Nytt prov trär nålen på ett problem med klibbig geometri | Quanta Magazine

1917 poserade den japanske matematikern Sōichi Kakeya vad som först verkade vara något annat än en rolig övning i geometri. Lägg en oändligt tunn, tumlång nål på en plan yta och rotera den sedan så att den pekar åt alla håll i tur och ordning. Vilket är det minsta område som nålen kan sopa ut?

Om du helt enkelt snurrar den runt dess centrum får du en cirkel. Men det går att flytta nålen på uppfinningsrika sätt, så att du tar ut mycket mindre utrymme. Matematiker har sedan dess ställt en relaterad version av denna fråga, kallad Kakeya-förmodan. I sina försök att lösa det har de avslöjat överraskande kopplingar till harmonisk analys, talteori och till och med fysik.

"På något sätt är den här geometrin med linjer som pekar i många olika riktningar allestädes närvarande i en stor del av matematiken," sa jonathan hickman vid University of Edinburgh.

Men det är också något som matematiker fortfarande inte helt förstår. Under de senaste åren har de bevisat varianter av Kakeya-förmodan i enklare inställningar, men frågan förblir olöst i det normala, tredimensionella rummet. Under en tid verkade det som om alla framsteg hade avstannat på den versionen av gissningen, även om det har många matematiska konsekvenser.

Nu har två matematiker flyttat nålen så att säga. Deras nya bevis slår ner ett stort hinder som har stått i decennier – återuppväckt hopp om att en lösning äntligen kan vara i sikte.

Vad är Small Deal?

Kakeya var intresserad av uppsättningar i planet som innehåller ett linjesegment med längden 1 i alla riktningar. Det finns många exempel på sådana uppsättningar, det enklaste är en skiva med diametern 1. Kakeya ville veta hur den minsta sådan uppsättningen skulle se ut.

Han föreslog en triangel med lätt inskurna sidor, kallad deltoid, som har halva skivans yta. Det visade sig dock att det går att göra mycket, mycket bättre.

År 1919, bara ett par år efter att Kakeya ställde sitt problem, visade den ryske matematikern Abram Besicovitch att om man ordnar sina nålar på ett väldigt speciellt sätt kan man konstruera en taggig uppsättning som har en godtyckligt liten yta. (På grund av första världskriget och den ryska revolutionen skulle hans resultat inte nå resten av den matematiska världen på ett antal år.)

För att se hur detta kan fungera, ta en triangel och dela den längs dess bas i tunnare triangulära bitar. Skjut sedan runt de bitarna så att de överlappar varandra så mycket som möjligt men sticker ut åt lite olika håll. Genom att upprepa processen om och om igen – dela upp din triangel i tunnare och tunnare fragment och noggrant omarrangera dem i rymden – kan du göra din uppsättning så liten som du vill. I den oändliga gränsen kan du få en uppsättning som matematiskt sett inte har någon area men som ändå paradoxalt nog kan ta emot en nål som pekar åt vilket håll som helst.

"Det är lite överraskande och kontraintuitivt," sa Ruixiang Zhang från University of California, Berkeley. "Det är en uppsättning som är väldigt patologisk."

Detta resultat kan generaliseras till högre dimensioner: Det är möjligt att konstruera en uppsättning med godtyckligt liten volym som innehåller ett enhetslinjesegment som pekar i alla riktningar i n-dimensionellt utrymme.

Besicovitch verkade ha löst Kakeyas fråga fullständigt. Men årtionden senare började matematiker arbeta på en annan version av problemet där de ersatte arean (eller volymen, i det högre dimensionella fallet) med en annan uppfattning om storlek.

För att förstå denna omformulering av frågan, ta först varje linjesegment i ett Kakeya-set och göda upp det lite - som om du använde en faktisk nål, snarare än en idealiserad. I planet kommer din uppsättning att bestå av extremt tunna rektanglar; i tredimensionellt utrymme kommer du att ha en samling extremt tunna rör.

