Ett torn av gissningar som vilar på en nål | Quanta Magazine

I matematik är ett enkelt problem ofta inte vad det verkar. Tidigare i sommar, Quanta rapporterade om ett sådant problem: Vilket område är det minsta som du kan sopa ut medan du roterar en oändligt tunn nål i alla möjliga riktningar? Snurra den runt mitten som en urtavla, och du får en cirkel. Men rotera den smartare, och du kan täcka en godtyckligt liten del av utrymmet. Om du inte kräver att nålen rör sig i en kontinuerlig rörelse, och istället helt enkelt lägger ner en nål åt alla håll, kan du konstruera ett arrangemang av nålar som inte täcker något område alls.

Matematiker kallar dessa arrangemang för Kakeya-uppsättningar. Även om de vet att sådana uppsättningar kan vara små när det gäller yta (eller volym, om du arrangerar dina nålar i tre eller fler dimensioner), tror de att uppsättningarna alltid måste vara stora om deras storlek mäts med ett mått som kallas Hausdorff dimensionera.

Matematiker har ännu inte bevisat detta uttalande, känt som Kakeya-förmodan. Men även om det till synes är en enkel fråga om nålar, "understödjer geometrin hos dessa Kakeya-uppsättningar en hel mängd frågor i partiella differentialekvationer, harmonisk analys och andra områden," sa jonathan hickman vid University of Edinburgh.

Kakeya-förmodan ligger vid basen av en hierarki av tre centrala problem inom harmonisk analys - en gren av matematiken som studerar hur funktioner kan representeras som summor av periodiska funktioner som regelbundet oscillerande sinusvågor.

Nästa steg upp i den hierarkin är gissningen om "begränsning". Om det är sant, så är Kakeya-förmodan det också. (Detta betyder också att om Kakeya-gissningen visar sig vara falsk, kan begränsningsförmodan inte vara sann.) Restriktionsförmodan i sin tur antyds av den så kallade Bochner-Riesz-förmodan. Och allra högst upp sitter den lokala utjämningsförmodan.

De två första gissningarna handlar om Fouriertransformens beteende, en teknik inom harmonisk analys för att i praktiken beräkna hur man uttrycker nästan vilken funktion som helst som summan av sinusvågor. Det är ett av de mest kraftfulla matematiska verktyg som finns tillgängliga för fysiker och ingenjörer. Fouriertransformen har spelat en grundläggande roll för att lösa differentialekvationer, uttrycka kvantmekaniska idéer som Heisenbergs osäkerhetsprincip, och analysera och bearbeta signaler - vilket gör saker som moderna mobiltelefoner möjliga.

Eftersom varje påstående i hierarkin antyder det under det, om Kakeya-förmodan är falsk, är ingen av de andra gissningarna sanna. Hela tornet kommer att rasa. "Du kan skapa ett supermonster motexempel som skulle bryta många gissningar," sa Hickman.

Å andra sidan, att bevisa att Kakeya-förmodan är sann skulle inte automatiskt innebära sanningen i de andra gissningarna - men det skulle ge matematiker viktiga insikter om hur de ska gå vidare.

Och så, "nästan hälften av gemenskapen av harmonisk analys som jag känner till arbetar med detta och relaterade problem, eller har arbetat med dem någon gång," sa Shaoming Guo vid University of Wisconsin, Madison.

På senare tid har matematiker upptäckt, till sin förvåning, att de tekniker de har utvecklat för att ta itu med dessa problem också kan användas för att bevisa stora resultat inom det till synes orelaterade området av talteori. "Det är ett mycket mer allmänt fenomen än vad folk trodde," sa Guo.

Layer Cake

Berättelsen börjar med Fouriertransformen. "Du vill bryta ned [funktioner] i små bitar, analysera deras interaktioner och lägga till dem igen", sa Yumeng Ou vid University of Pennsylvania. För endimensionella funktioner - kurvor som du kan rita på ett papper - har matematiker en god förståelse för hur man gör detta, även när de behöver vända Fourier-transformen med bara några av bitarna.

Men i två eller flera dimensioner kan det bli rörigt.

1971, Charlie Fefferman, en matematiker vid Princeton University, kom på hur man använder Kakeya-uppsättningar för att visa att omvändning av Fourier-transformationen kan leda till konstiga och överraskande resultat i flera dimensioner.

