เมื่อพูดถึงการทำความเข้าใจรูปร่างของกลุ่มฟองสบู่ นักคณิตศาสตร์ได้เล่นตามสัญชาตญาณทางกายภาพของเรามานานนับพันปี กระจุกของฟองสบู่ในธรรมชาติมักดูเหมือนจะเข้าสู่สภาวะพลังงานต่ำสุดในทันที ซึ่งเป็นสภาวะที่ลดพื้นที่ผิวทั้งหมดของผนัง (รวมถึงผนังระหว่างฟองสบู่ด้วย) แต่การตรวจสอบว่าฟองสบู่ทำงานนี้ถูกต้องหรือไม่ หรือเพียงแค่คาดเดาว่ากลุ่มฟองสบู่ขนาดใหญ่ควรมีลักษณะอย่างไร ก็เป็นหนึ่งในปัญหาที่ยากที่สุดในเรขาคณิต นักคณิตศาสตร์ต้องใช้เวลาจนถึงปลายศตวรรษที่ 19 เพื่อพิสูจน์ว่าทรงกลมเป็นฟองเดี่ยวที่ดีที่สุด แม้ว่านักคณิตศาสตร์ชาวกรีก Zenodorus ได้ยืนยันสิ่งนี้เมื่อกว่า 2,000 ปีก่อน
ปัญหาฟองสบู่นั้นง่ายพอที่จะระบุได้: คุณเริ่มต้นด้วยรายการตัวเลขสำหรับปริมาตร แล้วถามว่าจะแยกปริมาตรอากาศเหล่านั้นออกจากกันโดยใช้พื้นที่ผิวน้อยที่สุดได้อย่างไร แต่เพื่อแก้ปัญหานี้ นักคณิตศาสตร์ต้องพิจารณารูปทรงต่างๆ ที่เป็นไปได้สำหรับผนังฟองสบู่ และถ้างานมอบหมายคือการใส่ พูด ห้าเล่ม เราไม่ได้มีความหรูหราในการจำกัดความสนใจของเราไปยังกลุ่มของฟองสบู่ห้าฟอง - บางทีวิธีที่ดีที่สุดในการลดพื้นที่ผิวคือการแบ่งปริมาตรหนึ่งออกเป็นหลายฟอง
แม้แต่ในการตั้งค่าที่เรียบง่ายกว่าของระนาบสองมิติ (ที่คุณพยายามล้อมรอบกลุ่มของพื้นที่ในขณะที่ลดขอบเขตให้เล็กที่สุด) ไม่มีใครรู้วิธีที่ดีที่สุดในการล้อมรอบ พูด 10 หรือ XNUMX พื้นที่ เมื่อจำนวนฟองสบู่เพิ่มขึ้น "อย่างรวดเร็ว คุณไม่สามารถคาดเดาอะไรได้เลย" กล่าว เอ็มมานูเอล มิลมาน แห่ง Technion ในเมืองไฮฟา ประเทศอิสราเอล
แต่เมื่อกว่าศตวรรษที่แล้ว John Sullivanปัจจุบันของมหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งเบอร์ลินได้ตระหนักว่าในบางกรณีมี การคาดเดาแนวทาง ที่จะมี ปัญหาฟองสบู่มีความสมเหตุสมผลในทุกมิติ และซัลลิแวนพบว่าตราบใดที่จำนวนเล่มที่คุณพยายามจะล้อมรอบนั้นมากกว่ามิตินั้นอย่างมากที่สุด มีวิธีหนึ่งที่จะใส่ปริมาตรซึ่งก็คือ ในแง่หนึ่ง สวยงามเหนือสิ่งอื่นใด — เงาของกลุ่มฟองที่สมมาตรอย่างสมบูรณ์แบบบนทรงกลม เขาคาดการณ์ว่ากลุ่มเงานี้ควรเป็นกลุ่มที่ลดพื้นที่ผิวให้เหลือน้อยที่สุด
ตลอดทศวรรษต่อมา นักคณิตศาสตร์ได้เขียนชุดเอกสารที่พิสูจน์การคาดเดาของซัลลิแวน เมื่อคุณพยายามจะใส่แค่สองเล่มเท่านั้น ในที่นี้ วิธีแก้ปัญหาคือฟองสบู่สองชั้นที่คุณอาจเคยเป่าในสวนสาธารณะในวันที่มีแดดจ้า ซึ่งทำจากชิ้นส่วนทรงกลมสองชิ้นที่มีผนังเรียบหรือทรงกลมคั่นกลาง (ขึ้นอยู่กับว่าฟองทั้งสองมีปริมาตรเท่ากันหรือต่างกัน)
