ค้นหาความจริงทางคณิตศาสตร์ในปริศนาเหรียญปลอม

Our ชุดปริศนาล่าสุด โดดเด่นด้วยเครื่องชั่งแบบกระทะสองชั้นแบบเรียบง่าย ซึ่งในอดีตเป็นสัญลักษณ์ของการค้าและการปกครอง ศิลปะและวิทยาศาสตร์ เครื่องชั่งน้ำหนักยังเป็นที่นิยมในวิชาคณิตศาสตร์เพื่อการพักผ่อนหย่อนใจ ปริศนาการทรงตัวต้องใช้การให้เหตุผลที่ชัดเจนและมีเหตุผล และให้ความสำคัญกับการสรุปทางคณิตศาสตร์เป็นอย่างดี มาดูกันว่าเป็นอย่างไร ควอนตั้ม ผู้อ่านสมดุลคุณสมบัติเหล่านี้ในปริศนาด้านล่าง

1 ปริศนา

คุณมีเหรียญที่หน้าตาเหมือนกันแปดเหรียญ อันหนึ่งเป็นของปลอมและเบากว่าอันอื่นซึ่งมีน้ำหนักเท่ากัน ค้นหาเหรียญที่ไม่ดีในการชั่งน้ำหนักสองครั้ง ค้นหาสูตรทั่วไปสำหรับจำนวนเหรียญสูงสุดที่คุณสามารถหาของปลอมได้ใน x การชั่งน้ำหนัก

การแก้ปัญหาแบบง่ายๆ มักจะเผยให้เห็นกุญแจสำคัญในการแก้ไขปัญหา ในกรณีนี้ ลองนึกภาพว่าคุณมีเพียงสามเหรียญ โดยเหรียญหนึ่งเบากว่าอีกสองเหรียญที่เหลือ หากคุณชั่งน้ำหนักอันใดอันหนึ่งกับอีกสองอันที่เหลือ ทั้งสองจะสมดุลหรือไม่ก็ไม่สมดุล ถ้าไม่อย่างนั้น คุณก็รู้ว่าอันไหนเบากว่า หากพวกมันสมดุล อันที่สามก็คืออันที่เบา คุณต้องการการชั่งน้ำหนักเพียงครั้งเดียว

ดังนั้นในปริศนาข้อนี้ หากคุณสามารถแยกกลุ่มละ XNUMX (หรือน้อยกว่า) ที่มีเหรียญน้ำหนักเบาในการชั่งน้ำหนักครั้งแรก คุณจะต้องชั่งน้ำหนักเพิ่มอีกหนึ่งชุด คุณสามารถทำได้โดยสร้างสมดุลระหว่างสามตัวกับอีกสามตัว หากทั้งสองกลุ่มไม่สมดุล คุณพบกลุ่มที่มีกลุ่มที่เบาและสามารถดำเนินการตามข้างต้นสำหรับการชั่งน้ำหนักครั้งที่สองได้ หากสมดุลกัน ให้ชั่งน้ำหนักสองเหรียญที่เหลือต่อกัน แล้วคุณจะพบเหรียญที่เบา

สังเกตว่าสิ่งนี้ยังใช้ได้หากมีสามตัวในกลุ่มที่ไม่ได้ชั่งน้ำหนัก ดังนั้นเราจึงสามารถเริ่มต้นด้วยเก้าเหรียญ ตามตรรกะนี้ และเริ่มต้นด้วยสามเหรียญ สำหรับการชั่งน้ำหนักเพิ่มเติมแต่ละครั้ง เราสามารถหาเหรียญที่เบาได้เป็นสามเท่าของจำนวนเหรียญที่เรามีก่อนหน้านี้ สูตรให้จำนวนเหรียญสูงสุดแก่เรา n in w การชั่งน้ำหนักจึงเป็น n = 3^w.

