Strävan efter att avkoda Mandelbrot-uppsättningen, Maths berömda fraktal | Quanta Magazine

I mitten av 1980-talet, som Walkman-kassettspelare och slipsfärgade skjortor, fanns den bugglika silhuetten av Mandelbrot-setet överallt.

Studenter putsade den på väggar i sovsalar runt om i världen. Matematiker fick hundratals brev, ivriga förfrågningar om utskrifter av uppsättningen. (Som svar producerade några av dem kataloger, kompletta med prislistor; andra sammanställde dess mest slående egenskaper i böcker.) Fler tekniskt kunniga fans kunde vända sig till augustinumret 1985 av Scientific American. På omslaget vecklades Mandelbrot-setet ut i brinnande rankor, dess bård låg lågt; Inuti fanns noggranna programmeringsinstruktioner som beskriver hur läsarna kan skapa den ikoniska bilden för sig själva.

Då hade dessa rankor också utökat sin räckvidd långt bortom matematiken, till till synes orelaterade hörn av vardagen. Inom de närmaste åren skulle Mandelbrot-uppsättningen inspirera David Hockneys nyaste målningar och flera musikers senaste kompositioner - fugaliknande stycken i Bachs stil. Det skulle dyka upp på sidorna i John Updikes fiktion och vägleda hur litteraturkritikern Hugh Kenner analyserade poesin av Ezra Pound. Det skulle bli föremål för psykedeliska hallucinationer, och för en populär dokumentär som berättas av sci-fi-storen Arthur C. Clarke.

Mandelbrot-setet är en speciell form, med en fraktal kontur. Använd en dator för att zooma in på uppsättningens taggiga gräns, och du kommer att möta dalar av sjöhästar och parader av elefanter, spiralgalaxer och neuronliknande filament. Oavsett hur djupt du utforskar, kommer du alltid att se nästan kopior av originaluppsättningen - en oändlig, svindlande kaskad av självlikhet.

Den självlikheten var en central del av James Gleicks bästsäljande bok Kaos, som cementerade Mandelbrot-uppsättningens plats i populärkulturen. "Den innehöll ett universum av idéer," skrev Gleick. "En modern konstfilosofi, en motivering av experimentets nya roll i matematik, ett sätt att föra komplexa system inför en stor publik."

Mandelbrot-setet hade blivit en symbol. Det representerade behovet av ett nytt matematiskt språk, ett bättre sätt att beskriva den fraktala naturen i världen omkring oss. Det illustrerade hur djupgående intrikata kan uppstå ur de enklaste reglerna - ungefär som livet självt. ("Det är därför ett verkligt budskap om hopp," John Hubbard, en av de första matematikerna som studerade uppsättningen, sade i en video från 1989, "att möjligen biologi verkligen kan förstås på samma sätt som dessa bilder kan förstås.") I Mandelbrot-uppsättningen levde ordning och kaos i harmoni; determinism och fri vilja skulle kunna förenas. En matematiker mindes att han snubblade över uppsättningen som tonåring och såg den som en metafor för den komplicerade gränsen mellan sanning och lögn.

Mandelbrot-setet fanns överallt, tills det inte var det.

Inom ett decennium verkade det försvinna. Matematiker gick vidare till andra ämnen, och allmänheten gick vidare till andra symboler. Idag, bara 40 år efter upptäckten, har fraktalen blivit en klyschig, borderline kitsch.

Men en handfull matematiker har vägrat att släppa det. De har ägnat sina liv åt att avslöja hemligheterna med Mandelbrot-uppsättningen. Nu tror de att de äntligen är på gränsen till att verkligen förstå det.

Deras berättelse handlar om utforskning, om experiment – ​​och om hur teknologin formar själva sättet vi tänker och de frågor vi ställer om världen.

Prisjägarna

I oktober 2023 samlades 20 matematiker från hela världen i en squat tegelbyggnad på vad som en gång var en dansk militär forskningsbas. Basen, byggd i slutet av 1800-talet mitt i skogen, låg undangömd på en fjord på nordvästra kusten av Danmarks folkrikaste ö. En gammal torped vaktade ingången. Svartvita foton, föreställande marinofficerare i uniform, båtar uppställda vid en brygga och pågående ubåtstester, prydde väggarna. I tre dagar, medan en hård vind piskade vattnet utanför fönstren till skummande vitlock, satt gruppen genom en serie samtal, de flesta av två matematiker från Stony Brook University i New York: Misha Lyubich och Dima Dudko.