แต่การพิสูจน์การคาดเดาของซัลลิแวนสำหรับสามเล่มนั้น นักคณิตศาสตร์ มอร์แกนแฟรงก์ ของวิทยาลัยวิลเลียมส์ สันนิษฐาน ในปี 2007 “อาจใช้เวลาอีกร้อยปี”
ตอนนี้ นักคณิตศาสตร์รอดพ้นจากการรอคอยที่ยาวนาน และได้เป็นมากกว่าวิธีแก้ปัญหาฟองสบู่สามชั้น ใน กระดาษ โพสต์ออนไลน์ในเดือนพฤษภาคม Milman และ โจ นีมานแห่งมหาวิทยาลัยเทกซัส ออสติน ได้พิสูจน์การคาดเดาของซัลลิแวนสำหรับฟองอากาศสามชั้นในมิติ XNUMX ขึ้นไป และฟองอากาศสี่เท่าในมิติที่ XNUMX ขึ้นไป โดยมีกระดาษติดตามผลเกี่ยวกับฟองสบู่ห้าก้อนในมิติที่ XNUMX ขึ้นไปในผลงาน
และเมื่อพูดถึงฟองสบู่หกฟองขึ้นไป Milman และ Neeman ได้แสดงให้เห็นว่าคลัสเตอร์ที่ดีที่สุดต้องมีคุณลักษณะที่สำคัญหลายอย่างของผู้สมัครของ Sullivan ซึ่งอาจทำให้นักคณิตศาสตร์ต้องเริ่มต้นในการพิสูจน์การคาดเดาสำหรับกรณีเหล่านี้ด้วย “ความประทับใจของฉันคือพวกเขาเข้าใจโครงสร้างสำคัญที่อยู่เบื้องหลังการคาดเดาของซัลลิแวน” . กล่าว ฟรานเชสโก้ แม็กกี้ แห่งมหาวิทยาลัยเทกซัส ออสติน
ทฤษฎีบทกลางของ Milman และ Neeman คือ "อนุสาวรีย์" มอร์แกนเขียนในอีเมล “เป็นความสำเร็จที่ยอดเยี่ยมพร้อมแนวคิดใหม่ๆ มากมาย”
ฟองเงา
ประสบการณ์ของเราเกี่ยวกับฟองสบู่จริงๆ นำเสนอสัญชาตญาณที่ดึงดูดใจว่าคลัสเตอร์ฟองสบู่ที่เหมาะสมควรมีลักษณะอย่างไร อย่างน้อยก็ในคลัสเตอร์ขนาดเล็ก ฟองสบู่สามหรือสี่ฟองที่เราเป่าผ่านแท่งสบู่ดูเหมือนจะมีผนังทรงกลม (และบางครั้งก็แบน) และมีแนวโน้มที่จะก่อตัวเป็นกระจุกแน่นมากกว่าพูดเป็นฟองสบู่ยาว
แต่มันไม่ง่ายเลยที่จะพิสูจน์ว่าสิ่งเหล่านี้เป็นคุณสมบัติของคลัสเตอร์บับเบิลที่เหมาะสมที่สุด ตัวอย่างเช่น นักคณิตศาสตร์ไม่ทราบว่าผนังในกลุ่มฟองอากาศย่อเล็กสุดนั้นเป็นทรงกลมหรือแบนเสมอหรือไม่ พวกเขารู้เพียงว่าผนังมี "ความโค้งเฉลี่ยคงที่" ซึ่งหมายความว่าความโค้งเฉลี่ยยังคงเท่าเดิมจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง ทรงกลมและพื้นผิวเรียบมีคุณสมบัตินี้ แต่พื้นผิวอื่นๆ ก็เช่นกัน เช่น ทรงกระบอกและรูปทรงคลื่นที่เรียกว่า unduloids พื้นผิวที่มีความโค้งเฉลี่ยคงที่เป็น "สวนสัตว์ที่สมบูรณ์" มิลแมนกล่าว
แต่ในปี 1990 Sullivan ตระหนักดีว่าเมื่อจำนวนไดรฟ์ข้อมูลที่คุณต้องการรวมไว้มีมากกว่ามิติข้อมูลมากที่สุด ก็มีกลุ่มตัวเลือกที่ดูเหมือนจะโดดเด่นกว่าส่วนที่เหลือ — คลัสเตอร์หนึ่ง (และหนึ่งเท่านั้น) ที่มีคุณลักษณะที่เรามีแนวโน้ม ให้เห็นเป็นกลุ่มเล็กๆ ของฟองสบู่จริง