2 ปริศนา

คุณมีเหรียญที่หน้าตาเหมือนกัน 12 เหรียญ อันหนึ่งหนักกว่าหรือเบากว่าอันอื่นซึ่งมีน้ำหนักเท่ากัน

1. ค้นหาเหรียญที่ไม่ดีในสามการชั่งน้ำหนัก

2. จำนวนเหรียญสูงสุดที่คุณสามารถค้นหาหนึ่งในสี่ของการชั่งน้ำหนักที่ไม่ดีคือเท่าใด อธิบายว่าคุณจะพบเหรียญปลอมได้อย่างไร

คำตอบของปริศนานี้อธิบายไว้อย่างดีโดย เท็ดซึ่งยังแสดงให้เห็นว่าคุณสามารถตรวจจับเหรียญเสียจาก 13 เหรียญได้จริงในสามการชั่งน้ำหนัก นี่คือวิธีแก้ปัญหาของ Ted (พร้อมการเยื้องเพื่อแยกการชั่งน้ำหนักสามรายการในแต่ละกรณี):

เริ่มต้นด้วยการชั่งน้ำหนัก 4 เหรียญเทียบกับ 4 เหรียญ

กรณีที่ 1: หากไม่สมดุล สำหรับการชั่งน้ำหนักครั้งที่สอง ให้ใส่ด้านที่หนักกว่า 2 ด้านทั้งสองด้านของเครื่องชั่งพร้อมกับด้านที่เบากว่า 1 ด้าน

1a: หากไม่สมดุล เหรียญเสียจะเป็นเหรียญ 2 เหรียญที่อยู่ด้านหนักหรือเหรียญเดียวที่อยู่ด้านสว่าง

ชั่งเหรียญหนักที่เป็นไปได้ 2 เหรียญ เหรียญที่ไม่ดีอาจหนักกว่าทั้งสองเหรียญ หรือเหรียญน้ำหนักเบาเพียงเหรียญเดียวหากมีความสมดุล

1b: หากการชั่งน้ำหนักครั้งที่สองมีความสมดุล เหรียญเสียจะเป็นหนึ่งใน 2 เหรียญที่ไม่ได้ใช้จากด้านที่เบากว่าของการชั่งน้ำหนักครั้งแรก

ชั่งน้ำหนักให้ชิดกัน อันที่เบากว่าก็แย่

กรณีที่ 2: หากสมดุล เหรียญเสียจะเป็นหนึ่งใน 5 เหรียญที่เหลืออยู่ ชั่งน้ำหนัก 3 ตัวเทียบกับ 3 ตัวที่ชั่งน้ำหนักแล้ว (ซึ่งเป็นที่รู้จัก [จะ] ดี)

กรณีที่ 2a: หากไม่สมดุล คุณจะรู้ว่าเหรียญเสียเป็นหนึ่งในสามเหรียญนั้นและไม่ว่าจะเบาหรือหนัก

การชั่งน้ำหนักครั้งที่สามคือการชั่งน้ำหนัก 2 ครั้งต่อกัน หากไม่สมดุล จะเป็นการระบุเหรียญที่เสีย หากสมดุล จะถือเป็นเหรียญสุดท้ายในสามรายการ

กรณีที่ 2b: หากการชั่งน้ำหนักครั้งที่สองมีความสมดุล เหรียญเสียจะเป็นหนึ่งใน 2 ที่เหลืออยู่

ชั่งน้ำหนักทั้งสองอย่างกับเหรียญที่ดีที่รู้จัก หากผลลัพธ์นี้ไม่สมดุล เหรียญใหม่นี้ไม่ดี และคุณรู้ว่ามันหนักหรือเบา หากผลลัพธ์นี้สมดุล เหรียญที่ 13 ไม่ดี แต่ไม่รู้ว่าหนักหรือเบา (ซึ่งเราไม่จำเป็นต้องรู้ก็จบ)

เท็ด ยังแสดงให้เห็นอีกว่าจำนวนเหรียญสูงสุดสำหรับการชั่งน้ำหนักสี่ครั้งคือ 40 สูตรสำหรับปริศนานี้คือ: n = (3^w - 1)/2.

สำหรับปริศนาที่เหลือ สูตรทั่วไปยังอยู่ภายใต้การตรวจสอบโดยนักคณิตศาสตร์มืออาชีพ และเป็นหัวข้อของบทความที่ตีพิมพ์ ซึ่งบางส่วนได้อ้างถึงโดย Rainer aus dem ฤดูใบไม้ผลิ. ฉันจะจำกัดตัวเองให้อยู่กับวิธีแก้ปัญหาสำหรับเหรียญจำนวนเล็กน้อยที่เราพิจารณาในปริศนา และจะกล่าวถึงลักษณะทั่วไปที่เป็นไปตามธรรมชาติจากวิธีการที่ใช้ในกรณีเหล่านี้เท่านั้น

3 ปริศนา

นี่คือรูปแบบต่างๆ ของปริศนา 1 คุณมีเหรียญที่ดูเหมือนกันแปดเหรียญ ซึ่งเหรียญหนึ่งจะเบากว่าเหรียญอื่นๆ อย่างไรก็ตาม ตอนนี้คุณมีสามเครื่องชั่งแล้ว ตาชั่งสองอันใช้งานได้ แต่อันที่สามเสียและให้ผลลัพธ์แบบสุ่ม (บางครั้งก็ถูกและบางครั้งก็ผิด) คุณไม่ทราบว่ามาตราส่วนใดหัก ต้องใช้น้ำหนักเท่าไหร่ในการหาเหรียญเบา?