I workshopens publik fanns några av Mandelbrot-uppsättningens mest orädda upptäcktsresande. Nära framsidan satt Mitsuhiro Shishikura från Kyoto University, som på 1990-talet bevisade att uppsättningens gräns är så komplicerad som den kan vara. Några platser över var Hiroyuki Inou, som tillsammans med Shishikura utvecklade viktiga tekniker för att studera en särskilt högprofilerad region av Mandelbrot-uppsättningen. I sista raden var Wolf Jung, skaparen av Mandel, matematikers go-to-programvara för interaktiv undersökning av Mandelbrot-setet. På plats var också Arnaud Chéritat vid universitetet i Toulouse, Carsten Petersen från Roskilde universitet (som organiserade workshopen), och flera andra som hade gjort stora bidrag till matematikers förståelse av Mandelbrot-uppsättningen.

Och vid whiteboardtavlan stod Lyubich, världens främsta expert på ämnet, och Dudko, en av hans närmaste medarbetare. Tillsammans med matematikerna Jeremy Kahn och Alex Kapiamba, har de arbetat för att bevisa en långvarig gissning om den geometriska strukturen hos Mandelbrot-uppsättningen. Den gissningen, känd som MLC, är det sista hindret i den decennier långa strävan att karakterisera fraktalen, att tämja dess trassliga vildmark.

Genom att bygga och vässa en kraftfull uppsättning verktyg har matematiker brottats med kontroll över geometrin för "nästan allt i Mandelbrot-uppsättningen", sa Caroline Davis vid Indiana University — förutom några få återstående fall. "Misha och Dima och Jeremy och Alex är som prisjägare som försöker spåra upp dessa sista."

Lyubich och Dudko var i Danmark för att uppdatera andra matematiker om de senaste framstegen mot att bevisa MLC, och de tekniker de hade utvecklat för att göra det. Under de senaste 20 åren har forskare samlats här för workshops dedikerade till att packa upp resultat och metoder inom området komplex analys, den matematiska studien av de typer av tal och funktioner som används för att generera Mandelbrot-uppsättningen.

Det var ett ovanligt upplägg: Matematikerna åt alla sina måltider tillsammans och pratade och skrattade över öl in på småtimmarna. När de äntligen bestämde sig för att gå och lägga sig drog de sig tillbaka till våningssängar eller barnsängar i små rum som de delade på anläggningens andra våning. (Vid vår ankomst blev vi tillsagda att ta lakan och örngott från en hög och ta dem upp på övervåningen för att bädda våra sängar.) Under vissa år trotsar konferensbesökare ett dopp i det kyliga vattnet; oftare vandrar de genom skogen. Men för det mesta finns det inget att göra förutom matematik.

Vanligtvis, berättade en av deltagarna för mig, lockar workshopen många yngre matematiker. Men det var inte fallet den här gången - kanske för att det var mitt på terminen, eller, spekulerade han, på grund av hur svårt ämnet var. Han erkände att han i det ögonblicket kände sig lite skrämd över möjligheten att hålla ett föredrag inför så många av fältets storheter.

Men med tanke på att de flesta matematiker inom det bredare området komplex analys inte längre arbetar med Mandelbrot-uppsättningen direkt, varför ägna en hel workshop åt MLC?

Mandelbrot-uppsättningen är mer än en fraktal, och inte bara i en metaforisk mening. Den fungerar som en sorts huvudkatalog över dynamiska system - över alla olika sätt som en punkt kan röra sig genom rymden enligt en enkel regel. För att förstå denna masterkatalog måste man genomgå många olika matematiska landskap. Mandelbrot-uppsättningen är djupt relaterad inte bara till dynamik, utan också till talteori, topologi, algebraisk geometri, gruppteori och till och med fysik. "Det interagerar med resten av matematiken på ett vackert sätt," sa Sabyasachi Mukherjee vid Tata Institute of Fundamental Research i Indien.

