Beskrivning
Idén om oändlighet är förmodligen ungefär lika gammal som siffrorna själva, och går tillbaka till när folk först insåg att de kunde fortsätta räkna för evigt. Men även om vi har ett tecken på oändlighet och kan hänvisa till begreppet i tillfälliga samtal, förblir oändligheten djupt mystisk, även för matematiker. I det här avsnittet chattar Steven Strogatz med sin kollega matematiker Justin Moore vid Cornell University om hur en oändlighet kan vara större än en annan (och om vi kan vara säkra på att det inte finns en mellanliggande oändlighet mellan dem). De diskuterar också hur fysiker och matematiker använder oändligheten på olika sätt och betydelsen av oändlighet till själva grunden för matematiken.
Lyssna på Apple Podcasts, Spotify, Google Podcasts, häft, TuneIn eller din favoritpoddapp, eller så kan du streama det från Quanta.
Avskrift
Steven Strogatz (00:03): Jag är Steve Strogatz, och det här är Glädjen över varför, en podcast från Quanta Magazine som tar dig in i några av de största obesvarade frågorna inom matematik och naturvetenskap idag.
(00:13) I det här avsnittet kommer vi att diskutera oändlighet. Ingen vet riktigt var idén om oändligheten kom ifrån, men den måste vara väldigt gammal - lika gammal som människors förhoppningar och farhågor om saker som kan tänkas pågå för evigt. Vissa av dem är skrämmande, som bottenlösa gropar, och några av dem är upplyftande, som oändlig kärlek. Inom matematiken är idén om oändlighet förmodligen ungefär lika gammal som siffrorna i sig. När folk insåg att de bara kunde fortsätta räkna för evigt - 1, 2, 3 och så vidare. Men även om oändligheten är en mycket gammal idé, förblir den djupt mystisk. Folk har kliat sig i huvudet om oändligheten i tusentals år nu, åtminstone sedan Zeno och Aristoteles i antikens Grekland.
(00:57) Men hur förstår matematiker oändligheten idag? Finns det olika storlekar av oändlighet? Är oändligheten användbar för matematiker? Och i så fall, hur exakt? Och vad har allt detta att göra med själva matematikens grunder?
(01:14) Justin Moore, professor i matematik vid Cornell, är med mig idag för att diskutera oändligheten. Hans forskningsintressen inkluderar mängdteori, matematisk logik och oändlig kombinatorik och deras tillämpningar på andra matematiska områden, såsom topologi, funktionsanalys och algebra. Välkommen, Justin.
Justin Moore (01:33): Hej, Steve. Tack för att jag fick komma.
Strogatz (01:35): Ja, jag är väldigt glad över att få prata med dig. Jag borde säga, kanske för fullständig avslöjande, Justin är min vän och kollega på matematikavdelningen på Cornell. OK, så går vi till att tänka på oändligheten när matematiker tänker på det. Faktiskt, kanske innan vi dyker in i mattedelen, låt oss bara prata en sekund om den verkliga världen, för vi kommer inte att vara där länge. Har jag rätt i att du en gång var utbildad i fysikens värld?
Moore (02:02): Ja, det var en fysik dubbel major med matte, när jag var en grundexamen. Jag blev typ utbränd på fysik. Jag började gynna fysik och var också lite intresserad av matematik mer rekreationsmässigt. Och sedan på något sätt, under loppet av det, blev jag mer intresserad av matematik och fysik.
Strogatz (02:18): Okej. Hur är det med oändlighetens fysik? Är det ens vettigt? Finns det några oändliga saker i den verkliga världen som vi känner till?
Moore (02:26): Du vet denna video, 10:s krafter, som skapades av Charles och Ray Eames? Där i princip varje — jag tror att det är var 10:e sekund, du är en kraft av 10 mindre. Tja, till en början tror jag en kraft på 10 större. Du zoomar ut. Och sedan var 10:e sekund, är du en potens av 10 mindre, och du går från den största skalan av universum ner till den minsta skalan av subatomära partiklar. Du vet, det här gjordes tillbaka i, vill jag säga, sent 70-tal eller tidigt 80-tal. Och jag tror att vår förståelse för vissa saker har utvecklats lite sedan dess, men inte jättemycket. Men jag menar, poängen är att det finns cirka 40 potenser av 10 som skiljer den minsta längdskalan från den största längdskalan, och kanske kan du vara generös och slänga in flera extra potenser av 10, bara för att det ska vara bra. Men det är rättvist att säga att det inte finns något som du kan mäta i fysik som är större än, du vet, 10100 eller 10200 eller något sådant.
(03:22) Och kanske vår uppfattning om att saker är kontinuerliga – kontinuerlig rörelse eller vad som helst – kanske är allt bara en illusion. Kanske är allt riktigt granulärt och ändligt. Men vad som är sant är att fysiker verkligen har upptäckt mycket om världen vi lever i, genom att föreställa sig att saker och ting är jämna och kontinuerliga, och att den oändligheten är vettig. När du går in på de delar av fysiken där de ännu inte riktigt har formaliserat saker, så handlar många av de problem som matematiker har med detta till fysikerna att behandla oändlighet på olika sätt och subtrahera oändligheter från oändligheter. , och kanske inte vara så ansvarig för det som en matematiker vill att de ska vara. Jag tror inte att det är ett kontroversiellt uttalande. Jag tror att en fysiker skulle - de flesta fysiker skulle förmodligen - jag menar, OK, kanske du skulle veta bättre. Men jag tror att de flesta fysiker skulle säga att det är ett ganska korrekt påstående.
Strogatz (04:20): Så när det gäller din egen personliga berättelse – jag lovar att jag inte ska gå för djupt för att skämma ut dig i det här – men vad var det som drog dig till oändligheten? Var det på något sätt som fysiken kändes för liten för dig? Eller gillar du bara matematikens stränghet, eller...?
Moore (04:33): Jag menar, jag tror att jag blev intresserad av matematik som helhet och växte bort från fysiken innan jag blev intresserad av specifikt mängdteori. Ironiskt nog berodde det på att jag — ja, om du går en fysikklass, någon gång, blir du ganska snabb och lös med matematiken. Och antingen är du okej med det eller så är du det inte. Jag var en av dem som inte var okej med det.
Strogatz (04:56): Va. Och jag var en som var OK, och jag gör det fortfarande. Du vet, jag menar, de sakerna har inte oroat mig alltför mycket, även om jag respekterar omsorgen som — den intellektuella integritet som rena matematiker har, du vet, oroar sig för dessa saker.
(05:11): OK, så anta att jag bara var, jag vet inte, som en nyfiken tonåring, och jag vet inte ens vad oändlighet är. Vad skulle du säga att det är? Ska jag se det som ett väldigt stort tal? Är det någon symbol? Är det en fastighet? Vad är ett bra sätt att tänka på vad oändlighet är?
Moore (05:26): Ja, jag menar, jag antar att det är — det kan vara en idealiserad punkt i slutet av raden, okej? Det kan vara en formell symbol. Du vet, du kan tänka på det på ett sätt... en formell symbol i samma mening som att säga, vi introducerar -1, eller hur? Och jag minns när jag var liten att lärare inte skulle vara villiga att göra klart om det var säkert att prata om negativa siffror. Och visst, det låter dumt i efterhand, men på någon nivå, eller hur, existerar -1 i den verkliga världen? Men du kan formellt manipulera det och du kan formellt manipulera oändligheten på någon nivå, men du måste kanske visa lite mer omsorg. Du kan också använda oändligheten som ett sätt att kvantifiera hur många det finns av något. Och det öppnar fler dörrar där, för man kan prata om att det finns oändliga uppsättningar, av vilka några är större än andra.
Strogatz (06:15): Okej. Okej. Så du har nämnt det här ordet "uppsättningar", och vi kommer säkert att prata mycket om uppsättningar idag. Jag sa att dina intressen inkluderar mängdteori. Vill du säga något mer om vad du menar med en uppsättning?