ดังที่เราเห็นในปัญหาที่ 1 การชั่งน้ำหนักเพียงสองครั้งด้วยเครื่องชั่งที่ดี เรายังทราบด้วยว่าเครื่องชั่งที่ดีทั้งสองแบบจะสอดคล้องกันเสมอ ดังนั้นหากเราเพียงแค่ชั่งน้ำหนักซ้ำในเครื่องชั่งทั้งสามแบบซ้ำ เราก็จะได้คำตอบในการชั่งน้ำหนักหกแบบตามที่ผู้อ่านแนะนำ หากเราพยายามชั่งน้ำหนักให้น้อยลง ก็จะยุ่งยากเล็กน้อย เราไม่สามารถระบุมาตราส่วนที่ดีได้เพียงแค่ชั่งน้ำหนักเหรียญเดียวกันบนตาชั่งสองตาชั่ง เพราะถึงแม้พวกเขาจะเห็นด้วย เครื่องชั่งทั้งสองก็ยังอาจเป็นมาตราส่วนที่ไม่ดี (สิ่งนี้ยังแสดงให้เห็นว่าข้อมูลที่ผิดหรือข้อมูลสุ่มสามารถบิดเบือนความจริงได้ง่ายเพียงใด)

อันที่จริง ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้อย่างชาญฉลาดด้วยการชั่งน้ำหนักเพียงสี่ครั้ง! Rainer aus dem ฤดูใบไม้ผลิ โพสต์วิธีแก้ปัญหาโดยใช้สัญกรณ์ใหม่ที่ดูเหมือนว่าจะถูกสร้างขึ้นสำหรับปริศนานี้ แต่ก่อนที่คุณจะไปที่นั่น ฉันต้องการให้คุณจินตนาการถึงสถานการณ์ที่ฉันหวังว่าจะทำให้สิ่งต่างๆ ง่ายขึ้น

ลองนึกภาพว่าคุณเป็นนักสืบที่กำลังสืบสวนเหตุชนแล้วหนีในประเทศเล็กๆ ที่รถยนต์มีป้ายทะเบียนสองหลักโดยใช้ตัวเลข 0, 1 และ 2 เท่านั้น มีสามคน A, B และ C ที่สังเกตเหตุการณ์ สองคนตอบคำถามสามตัวเลือกอย่างถูกต้องเสมอ และอีกคนหนึ่งให้คำตอบแบบสุ่มทั้งหมด คุณไม่รู้ว่าใครเป็นคนตอบแบบสุ่ม คุณต้องถามคำถามสามตัวเลือกเดียวจากนั้นเลือกคำถามที่พูดความจริงเพื่อรับข้อมูลเพิ่มเติม

นี่คือวิธีที่คุณทำ ถาม A ว่าตัวเลขแรกเป็น 0, 1 หรือ 2 หรือไม่ สมมุติว่า A บอกว่า 2 ถาม B ว่าหลักที่สองคือ 0, 1 หรือ 2 หรือไม่ สมมุติว่า B บอกว่า 1 แล้วให้ C เลือกตัวเลือกระหว่างสามประโยคนี้:

• A เท่านั้นที่พูดความจริง
• บีเท่านั้นที่พูดความจริง
• ทั้งสองกำลังพูดความจริง

คุณสามารถเชื่อตัวที่ C บอกคุณและตั้งคำถามเกี่ยวกับตัวเลขอีกตัวหนึ่ง ถ้าจะดูว่าทำไม ให้พิจารณาว่าถ้า ก โกหก แสดงว่า ค เชื่อถือได้ และจะบอกว่า ข พูดความจริง ตัวเลขหลักที่สองจะเป็น 1 และคุณสามารถถาม B เกี่ยวกับตัวเลขแรกได้ ในทำนองเดียวกัน ถ้า B โกหก C ก็น่าเชื่อถืออีกครั้งและจะบอกว่า A กำลังพูดความจริง หลักแรกคือ 2 และคุณสามารถถาม A เกี่ยวกับหลักที่สองได้ สุดท้าย ถ้า C โกหก ทั้ง A และ B ก็เชื่อถือได้ ดังนั้นคุณยังคงเชื่อและเลือกใครก็ได้ที่ C พูด (และถ้า C บอกว่าทั้ง A และ B พูดความจริง ก็ต้องทั้งคู่นั่นแหละ) สิ่งสำคัญในที่นี้คือการเลือกคำถามของคุณไม่อนุญาตให้ C โกหกในลักษณะที่จะทำให้เกิดความสงสัยในทั้ง A และ B เนื่องจากอย่างน้อย A และ B ต้องเชื่อถือได้ คุณจึงเลือกข้อที่ C เห็นด้วยได้เสมอ แม้ว่าจะเป็นเพียงคำตอบแบบสุ่มก็ตาม หากทั้งสามเห็นด้วย แสดงว่าคุณมีเลขทะเบียนรถทั้ง XNUMX หลักแล้ว

ต่อไปนี้คือวิธีการแปลเรื่องราวนี้กลับไปเป็นปริศนาของเรา มาตราส่วนคือ A, B และ C คุณสามารถแปลเลขสองหลักของป้ายทะเบียนเป็นเหรียญดังนี้: 01 คือเหรียญ 1, 02 คือเหรียญ 2, 10 คือเหรียญ 3, 11 คือเหรียญ 4, 12 คือเหรียญ 5, 20 คือเหรียญ 6, 21 คือเหรียญ 7 และ 22 คือเหรียญ 8 ผู้อ่านที่ชาญฉลาดจะรับรู้ว่านี่คือระบบเลขฐาน 3 (หรือไตรภาค) โปรดทราบด้วยว่ามีความเป็นไปได้เพิ่มเติม 00 ซึ่งคุณสามารถใช้สำหรับเหรียญที่เก้าซึ่งเทคนิคนี้จะใช้งานได้เช่นเดียวกับในปริศนา 1

สำหรับการชั่งน้ำหนักครั้งแรก คุณแบ่งเหรียญด้วยหลักแรก (ฐาน 3) ดังนั้นสามกลุ่มของคุณจะเป็นเหรียญ [1, 2], [3, 4, 5] และ [6, 7, 8] ชั่งน้ำหนัก [3, 4, 5] เทียบกับ [6, 7, 8] ในระดับ A หาก A ทำงานได้ดี คุณจะมีกลุ่มหลักแรกที่ถูกต้องตามปริศนาที่ 1 ในทำนองเดียวกัน สำหรับการชั่งน้ำหนักครั้งที่สองในระดับ B กลุ่มของคุณ จะเป็นตัวเลขที่สองเหมือนกัน: [1, 4, 7], [2, 5, 8] และ [3, 6] หาก B ทำงานได้ดี คุณจะมีหลักที่สองที่ถูกต้อง สำหรับการชั่งน้ำหนักครั้งที่สาม ในมาตราส่วน C คุณชั่งน้ำหนักกลุ่มที่ A ระบุเทียบกับกลุ่มที่ B ทำ ตามตัวอย่างของเรา สำหรับ 21 กลุ่มจะเป็น [6, 7, 8] และ [1, 4, 7] เหรียญ 7 ไม่สามารถวางทั้งสองด้านพร้อมกันได้ ดังนั้นเราจึงปล่อยมันออกมาและชั่งน้ำหนัก [6, 8] และ [1, 4] ต่อกัน โปรดทราบว่าหาก A และ B เชื่อถือได้ทั้งคู่ ความจริงแล้ว 7 คือคำตอบที่ถูกต้อง และไม่สำคัญว่าด้านใดจะสว่างกว่าบน C หากบังเอิญการชั่งน้ำหนักใน C มีความสมดุล เครื่องชั่งทั้งสามก็เห็นด้วย และ คุณมีคำตอบ (เหรียญ 7) ในการชั่งน้ำหนักเพียงสามครั้ง หาก A เชื่อถือได้และ B ไม่น่าเชื่อถือ เหรียญที่เบากว่าจะอยู่ใน [6, 8] ซึ่งมาตราส่วน C จะยืนยัน และหาก B เชื่อถือได้และ A ไม่น่าเชื่อถือ เหรียญที่เบากว่าจะอยู่ใน [1, 4] ซึ่งมาตราส่วน C ยังจะยืนยัน