För att göra framsteg på MLC har matematiker varit tvungna att utveckla en sofistikerad uppsättning tekniker - vad Chéritat kallar "en kraftfull filosofi." Dessa verktyg har fått mycket uppmärksamhet. Idag utgör de en central pelare i studiet av dynamiska system mer allmänt. De har visat sig vara avgörande för att lösa en mängd andra problem - problem som inte har något att göra med Mandelbrot-uppsättningen. Och de har förvandlat MLC från en nischfråga till en av fältets djupaste och viktigaste öppna gissningar.

Lyubich, matematikern som utan tvekan är mest ansvarig för att forma denna "filosofi" till dess nuvarande form, står lång och rak och talar tyst. När andra matematiker på workshopen kommer fram till honom för att diskutera ett koncept eller ställa en fråga, sluter han ögonen och lyssnar uppmärksamt med rynkade ögonbryn. Han svarar försiktigt, med rysk brytning.

Men han är också snabb att bryta in i högljudda, varma skratt och dra snett skämt. Han är generös med sin tid och sina råd. Han har "verkligen fostrat en hel del generationer av matematiker", sa Mukherjee, en av Lyubichs tidigare postdoktorer och en frekvent medarbetare. När han berättar det, tillbringar alla som är intresserade av studier av komplex dynamik lite tid på Stony Brook och lär sig av Lyubich. "Misha har den här visionen om hur vi ska gå till väga för ett visst projekt, eller vad vi ska titta på härnäst," sa Mukherjee. "Han har den här storslagna bilden i tankarna. Och han delar gärna det med folk.”

För första gången känner Lyubich att han kan se den storslagna bilden i sin helhet.

Priskämparna

Mandelbrot-setet började med ett pris.

År 1915, motiverat av de senaste framstegen i studiet av funktioner, utlyste den franska vetenskapsakademin en tävling: Om tre år skulle den erbjuda ett 3,000 XNUMX francs storpris för arbetet med iterationsprocessen - själva processen som skulle senare generera Mandelbrot-uppsättningen.

Iteration är den upprepade tillämpningen av en regel. Anslut ett nummer till en funktion och använd sedan utgången som din nästa inmatning. Fortsätt göra det och observera vad som händer över tiden. När du fortsätter att iterera din funktion kan siffrorna du får snabbt stiga mot oändligheten. Eller så kan de dras mot en siffra i synnerhet, som järnspån som rör sig mot en magnet. Eller sluta med att studsa mellan samma två siffror, eller tre, eller tusen, i en stabil omloppsbana som de aldrig kan fly ifrån. Eller hoppa från ett nummer till ett annat utan rim eller anledning, efter en kaotisk, oförutsägbar väg.

Den franska akademin, och matematiker mer allmänt, hade ytterligare en anledning att vara intresserad av iteration. Processen spelade en viktig roll i studiet av dynamiska system - system som rotation av planeter runt solen eller flödet av en turbulent ström, system som förändras över tiden enligt en viss uppsättning regler.

Priset inspirerade två matematiker att utveckla ett helt nytt ämnesområde.

Först var Pierre Fatou, som i ett annat liv kan ha varit en marinman (en familjetradition), om det inte vore för hans dåliga hälsa. Han gjorde istället en karriär inom matematik och astronomi, och 1915 hade han redan visat flera stora resultat i analys. Sedan fanns det Gaston Julia, en lovande ung matematiker född i det franskockuperade Algeriet vars studier avbröts av första världskriget och hans värnplikt till den franska armén. Vid 22 års ålder, efter att ha drabbats av en allvarlig skada kort efter att han började sin tjänst – han skulle bära ett läderband över ansiktet resten av sitt liv, efter att läkarna inte kunde reparera skadan – återvände han till matematiken och gjorde en del av det arbete han skulle lämna in till Akademiens pris från en sjukhussäng.

Priset motiverade både Fatou och Julia att studera vad som händer när man itererar funktioner. De arbetade självständigt, men det slutade med att de gjorde mycket liknande upptäckter. Det var så mycket överlappning i deras resultat att det inte ens nu är alltid klart hur man tilldelar kredit. (Julia var mer utåtriktad och fick därför mer uppmärksamhet. Det slutade med att han vann priset; Fatou ansökte inte ens.) På grund av detta arbete anses de två nu vara grundarna av området komplex dynamik.

