Två studenter reder ut en allmänt trodd matematisk gissning | Quanta Magazine

Summer Haag och Clyde Kertzer hade stora förhoppningar på sitt sommarforskningsprojekt. Att förblinda ett helt underområde av matematik var inte en av dem.

I maj avslutade Haag sitt första år på forskarskolan vid University of Colorado, Boulder, där Kertzer studerade. Båda såg fram emot ett uppehåll från lektionerna. Haag planerade att utforska nya vandringar och klätterleder. Kertzer, född i Boulder, ville spela fotboll och förbereda sin ansökan för gymnasiet. Men som blivande forskarmatematiker hade de också sökt ett sommarforskningsprogram på halvtid i matematikergruppen Katherine Stange.

Stange är en talteoretiker som beskriver sig själv som en matematisk ”groda” — någon som fördjupar sig i ett problems krångligheter innan han hoppar till ett annat. Hon är intresserad av "enkla frågor som leder till en rikedom av struktur", sa hon. Hennes projekt pekar ofta på talteorins svårfångade öppna problem genom att använda datorer för att generera stora datamängder.

Haag och Kertzer inledde programmet på Haags 23:e födelsedag med en veckolång primer på apollonska cirkelförpackningar - den uråldriga studien av hur cirklar harmoniskt kan klämmas in i en större cirkel.

Föreställ dig att ordna tre mynt så att var och en rör vid de andra. Du kan alltid rita en cirkel runt dem som berör alla tre från utsidan. Sedan kan du börja ställa frågor: Hur förhåller sig storleken på den större cirkeln till storleken på de tre mynten? Vilken storlek på cirkeln passar i springan mellan de tre mynten? Och om du börjar rita cirklar som fyller i successivt mindre och mindre luckor mellan cirklarna – vilket skapar ett fraktalt mönster som kallas en packning – hur förhåller sig storleken på dessa cirklar till varandra?

Istället för att tänka på diametern på dessa cirklar använder matematiker ett mått som kallas krökning - den omvända radien. Så en cirkel med radie 2 har krökning 1/2, och en cirkel med radie 1/3 har krökning 3. Ju mindre cirkel, desto större krökning.

Renässansmatematiker bevisade att om de första fyra cirklarna har en krökning som är ett heltal, är krökningarna för alla efterföljande cirklar i packningen garanterat heltal. Det är anmärkningsvärt i sig. Men matematiker har tagit problemet ett steg längre genom att ställa frågor om vilka heltal som dyker upp när cirklarna blir mindre och mindre och krökningarna blir större och större.

2010, Elena Fuchs, en talteoretiker nu vid University of California, Davis, visat att krökningar följer ett visst förhållande som tvingar dem in i vissa numeriska hinkar. Kort därefter blev matematiker övertygade om att inte bara krökningarna måste falla i en eller annan hink, utan också att alla möjliga nummer i varje hink måste användas. Idén kom att kallas den lokal-globala gissningen.

"Många verk refererade till det som om det redan var ett faktum," sa Kertzer. "Vi diskuterade det som om det skulle bevisas någon gång inom en snar framtid."

James Rickards, en matematiker på Boulder som arbetar med Stange och eleverna, hade skrivit kod för att undersöka alla önskade arrangemang av cirkelpackningar. Så när Haag och Kertzer anslöt sig till gruppen den 15 maj, trodde de att de skulle skapa häftiga plotter av den pålitliga lokal-till-globala regeln som slår in.

Stange flög till Frankrike för en konferens i början av juni. När hon kom tillbaka den 12 juni kurrade teamet runt diagram som visade hur några hinkar verkade sakna vissa siffror.

"Vi undersökte inte detta fenomen," sa Rickards. "Jag försökte inte testa att det är sant. Jag visste att det var sant - jag antog bara att det var sant. Och så plötsligt står vi inför data som säger att det inte är det.”

I slutet av veckan var teamet övertygade om att gissningarna var falska. Siffror de förväntade sig att dyka upp gjorde aldrig det. De arbetade fram ett bevis och den 6 juli lagt ut sitt arbete till den vetenskapliga preprint-sajten arxiv.org.

Fuchs minns att han pratade med Stange strax efter att beviset klickade på plats. "Hur mycket tror du på den lokal-till-globala gissningen?" frågade Stange. Fuchs svarade att hon självklart trodde på det. "Då visade hon mig alla dessa uppgifter och jag sa," Herregud, det är fantastiskt, "sa Fuchs. "Jag menar, jag trodde verkligen att den lokal-till-globala gissningen var sann."

"När du ser det säger du bara 'Aha! Självklart!'" sa Peter Sarnak, en matematiker vid Institutet för avancerade studier och Princeton University vars tidiga observationer hjälpte till att underblåsa den lokal-globala gissningen.

"Det är en fantastisk insikt," tillade Alex Kontorovich från Rutgers University. "Vi sparkar alla på oss själva att vi inte hittade det för 20 år sedan, när folk först började leka med det här."