Matematiker hittade en fix i form av Bochner-Riesz-förmodan, som i huvudsak säger att det finns mer sofistikerade sätt att återställa den ursprungliga funktionen som inte går sönder som Feffermans exempel. Men den fixen berodde på sanningen i Kakeya-förmodan.

Om det är sant, "avkortning av frekvenser kommer bara att leda till små fel," sa Betsy Stovall vid University of Wisconsin, Madison. "Det betyder att de små felen inte exploderar."

Så började hierarkin. Senare upptäckte matematiker ett annat viktigt samband: Om det stämmer, innebar Bochner-Riesz-förmodan också ett uttalande som kallas begränsningsförmodan. Denna gissning säger att om du börjar med en begränsad version av Fourier-transformen - "begränsar" de värden du tittar på till endast de som lever på särskilda ytor - kan detta fortfarande ge dig viktig information om den ursprungliga funktionen. Och det visade sig att om begränsningsförmodan var sann, så var Kakeya-förmodan det också. (Detta placerade begränsningsförmodan mellan Kakeya och Bochner-Riesz i tornet.)

Kronan på verket i hierarkin, kallad den lokala utjämningsförmodan, handlar inte direkt om Fouriertransformen, utan sätter snarare gränser för storleken på lösningar till ekvationer som beskriver vågornas beteende.

Du kan också tänka på detta i termer av geometrin hos linjer i en Kakeya-uppsättning. Du kan bryta upp en generell lösning av vågekvationen i ett gäng bitar som rör sig i olika riktningar och interagerar med varandra på olika sätt över tiden. Var och en av dessa bitar liknar matematiskt en nål i en Kakeya-uppsättning. Kakeya-förmodan hävdar att en sådan konfiguration inte kan ha för mycket överlappning. I detta fysiska sammanhang skulle överlappningar motsvara varaktigheten av oregelbundna och oväntade beteenden i lösningen. Till exempel kan en ljudvåg förstärkas i många regioner vid många olika tidpunkter.

Den lokala utjämningsförmodan säger att sådana oegentligheter bör utjämnas. "Det är som att ta genomsnittet av finansmarknaden," sa Ciprian Demeter från Indiana University Bloomington. "Det kan bli krascher här och där, men om du investerar dina pengar och går i pension om 40 år, finns det en god chans att du får några bra investeringar."

Men som med alla gissningar i hierarkin, beror det på sanningen i Kakeya-förmodan. "Tanken är att om du utesluter många korsningar i Kakeya-uppsättningar, betyder det att du kan utesluta dessa situationer där delar av din lösning konspirerar tillsammans för att skapa någon form av blowup," sa Stovall.

Denna gissning är den svåraste av gänget: Medan de tvådimensionella fallen av Kakeya-, begränsnings- och Bochner-Riesz-problemen löstes för decennier sedan, bevisades den tvådimensionella lokala utjämningsförmodan bara för några år sedan. (I högre dimensioner förblir alla dessa problem öppna.)

Men trots de långsamma framstegen med att bevisa den lokala utjämningsförmodan har arbetet med den lett till enorma framsteg på andra håll. 1999, när han försökte ta itu med gissningarna, introducerade matematikern Thomas Wolff en metod som kallas frikoppling. Sedan dess har den tekniken fått sitt eget liv: Den har använts för att göra stora genombrott inte bara inom harmonisk analys, utan inom talteori, geometri och andra områden. "Genom att använda frikopplingsresultat har du nu världsrekord i mycket kända, viktiga problem," sa Christopher Sogge från Johns Hopkins University, som först formulerade den lokala utjämningsförmodan på 1990-talet. Till exempel har avkoppling använts för att hjälpa till att räkna hur många sätt ett heltal kan representeras som summan av kvadrater, kuber eller någon annan potens.

Som Demeter uttryckte det är dessa resultat möjliga eftersom "vi kan se på siffror som vågor." Att alla dessa problem länkar tillbaka till Kakeya-nålset "är fascinerande", tillade han. "Du tror inte att så mycket skönhet, svårighet och betydelse kan döljas i något som kan formuleras med hjälp av linjesegment."