"Komplex", eftersom Fatou och Julia itererade funktioner av komplexa tal - tal som kombinerar ett bekant reellt tal med ett så kallat imaginärt tal (en multipel av i, symbolen matematiker använder för att beteckna kvadratroten ur −1). Medan reella tal kan läggas ut som punkter på en linje, visualiseras komplexa tal som punkter på ett plan, så här:

Fatou och Julia fann att att iterera till och med enkla komplexa funktioner (inte en paradox inom matematikens område!) kunde leda till ett rikt och komplicerat beteende, beroende på din utgångspunkt. De började dokumentera dessa beteenden och representera dem geometriskt.

Men sedan försvann deras arbete i dunkel under ett halvt sekel. ”Folk visste inte ens vad de skulle leta efter. De var begränsade till vilka frågor de ens skulle ställa”, sa Artur Avila, professor vid universitetet i Zürich.

Detta förändrades när datorgrafiken blev myndig på 1970-talet.

Då hade matematikern Benoît Mandelbrot fått ett rykte som akademisk dilettant. Han hade sysslat med många olika områden, från ekonomi till astronomi, allt medan han arbetade på IBM:s forskningscenter norr om New York City. När han utsågs till IBM-stipendiat 1974 hade han ännu större frihet att driva självständiga projekt. Han bestämde sig för att använda centrets avsevärda datorkraft för att få komplex dynamik ur viloläget.

Till en början använde Mandelbrot datorerna för att skapa de typer av former som Fatou och Julia hade studerat. Bilderna kodade information om när en startpunkt, när den upprepades, skulle fly till oändligheten, och när den skulle fångas i något annat mönster. Fatou och Julias teckningar från 60 år tidigare hade sett ut som kluster av cirklar och trianglar – men de datorgenererade bilderna som Mandelbrot gjorde såg ut som drakar och fjärilar, kaniner och katedraler och blomkålshuvuden, ibland till och med bortkopplade dammmoln. Då hade Mandelbrot redan myntat ordet "fractal" för former som såg likadana ut i olika skalor; ordet framkallade föreställningen om en ny typ av geometri - något fragmenterat, bråkdelar eller brutet.

Bilderna som visades på hans datorskärm - idag känd som Julia-uppsättningar - var några av de vackraste och mest komplicerade exemplen på fraktaler som Mandelbrot någonsin hade sett.

Fatou och Julias arbete hade fokuserat på geometrin och dynamiken för var och en av dessa uppsättningar (och deras motsvarande funktioner) individuellt. Men datorer gav Mandelbrot ett sätt att tänka på en hel familj av funktioner på en gång. Han kunde koda in dem alla i bilden som skulle komma att bära hans namn, även om det fortfarande är en diskussionsfråga om han faktiskt var den första som upptäckte det.

Mandelbrot-uppsättningen handlar om de enklaste ekvationerna som fortfarande gör något intressant när de itereras. Dessa är kvadratiska funktioner av formen f(z) = z² + c. Fixa ett värde på c — det kan vara vilket komplext tal som helst. Om du upprepar ekvationen som börjar med z = 0 och upptäck att talen som du genererar förblir små (eller begränsade, som matematiker säger), c finns i Mandelbrot-uppsättningen. Om du å andra sidan itererar och upptäcker att dina siffror så småningom börjar växa mot oändligheten, då c finns inte i Mandelbrot-uppsättningen.

Det är enkelt att visa att värderingar av c nära noll finns i uppsättningen. Och det är lika enkelt att visa att stora värderingar av c är det inte. Men komplexa tal lever upp till sitt namn: Uppsättningens gräns är magnifikt intrikat. Det finns ingen uppenbar anledning till att ändra c med små mängder borde få dig att fortsätta att korsa gränsen, men när du zoomar in på den, dyker det upp oändliga mängder av detaljer.

Dessutom fungerar Mandelbrot-uppsättningen som en karta över Julia-uppsättningar, som kan ses i den interaktiva bilden nedan. Välj ett värde på c i Mandelbrot-uppsättningen. Motsvarande Julia-set kommer att anslutas. Men om du lämnar Mandelbrot-setet, kommer motsvarande Julia-set att kopplas bort damm.