เพื่อให้เข้าใจถึงวิธีการสร้างผู้สมัครดังกล่าว ลองใช้แนวทางของซัลลิแวนเพื่อสร้างคลัสเตอร์สามฟองในระนาบเรียบ (ดังนั้น “ฟองสบู่” ของเราจะเป็นบริเวณในระนาบแทนที่จะเป็นวัตถุสามมิติ) เราเริ่มต้นด้วยการเลือกสี่จุดบนทรงกลมที่มีระยะห่างเท่ากันทั้งหมด ทีนี้ลองจินตนาการว่าจุดทั้งสี่นี้เป็นจุดศูนย์กลางของฟองอากาศเล็กๆ ที่อาศัยอยู่บนพื้นผิวของทรงกลมเท่านั้น (เพื่อให้แต่ละฟองเป็นดิสก์ขนาดเล็ก) พองสี่ฟองบนทรงกลมจนกว่าพวกเขาจะเริ่มชนกัน จากนั้นให้พองต่อไปจนกว่าพวกเขาจะเติมเต็มพื้นผิวทั้งหมด เราลงเอยด้วยคลัสเตอร์สมมาตรของสี่ฟองที่ทำให้ทรงกลมดูเหมือนจัตุรมุขที่พองออก
ต่อไป เราวางทรงกลมนี้ไว้บนระนาบที่ไม่มีที่สิ้นสุด ราวกับว่าทรงกลมนั้นเป็นลูกบอลที่วางอยู่บนพื้นที่ไม่สิ้นสุด ลองนึกภาพว่าลูกบอลโปร่งใสและมีตะเกียงอยู่ที่ขั้วโลกเหนือ ผนังของฟองสบู่ทั้งสี่จะฉายเงาบนพื้น ก่อตัวเป็นผนังของกระจุกฟองที่นั่น จากสี่ฟองบนทรงกลม สามอันจะฉายลงไปที่ฟองเงาบนพื้น ฟองที่สี่ (อันที่มีขั้วเหนือ) จะฉายลงไปที่พื้นนอกกระจุกของฟองเงาสามอัน
คลัสเตอร์สามฟองที่เราได้รับนั้นขึ้นอยู่กับว่าเราวางตำแหน่งทรงกลมไว้อย่างไรเมื่อเราวางมันลงบนพื้น หากเราหมุนทรงกลมเพื่อให้จุดต่าง ๆ เคลื่อนไปที่โคมที่ขั้วโลกเหนือ โดยปกติเราจะได้เงาที่แตกต่างกัน และฟองอากาศสามฟองบนพื้นจะมีพื้นที่ต่างกัน นักคณิตศาสตร์มี พิสูจน์แล้วว่า สำหรับตัวเลขสามตัวใดๆ ที่คุณเลือกสำหรับพื้นที่นั้น มีวิธีเดียวในการจัดตำแหน่งทรงกลม ดังนั้นฟองเงาทั้งสามจะมีพื้นที่เหล่านั้นอย่างแม่นยำ
เรามีอิสระในการดำเนินการนี้ในทุกมิติ (แม้ว่าเงาในมิติที่สูงกว่าจะมองเห็นได้ยากกว่า) แต่มีขีดจำกัดว่าเราจะมีฟองสบู่ได้กี่ฟองในกลุ่มเงาของเรา ในตัวอย่างข้างต้น เราไม่สามารถสร้างกระจุกสี่ฟองบนเครื่องบินได้ ซึ่งจะต้องเริ่มต้นด้วยจุดห้าจุดบนทรงกลมที่มีระยะห่างเท่ากันจากกัน แต่เป็นไปไม่ได้ที่จะวางจุดที่เท่ากันหลายจุดบนทรงกลม (แม้ว่าคุณจะทำได้ด้วยทรงกลมมิติที่สูงกว่าก็ตาม) ขั้นตอนของซัลลิแวนใช้ได้เฉพาะเพื่อสร้างกลุ่มของฟองสบู่สูงสุดสามฟองในพื้นที่สองมิติ สี่ฟองในพื้นที่สามมิติ ห้าฟองในพื้นที่สี่มิติ และอื่นๆ นอกช่วงพารามิเตอร์เหล่านั้น คลัสเตอร์แบบฟองสบู่สไตล์ซัลลิแวนไม่มีอยู่จริง