Moore (06:26): Jag antar att jag... Svaret är både ja och nej. Så jag tycker att det är OK att flyga vid byxsätet och bara se det som bara, du vet, ett odefinierat begrepp och använda det lite intuitivt. Men det användes också som en mekanism för att lägga grunden för matematik, när folk insåg att vi behövde ha några, göra någon noggrann grund för vad matematik är.
Strogatz (06:49): Äh va. Det är intressant. För att jag - så som små barn, vi lär oss att räkna på våra fingrar, eller så börjar våra föräldrar förmodligen säga ord, och sedan kanske de pekar på saker och säger "1, 2, 3..." Och vi lärde oss ljud - barn så när de är väldigt små, jag vet, eller hur? Jag menar, om du har små barn själv, eller släktingar. Så det finns den sidan av saken. Och jag tror att de flesta skulle föreställa sig att siffror är grunden för matematik. Men du säger, och jag tror att de flesta matematiker håller med om, att det finns något ännu djupare än siffror, vilket är det här begreppet mängder, eller hur?
Moore (07:22): Jag tror att begreppet "uppsättning" kom till som ett grundläggande koncept eftersom det är så grundläggande och så primitivt. Och om du är det, om du vill ha något att använda som ett tyg för matematik, vill du börja med något där dess grundläggande egenskaper verkar väldigt primitiva, och sedan börja därifrån. Och då är tanken att man sedan använder uppsättningar för att koda saker som räknetalen, och saker som de rationella talen, och de reella talen, och så vidare. Och sedan därifrån, alla möjliga andra mer komplicerade matematiska konstruktioner, som grenrör, eller, eller vad som helst.
Strogatz (07:57): Så jag kan komma ihåg, i en Sesam avsnitt som jag brukade se med mina barn. Det var i en film; Jag tror det var. Att det finns en karaktär som beställde fisk till ett rum fullt av hungriga pingviner. Och han bad pingvinerna att ropa och de sa: "Fisk, fisk, fisk, fisk, fisk, fisk." Och så ropar servitören ner till köket: "Fisk, fisk, fisk, fisk, fisk." Och så säger någon annan, "Nej, du har fel." Och någon annan säger, "Tja, varför sa du inte bara att de beställde sex fiskar?" Men det gör poängen att denna idé om ett antal kommer efter denna samling av fiskföremål. Och så blir en annan karaktär förvånad och säger: "Fungerar det för tändstift? Och kanelbullar?”
Moore (08:42): Jag menar, jag tror också, det är bara om du är intresserad av att försöka förstå, kan du bevisa detta? Eller kan du bevisa det? Och du försöker sätta upp reglerna för hur du skulle bevisa saker eller vad som helst, du vill att de grundläggande principerna ska vara så enkla som möjligt. Och så istället för att försöka skriva ner regler för hur aritmetiken fungerar, börjar du med att skriva ner enklare regler för enklare saker, och bygger sedan aritmetiken av dessa mer grundläggande byggstenar.
Strogatz (09:08): Okej. Så då, och detta påminner mig också om "New Math", när vi som barn på 60-talet brukade lära oss om korsningar och Venn-diagram och fackföreningar, eller hur? Det var början på mängdteorin. De lärde oss det i — jag minns inte — det var andra eller tredje klass; mina föräldrar visste inte varför. Men det var, antar jag, matematiker av din typ, eller andra som tyckte att barn borde lära sig set, antingen innan eller samtidigt som de lär sig om aritmetik.
Moore (09:33): Ja, det mesta som folk studerar inom mängdlära, jag menar, nuförtiden är verkligen hur oändliga uppsättningar fungerar. Eftersom vår intuition om oändliga mängder inte är lika bra som vår intuition om ändliga mängder. Och jag tror att det är mycket av anledningen till att drivkraften för stiftelser fanns där. Det var delvis för att vi skulle vilja skriva ner, OK, vad är vi ganska säkra på att egenskaperna hos oändliga mängder och mängder i allmänhet, och sedan försöka utveckla vad som är sant om oändliga mängder därifrån?
Strogatz (10:03): OK, så varför har vi inte några exempel? Kan du ge mig några exempel på saker som är oändliga mängder?
Moore (10:08): Tja, gillar de naturliga talen. Som du sa - som 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och så vidare - men också saker som de rationella talen. Du vet, bråk som två naturliga tal över varandra, eller kanske ett negativt bråk. Men sedan finns det också saker som de reella talen, där - du vet, allt som du kan uttrycka med en decimal, inklusive saker som pi och e.
Strogatz (10:28): Mm-hmm. Så de kan ha oändligt många siffror efter decimalkomma.
Moore (10:32): Ja, ja, oändligt många siffror. De behöver inte upprepa.
Strogatz (10:35): Äh va. Och hur är det med saker som former eller punkter eller geometriska saker, inte bara numeriska saker?
Moore (10:41): Ja, du kan prata om samlingar av geometriska former också.
Strogatz (10:45): OK, så det här är en trevlig egenskap hos mängder: att vi med mängder kan förena eller åtminstone ha ett gemensamt språk för att prata om aritmetik, geometri, … .
Moore (10:54): Just det.
Strogatz (10:55): Jag antar att vi skulle kunna prata om en uppsättning funktioner, om vi gick en förkalkylkurs. Du vet, som uppsättningen av kontinuerliga funktioner, om vi var i en kalkylkurs.
Moore (11:04): Visst. Ja.
Strogatz (11:05): Eller vad som helst. Så ja, så detta ger oss ett gemensamt språk för alla olika delar av matematiken.
Moore (11:09): Just det.
Strogatz (11:10): Och — men det är en relativt ny idé som grund för matematiken när det gäller matematikens övergripande historia, skulle du inte säga?
Moore (11:16): Ja, jag menar, jag... Tja, modern matematik som vi känner den är ungefär någonstans mellan 100 och 150 år gammal. Men jag brukar associera det runt - den första delen av förra seklet var när vi egentligen började se alla de stora delarna av matematiken som vi känner dem idag börja utvecklas och verkligen bli egna distinkta ämnen. Och det var också ungefär samtidigt som [Bertrand] Russell upptäckte sin paradox, vilket sporrade behovet av någon form av rigorösa grunder för matematik.
Strogatz (11:49): Äh, va. Vi bör nämna - ja. Så Bertrand Russell, vi pratar om nu, är ofta mer känd som filosof eller pacifist, och ändå var han en ganska stark matematiker och logiker, någon som var intresserad av logik som en del av matematiken.
Moore: Jaja.
Strogatz (12:04): Så som du säger, han var en av personerna som hjälpte till att få uppsättningsteorin att rulla på riktigt. Och även före honom fanns den här herren, Georg Cantor, som vi kommer att prata om en hel del, i Tyskland i slutet av 1800-talet.
(12:17): OK, så hur inom matematiken, låt oss säga, använder matematiker oändligheten? Du nämnde hur användbart det kan vara. Var används det?
Moore (12:27): Ja, så, i en kalkylklass är det en användbar symbol för att göra vissa beräkningar. Att prata om hur en funktion beter sig då ingången blir väldigt stor. Du kan prata om gränsen i oändligheten, eller förhållandet mellan kvantiteter när ett tal går till noll eller oändligt eller något liknande. Det är en föreställning om oändlighet som är typ i den första betydelsen som jag nämnde, där du ser oändligheten som en idealiserad punkt i slutet av raden.
