Pierre de Fermats länk till en gymnasieelevs bästa matematiska bevis | Quanta Magazine

Som många matematikelever hade jag drömmar om matematisk storhet. Jag trodde att jag var nära en gång. Ett svårt algebraproblem på college fick mig att arbeta långt in på natten. Efter timmar av kamp kände jag att ett genombrott kom. Jag manipulerade skickligt uttryck. Jag faktoriserade, multiplicerade och förenklade, tills min upptäckt till slut visade sig:

$latex 1 + 1 = 2$.

Jag kunde inte låta bli att skratta. Världen visste redan att $latex 1 + 1 = 2$, så "Honners teorem" skulle inte vara det. Och även om många unga matematiker har upplevt besvikelsen över det inte riktigt genombrottet, det anmärkningsvärda berättelsen om Daniel Larsen håller drömmen vid liv.

Larsen var gymnasieelev 2022 när han bevisade ett resultat om en viss sorts siffra som hade gäckat matematiker i decennier. Han bevisade att Carmichael-tal - en märklig typ av inte helt primtal - kunde hittas oftare än vad som tidigare var känt, vilket etablerade ett nytt teorem som för alltid kommer att förknippas med hans arbete. Så, vad är Carmichael-siffror? För att svara på det måste vi gå tillbaka i tiden.

Pierre de Fermat har sitt namn på en av de mest kända satserna inom matematik. I över 300 år stod Fermats sista teorem som den ultimata symbolen för ouppnåelig matematisk storhet. På 1600-talet klottrade Fermat en anteckning om sitt föreslagna sats i en bok han läste och påstod sig veta hur man bevisar det utan att ge några detaljer. Matematiker försökte lösa problemet själva fram till 1990-talet, när Andrew Wiles äntligen bevisade det med hjälp av nya tekniker som upptäcktes hundratals år efter Fermats död.

Men det är Fermats mindre kända "lilla sats" som relaterar till Carmichaels tal. Här är ett sätt att uttrycka det:

Givet ett primtal $latex p$, då för vilket heltal $latex a$ som helst, är kvantiteten $latex a^p – a$ delbar med $latex p$.

Ta till exempel primtal $latex p = 11$ och heltal $latex a = 2$. Fermats lilla teorem säger att $latex 2^{11} – 2 = 2046$ är delbart med 11, och det är: $latex 2046 div 11 = 186$. Eller ta $latex p = 7$ och $latex a = 4$: $latex 4^7 – 4 = 16380 = 7 gånger 2340$, så $latex 4^7 – 4$ är verkligen delbart med 7.

Till skillnad från Fermats sista teorem tog det inte 300 år att lösa hans lilla teorem. Leonhard Euler publicerade ett bevis mindre än ett sekel senare. Och eftersom det handlar om primtal hittade folk sätt att använda det.

Ett sätt att använda Fermats lilla sats är att visa att ett tal inte är ett primtal. Låt oss säga att du undrar om 21 är prime eller inte. Om 21 var primtal, så skulle enligt Fermats lilla sats för vilket heltal $latex a$ som helst $latex a^{21}$ – $latex a$ behöva vara delbart med 21. Men om du provar några värden på $ latex a$ du ser att detta inte fungerar. Till exempel, $latex 2^{21} – 2 = 2097150$, vilket inte är en multipel av 21. Därför, eftersom det inte uppfyller Fermats lilla teorem, kan 21 därför inte vara ett primtal.

Detta kan verka som ett dumt sätt att kontrollera om ett tal är primtal. Vi vet trots allt $latex 21 = 3 gånger 7$. Men att kontrollera om stora tal är primtal är en tidskrävande och viktig uppgift i modern matematik, så matematiker letar alltid efter genvägar. För det ändamålet har matematiker undrat om motsatsen till Fermats lilla teorem kan vara sann.

Vad är motsatsen till ett teorem? Du kanske kommer ihåg från mattelektionen att ett teorem kan ses som ett villkorligt uttalande av formen "om P sedan Q.” Ett teorem säger att om P del (antecedenten eller hypotesen) är sann, då Q del (konsekvensen eller slutsatsen) måste också vara sann. Motsatsen till ett teorem är det påstående du får när du byter antecedent och konsekvent. Så motsatsen till "Om P sedan Q” är uttalandet ”Om Q sedan P. "

Låt oss betrakta Pythagoras sats. Vi får ofta höra att det står $latex a^2 + b^2 = c^2$. Men det här är inte helt rätt. Pythagoras sats är egentligen ett villkorligt uttalande: Den säger att om en rätvinklig triangel har sidolängderna $latex a$, $latex b$ och $latex c$, där $latex c$ är längden på hypotenusan, då $latex a ^2 + b^2 = c^2$. Så vad är dess motsats? Det står att om en triangels sidolängder $latex a$, $latex b$ och $latex c$ uppfyller ekvationen $latex a^2 + b^2 = c^2$, så är det en rätvinklig triangel.

Det är frestande att tro att motsatsen till ett teorem alltid är sant, och många elever har fallit i den fällan. Motsatsen till Pythagoras sats råkar vara sann, vilket låter oss dra slutsatsen att en triangel med sidlängderna 9, 40 och 41 måste vara en rätvinklig triangel eftersom $latex 9^2 + 40^2 = 41^2$. Men motsatsen till ett sant påstående behöver inte vara sant: Till exempel, medan det är sant att om $latex x$ är ett positivt tal, så är $latex x^2$ positivt, det omvända — om $latex x^2$ är ett positivt tal, då är $latex x$ positivt — är det inte, eftersom $latex (-1)^2$ är positivt men −1 i sig inte är det.