Dessa göda set har alltid en viss yta (eller volym, men vi håller oss till det tvådimensionella fallet för tillfället). När du ändrar nålens bredd kommer detta område att ändras. På 1970-talet visade matematikern Roy Davies (som dog förra månaden) att om den totala ytan ändras med en liten mängd måste bredden på varje nål förändras drastiskt. Till exempel, om du vill att en göd version av Besicovitchs set ska ha en yta på 1/10 kvadrattum, måste varje nål ha en tjocklek på cirka 0.000045 tum: e^-10 en tum, för att vara exakt. Men om du vill göra den totala arean 1/100 av en kvadrattum — 10 gånger mindre — måste nålen vara e^-100 en tum tjock. (Fyrtiotre nollor följer decimaltecknet innan du kommer till de andra siffrorna.)

"Om du säger till mig hur liten du vill att området ska vara, då måste jag kräva en nål som bara är otroligt tunn," sa Charles Fefferman från Princeton University.

Matematiker mäter "storleken" på Kakeya-uppsättningen med hjälp av en kvantitet som kallas Minkowski-dimensionen, som är relaterad till men inte riktigt samma som en vanlig dimension (definierad som antalet oberoende riktningar du behöver för att beskriva ett mellanslag).

Här är ett sätt att tänka på Minkowski-dimensionen: Ta ditt set och täck det med små bollar som var och en har en diameter på en miljondel av din önskade enhet. Om ditt set är ett linjesegment med längd 1, behöver du minst 1 miljon bollar för att täcka det. Om din uppsättning är en kvadrat med area 1, behöver du många, många fler: en miljon kvadrat eller en biljon. För en sfär med volym 1 är den cirka 1 miljon kubbar (en kvintiljon) och så vidare. Minkowski-dimensionen är värdet på denna exponent. Den mäter den hastighet med vilken antalet bollar du behöver för att täcka ditt set växer när diametern på varje boll blir mindre. Ett linjesegment har dimension 1, en kvadrat har dimension 2 och en kub har dimension 3.

Dessa dimensioner är bekanta. Men med Minkowskis definition blir det möjligt att konstruera en mängd som har en dimension på säg 2.7. Även om en sådan uppsättning inte fyller upp tredimensionellt utrymme, är den i någon mening "större" än en tvådimensionell yta.

När du täcker ett set med bollar med en given diameter, närmar du dig volymen på den göda versionen av setet. Ju långsammare volymen på setet minskar med storleken på din nål, desto fler bollar behöver du för att täcka den. Du kan därför skriva om Davies resultat — som säger att arean av en Kakeya-uppsättning i planet minskar långsamt — för att visa att uppsättningen måste ha en Minkowski-dimension på 2. Kakeya-förmodan generaliserar detta påstående till högre dimensioner: En Kakeya-uppsättning måste alltid ha samma dimension som utrymmet det bebor.

Det enkla påståendet har varit förvånansvärt svårt att bevisa.

Ett torn av gissningar

Tills Fefferman gjorde det en häpnadsväckande upptäckt 1971 sågs gissningen som en kuriosa.

Han arbetade med ett helt annat problem vid den tiden. Han ville förstå Fouriertransformen, ett kraftfullt verktyg som låter matematiker studera funktioner genom att skriva dem som summor av sinusvågor. Tänk på en musikalisk not, som består av många överlappande frekvenser. (Det är därför ett mellan-C på ett piano låter annorlunda än ett mellan-C på en fiol.) Fouriertransformen tillåter matematiker att beräkna de ingående frekvenserna för en viss ton. Samma princip fungerar för ljud som är lika komplicerade som mänskligt tal.