(12:53) Men du kan också prata om det som - du vet, du kan, du kan prata om att räkna antalet element i någon samling eller någon uppsättning, och hålla reda på antingen hur ändligt många element den har eller kanske, om den har oändligt många element, försöker skilja mellan olika storlekar av oändlighet. Jag menar, alla förstår - eller låtsas förstå - skillnaden mellan att vara ändlig och att vara oändlig. Och jag tror Cantors märkliga upptäckt var att du kan, för en oändlig uppsättning, kan du göra ytterligare distinktioner. Du kan skilja på att det är vad som kallas countable och sedan vad som kallas att vara oräkneligt. Eller rent av rent generellt, högre oräkneliga kardinaler än distinktioner mellan olika oräkneliga kardinaler.
Strogatz (13:34): Så okej, låt oss åka dit. Eftersom detta är, detta tar oss verkligen in i hjärtat av vårt ämne. Jag tror att den genomsnittliga personen som hör ordet "räknebar" för första gången kanske tror att det bokstavligen betyder räknebar, som något som har 10. Du vet, om det finns 10 tändstift på bordet, skulle jag kunna räkna dem — 1, 2, 3 , upp till 10. Men du och andra matematiker använder countable för att betyda något lite annorlunda än så.
Moore (13:56): Det betyder bara att du kan tilldela ett naturligt tal till varje element i uppsättningen så att inget naturligt tal används två gånger.
Strogatz (13:56): Så något kan vara räknebart och oändligt.
Moore (13:57): Och oändligt. Så de naturliga talen är uppenbarligen räknebara eftersom de räknar sig själva. Men kanske lite mindre uppenbart är att heltal inklusive negativen för de naturliga talen, att de är räknebara.
Strogatz (14:18): Så låt oss prata om det en sekund. Så om en person inte har tänkt på det tidigare så är det intressant. För som - så du sa, du kommer att överväga alla siffror, alla positiva heltal, alla negativa heltal och noll.
Moore (14:29): Ja.
Strogatz (14:30): Och du kan göra det fel. Som om du började på noll och började räkna till höger och du går 0, 1, 2, 3, så skulle du aldrig komma tillbaka till de negativa talen. Och då skulle du ha misslyckats med att räkna alla heltal.
Moore (14:41): Ja.
Strogatz: Men vad ska man göra istället?
Moore: Det du kan göra är att du kan räkna, du vet, 0, 1, -1 och sedan 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5. Och om du listar dem på det här sättet, så listar du så småningom allt.
Strogatz (14:55): Vackert. Så det här sicksackargumentet där du hoppar fram och tillbaka mellan det positiva och det negativa är ett trevligt, organiserat, systematiskt sätt att visa att om du tänker på något heltal så kommer det så småningom att finnas på listan.
Moore: Ja. Ja.
Strogatz(15:07): Så det är bra. Så okej, så heltal kan räknas. Cantor upptäckte också att några andra saker var räknbara som var - jag vet inte om han blev förvånad, men många av oss blir förvånade när vi först får veta om det. Som, som vad?
Moore (15:21): Ja, jag tror att två bra exempel som är överraskande är de — för det första, rationalen. Så samlingen av alla bråkdelar av två heltal kan räknas. Det är faktiskt ganska lätt att se när du, när du tänker efter, eftersom du bara kan lista alla bråk med nämnare 1 — eller täljaren och nämnarens absoluta värde högst 1. Och sedan, högst 2, högst 3, högst 4 Och i varje steg finns det bara ändligt många bråk där täljaren och nämnaren är minst i storleken högst n. Och då kan du uttömma alla förnuft på det sättet.
Strogatz (15:55): Så som, om jag valde talet n till 3, säger du att jag skulle kunna ha ett tal som 1/2 eller 2/1, eller 0/3, eftersom täljaren plus nämnaren summerar till 3?
Moore (16:06): Ja. En annan, som återigen är lite överraskande, är om du tar antalet ord som du kan skriva ner i det latinska alfabetet, eller vilket alfabet du vill. Det finns på sin höjd oräkneligt många finita ord, eller finita strängar av symboler som kommer från detta alfabet. Om du tänker på alla ord eller alla meningar, all litteratur, om du vill -
Strogatz: Åh.
Moore (16:30): — allt som inte bara existerar nu utan potentiellt kan existera någon gång i framtiden. Du vet, du sätter de där oändligt många aporna vid skrivmaskinen och tittar på vilka utdata de kan generera på en begränsad tid. Det är bara en uppsättning som kan räknas.
Strogatz (16:44): Wow. Så alla möjliga böcker överallt, låt oss säga, på latin, på alla möjliga språk som vi kan?
Moore (16:50): På alla möjliga språk. Ja. Jag menar, om du ens gillar kan du ha ett räknebart alfabet om du vill. Det gör ingenting större.
Strogatz (16:56): Så räknebart skulle verka som en väldigt stor oändlighet. Och ändå -
Moore (16:59): Ja. Det första överraskande är att de mängder som verkar vara större än de naturliga talen faktiskt har samma storlek som de naturliga talen. De är räknebara. Men så finns det en annan överraskning, som är att de reella talen, uppsättningen decimaltal, är oräkneliga.
Strogatz (17:13): Så det är den här anmärkningsvärda punkten som du har nämnt att det kan finnas uppsättningar som inte går att räkna. Och jag antar, kanske det enklaste exemplet skulle vara: Tänk på en linje som går till oändlighet i båda riktningarna. Alltså som en oändligt lång, rak linje. Den riktiga linjen som vi skulle kalla den. Det är oräkneligt.
Moore (17:32): Just det. Om du, om du ger mig en lista, en påstådd lista över alla element på den raden, finns det en procedur som kallas diagonalargumentet, som låter dig skapa en ny punkt som är på linjen, men inte på din lista. Det var Cantors berömda upptäckt.
Strogatz (17:49): Så det var verkligen en helt häpnadsväckande upptäckt, antar jag på den tiden, eller hur? Att man nu plötsligt kunde prata om två oändliga uppsättningar och jämföra dem.
Moore (17:58): Ja, ja. Och skillnaden mellan countable och uncountable är verkligen användbar i matematik. I grund och botten, räknebara uppsättningar, kan du fortfarande prata om summor som är av uträkneligt oändlig längd. Det är något som lärs ut i slutet av en standard - slutet av en andra termins kalkylkurs. Medan summor över oräkneliga set är mindre meningsfulla, eller åtminstone måste du definiera dem på ett mer känsligt sätt. Som sagt, något mer i stil med en integral eller något liknande.
Strogatz (18:30): OK, så nu när vi har den här distinktionen av räknebara, som hela talen — 1, 2, 3, 4, 5 — och oräkneliga, som punkterna på en linje. Det finns en annan fråga som jag tror skulle vara bra om vi kunde lägga lite tid på det. Kallas kontinuumhypotesen. Kan du berätta vad det är?
Moore (18:50): Ja. Så Cantor undrade: Finns det, finns det något däremellan? Du kan - du vet, de naturliga talen sitter inuti de reella talen, och de naturliga talen kan räknas. De reella talen är oräkneliga och större än de naturliga talen. Finns det en uppsättning reella tal som är större än de naturliga talen, men mindre än -
Strogatz (19:10): Mindre i denna mening av att räkna.
Moore (19:12): — mindre än strecket? Finns det en uppsättning punkter på den linjen, på tallinjen, som är större än de naturliga talen, större än rationalerna, men mindre än hela linjen själv? Påståendet att det inte finns någon sådan mellanmängd kallas kontinuumhypotesen. Och det var Hilberts första problem, om kontinuumhypotesen är ett sant eller falskt påstående.
Strogatz (19:35): Äh va, så Hilbert var en stor matematiker av detta - kanske lite senare generation men inte mycket senare. Och under året - vad var det, 1900 eller så, tror jag - tillkännagav eller gav han en lista över vad han trodde var några av de största problemen för framtiden, vid 20-talets matematiker att arbeta med. Och jag tror att detta var den första frågan på hans lista?
Moore (19:58): Ja, det här var frågan nummer ett.
Strogatz (20:00): Wow. Så det var stort att tänka på detta. Cantor, säger du, kallade det en hypotes. Han trodde att det skulle visa sig vara sant.