แต่ภายในพารามิเตอร์เหล่านั้น ขั้นตอนของซัลลิแวนทำให้เรามีกลุ่มฟองในสภาพแวดล้อมที่เกินกว่าที่สัญชาตญาณทางกายภาพของเราจะเข้าใจได้ “เป็นไปไม่ได้ที่จะนึกภาพสิ่งที่เป็นฟอง 15 ฟองใน [ช่องว่าง 23 มิติ]” Maggi กล่าว “คุณฝันที่จะอธิบายวัตถุดังกล่าวได้อย่างไร”
ทว่าฟองสบู่ของซัลลิแวนยังสืบทอดมาจากบรรพบุรุษทรงกลมของพวกเขาด้วยคอลเลกชั่นคุณสมบัติพิเศษที่ชวนให้นึกถึงฟองอากาศที่เราเห็นในธรรมชาติ ผนังทั้งหมดเป็นทรงกลมหรือแบน และไม่ว่าผนังทั้งสามจะบรรจบกันที่ใด พวกมันจะสร้างมุม 120 องศา เช่นเดียวกับรูปร่าง Y ที่สมมาตร แต่ละโวลุ่มที่คุณพยายามจะล้อมรอบอยู่ในขอบเขตเดียว แทนที่จะแยกเป็นหลายภูมิภาค และทุกฟองสัมผัสกัน (และด้านนอก) ก่อตัวเป็นกระจุกแน่น นักคณิตศาสตร์ได้แสดงให้เห็นว่าฟองสบู่ของซัลลิแวนเป็นกลุ่มเดียวที่ตรงตามคุณสมบัติเหล่านี้ทั้งหมด
เมื่อซัลลิแวนตั้งสมมติฐานว่าสิ่งเหล่านี้ควรเป็นกลุ่มก้อนที่ลดพื้นที่ผิวลง เขากำลังพูดว่า "มาสมมติความงามกันเถอะ" แม็กกี้กล่าว
แต่นักวิจัยฟองสบู่มีเหตุผลที่ดีที่พึงระวังที่จะสมมติว่าเพียงเพราะว่าวิธีแก้ปัญหาที่เสนอนั้นสวยงาม มันจึงถูกต้อง “มีปัญหาที่มีชื่อเสียงมาก … ที่คุณคาดหวังความสมมาตรสำหรับตัวย่อขนาด และความสมมาตรก็ล้มเหลวอย่างน่าทึ่ง” Maggi กล่าว
ตัวอย่างเช่น มีปัญหาที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดในการเติมพื้นที่อนันต์ด้วยฟองอากาศที่มีปริมาตรเท่ากันในลักษณะที่จะลดพื้นที่ผิว ในปี พ.ศ. 1887 นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ ลอร์ด เคลวิน เสนอแนะว่าการแก้ปัญหาอาจเป็นโครงสร้างคล้ายรังผึ้งที่สง่างาม นักคณิตศาสตร์หลายคนเชื่อว่านี่คือคำตอบที่เป็นไปได้ จนถึงปี 1993 เมื่อนักฟิสิกส์คู่หนึ่ง ระบุที่ดีกว่าแม้ว่าตัวเลือกจะสมมาตรน้อยกว่า “คณิตศาสตร์เต็มไปด้วย … ตัวอย่างที่เกิดเรื่องประหลาดแบบนี้” แม็กกี้กล่าว
ศิลปะแห่งความมืด
เมื่อซัลลิแวนประกาศการคาดเดาของเขาในปี 1995 ส่วนที่เป็นฟองคู่ของมันลอยไปมาเป็นเวลาหนึ่งศตวรรษแล้ว นักคณิตศาสตร์ได้แก้ ปัญหา 2D double-bubble เมื่อสองปีก่อน และในทศวรรษต่อมา พวกเขาแก้ไขใน พื้นที่สามมิติ แล้วเข้า สูงกว่า มิติ. แต่เมื่อพูดถึงกรณีต่อไปของการคาดเดาของซัลลิแวน — สามฟอง — พวกเขาทำได้ พิสูจน์การคาดเดา เฉพาะในระนาบสองมิติที่ส่วนต่อประสานระหว่างฟองอากาศนั้นเรียบง่ายเป็นพิเศษ