Mitt i spillrorna efter resultatet har arbetet avslöjat en spricka i grunden för andra gissningar inom talteorin. Matematiker har fått undra vilken utbredd tro som kan bli nästa att falla.

Rondellens historia

Apolloniska cirkelförpackningar får sitt namn från deras troliga upphovsman, Apollonius av Perga. För cirka 2,200 XNUMX år sedan skrev den grekiska geometern en bok som heter Tangenser om hur man konstruerar en cirkel som tangerar tre andra. Boken har gått förlorad med tiden. Men cirka 500 år senare satte den grekiske matematikern Pappus av Alexandria ihop ett kompendium som skulle överleva det bysantinska imperiets kollaps.

Använder endast Pappus beskrivning av Tangenser, försökte renässansens matematiker att spåra det ursprungliga verket. År 1643 hade René Descartes upptäckt ett enkelt förhållande mellan krökningarna i alla fyra cirklar som tangerar varandra. Descartes hävdade att summan av alla kvadratiska krökningar är lika med halva kvadraten av summan av krökningarna. Det betyder att, givet tre cirklar, är det möjligt att beräkna radien för en fjärde tangentcirkel. Till exempel, om du har tre cirklar med krökningar på 11, 14 och 15, kan du koppla in dessa siffror i Descartes ekvation och beräkna krökningen av cirkeln som skulle passa inuti dem: 86.

År 1936, Nobelprisvinnande radiokemist Frederick Soddy märkte något konstigt när han byggde packningar med Descartes släkting. När cirklarna blev mindre och krökningarna större, förväntade han sig att få knotiga tal med kvadratrötter eller oändliga decimaler. Istället var alla krökningar heltal. Detta var en ganska okomplicerad konsekvens av Descartes ekvation, men ingen hade märkt det på hundratals år. Det inspirerade Soddy till publicera en dikt i den vetenskapliga tidskriften Natur, som började:

För ett par läppar att kyssas kanske
Innebär ingen trigonometri.
Det är inte så när fyra cirklar kysser
Var och en de andra tre.

Det möjliga och det oundvikliga

När det väl konstaterades att det finns packningar fulla av heltal, försökte matematiker hitta mönster i dessa heltal.

2010, Fuchs och Katherine Sanden tänkte bygga på en papper från 2003. Duon observerade att om du delade varje krökning i en given packning med 24, uppstod en regel. Vissa packningar har bara krökningar med rester av t.ex. 0, 1, 4, 9, 12 eller 16. Andra lämnar bara rester av 3, 6, 7, 10, 15, 18, 19 eller 22. Det fanns sex olika möjliga grupper.

När matematiker undersökte de olika kategorierna av förpackningar, började de märka att för tillräckligt små cirklar - de med stora krökningar - verkade det som att alla möjliga nummer inom varje kategori dök upp för förpackningar av den typen. Denna idé kom att kallas den lokal-globala gissningen. Att bevisa att det blev "en av mina små matematikers drömmar", sa Fuchs. "Som, kanske någon gång om många år från nu kommer jag att kunna lösa det."

2012, Kontorovich och Jean Bourgain (som dog i 2018) bevisade det praktiskt taget varje nummer förutspått av gissningen inträffar. Men "nästan alla" betyder inte "alla". Till exempel är perfekta kvadrater sällsynta nog att matematiskt sett är "nästan alla" heltal inte perfekta kvadrater, även om till exempel 25 och 49 är det. Matematiker trodde att de sällsynta motexemplen som förblev möjliga efter Kontorovich och Bourgains papper faktiskt inte existerade, mest för att de två eller tre mest välstuderade cirkelpackningarna verkade följa den lokal-globala gissningen så bra, sa Kontorovich.

Vrider upp den där ratten

När Haag och Kertzer började i somras i Boulder klottrade Rickards idéer på en svart tavla på Stanges kontor. "Vi hade en hel lista," sa Rickards. De hade fyra eller fem utgångspunkter att experimentera med. "Saker du bara kan leka med och se vad som händer."

En idé var att beräkna alla möjliga cirkelpackningar som innehåller två godtyckliga krökningar A och B. Rickards skrev ett program som matar ut en sorts reskontra som rapporterar vilka heltal som dyker upp för partiet när A är värd.

Baserat på detta program prasslade Haag ihop ett Python-skript som ritade massor av simuleringar på en gång. Det var som en multiplikationstabell: Haag valde vilka rader och kolumner som skulle inkluderas baserat på deras rester när de dividerades med 24. Par av tal som visas i en apollonisk packning tillsammans fick vita pixlar; de som inte har svarta pixlar.

Haag plöjde igenom dussintals tomter - en för varje par rester i var och en av de sex grupperna.

De såg ut exakt som förväntat: en vägg av vit, pepprad med svarta fläckar för mindre heltal. "Vi förväntade oss att de svarta prickarna skulle försvinna", sa Stange. Rickards tillade, "Jag trodde att det kanske till och med skulle vara möjligt att bevisa att de tappar bort." Han spekulerade i att genom att titta på diagram som syntetiserade många packningar tillsammans, skulle teamet kunna bevisa resultat som inte var möjliga när de tittade på en packning på egen hand.