Moore: Ja.
Strogatz (20:07): Att det inte fanns någon oändlighet mellan de två som han redan visste om
Moore (20:11): Ja. Och grejen är att den överlever testet att leta efter motexempel. Jag menar, om du börjar titta på alla uppsättningar av realer, delmängder av raden som du kan skriva ner en beskrivning av eller som du kan konstruera på något sätt. Han försökte detta. Och han bevisade, jag menar, ja, han visade att det inte finns motexempel. Det finns till och med tidigt teorem som säger att mängder av den eller den typen inte kan vara motexempel.
Strogatz (20:40): Det är fantastiskt. Låt mig se till att jag får det här. Jag har aldrig hört det här uttalandet: Bara det faktum att några av dem är beskrivbara gör att de på sätt och vis inte är tillräckligt bra.
Moore (20:49): Till exempel, en uppsättning som är stängd har alla sina gränspunkter. Cantor bevisade att detta inte kan vara ett motexempel. Antingen går den att räkna eller så har den samma storlek som den verkliga.
Strogatz (21:00): Så om det finns ett motexempel måste det vara obeskrivligt.
Moore (21:04): Ja, det måste vara komplicerat.
Strogatz (21:06): Wow. Men det är naturligtvis möjligt att det finns en, bara att det skulle vara någon riktigt bisarr sak.
Moore (21:12): Ja. Så det leder oss till något som går tillbaka till denna grundläggande fråga. Du vet, runt den tiden började de försöka formalisera vad axiomen för matematik var. Och någon gång senare, runt - på 1930-talet, bevisade [Kurt] Gödel att faktiskt varje form av begripligt axiomsystem som du kan ha som uppnår det blygsamma målet att formalisera aritmetiken på de naturliga talen, nödvändigtvis är ofullständigt. Det finns påståenden som du inte kan bevisa från detta axiomsystem, och du kan inte motbevisa dem från axiomen med hjälp av ändliga standardbevis.
(21:52) Och det här var, tycker jag, ganska chockerande. Eftersom det säger dig att målet att på något sätt algoritmiskt försöka lösa alla dina problem i matematik och skapa någon form av algoritmisk grund, är någon komplett grund av matematik i någon mening dömd. Eller åtminstone måste styras av någon högre intuition utöver bara - jag vet inte - vad som fanns tillgängligt vid den tiden.
(22:16) Och vad Gödel bevisade — en av sakerna som han bevisade senare var att ett av påståendena som du inte kan bevisa eller vederlägga är påståendet att ditt axiomsystem är konsekvent i första hand. Att det inte leder till några motsättningar. Det påståendet kan kodas som något slags påstående om talteori, om aritmetik på de naturliga talen, men inte på ett särskilt naturligt sätt. Om du går och pratar med någon av sifferteoretikerna på institutionen så skulle de inte betrakta det som ett problem eller ett påstående om talteoretisk, även om det rent tekniskt är det. Och så var det - en fråga som lämnades från Gödels tid var om kontinuumhypotesen - eller om det finns något annat naturligt matematiskt påstående, som är oavgörbart baserat på det axiomsystem som vi arbetade inom.
Strogatz (23:02): Så det finns det här konceptet med axiom. Vi borde nog försöka komma ihåg hur de ser ut. För om vi gör mycket noggrann matematik måste vi fastställa några definitioner, men också några saker som vi tar - jag vet inte varför jag inte vill säga "vi tar för givet", men att vi accepterar som berggrund.
Moore (23:19): Ja, ja. Så det här är, jag menar, det här är något som grekerna gjorde som, det var, du vet – en av framgångarna med att formalisera geometri – var att snarare än att försöka definiera vad geometri är, snarare se det som: Du är kommer att skriva ner några odefinierade termer och sedan skriva ner reglerna eller axiomen som styr hur dessa odefinierade termer beter sig. För dem var det saker som en punkt och en linje. Och när en punkt är på en linje är det de odefinierade begreppen. Och när en punkt är mellan två andra punkter på en linje, är det odefinierade begrepp. Och sedan skriver du ner en uppsättning axiom som styr hur dessa begrepp fungerar. Och om du har gjort det rätt, så är alla överens om att dessa egenskaper uppenbarligen stämmer med dessa, dessa saker. Och därför är dessa axiom saker som är slags självklart sanna.
(23:19) Så för geometri, du vet, det finns det här berömda parallella postulatet, som - du inte kunde härleda det från de andra. Och det var något revolutionerande när man upptäckte att man faktiskt kan konstruera modeller av geometri som uppfyller alla axiomen men inte parallellpostulatet. Och därför är det parallella postulatet inte bevisbart från de andra axiomen. Så i någon mening, vad Gödel hade gjort är att utveckla en metod för att göra det, men på nivån med modeller för matematik, eller åtminstone modeller av detta axiomsystem som vi har för matematik.
Strogatz (24:45): Aha, det är ett intressant sätt att säga det. Så, liksom, där vi har euklidisk geometri och då har vi också dessa mer nymodiga icke-euklidiska geometrier som, känt, Einstein använde i allmän relativitetsteori, men de används på andra ställen också. Och de är logiskt sett lika bra som euklidisk geometri. Men nu, istället för att bara prata om geometri, säger du att det är som att vi skulle kunna ha det traditionella - ja, jag är inte säker på vad orden är. Vad är analogen till euklidisk geometri? Finns det traditionell matematik?
Moore (25:16): Det är en öppen fråga. Jag menar det, jag menar - jag tror att det delvis är en filosofisk fråga. Kanske är det en sociologisk fråga, för det handlar om vad som är matematik, eller hur? Det kommer tillbaka till den grundläggande frågan. Och jag tror att axiomen som vi har ZFC-axiomen som utvecklades för lite över 100 år sedan är sådana som vi generellt är överens om att dessa är sanna, eller så är det, det här är egenskaper som "set" borde ha, men de" är inte komplett.
Strogatz (25:44): Nåväl, vänta, låt oss packa upp allt det där. Det låter bra. Så ZFC, varför börjar vi inte med det? Det är namnen på några människor och en sak.
Moore (25:51): Ja, ja. "Zermelo-Fraenkels mängdlära” med något som kallas ”valets axiom”. Ja.
Strogatz (25:55): Okej. Och så det är spelregler som är allmänt accepterade.
Moore (25:59): Ja, det är en lista över axiom som är — den är ganska lång, men inte så lång. Saker som, om du har två uppsättningar, finns det en uppsättning som har båda som sina element. Parningsaxiomet, att du kan ta föreningen av en samling uppsättningar, och det är en uppsättning. Och så vidare.
Strogatz (26:15): Okej. Så det finns ZFC:s sätt att göra mängdteori, och det är, säger du, föreslaget vid en viss tidpunkt och folk gillar det, men sedan sa du att det inte är komplett?
Moore (26:26): Ja. Så det är något du kan skriva. En datoralgoritm för att lista axiomen. Det är en oändlig uppsättning axiom. Men med undantag för två sorters kluster av axiom, är det ändligt. Om du inte är uppmärksam skulle du faktiskt tro att dessa, var och en av dessa andra kluster av axiom, är enstaka axiom. Men de är faktiskt en oändlig familj av axiom. Du kan skapa ett datorprogram som spottar ut alla axiom. Vi tenderar att tro att ZFC är konsekvent eftersom vi inte har upptäckt några motsägelser. Om du tror det, så kommer inte ZFC med Gödels ofullständighetsteorem att kunna bevisa att det är konsekvent.
(27:03) Och så finns det påståenden, som ZFCs konsistens, som ZFC inte kan bevisa. Det är en intressant poäng. För återigen, vi tror att ZFC är konsekvent. Och det är, jag menar, en av anledningarna till att, jag menar... De flesta matematiker, de kommer att arbeta är baserade på tron att CFC är konsekvent. Höger? Men det är något som vi betraktar som ett sant uttalande. Men det är inget som ZFC själv är tillräckligt för att bevisa.