จากนั้นในปี 2018 มิลแมนและนีแมนได้พิสูจน์การคาดเดาของซัลลิแวนในรูปแบบที่คล้ายคลึงกันในสภาพแวดล้อมที่เรียกว่าปัญหาฟองสบู่แบบเกาส์เซียน ในการตั้งค่านี้ คุณสามารถนึกถึงทุกจุดในอวกาศว่ามีมูลค่าทางการเงิน: ต้นทางคือจุดที่แพงที่สุด และยิ่งคุณอยู่ห่างจากจุดกำเนิดมากเท่าไร ที่ดินที่ถูกกว่าก็จะกลายเป็นโค้งระฆัง เป้าหมายคือการสร้างกล่องหุ้มด้วยราคาที่เลือกไว้ล่วงหน้า (แทนปริมาณที่เลือกไว้ล่วงหน้า) ในลักษณะที่ลดต้นทุนของขอบเขตของเปลือกหุ้ม (แทนที่จะเป็นพื้นที่ผิวของขอบเขต) ปัญหาฟองสบู่แบบเกาส์เซียนนี้มีการประยุกต์ใช้ในวิทยาการคอมพิวเตอร์กับแผนการปัดเศษและคำถามเกี่ยวกับความไวของเสียง
Milman และ Neeman ส่ง พิสูจน์ ไป พงศาวดารของคณิตศาสตร์วารสารที่มีชื่อเสียงที่สุดของคณิตศาสตร์ (ซึ่งเป็นที่ยอมรับในภายหลัง) แต่ทั้งคู่ไม่มีความตั้งใจที่จะเรียกมันว่าวัน วิธีการของพวกเขาดูเหมือนจะมีแนวโน้มสำหรับปัญหาฟองสบู่แบบคลาสสิกเช่นกัน
พวกเขาโยนความคิดไปมาหลายปี “เรามีเอกสารบันทึกย่อ 200 หน้า” มิลแมนกล่าว ตอนแรกรู้สึกราวกับว่าพวกเขากำลังก้าวหน้า “แต่แล้วมันก็กลายเป็นอย่างรวดเร็ว 'เราลองมาทางนี้แล้ว—ไม่ เราลองไปในทิศทางนั้น — ไม่'” เพื่อป้องกันการเดิมพัน นักคณิตศาสตร์ทั้งสองได้ดำเนินโครงการอื่นๆ เช่นกัน
เมื่อฤดูใบไม้ร่วงปีที่แล้ว มิลแมนขึ้นมาเพื่อหยุดงานและตัดสินใจไปเยี่ยมนีมานเพื่อให้ทั้งคู่สามารถผลักดันปัญหาฟองสบู่ได้ “ในช่วงวันหยุด เป็นเวลาที่ดีที่จะลองทำสิ่งที่มีความเสี่ยงสูงและได้กำไรสูง” มิลแมนกล่าว
ในช่วงสองสามเดือนแรกพวกเขาไม่มีที่ไหนเลย ในที่สุด พวกเขาตัดสินใจที่จะมอบหมายงานให้ตัวเองง่ายกว่าการคาดเดาทั้งหมดของซัลลิแวนเล็กน้อย หากคุณให้ฟองอากาศมีมิติพิเศษของห้องหายใจ คุณจะได้รับโบนัส: กลุ่มฟองที่ดีที่สุดจะมีสมมาตรเหมือนกระจกทั่วระนาบกลาง
การคาดเดาของซัลลิแวนเป็นเรื่องเกี่ยวกับฟองสามชั้นในมิติที่ XNUMX ขึ้นไป ฟองอากาศสี่เท่าในมิติที่ XNUMX ขึ้นไป เป็นต้น เพื่อให้ได้โบนัสสมมาตร Milman และ Neeman ได้จำกัดความสนใจของพวกเขาไว้ที่สามฟองในมิติที่ XNUMX ขึ้นไป ฟองสี่เท่าในมิติที่สี่ขึ้นไป เป็นต้น Neeman กล่าวว่า "มันเป็นเพียงเมื่อเราเลิกใช้พารามิเตอร์เต็มรูปแบบเท่านั้นที่ทำให้เราก้าวหน้า"
ด้วยความสมมาตรของกระจกในการกำจัด Milman และ Neeman ได้เกิดข้อโต้แย้งที่เกี่ยวข้องกับการพองตัวเล็กน้อยของกระจุกฟองที่อยู่เหนือกระจกและยุบครึ่งที่อยู่ด้านล่าง การก่อกวนนี้จะไม่เปลี่ยนปริมาตรของฟองอากาศ แต่สามารถเปลี่ยนพื้นที่ผิวของพวกมันได้ Milman และ Neeman แสดงให้เห็นว่าหากกระจุกฟองที่เหมาะสมที่สุดมีผนังที่ไม่เป็นทรงกลมหรือแบนราบ ก็จะมีวิธีเลือกการรบกวนนี้เพื่อลดพื้นที่ผิวของกระจุกดาว — ความขัดแย้ง เนื่องจากกระจุกที่เหมาะที่สุดมีพื้นผิวน้อยที่สุดอยู่แล้ว พื้นที่ที่เป็นไปได้