ดังนั้นในการชั่งน้ำหนักสามครั้ง เราได้ระบุเหรียญน้ำหนักเบาหรือจำกัดให้เหลือสองกลุ่ม และเราได้ระบุมาตราส่วนการทำงานด้วย การชั่งน้ำหนักที่สี่ในมาตราส่วน A หรือมาตราส่วน B (แล้วแต่ว่ามาตราส่วน C ใดที่ตกลงด้วย) จะดำเนินการส่วนที่เหลือ

วิธีนี้ทำให้ฉันรู้สึกสวยอย่างน่าอัศจรรย์!

วิธีนี้สามารถสรุปได้ทั่วไปเพื่อค้นหาเหรียญเบาระหว่าง 3^2x เหรียญใน3x +1 การชั่งน้ำหนักด้วยชุดเครื่องชั่งที่กำหนด ดังนั้นคุณต้องชั่งน้ำหนักเจ็ดครั้งสำหรับ 81 เหรียญ สำหรับเหรียญจำนวนมากขึ้น (>~1,000) วิธีแก้ปัญหาที่แข็งแกร่งยิ่งขึ้น ที่มีอยู่.

4 ปริศนา

คุณมี 16 เหรียญ โดยแปดเหรียญนั้นหนักและมีน้ำหนักเท่ากัน อีกแปดตัวมีน้ำหนักเบาและมีน้ำหนักเท่ากัน คุณไม่รู้ว่าเหรียญใดหนักหรือเบา เหรียญมีลักษณะเหมือนกันยกเว้นเหรียญที่มีเครื่องหมายพิเศษ ด้วยเครื่องชั่งที่ดีเพียงเครื่องเดียว คุณจะทราบได้หรือไม่ว่าเหรียญพิเศษนั้นเบาหรือหนักในสามการชั่งน้ำหนัก? จำนวนเหรียญสูงสุดที่คุณสามารถเริ่มต้นและแก้ไขปัญหานี้ได้สำเร็จในการชั่งน้ำหนักสี่ครั้งคือเท่าใด

ตั้งแต่แรกเห็น ปริศนานี้แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะทำในสามการชั่งน้ำหนัก ดังที่ผู้อ่านคนหนึ่งของเราสรุป อย่างไรก็ตาม ด้วยความเฉลียวฉลาดบางอย่างก็สามารถทำได้และทั้งสองอย่าง เท็ด และ Rainer aus dem ฤดูใบไม้ผลิ ให้แนวทางแก้ไขที่ถูกต้อง เท็ดได้ให้หลักการทั่วไปที่ทรงคุณค่าซึ่งควรค่าแก่การเอาใจใส่

ขั้นแรก จนกว่าคุณจะได้ผลลัพธ์ที่ไม่สมดุลจากการชั่งน้ำหนัก คุณจะไม่มีข้อมูลเพียงพอที่จะระบุได้ว่าเหรียญพิเศษนั้นหนักหรือเบา ดังนั้นคุณต้องพยายามบังคับผลลัพธ์ที่ไม่สมดุล

ประการที่สอง หากคุณได้ผลลัพธ์ที่สมดุล (เช่น เหรียญพิเศษ A ยอดเหรียญ B) คุณสามารถรวมเหรียญที่มีความสมดุลและชั่งน้ำหนักเทียบกับเหรียญอีกสองเหรียญ C และ D หากไม่สมดุล คุณมีคำตอบ มิฉะนั้น คุณได้เพิ่มจำนวนเหรียญที่เหมือนกันเป็นสองเท่าแล้ว ซึ่งอาจช่วยให้คุณได้คำตอบที่ไม่สมดุลในการชั่งน้ำหนักครั้งต่อไป คุณยังสามารถทำกระบวนการนี้ย้อนกลับด้วยจำนวนเหรียญที่ยกกำลังสอง (4, 8, ฯลฯ ) ได้หากคุณมีผลลัพธ์ที่ไม่สมดุลในขั้นต้นดังที่เห็นในแนวทางแก้ไขปัญหาต่อไปนี้