Strogatz (27:27): Jag bara tänker. På vägen hit har vi nämnt Gödel. Jag vet inte att vi har sagt vem han är. Vill du berätta kort?
Moore (27:34) Ja, det var han. Jag menar, han var en slags revolutionär logiker. Detta, incompleteness theorem, var en av hans stora framgångar. Och hans andra stora prestation var att visa att kontinuumhypotesen inte kan motbevisas med hjälp av ZFC-axiomen.
Strogatz (27:49): Vissa människor tänker på honom som den största logikern sedan Aristoteles. Och Einstein, som var hans vän och kollega vid Institute for Advanced Study, sa att han älskade att ha förmånen att gå till jobbet med Kurt Godel. Jag menar, han var i samma intellektuella liga med Einstein. Om du inte har hört talas om honom rekommenderar jag att du tittar på en bok om honom som heter Resan till kanten av förnuftet. En fantastisk bok om Gödels liv. Men OK, så han har rätt, så han är en logiker från mitten av 20-talet, tidigt 20-tal. Och du säger att han bevisade det - ja, säg det igen om kontinuumhypotesen?
Moore (28:23): Inom varje modell av mängdlära, konstruerade han en mindre modell av mängdlära som uppfyller kontinuumhypotesen. Och så vad det visar är att du inte kan motbevisa kontinuumhypotesen inom mängdteorins axiom. Från en modell för mängdteori, om du har en, så kan jag ta fram en ny, som uppfyller kontinuumhypotesen.
Strogatz (28:43): Jag förstår. Så det kan finnas versioner av mängdteori, typ mindre versioner, som fortfarande är tillräckliga för att göra aritmetik, antar jag.
Moore: Ja.
Strogatz (28:51): Men där, OK, är kontinuumhypotesen sann, precis som Cantor gissade.
Moore: Ja.
Strogatz (28:56): Och sedan. Men sedan - det finns ett stort "men" till den här historien.
Moore (28:59): Ja. Så många, många år senare, [Paul] Cohen utvecklat en teknik som kallas forcering som gjorde att han kunde förstora modeller av mängdteori. Och med detta bevisade han att du inte kan bevisa kontinuumhypotesen. Förutom att hans teknik också kan användas för att bevisa att du inte kan motbevisa den. Den här, ja, den här tekniken som kallas forcering är verkligen, den är väldigt kraftfull. Forcering och tekniken att bygga en mindre modell inom din modell för mängdlära. Det här är den sortens två verktyg som vi har för att bygga nya modeller för mängdteori från gamla modeller för mängdlära.
Moore (29:32): Går tillbaka till geometrianalogin. Jag menar, även dessa modeller av det hyperboliska planet, som var de icke-euklidiska modellerna av geometri – de själva börjar med att ta det euklidiska planet eller en delmängd av det och bygga geometrimodellen som punkterna och linjerna där. Punkterna är bara vanliga punkter på den här skivan. Och linjerna där finns cirklar i, vissa cirklar i den ursprungliga geometrin. Poängen som jag försöker få fram är att det här är en slags fruktbar sak man gör i matematik. Du börjar ofta med någon struktur som tillfredsställer ditt axiomsystem, som en geometri som uppfyller dina geometriska axiom, och du manipulerar den på något sätt och producerar en ny sak, som kanske uppfyller en annan uppsättning axiom. Det var vad Cohen och Gödel gjorde, var att de tog en modell av mängdlärans axiom – och därför i någon mening en modell för matematik – och manipulerade den med olika tekniker för att producera nya modeller, som tillfredsställde antingen att kontinuumhypotesen är sann, eller att kontinuumhypotesen är falsk.
Strogatz (30:36): Så det här är verkligen fantastiskt för mig, och jag är säker på att många människor, du vet... Platon har den här filosofin att det finns vissa idealformer där ute och sanningar som - kanske vi kan Jag ser dem inte här på jorden, men i något platoniskt rike finns deras sanning.
Moore: Jaja.
Strogatz (30:57): Och du skulle känna att de verkliga talen existerar, oavsett om människor tänker på dem eller inte, och att kontinuumhypotesen antingen är sann för de reella talen, eller så är den inte det. Men du berättar för mig?
Moore (31:09): Tja, jag menar, ja, det finns olika skolor kring detta. Jag menar, du kunde inte - du kan se det som att det är den här saken som jag tror går under namnet, den där generiska multiversuppfattningen, att det inte finns något mer du kan säga. Det finns bara alla dessa modeller av mängdteori. Och det bästa vi kan göra är att försöka förstå vad som är sant i var och en av dem och flytta runt mellan dem. Och det är en väldigt icke-platonisk syn på saker och ting, en sorts formalistisk syn på saker och ting. Du kanske också anser att det finns någon kanske föredragen modell för mängdteori. Det är, ni vet, verkligheten som vi lever i, och alla dessa andra modeller, de är modeller av axiomen, men de är inte riktigt vad vi försöker beskriva med axiomen. Jag tror att analogin med geometri är lite illustrativ där, eller hur? Jag menar, du kan producera många olika modeller av geometri. Men vi lever fortfarande i en fysisk värld som har en geometri och kanske är det den geometri som vi bryr oss mest om.
Strogatz (32:03): Jag förstår. Så på samma sätt som vi skulle kunna ge euklidisk geometri en viss föredragen status eftersom det är den vi är vana vid. Det är den som har funnits länge, för det är liksom det enklaste och mest uppenbara, men vi tycker fortfarande att de här andra är bra, och de har sina domäner där de är användbara och intressanta.
Moore (32:20): Men det som kanske är värt att påpeka där också är att även vår förståelse av — Tja, för det första, jag är inte säker på att vi lever i en euklidisk geometri. Men det finns, det finns en fråga om det. Men även vår förståelse av den fysiska världen berikas avsevärt av att förstå alla dessa andra geometrier, denna fria utforskning av andra modeller av geometri. Och detsamma gäller med mängdlära. Jag tror att även om vi i framtiden kom överens om vad som är ett nytt axiom för mängdteorin, är det att anlända till den destinationen något som säkerligen inte kommer att ha varit möjligt utan all denna utforskning som sker i förväg.
Strogatz (33:00): Vad skulle bevisa eller motbevisa kontinuumhypotesen innebära? För vart och ett av dessa läger? Vad står på spel?
Moore (33:08): Ja, det är - OK, så jag tror att lägret som har den här typen av "alla världar" synpunkter bara skulle säga att detta är en meningslös fråga. Att Cohen och Gödel och deras tekniker för att bygga massor av modeller för mängdteori är typ slutet på diskussionen. Och du vet, vi kommer att producera massor av nya modeller för mängdteori, kanske, men vi kommer aldrig att ha ett slutgiltigt svar för att säga att kontinuumhypotesen är sann eller falsk. De människor som anser att det finns någon sorts sanning eller falskhet i det påståendet, skulle förmodligen försöka komma på något nytt axiom och förmodligen någon heuristisk motivering för varför detta axiom skulle vara sant - antingen en heuristisk eller kanske en pragmatisk motivering för varför det är sant. Och när du väl hävdar att detta axiom borde accepteras, att det på något sätt kapslar in någon intuition vi har om matematik eller mängder, då om detta axiom också bevisar eller motbevisar kontinuumhypotesen i en slags formell mening av ordet, då skulle du se att CH är sant eller falskt.
Strogatz (34:12): Så det är ungefär där vi är nu. Att det verkligen finns dessa två läger för tillfället.