Matematiker vill också veta om de kan återuppbygga den ursprungliga funktionen om de får bara några av dess oändligt många ingående frekvenser. De har en god förståelse för hur man gör detta i en dimension. Men i högre dimensioner kan de göra olika val om vilka frekvenser de ska använda och vilka de ska ignorera. Fefferman bevisade, till sina kollegors förvåning, att du kanske misslyckas med att återuppbygga din funktion när du förlitar dig på ett särskilt välkänt sätt att välja frekvenser.

Hans bevis hängde på att konstruera en funktion genom att modifiera Besicovitchs Kakeya-uppsättning. Detta inspirerade senare matematiker att utveckla en hierarki av gissningar om Fouriertransformens högre dimensionella beteende. Idag innehåller hierarkin till och med gissningar om beteendet hos viktiga partiella differentialekvationer i fysiken, som Schrödinger-ekvationen. Varje gissning i hierarkin innebär automatiskt den under den.

Kakeya-förmodan ligger vid basen av detta torn. Om det är falskt, så är påståendena högre i hierarkin. Å andra sidan, att bevisa att det är sant skulle inte omedelbart antyda sanningen i gissningarna ovanför det, men det kan ge verktyg och insikter för att attackera dem.

“Det fantastiska med Kakeya-förmodan är att det inte bara är ett roligt problem; det är en verklig teoretisk flaskhals”, sa Hickman. "Vi förstår inte många av dessa fenomen i partiella differentialekvationer och Fourier-analys eftersom vi inte förstår dessa Kakeya-uppsättningar."

Kläcker en plan

Feffermans bevis – tillsammans med senare upptäckta kopplingar till talteori, kombinatorik och andra områden – återupplivade intresset för Kakeya-problemet bland toppmatematiker.

1995 bevisade Thomas Wolff att Minkowski-dimensionen för en Kakeya-uppsättning i 3D-rymden måste vara minst 2.5. Den nedre gränsen visade sig vara svår att höja. Sedan, 1999, matematikerna Nets Katz, Izabella Łaba och Terence tao lyckades slå det. Deras nya gräns: 2.500000001. Trots hur liten förbättringen var, övervann den en massiv teoretisk barriär. Deras papper var offentliggjordes i Annaler för matematik, områdets mest prestigefyllda tidskrift.

Katz och Tao hoppades senare att kunna tillämpa några av idéerna från det arbetet för att attackera 3D Kakeya-förmodan på ett annat sätt. De antog att varje motexempel måste ha tre särskilda egenskaper, och att samexistensen av dessa egenskaper måste leda till en motsägelse. Om de kunde bevisa detta skulle det betyda att Kakeya-förmodan var sann i tre dimensioner.

De kunde inte gå hela vägen, men de gjorde vissa framsteg. I synnerhet visade de (tillsammans med andra matematiker) att varje motexempel måste ha två av de tre egenskaperna. Det måste vara "plany", vilket betyder att när linjesegment skär varandra i en punkt, ligger dessa segment också nästan i samma plan. Den måste också vara "kornig", vilket kräver att planen för närliggande skärningspunkter är lika orienterade.

Det lämnade den tredje fastigheten. I en "klibbig" uppsättning måste linjesegment som pekar i nästan samma riktning också placeras nära varandra i rymden. Katz och Tao kunde inte bevisa att alla motexempel måste vara klibbiga. Men intuitivt verkar en klibbig uppsättning vara det bästa sättet att tvinga fram mycket överlappning mellan linjesegmenten, och därigenom göra uppsättningen så liten som möjligt - precis vad du behöver för att skapa ett motexempel. Om någon kunde visa att ett klibbigt Kakeya-set hade en Minkowski-dimension på mindre än 3, skulle det motbevisa 3D Kakeya-förmodan. "Det låter som att "klibbigt" skulle vara det mest oroande fallet," sa Larry Guth från Massachusetts Institute of Technology.

Det är inte längre ett bekymmer.

Stickpunkten

2014 - mer än ett decennium efter att Katz och Tao försökte bevisa Kakeya-förmodan - Tao publicerade en översikt över deras tillvägagångssätt på sin blogg, vilket ger andra matematiker chansen att prova det själva.