ด้านล่างนี้คือขั้นตอนทั้งหมดที่สามารถระบุประเภทของเหรียญพิเศษ A ได้ในทุกกรณีในการชั่งน้ำหนักสามรายการ (B, C และ D คือเหรียญสามเหรียญที่วางอยู่ด้านเดียวกับ A ในน้ำหนัก 1 (W1) X และ Y คือเหรียญสองเหรียญที่ไม่ได้ใช้ใน W1)

ปริศนานี้คิดค้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย คอนสแตนติน คนอป, ผู้มีอำนาจระดับโลกในปริศนาการชั่งน้ำหนักเหรียญ เอกสารของเขาจำนวนมากเป็นภาษารัสเซีย แต่คุณสามารถหาปริศนาเหรียญหลายตัว (ท่ามกลางปริศนาที่น่าสนใจอื่น ๆ ) บน บล็อก ของผู้ร่วมงานของเขา Tanya Khovanova

สำหรับลักษณะทั่วไป ฉันจะปล่อยให้คุณดูว่าวิธีการเดียวกันนี้ใช้ได้ผลในการค้นหาประเภทของเหรียญพิเศษจาก 32 เหรียญหรือไม่ โดย 16 เหรียญนั้นหนักและ 16 เหรียญนั้นเบา

5 ปริศนา

คุณมี n เหรียญที่มีลักษณะเหมือนกัน บางเหรียญเป็นของปลอมและเบากว่าเหรียญอื่นๆ สิ่งที่คุณรู้ก็คือมีเหรียญปลอมอย่างน้อยหนึ่งเหรียญและมีเหรียญปกติมากกว่าเหรียญปลอม งานของคุณคือการตรวจจับเหรียญปลอมทั้งหมด

ความจริงที่ว่ามีเหรียญเบาอย่างน้อยหนึ่งเหรียญและมีเหรียญปกติมากกว่าเหรียญเบาทำให้ปริศนานี้ซับซ้อนน้อยกว่าที่ปรากฏครั้งแรก อย่างน้อยสำหรับตัวเลขขนาดเล็ก มาดูจำนวนการชั่งน้ำหนักสำหรับเหรียญหนึ่งถึงแปดเหรียญ

สำหรับเหรียญหนึ่งและสองเหรียญนั้น จะไม่มีเหรียญขนาดเล็กตามเงื่อนไขที่สอง ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องชั่งน้ำหนัก

สามเหรียญ: เพียงหนึ่งเหรียญเบา ต้องชั่งน้ำหนักหนึ่งครั้งต่อปริศนา 1

สี่เหรียญ: เพียงหนึ่งเหรียญเบา จำเป็นต้องมีการชั่งน้ำหนักเพิ่มเติมหนึ่งครั้ง ดังนั้น w = 2

ห้าเหรียญ: หนึ่งถึงสองเหรียญเบา นี่เป็นกรณีแรกที่น่าสนใจ คำถามคือ เราควรชั่งน้ำหนักหนึ่งเหรียญต่อหนึ่งหรือสองเหรียญต่อสอง?

หากเราชั่งน้ำหนักแบบหนึ่งต่อหนึ่ง เราสามารถมี:

1. การชั่งน้ำหนักที่ไม่สมดุลสองครั้ง: พบเหรียญสองเหรียญ; เราเสร็จแล้ว
2. การชั่งน้ำหนักที่สมดุลหนึ่งครั้งจากสองเหรียญ: เหรียญที่สมดุลจะต้องเป็นปกติ ดังนั้นเหรียญสุดท้ายจึงต้องชั่งน้ำหนักอีกครั้ง w = 3
3. การชั่งน้ำหนักแบบสมดุลสองแบบ: ในการชั่งน้ำหนักครั้งที่สาม ให้ชั่งน้ำหนักหนึ่งเหรียญจากการชั่งน้ำหนักแต่ละครั้งกับอีกอันหนึ่ง หากสมดุลทั้งสี่เป็นปกติและเหรียญ 5 เป็นเหรียญที่เบา เราเสร็จแล้ว w = 3 อีกครั้ง หากมันไม่สมดุล เราพบเหรียญเบาสองเหรียญ และเราจะชั่งน้ำหนักสามครั้ง

หากเราชั่งน้ำหนักสองต่อสอง เรายังต้องการการชั่งน้ำหนักสามครั้ง เพราะเราต้องแยกความแตกต่างระหว่างความเป็นไปได้ที่เหรียญอาจแตกต่างกันหรือคล้ายกันในด้านใดด้านหนึ่ง การชั่งน้ำหนักโดยใช้เหรียญจำนวนน้อยที่จัดกลุ่มเข้าด้วยกันดูเหมือนจะไม่มีข้อได้เปรียบเหนือการชั่งน้ำหนักด้วยเหรียญเพียงเหรียญเดียว