Moore (34:16): Ja, till viss del. Det har gått så lång tid sedan kontinuumhypotesen visade sig vara obestämbar baserat på axiomen, att jag tror att de flesta matematiker har typ vant sig vid det faktum att det kanske är det mesta man kan säga. Och jag tror att det skulle vara fantastiskt vid det här laget om matematiker som helhet kunde samla sig kring någon ny heuristik som, ni vet, alla skulle kunna hålla med om borde vara sann. Och det kanske aldrig kommer att hända. Kanske, kanske samhället har för många olika synpunkter. För att vara rättvis tror jag det - jag tror att det är något av en konsensussyn, men inte en universell syn, att ZFC är uppsättningen av sanna axiom för matematik. Det finns säkert människor som anser att något oändligt bara inte existerar. Och det är ingen mening att prata om och vi borde inte prata om det.
Strogatz (35:05): Tja, det är en hävdvunnen tradition. Jag menar, det är - Aristoteles sa åt oss att se upp med oändligheten. Och genom matematikens historia, människor till och med så bra som [Carl Friedrich] Gauss var mycket försiktiga med detta koncept av fullbordad oändlighet, vilket var vad Cantor öppnade denna burk med maskar för oss. Men jag vet inte att det är maskar. Det verkar som att det är - du vet, vad är skadan? Det är att vi släpper fantasin och upptäcker många intressanta saker.
(35:30) Men jag har en fråga. Som någon som inte är en mängdteoretiker vill jag inte fråga det på ett oartigt sätt. Men det kanske låter lite oartigt, vilket — du vet vart jag är på väg, eller hur? Som, hur påverkar detta mig? Känner resten av matematiken vibrationerna som sker inom mängdlära? Eller är vi liksom isolerade från det ni gör?
Moore (35:49): Det är en bra fråga. Jag tror att de flesta matematiker aldrig stöter på ett påstående som varken är bevisbart eller vederläggbart inom det vanliga axiomsystemet för matematik inom ZFC. Och mängdteoretikerna har till viss del upptäckt en förklaring till det. Det finns en modell för mängdteori som är större än Gödels ursprungliga modell men mindre än universum av alla mängder som kallas solid basmodellen, som [Robert] Solovay upptäcktes runt tiden för Cohens verk. Och den anmärkningsvärda upptäckten är att denna modell - vad som är sant i den inte kan påverkas av tvång. Och därför, i huvudsak, om du kan formulera något om vad som är sant i den modellen eller falskt i den modellen, är det något som till stor del är immunt mot fenomenet oberoende.
(36:35) Haken är att denna modell för mängdteori inte är — inte uppfyller valets axiom. Så valets axiom är - det här är en annan burk med maskar här. Men en av anledningarna till att valets axiom skiljer sig från de andra axiomen är att det inte är konstruktivt. Alla de andra axiomen säger att någon mängd som du har en beskrivning av faktiskt är en mängd. Det är bara så axiomen fungerar. Men valets axiom säger dig att givet en samling uppsättningar som inte är tomma, kan du välja något från var och en av dem - därav valet - men det säger inte hur du ska göra valet. Detta var ett axiom som å ena sidan gjorde att vi kunde konstruera alla möjliga konstiga, paradoxala saker. Du vet, antar jag, i bollplanken för 100 år sedan eller så, som icke-mätbara uppsättningar, vad det nu är. Det är den här berömda nedbrytningen av sfären, det där Banach-Tarski paradox, den där -
Strogatz (37:29): Åh, det här är intressant.
Moore (37:32): — du kan skära sfären i ändligt många bitar och sedan sätta ihop dem till två sfärer som har samma dimensioner som den ursprungliga sfären. Och nu är anledningen till att det är absurt att du borde kunna tilldela en massa till var och en av — du vet, till den ursprungliga sfären, och sedan tilldela en massa till alla dessa bitar som du kan skära upp den i, och de bör läggas till den ursprungliga massan. Och när du sedan omarrangerar dem, bör den processen inte förändra massan. Men på något sätt, när du sätter ihop dem, har du dubbelt så mycket som du började med. Nu, poängen i det argumentet - där saker går fel är denna skärning av sfären som valets axiom tillåter dig att göra är så dålig att du inte kan tilldela massor till dessa bitar som du har.
(38:11) Nu, det paradoxala beteendet fick människor att tro att valets axiom på något sätt kanske är problematiskt. Kanske är det, det kommer att leda till någon slags paradox inom matematiken själv. Och därför bör valets axiom inte accepteras. En av sakerna som Gödel bevisade samtidigt som han bevisade att man inte kan motbevisa kontinuumhypotesen, är att det också är säkert att anta valets axiom. Det vill säga, om ZFC:s axiom utan valets axiom är konsekventa, så är det också uppsättningen av axiom för ZFC med valets axiom. Det ger dig en massa konstiga, exotiska saker, kanske, men ur en grundläggande synvinkel förorenar det inte vattnet.
(38:51) En stund senare upptäcktes det här som kallas Zorns lemma, vilket visade sig vara likvärdigt med valets axiom. Och det är verkligen mycket fruktbart för att utveckla många olika grenar av matematiken. Det är något som - du lär dig om det om du är en avancerad grundexamen, eller om du är en doktorand i matematik. Det är på något sätt en del av bara den inlärning som krävs för en examen i matematik. Och på grund av denna extrema nytta är det något som vi bara accepterar nu för tiden. Jag tror att de flesta matematiker inte är bekväma med att arbeta utan valets axiom, bara för att de i många fall kanske använder det utan att ens veta det.
(39:31) Så jag tror att detta också är ett exempel på hur vi kan lösa kontinuumhypotesen. Det är att vi upptäcker något axiom i framtiden som är så användbart för att utveckla matematiken vidare, att vi bara betraktar detta axiom som sant till en viss grad. Det var vad som hände med Zorns lemma. Och med valets axiom var det inte något som från början sågs som sant. Faktum är att det till en början sågs med viss skepsis.
Strogatz (39:56): Men låt mig se om jag kan, eftersom det gör det... Vi har pratat mycket nu om valets axiom: dess relation till kontinuumhypotesen. Finns det ett pinsamt sätt att säga vad det är?
Moore (40:06): Du vet, valets axiom och kontinuumhypotesen har ett slags konstigt samband eftersom de... OK, kontinuumhypotesen, från en mängdteoretikers synvinkel låter den dig konstruera en massa exotiska saker . Det låter dig göra en oändligt lång, till och med oräkneligt lång konstruktion, där du gör allt på ett mycket kontrollerat sätt, ett algoritmiskt sätt. Och bygga något konstigt objekt där du har behållit mycket kontroll längs vägen. I avsaknad av valets axiom, kontinuumhypotesen, som jag sa det ursprungligen, att det inte finns någon uppsättning regler som är mellanliggande, det är något som inte har samma bit som om valets axiom är sant. Och anledningen till det är att man till exempel i avsaknad av valets axiom kan tala om ännu starkare versioner av kontinuumhypotesen. Som, varje delmängd av denna tallinje, den verkliga tallinjen, är antingen räknbar, eller så finns det en kopia av Cantor-uppsättningen som bor inuti den. Som, det finns ett slags poängträd, ett binärt träd med poäng som sitter inuti din uppsättning. Och det här är ett mycket konkret sätt att säga att den har samma storlek som de verkliga talen.
Strogatz (41:14): Så för resten av oss i matematik utanför mängdteorin, borde vi tappa sömn över den - vad som verkar vara - sorts obestämd status i ögonblicket för kontinuumhypotesen? Vi får höra att det är obestämbart i standardmodellen för mängdteori. Du vet, spelar det någon roll? Påverkar det resten av matematiken?