2021, Hong Wang, en matematiker vid New York University, och Joshua Zahl från University of British Columbia bestämde sig för att fortsätta där Tao och Katz hade slutat.

De började med att anta att det fanns ett klibbigt motexempel med en Minkowski-dimension på mindre än 3. De visste från tidigare arbete att ett sådant motexempel måste vara plan och kornig. "Så vi var i den typ av värld som Terry Tao och Nets Katz tänkte på," sa Zahl. Nu behövde de visa att de plana, korniga och klibbiga egenskaperna spelade ut varandra och ledde till en motsägelse, vilket skulle innebära att detta motexempel faktiskt inte kunde existera.

Men för att få den motsägelsen vände Wang och Zahl sin uppmärksamhet i en riktning som Katz och Tao inte hade förutsett – mot ett område som kallas projektionsteori.

De började med att analysera strukturen på deras klibbiga motexempel mer i detalj. Om du betraktar den idealiserade versionen av uppsättningen, har den ett oändligt antal linjesegment som pekar i alla riktningar. Men i det här problemet, kom ihåg att du har att göra med göda versioner av dessa linjesegment - ett gäng nålar. Var och en av dessa nålar kan innehålla många av de idealiserade linjesegmenten, vilket innebär att du kan koda hela den oändliga uppsättningen med ett ändligt antal nålar. Beroende på hur tjocka nålarna är, kan ditt göda set se väldigt annorlunda ut.

Om setet är klibbigt kommer det att se ungefär likadant ut oavsett hur tjocka nålarna är.

Wang och Zahl använde denna egenskap för att visa att när nålarna blir tunnare blir uppsättningen mer och mer plan. Genom denna process kunde de "extrahera ett ännu mer patologiskt föremål", sa Zahl - något som verkade ha omöjliga egenskaper.

Det var vad de visade härnäst. De bevisade att detta patologiska föremål måste se ut på ett av två sätt, vilket båda ledde till motsägelser. Antingen skulle du kunna projicera ner det i 2D-rymden på ett sätt som gjorde det mycket mindre i många riktningar - något som Wang och hennes kollegor precis hade visat sig vara omöjligt. Eller, i det andra fallet, skulle nålarna i setet organiseras enligt en mycket specifik typ av funktion, vilket Zahl och hans medarbetare nyligen hade bevisat kunde inte existera, eftersom det skulle leda till andra typer av projektioner som inte var vettiga.

Wang och Zahl hade nu sin motsägelse - vilket betyder att det inte finns några klibbiga motexempel till Kakeya-förmodan. (De visade detta inte bara för Minkowski-dimensionen, utan också för en relaterad kvantitet som kallas Hausdorff-dimensionen.) "Resultatet utesluter hela denna klass av motexempel," sa Zahl - den exakta typen av mängder som matematiker hade ansett som mest sannolikt att motbevisa gissningen.

Det nya verket "är starkt stöd för att Kakeya-förmodan är sann", sa det Pablo Shmerkin vid University of British Columbia. Även om det bara gäller det tredimensionella fallet, kan vissa av dess tekniker vara användbara i högre dimensioner. Efter att ha tillbringat åratal med att göra framsteg på gissningarna i andra talsystem, är matematiker glada över denna återgång till problemets ursprungliga domän av reella tal.

"Det är anmärkningsvärt att de löste det här fallet helt", sa Zhang. "I den verkliga miljön är det extremt sällsynt." Och om någon kan bevisa att ett motexempel måste vara klibbigt, kommer det nya resultatet att antyda hela gissningen i tre dimensioner. Hierarkin av gissningar som byggs ovanför den kommer då att förbli säker, dess grund stabil.

"På något sätt passar de här två olika problemen i projektionsteorin, som på ytan inte har så mycket med varandra att göra, ganska bra ihop för att ge exakt vad som behövdes för Kakeya," sa Zahl.