Det är bra matematisk praxis att utforska motsatsen till ett påstående, och matematiker som letade efter primatitetstester ville veta om motsatsen till Fermats lilla teorem var sann. Det omvända säger att, givet ett heltal $latex q$, om talet $latex a^q – a$ är delbart med $latex q$ för ett heltal $latex a$, då måste $latex q$ vara ett primtal. Om detta vore sant, skulle det kringgå en del av det beräkningsmässiga grymtningsarbetet med att kontrollera om $latex q$ är delbart med andra tal än 1 och sig själv. Som så ofta är fallet i matematik, ledde denna fråga till nya frågor, som i slutändan ledde till några nya matematiska idéer.

När du börjar utforska motsatsen till Fermats lilla sats, kommer du att upptäcka att det är sant för många siffror. Till exempel, för ett heltal $latex a$, är talet $latex a^2 – a$ delbart med 2. Du kan se detta genom att faktorisera $latex a^2 – a$ som $latex a gånger (a-1) $. Eftersom a och $latex a − 1$ är på varandra följande heltal, ett av dem måste vara jämnt, och därför måste deras produkt vara delbar med 2.

Liknande argument visar att $latex a^3 – a$ alltid är delbart med 3 och $latex a^5 – a$ alltid är delbart med 5 (se övningarna nedan för mer detaljer). Så motsatsen till Fermats lilla sats gäller för 3 och 5. Motsatsen talar om för oss vad vi förväntar oss för små icke-primtal också. Om vi ​​använder det för att kontrollera om 4 är primtal eller inte, kommer vi att beräkna $latex 2^4 – 2$ och observera att 14 inte är delbart med 4.

Faktum är att du kan kontrollera hela vägen upp till siffran 561 och allt kommer att peka på att det omvända till Fermats lilla sats är sant. Primtal mindre än 561 delar $latex a^p – a$ för varje a, och icke-primtal mindre än 561 gör det inte. Men det ändras vid 561. Med lite avancerad talteori kan det visas att $latex a^{561} – a$ alltid är delbart med 561, så om motsatsen till Fermats lilla teorem vore sann, så borde 561 vara ett primtal . Men det är det inte: $latex 561 = 3 × 11 × 17$. Så motsatsen till Fermats lilla teorem är falsk.

Matematiker kallar nummer som 561 "pseudoprime" eftersom de uppfyller vissa villkor som är förknippade med att vara primtal (som att dividera $latex a^p – a$ för alla a) men är egentligen inte primtal. Fler motexempel till det omvända till Fermats lilla teorem har hittats - de tre följande är 1,105 1,729, 2,465 XNUMX och XNUMX XNUMX. Dessa blev kända som Carmichael-nummer, uppkallade efter den amerikanske matematikern Robert Carmichael. Efter att de upptäcktes dök nya frågor upp: Finns det andra sätt att identifiera Carmichael-nummer? Har de några andra speciella egenskaper? Finns det oändligt många av dem? Om så är fallet, hur ofta förekommer de?

Det var denna sista fråga som till slut fångade Daniel Larsens uppmärksamhet. Matematiker hade bevisat att det verkligen fanns oändligt många Carmichael-tal, men för att visa detta var de tvungna att konstruera Carmichael-tal som låg väldigt långt ifrån varandra. Detta lämnade öppen frågan om hur dessa oändligt många Carmichael-tal är fördelade längs tallinjen. Är de alltid långt ifrån varandra till sin natur, eller kan de förekomma med mer frekvens och regelbundenhet än vad detta första bevis visade?

Sådana frågor om pseudoprimer påminner om liknande och viktiga frågor om själva primtalen. För två tusen år sedan bevisade Euklid att det finns oändligt många primtal, men det tog mycket längre tid att förstå hur primtalen är fördelade över tallinjen. På 1800-talet visade Bertrands postulat att för varje $latex n > 3$ finns det alltid ett primtal mellan $latex n$ och $latex 2n$. Detta ger oss en uppfattning om hur ofta vi kan förvänta oss primtal när vi tar oss längs tallinjen.

Matematiker undrade om någon version av Bertrands postulat var sant för Carmichaels tal. Daniel Larsen undrade också, och bygger vidare på arbetet från några berömda moderna matematiker - Fields-medaljörerna James Maynard och Terence Tao, bland andra — han vände sin nyfikenhet till ett nytt resultat om hur Carmichael-tal fördelas. Och medan unga matematiker förmodligen inte borde förvänta sig att uppnå lika mycket när de gör kvällens läxor, bör Daniel Larsens hårda arbete, uthållighet och framgång inspirera dem att driva framåt, även om de är återbevisa något vi redan vet.

övningar

1. Använd factoring för att visa att om $latex a$ är ett naturligt tal, så är $latex a^3 – a$ alltid delbart med 3.

2. Påståendet "Om en fyrhörning är en rektangel, då är fyrhörningens diagonaler kongruenta" är sant. Är motsatsen sann?

3. Visa att om $latex a$ är ett naturligt tal, så är talet $latex a^5 – a$ alltid delbart med 5.