva kan vi jämföra och kombinera dem och skapa en ordning av objekt. Om Anna är längre än Benji och Benji är längre än Carl, så kan vi beställa de tre efter deras längd: A, B, C. Transitivitet ligger också bakom vårt naiva argument att om A är bättre än B och B är bättre än Coch sedan A är bättre än C.

Transitivitet är närvarande i likhet, kongruens, likhet, till och med parallellism. Det är en del av all grundläggande matematik vi gör, vilket gör det extra matematiskt intressant när det inte finns där. När analytiker rangordnar team, ekonomer studerar konsumenternas preferenser eller medborgare röstar på sina föredragna kandidater, kan en brist på transitivitet leda till överraskande resultat. För att bättre förstå dessa typer av system har matematiker studerat "intransitiv tärning" i över 50 år, och en nyligen papper från det matematiska samarbetet på nätet som kallas Polymath-projektet har utvecklat den förståelsen. För att få en känsla av hur intransitivitet ser ut och känns, låt oss bilda en egen liga och spela runt.

I vår nya matematikliga tävlar spelare genom att vända egna mynt och jämföra resultaten. Låt oss säga spelare A har ett mynt med siffran 10 på ena sidan och siffran 6 på den andra, och spelare Bs mynt har siffrorna 8 och 3. Vi antar att mynten är rättvisa – vilket innebär att varje sida är lika sannolikt att visas när mynten vänds – och vi kommer att representera siffrorna på mynten så här.

I ett spel vänder spelare sina mynt, och den som har mynt som visar det högre numret vinner. Vem vinner när A spelar B?

Det beror förstås på. Ibland A kommer att vinna, ibland B kommer att vinna. Men det är inte svårt att se det A är favoriserad att vinna mot B. Det finns fyra sätt spelet kan utvecklas på, och A vinner i tre av dem.

Så i spelet av A kontra B, A har 75 % chans att vinna.

Nu C kommer och utmanar B till ett spel. Cs mynt har en 5:a på ena sidan och en 4:a på den andra. Återigen finns det fyra möjligheter.

Här B och C var och en vinner två av de fyra matcherna, så de vinner 50 % av spelen vardera. B och C är jämnt matchade.

Nu, vad skulle du förvänta dig att hända när A och C spela? Väl, A brukar slå Boch B är jämnt matchad med C, så det verkar rimligt att förvänta sig det A kommer förmodligen att gynnas mot C.

Men A är mer än en favorit. A dominerar C, vinner 100 % av gångerna.

Detta kan verka förvånande, men matematiskt är det inte svårt att se varför det händer. Cs siffror ligger mittemellan Bs, alltså C vinner när som helst B vänder sitt lägre antal. Men Cs nummer är båda nedan As, alltså C kommer aldrig vinna den matchen. Det här exemplet bryter inte mot idén om transitivitet, men det visar att saker och ting kan vara mer komplicerade än bara A > B > C. En liten förändring av vårt spel visar hur mycket mer komplicerat det kan vara.

Våra konkurrenter tröttnar snabbt på det dubbelsidiga myntvända spelet, eftersom det är lätt att helt förstå matematiskt (se övningarna i slutet av spalten för mer information), så ligan beslutar sig för att uppgradera till tresidiga mynt. (En av fördelarna med att spela i en imaginär matteliga är att allt är möjligt.)

Här finns A och Bs mynt:

Vem är favoriserad i ett spel mellan A och B? Tja, det finns tre resultat för As myntkast och tre för B, vilket leder till nio möjliga spelresultat som vi enkelt kan kartlägga.

Om man återigen antar att alla utfall är lika sannolika, A beats B i fem av de nio resultaten. Detta betyder A borde vinna $latex frac{5}{9} ungefär 55 % av gångerna, alltså A gynnas emot B.

Känner mig lite nedstämd över sina framtidsutsikter, B utmaningar C till ett spel. Cs nummer visas nedan. Gillar du Bs chanser?

Återigen, det finns nio möjliga utfall i en omgång B kontra C, så vi kan bara lista dem.

Vi kan se det B ser ganska bra ut mot C. I fem av de nio möjliga resultaten, B vinner. Så B gynnas emot C.

dålig C nu måste spela A. Med A favoriseras emot B och B favoriseras emot C, vad slumpen gör C måste vinna? En ganska bra sådan, som det visar sig.

I fem av de nio möjliga resultaten här, C beats A. Detta innebär att C gynnas emot A, även om Agynnas emot B och B gynnas emot C.

Detta är ett exempel på ett intransitivt system. I mer tekniska termer är relationen "att bli favoriserad mot" i vårt spel inte transitiv: A gynnas emot Boch B gynnas emot C, Men A inte nödvändigtvis gynnas mot C.

Vi ser det inte ofta i matematik, men den här typen av beteende skulle inte förvåna sportfans. Om Giants slog Eagles och Eagles slog Cowboys, kan Cowboys fortfarande mycket väl slå Giants. Det finns massor av faktorer som bidrar till resultatet av ett individuellt spel. Lag kan bli bättre med träning eller stagnera om de inte förnyar sig. Spelare kan byta lag. Detaljer som spelets plats – hemma eller borta – eller hur nyligen lagen har spelat kan påverka vem som vinner och vem som förlorar.

Men detta enkla exempel visar att det också finns rent matematiska skäl bakom denna typ av oförgänglighet. Och detta rent matematiska övervägande har något gemensamt med konkurrensens verkliga begränsningar: matchups.

Här är siffrorna för A, B och C.

När vi ser dem sida vid sida är det lättare att se varför intransitivitet uppstår i den här situationen. Fastän B är favoriserad att vinna mot C, Cs två medelhöga siffror – 7:an och 6an – ger dem en fördel gentemot A den där B inte har. Även om A gynnas emot B och B gynnas emot C, C matcher emot A bättre än B gör. Detta liknar hur ett underdog-idrottslag kan matcha bra mot en överlägsen motståndare eftersom deras spelstil är svår för det laget att hantera, eller för att en spelare eller tränare ger dem ett försprång mot just den motståndaren.

Det faktum att sport är intransitiv är en del av det som gör dem roliga och övertygande. När allt kommer omkring, om A beats B och B beats C, C kommer inte bara att förverka på grund av transitivitet när de möter A. I konkurrens kan allt hända. Som många kommentatorer har sagt efter en upprörd, "Det är därför de spelar spelet."

Och det är därför vi leker med matte. För att hitta det som är roligt, övertygande och överraskande. Allt kan hända.

övningar

1. Anta att två spelare spelar det tvåsidiga myntspelet och att de fyra siffrorna från de två mynten är olika. Det finns i princip bara sex möjliga scenarier för vem som vinner och hur ofta. Vad är dem?

2. I det tresidiga spelscenariot som beskrivs ovan, hitta ett annat tresidigt mynt för C så att B är fortfarande favoriserad emot C och C är fortfarande favoriserad emot A.

3. Bevisa att i ett dubbelsidigt myntspel är det omöjligt att ha tre spelare A, B, C Så att A gynnas emot B, B gynnas emot Coch C gynnas emot A.