Moore (41:35): Svaret är oftast nej. Men det är inte helt känt. Kontinuumhypotesen. Det är sant i Solovay modell, till exempel: Varje uppsättning reals är antingen räknebar eller så finns det en sluten uppsättning reals inuti den som är oräknelig och inte har några isolerade punkter. Men det finns påståenden som dyker upp i matematiken, frågor som dyker upp naturligt, typ organiskt inom andra områden, där det visar sig att de är beroende av antingen kontinuumhypotesen eller något annat, som är oberoende av ZFC:s axiom. Ett exempel på detta är något som kallas en medial gräns, vilket är en anordning som är användbar i sannolikhet och vissa delar av sannolikhet för att ta gränser för saker och ändå hålla fast vid att saker är mätbara. Mediala gränser är något som du kan konstruera med hjälp av kontinuumhypotesen, men de är inte något som du kan bygga i ZFC.
Strogatz (42:27): Det här gör mig glad måste jag säga. Jag menar, jag vill tro att matematik är ett enda stort nät. Och det, som om det finns ett gammalt talesätt, "Ingen människa är en ö," från vem som helst, jag vet inte. Men hur som helst, jag vill inte att någon del av matematiken ska vara en ö. Så jag skulle hata att tro att mängdteorin på något sätt är något - jag menar, ingen skulle säga att det är det, men även den del som innehåller kontinuumhypotesen, jag vill inte att den ska skiljas från den stora kontinenten. Och det låter som att det inte är det.
Moore (42:52): Rätt. Om du tar ett Hilbert-utrymme och tittar på de avgränsade operatorerna, och de kompakta operatorerna, är dessa väl studerade algebror av objekt som studeras i matematik. Du kan ta en kvot av dem. Att studera vad som kallas automorfismgruppen av det är något som en matematiker kan fråga om. Och verkligen, Brown, Douglas och Fillmore frågade om det på 1970-talet. Och det är känt att om kontinuumhypotesen är sann eller falsk är relaterad till om det finns mycket komplicerade automorfismer av den algebra eller inte. Det är något som du vet är ett standardobjekt i en funktionsanalyskurs som du skulle undervisa på forskarnivå. Och det här är typ väldigt, väldigt grundläggande egenskaper hos det här objektet.
(43:34) Men poängen är att detta är något som är, på ytan - det här är inte ett problem i mängdteorin. Olika mängdteoretiker har olika syn på varför ämnet är viktigt. Men för mig är det därför ämnet är - vad det är viktigt för. Det är att det spelar denna unika roll att kunna låta dig veta när du ställer frågan som kanske inte går att avgöra, baserat på axiomen. För du vill inte studera detta problem som du inte kan bestämma dig för utan framgång i år och år och år. Och om någon kan säga till dig att "Ja, du kommer aldrig att faktiskt komma på en lösning på det problemet, för du kan varken bevisa eller motbevisa det," eller hur? Det är bra att veta.
Strogatz (44:13): Okej. Nåväl, för mig är detta ett mycket upplyftande budskap du ger, Justin, det - John Donne! Det var namnet jag letade efter, John Donne. Och låt oss säga detta på det moderna sättet: Ingen människa är en ö. Och detsamma med ingen del av matematik. Det finns - även de mest esoteriska skenbara sakerna på de yttre delarna av mängdteorin är fortfarande kopplade till mycket jordnära delar av matematiken, sannolikt, i den funktionella analys som ligger till grund för kvantteorin. Så det här är nyheter för mig, och jag vill bara tacka dig för att du upplyser oss. Det här var kul. Tack.
Moore (44:46): Tack för att du har mig.
åman (44:46): Utforska fler matematiska mysterier i Quanta boken Prime Number Conspiracy, publicerad av The MIT Press, tillgänglig nu på Amazon.com, Barnesandnoble.com, eller din lokala bokhandel. Se också till att berätta för dina vänner om denna podcast och ge oss en positiv recension eller följ var du lyssnar. Det hjälper människor att hitta Glädjen över varför.
Strogatz (45: 12): Glädjen över varför är en podcast från Quanta Magazine, en redaktionellt oberoende publikation som stöds av Simons Foundation. Finansieringsbeslut av Simons Foundation har inget inflytande på valet av ämnen, gäster eller andra redaktionella beslut i denna podcast eller i Quanta Magazine. Glädjen över varför produceras av Susan Valot och Polly Stryker. Våra redaktörer är John Rennie och Thomas Lin, med stöd av Matt Carlström, Annie Melcher och Zach Savitsky. Vår temamusik komponerades av Richie Johnson, Julian Lin kom på podcastnamnet. Avsnittskonsten är av Peter Greenwood och vår logotyp är av Jaki King. Speciellt tack till Burt Odom-Reed på Cornell Broadcast Studios. Jag är din värd Steve Strogatz. Om du har några frågor eller kommentarer till oss, vänligen maila oss på Tack för att du lyssnade.
- SEO-drivet innehåll och PR-distribution. Bli förstärkt idag.
- Platoblockchain. Web3 Metaverse Intelligence. Kunskap förstärkt. Tillgång här.
- Minting the Future med Adryenn Ashley. Tillgång här.
- Källa: https://www.quantamagazine.org/how-can-some-infinities-be-bigger-than-others-20230419/
- : har
- :är
- ][s
- $UPP
- 1
- 10
- 100
- 11
- 28
- 39
- 7
- 8
- a
- Able
- Om oss
- om det
- Absolut
- AC
- Acceptera
- uppnåendet
- resultat
- faktiskt
- avancerat
- påverka
- Efter
- algoritm
- algoritmisk
- algoritm
- Alla
- tillåter
- längs
- Alfabetet
- redan
- Även
- fantastiska
- mängd
- analys
- Ancient
- och
- meddelade
- Annan
- svara
- vilken som helst
- app
- Apple
- tillämpningar
- ÄR
- argumenterar
- Argumentet
- runt
- anländer
- Konst
- AS
- Associate
- At
- uppmärksamhet
- tillgänglig
- genomsnitt
- tillbaka
- Badrum
- bas
- baserat
- grundläggande
- I grund och botten
- BE
- vackert
- därför att
- blir
- blir
- varit
- innan
- Börjar
- Där vi får lov att vara utan att konstant prestera,
- tro
- Berkeley
- Bertrand
- BÄST
- Bättre
- mellan
- Bortom
- Stor
- större
- störst
- Bit
- Block
- boken
- Böcker
- grenar
- i korthet
- Bringar
- sända
- SLUTRESULTAT
- Byggnad
- bränd
- by
- beräkningar
- Ring
- kallas
- Samtal
- cambridge
- Läger
- KAN
- kan inte
- vilken
- noggrann
- Carl
- fall
- avslappnad
- brottning
- Århundrade
- vissa
- säkerligen
- byta
- karaktär
- Charles
- val
- cirklar
- klass
- klar
- stängt
- kollega
- samling
- samlingar
- komma
- bekväm
- kommande
- kommentarer
- Gemensam
- samfundet
- jämföra
- fullborda
- Avslutade
- komplicerad
- sammansatt
- dator
- begrepp
- Begreppen
- Konsensus
- Tänk
- konsekvent
- konstruera
- konstruktion
- konstruktiva
- innehåller
- kontinent
- kontinuerlig
- Kontinuum
- kontroll
- kontrolleras
- kontroversiell
- Konversation
- kunde
- Motverka
- Kurs
- skapas
- nyfiken
- Klipp
- skärning
- Dagar
- beslutar
- beslut
- djup
- djupare
- Examen
- Avdelning
- beroende
- beskriva
- beskrivning
- destination
- utveckla
- utvecklade
- utveckla
- anordning
- diagrammen
- DID
- olika
- siffror
- dimensioner
- avslöjande
- Upptäck
- upptäckt
- upptäcka
- Upptäckten
- diskutera
- diskutera
- diskussion
- distinkt
- skilja på
- inte
- gör
- domäner
- inte
- doomed
- Dörrarna
- dubbla
- ner
- driv
- varje
- Tidig
- jord
- enklaste
- kant
- Ledare
- antingen
- elementet
- element
- Endless
- tillräckligt
- berikad
- helt
- Motsvarande
- väsentligen
- Även
- så småningom
- Varje
- alla
- allt
- utvecklats
- exakt
- exempel
- exempel
- Utom
- undantag
- exciterade
- uppvisar
- finns
- Exotic
- förklaring
- utforskning
- utforska
- uttrycker
- extra
- extrem
- tyg
- Ansikte
- Misslyckades
- verkligt
- ganska
- tron
- familj
- kända
- ökänt
- SNABB
- Favoriten
- oro
- Leverans
- Kompis
- få
- Fält
- slutlig
- hitta
- Förnamn
- första gången
- Fisk
- följer
- För
- alltid
- formell
- Formellt
- former
- fundament
- Stiftelser
- fraktion
- Fri
- vän
- vänner
- från
- full
- kul
- fungera
- funktionella
- funktioner
- finansiering
- ytterligare
- framtida
- lek
- Allmänt
- allmänhet
- generera
- generering
- generös
- Tyskland
- skaffa sig
- få
- Ge
- ges
- ger
- Ge
- Go
- Målet
- Går
- kommer
- god
- grad
- uppgradera
- beviljats
- stor
- störst
- kraftigt
- Grekland
- Greenwood
- Grupp
- gissade
- gäster
- sidan
- hända
- hänt
- Happening
- lyckligt
- Har
- har
- he
- huvuden
- hört
- hörsel
- Hjärta
- hjälpte
- hjälp
- hjälper
- här.