การใช้การรบกวนในการศึกษาฟองสบู่นั้นยังห่างไกลจากแนวคิดใหม่ แต่การค้นหาว่าการรบกวนใดที่จะตรวจพบลักษณะสำคัญของคลัสเตอร์ฟองนั้นเป็น "ศิลปะมืด" Neeman กล่าว
เมื่อมองย้อนกลับไป “เมื่อคุณเห็น [การรบกวนของ Milman และ Neeman] พวกเขาดูค่อนข้างเป็นธรรมชาติ” กล่าว โจเอล ฮัส แห่งมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย เดวิส
แต่การตระหนักว่าการก่อกวนโดยธรรมชาตินั้นง่ายกว่าการคิดขึ้นเองตั้งแต่แรกมาก Maggi กล่าว “มันไม่ใช่สิ่งที่คุณสามารถพูดได้ว่า 'ในที่สุดผู้คนก็จะพบมัน'” เขากล่าว “มันเป็นอัจฉริยะจริงๆ ในระดับที่น่าทึ่งมาก”
Milman และ Neeman สามารถใช้การรบกวนของพวกเขาเพื่อแสดงให้เห็นว่ากระจุกฟองที่เหมาะสมที่สุดจะต้องตอบสนองทุกลักษณะสำคัญของกระจุกของซัลลิแวน ยกเว้นบางที: ข้อกำหนดที่ทุกฟองต้องสัมผัสกัน ข้อกำหนดสุดท้ายนี้บังคับให้ Milman และ Neeman ต่อสู้กับทุกวิถีทางที่ฟองสบู่อาจเชื่อมต่อกันเป็นคลัสเตอร์ เมื่อพูดถึงฟองสบู่เพียงสามหรือสี่ฟอง มีความเป็นไปได้ไม่มากนักที่จะต้องพิจารณา แต่เมื่อคุณเพิ่มจำนวนฟองอากาศ จำนวนของรูปแบบการเชื่อมต่อที่เป็นไปได้จะเพิ่มขึ้น เร็วกว่าแบบทวีคูณ
Milman และ Neeman หวังว่าในตอนแรกจะพบหลักการที่ครอบคลุมซึ่งครอบคลุมกรณีเหล่านี้ทั้งหมด แต่หลังจากใช้เวลาสองสามเดือน “ปวดหัว” มิลแมนกล่าว พวกเขาตัดสินใจที่จะพอใจในตอนนี้ด้วยวิธีการเฉพาะกิจที่ทำให้พวกเขาจัดการกับฟองสบู่สามเท่าและสี่เท่าได้ พวกเขายังได้ประกาศหลักฐานที่ไม่ได้เผยแพร่ว่าฟองสบู่ห้าส่วนของซัลลิแวนนั้นเหมาะสมที่สุด แม้ว่าพวกเขาจะยังไม่ได้พิสูจน์ว่ามันเป็นคลัสเตอร์ที่เหมาะสมที่สุดเพียงกลุ่มเดียว
งานของ Milman และ Neeman คือ "แนวทางใหม่ทั้งหมด มากกว่าการขยายวิธีการแบบเดิม" มอร์แกนเขียนในอีเมล เป็นไปได้มากที่ Maggi คาดการณ์ว่าวิธีการนี้สามารถผลักดันให้ไปได้ไกลยิ่งขึ้น บางทีอาจรวมกลุ่มของฟองอากาศมากกว่าห้าฟอง หรือในกรณีของการคาดเดาของซัลลิแวนที่ไม่มีความสมมาตรของกระจก
ไม่มีใครคาดหวังว่าความก้าวหน้าต่อไปจะมาโดยง่าย แต่นั่นไม่เคยขัดขวางมิลแมนและนีมาน “จากประสบการณ์ของผม” มิลแมนกล่าว “สิ่งสำคัญทั้งหมดที่ผมโชคดีพอจะทำได้นั้นต้องการแค่ไม่ยอมแพ้”