สิ่งนี้มีไว้สำหรับ:

หกเหรียญ: หนึ่งถึงสองเหรียญเบา; w = 4

เจ็ดเหรียญ: หนึ่งถึงสามเหรียญเบา; w = 5

แปดเหรียญ: หนึ่งถึงสามเหรียญเบา; w = 6 โซลูชันนี้มีโครงสร้างอย่างง่าย:

• ขั้นแรกให้ชั่งน้ำหนักสี่เหรียญต่อเหรียญต่อไป ใช้เหรียญทั้งหมด
• กรณีที่เลวร้ายที่สุด: การชั่งน้ำหนักทั้งสี่แบบมีความสมดุล (มีเหรียญเบาสองเหรียญที่ทำให้สมดุลกัน)
• การชั่งน้ำหนักสองครั้งถัดไป: ชั่งน้ำหนักเหรียญจากการชั่งน้ำหนัก 1 เทียบกับเหรียญจากการชั่งน้ำหนัก 2; ในทำนองเดียวกันให้ชั่งน้ำหนักเหรียญจากการชั่งน้ำหนัก 3 กับเหรียญจากการชั่งน้ำหนัก 4
• หนึ่งในการชั่งน้ำหนักเหล่านี้จะไม่สมดุล โดยระบุเหรียญเบาสองเหรียญ เราเสร็จสิ้นในการชั่งน้ำหนักหกครั้ง

ขออภัย ลำดับ 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ของเราไม่น่าสนใจพอที่จะส่งไปยัง สารานุกรมออนไลน์ของลำดับจำนวนเต็ม!

As โยนาส โตเกอร์เซ่น เคลล์สตัดลี ชี้ให้เห็นว่าวิธีแก้ปัญหาน่าจะเป็น w = n − 2 สำหรับจำนวนน้อย แต่เรายังไม่ได้พิสูจน์ว่าสิ่งนี้จะไม่เปลี่ยนแปลงสำหรับจำนวนที่มากขึ้น บ้าง nการใช้การชั่งน้ำหนักหลายเหรียญอาจเริ่มทำได้ดีกว่า หรือการชั่งน้ำหนักมากกว่า n − 2 อาจจำเป็น เราสามารถสรุปวิธีแก้ปัญหาสำหรับเหรียญแปดเหรียญให้ยกกำลัง 2 ทั้งหมดได้โดยให้ n − 2 เป็นขอบเขตบนของจำนวนการชั่งน้ำหนักสำหรับยกกำลัง 2 ทั้งหมด

Mark Pearson กล่าวถึงความคล้ายคลึงกันของปัญหานี้กับรหัสการแก้ไขข้อผิดพลาด และแนะนำให้ใช้แนวทางทฤษฎีข้อมูลตามจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ โดยใช้แนวทางดังกล่าว โรเบิร์ตไมค์ โพสต์ขอบเขตล่างสำหรับกรณีทั่วไปมากขึ้นซึ่ง Rainer aus dem ฤดูใบไม้ผลิ ได้รับค่าประมาณสำหรับ Rainer ยังโพสต์ an ขอบเขตบน จากกระดาษที่ตีพิมพ์แต่ตั้งข้อสังเกตว่าขอบเขตไม่คมสำหรับต่ำ n ดังนั้นจึงไม่เป็นประโยชน์สำหรับตัวเลขเล็กๆ ที่เราพิจารณาข้างต้น ดังนั้น สำหรับเจ็ดเหรียญ ขอบเขตที่อ้างถึงให้ช่วง 4 ถึง 16 ซึ่งคำตอบของเราคือ 5 อยู่ระหว่าง เจ. เพเอตต์ ให้การอ้างอิงและขอบเขตทางคณิตศาสตร์เพิ่มเติมสำหรับปริศนาทั้งหมด

ขอขอบคุณทุกท่านที่เข้าร่วม รางวัล Insights สำหรับเดือนนี้เป็นของ Ted และ Rainer aus dem Spring ร่วมกัน ยินดีด้วย!

เจอกันใหม่ตอนหน้าค่ะ ข้อมูลเชิงลึก.