- högre
- klokhet
- historia
- hoppas
- värd
- Hur ser din drömresa ut
- HTTPS
- humant
- Hungrig
- i
- Tanken
- idealisk
- Illusion
- fantasi
- vikt
- med Esport
- in
- I andra
- innefattar
- Inklusive
- oberoende
- oberoende
- Oändlig
- Oändlighet
- påverka
- påverkas
- initialt
- ingång
- exempel
- istället
- Institute
- integrerad
- integritet
- intellektuella
- intresserad
- intressant
- intressen
- införa
- Ironiskt
- ö
- isolerat
- problem
- IT
- DESS
- sig
- John
- Johnson
- sammanfogning
- Justin
- Ha kvar
- hålla
- Kid
- barn
- Snäll
- King
- Vet
- Menande
- känd
- språk
- Språk
- Large
- till stor del
- större
- största
- Efternamn
- Sent
- latin
- leda
- League
- LÄRA SIG
- lärt
- inlärning
- Led
- motto
- Längd
- uthyrning
- Nivå
- livet
- tycka om
- BEGRÄNSA
- gränser
- linje
- rader
- kopplade
- Lista
- Lyssna
- litteraturen
- liten
- lever
- Bor
- lokal
- logotyp
- Lång
- se
- ser ut som
- du letar
- förlora
- Lot
- älskar
- älskade
- gjord
- magasinet
- upprätthålla
- större
- göra
- GÖR
- människa
- manipulerings
- många
- många människor
- Massa
- massorna
- matte
- matematisk
- matematik
- Materia
- meningsfull
- betyder
- mäta
- mekanism
- nämnts
- meddelande
- metod
- Mid
- kanske
- MIT
- modell
- modeller
- Modern Konst
- ögonblick
- mer
- mest
- rörelse
- flytta
- film
- multiverse
- Musik
- mystiska
- namn
- namn
- Natural
- nödvändigtvis
- Behöver
- negativ
- Varken
- Nya
- nyheter
- Begrepp
- antal
- nummer
- objektet
- objekt
- Uppenbara
- of
- ofta
- Gamla
- on
- ONE
- öppet
- öppnade
- öppnas
- operatörer
- vanlig
- organiskt
- Organiserad
- ursprungliga
- ursprungligen
- Övriga
- Övrigt
- vår
- utanför
- över
- övergripande
- egen
- ihopkoppling
- Paradox
- Parallell
- föräldrar
- del
- särskilt
- reservdelar till din klassiker
- paul
- betalar
- Penguins
- Personer
- människors
- kanske
- personen
- personlig
- Peter
- Fenomenet
- Filosofin
- fysisk
- Fysik
- bitar
- Plats
- platser
- plato
- Platon Data Intelligence
- PlatonData
- snälla du
- plus
- podcast
- Podcasting
- Punkt
- Synvinkel
- poäng
- positiv
- möjlig
- potentiellt
- kraft
- den mäktigaste
- befogenheter
- pragmatisk
- föredragen
- tryck
- pretty
- Prime
- primitiva
- Principerna
- förmodligen
- Problem
- problem
- process
- producera
- producerad
- Professor
- Program
- löfte
- korrektur
- egenskaper
- egenskapen
- föreslagen
- skyddad
- bevisbar
- Bevisa
- visat
- bevisar
- ge
- Offentliggörande
- publicerade
- sätta
- Quantamagazin
- Quantum
- fråga
- frågor
- samla
- snarare
- Rationell
- STRÅLE
- når
- verklig
- verkliga världen
- Verkligheten
- insåg
- rike
- Anledningen
- skäl
- rekommenderar
- relaterad
- förhållande
- relation
- relativt
- anhöriga
- resterna
- anmärkningsvärd
- ihåg
- upprepa
- Obligatorisk
- forskning
- avseende
- REST
- översyn
- revolutionerande
- rigorös
- ROBERT
- Roll
- Rullande
- rullar
- Rum
- regler
- säker
- Nämnda
- Samma
- nöjd
- säger
- Skala
- Skolor
- Vetenskap
- Andra
- sekunder
- verkar
- Val
- känsla
- separat
- in
- uppsättningar
- bosätta sig
- Fast
- flera
- former
- skall
- show
- visas
- Visar
- sida
- signera
- Enkelt
- eftersom
- enda
- SEX
- Storlek
- storlekar
- Skepsis
- sova
- Small
- mindre
- So
- fast
- lösning
- några
- någon
- något
- något
- någonstans
- Utrymme
- Gnista
- speciell
- specifikt
- spendera
- Spotify
- Etapp
- spel
- standard
- starta
- igång
- Starta
- anges
- .
- uttalanden
- status
- Steve
- Fortfarande
- Historia
- rakt
- stark
- starkare
- struktur
- student
- studerade
- Studios
- Läsa på
- Studerar
- ämne
- framgång
- sådana
- tillräcklig
- Som stöds
- säkert
- överraskning
- överraskad
- förvånande
- Susan
- Symbolen
- system
- bord
- Ta
- tar
- tar
- Diskussion
- tala
- lärare
- Undervisning
- tekniker
- tonåring
- berättar
- villkor
- testa
- Tack
- den där
- Smakämnen
- Framtiden
- Linjen
- världen
- deras
- Dem
- tema
- sig själva
- Där.
- därför
- Dessa
- sak
- saker
- Tänkande
- Tredje
- trodde
- tusentals
- Genom
- hela
- tid
- till
- i dag
- alltför
- verktyg
- ämnen
- TOTALT
- spår
- traditionen
- traditionell
- tränad
- behandling
- oerhört
- sann
- sanningen
- SVÄNG
- vände
- Dubbelt
- odefinierad
- under
- förstå
- förståelse
- förstår
- fackliga
- Fackföreningar
- unika
- Universell
- Universum
- universitet
- us
- användning
- Begagnade
- vanligen
- verktyg
- värde
- olika
- utsikt
- synpunkter
- vänta
- gående
- önskar
- Kolla på
- Vatten
- Sätt..
- sätt
- webb
- webp
- välkommen
- VÄL
- Vad
- Vad är
- om
- som
- VEM
- den som
- Hela
- brett
- kommer
- beredd
- med
- inom
- utan
- ord
- ord
- Arbete
- arbetssätt
- fungerar
- världen
- maskar
- orolig
- värt
- skulle
- skriva
- skrivning
- Fel
- år
- år
- Om er
- Din
- själv
- zephyrnet
- noll-
- zoom