Medan Stange var borta, slutade Haag att rita ut varje par av rester — cirka 120. Inga överraskningar där. Sedan blev hon stor.

Haag hade planerat hur 1,000 1 heltal interagerar. (Grafen är större än den låter, eftersom den involverar 10,000 miljon möjliga par.) Sedan vred hon ratten upp till 10,000 XNUMX gånger XNUMX XNUMX. I en graf vägrade vanliga rader och kolumner med svarta prickar att lösas upp. Det såg inte ut som vad den lokal-globala gissningen skulle förutsäga.

Laget möttes en måndag efter att Stange kommit tillbaka. Haag presenterade sina grafer, och de fokuserade alla på den med de konstiga prickarna. "Det var bara ett kontinuerligt mönster," sa Haag. "Och det var då Kate sa: 'Tänk om den lokal-globala gissningen inte är sann?'"

"Det här ser ut som ett mönster. Det måste fortsätta. Så den lokal-globala gissningen måste vara falsk”, mindes Stange att han tänkte. "James var mer skeptisk."

"Min första tanke var att det måste finnas en bugg i min kod," sa Rickards. "Jag menar, det var det enda rimliga jag kunde komma på."

Inom ett halvt dygn kom Rickards runt. Mönstret uteslöt alla par där den första siffran är av formen 8 × (3n ± 1)² och den andra är 24 gånger vilken kvadrat som helst. Detta innebär att 24 och 8 aldrig förekommer i samma förpackning. Siffror du förväntar dig att inträffa gör det inte.

"Jag var lite snurrig. Det är inte så ofta som något verkligen överraskar dig”, sa Stange. "Men det är magin med att leka med data."

Smakämnen Juli tidning skisserar ett rigoröst bevis på att mönstret de observerade fortsätter i det oändliga, vilket motbevisar gissningarna. Beviset bygger på en hundra år gammal princip som kallas kvadratisk reciprocitet som involverar kvadraterna av två primtal. Stanges team upptäckte hur ömsesidighet gäller för cirkelförpackningar. Det förklarar varför vissa krökningar inte kan tangera varandra. Regeln, som kallas ett hinder, fortplantar sig genom hela packningen. "Det är bara en helt ny sak," sa Jeffrey Lagarias, en matematiker vid University of Michigan som var medförfattare på 2003 års cirkelförpackningspapper. "De har hittat det genialiskt," sa Sarnak. "Om dessa siffror dök upp skulle de bryta mot ömsesidighet."

Fallout

Ett antal andra gissningar inom talteorin kan nu vara tveksamma. Liksom den lokal-globala gissningen är de svåra att bevisa men har redan visat sig hålla för praktiskt taget alla fall och antas allmänt vara sanna.

Till exempel studerar Fuchs Markov-trippel, uppsättningar av tal som uppfyller ekvationen x² + y² + z² = 3xyz. Hon och andra har visat att vissa typer av lösningar är kopplade för primtal större än 10³⁹². Alla tror att mönstret bör fortsätta i det oändliga. Men i ljuset av det nya resultatet har Fuchs tillåtit sig själv att känna en aning av tvivel. "Kanske jag missar något," sa hon. "Kanske alla saknar något."

"Nu när vi har ett enda exempel där det är falskt, är frågan: Är det falskt för dessa andra exempel också?" sa Rickards.

Det finns också Zarembas gissningar. Det står att ett bråk med valfri nämnare kan uttryckas som ett fortsatt bråk som bara använder talen mellan 1 och 5. 2014 visade Kontorovich och Bourgain att Zarembas gissningar gäller för nästan alla tal. Men förvåningen kring cirkelpackning har undergrävt förtroendet för Zarembas gissningar.

Om packningsproblemet är ett förebud om framtida saker, kan beräkningsdata vara verktyget för att ångra det.

"Jag tycker alltid att det är fascinerande när ny matematik föds ur att bara titta på data," sa Fuchs. "Utan det är det verkligen svårt att föreställa sig att [de] skulle ha snubblat över det här."

Stange tillade att inget av detta hade hänt utan sommarprojektet med låga insatser. "Serendipity och en attityd av lekfull utforskning har båda en så stor roll i upptäckten," sa hon.

"Det var en ren slump," sa Haag. "Om jag inte blivit stor nog, skulle vi inte ha märkt det." Arbetet bådar gott för framtida talteorin. "Du kan få förståelse för matematik genom din intuition, genom bevis," sa Stange. "Och du litar mycket på det eftersom du spenderade mycket tid på att tänka på det. Men du kan inte argumentera med uppgifterna.”

Redaktörens anmärkning: Alex Kontorovich är medlem i Quanta Magazines vetenskapliga rådgivande nämnd. Han intervjuades för denna berättelse men bidrog inte i övrigt till dess produktion.