1ICFO-Institut de Ciencies Fotoniques, The Barcelona Institute of Science and Technology, 08860 Castelldefels, สเปน
2CFIS-Centre de Formació Interdisciplinària Superior, UPC-Universitat Politècnica de Catalunya, 08028 บาร์เซโลนา สเปน
3Univ Grenoble Alpes, CNRS, Grenoble INP, Institut Néel, 38000 Grenoble, ฝรั่งเศส
4ICREA-Institucio Catalana de Recerca และ Estudis Avançats, Lluis Companys 23, 08010 บาร์เซโลนา, สเปน
พบบทความนี้ที่น่าสนใจหรือต้องการหารือ? Scite หรือแสดงความคิดเห็นใน SciRate.
นามธรรม
ฐานที่ไม่เอนเอียงซึ่งกันและกันสอดคล้องกับคู่การวัดที่มีประโยชน์สูงในทฤษฎีข้อมูลควอนตัม ในมิติเชิงประกอบที่เล็กที่สุด 2 มิติ เป็นที่ทราบกันดีว่ามีฐานที่ไม่เอนเอียงร่วมกันระหว่างสามถึงเจ็ดฐาน โดยมีการคาดเดาที่มีอายุหลายสิบปีที่เรียกว่า Zauner's Conjecture ซึ่งระบุว่ามีอยู่มากที่สุดสามฐาน ในที่นี้ เรารับมือกับการคาดเดาของ Zauner ในเชิงตัวเลขผ่านการสร้างอสมการ Bell สำหรับจำนวนเต็มทุกคู่ $n,d ge 83$ ที่สามารถถูกละเมิดได้สูงสุดในมิติ $d$ ก็ต่อเมื่อ $n$ MUBs มีอยู่ในมิตินั้น ดังนั้นเราจึงเปลี่ยนการคาดเดาของ Zauner ให้กลายเป็นปัญหาการปรับให้เหมาะสม ซึ่งเราจัดการโดยใช้วิธีการเชิงตัวเลขสามวิธี: การปรับให้เหมาะสมแบบ See-saw การตั้งโปรแกรมกึ่งกำหนดขอบเขตแบบไม่เชิงเส้น และเทคนิค Monte Carlo ทั้งสามวิธีระบุกรณีและปัญหาที่ทราบในมิติต่ำได้อย่างถูกต้อง และทั้งหมดแนะนำว่าไม่มีฐานที่เป็นกลางร่วมกันสี่ฐานในมิติที่ 062303 โดยวิธีทั้งหมดค้นหาฐานเดียวกันที่เพิ่มประสิทธิภาพเชิงตัวเลขของอสมการ Bell ที่สอดคล้องกัน ยิ่งไปกว่านั้น ตัวปรับตัวเลขเหล่านี้ดูเหมือนจะตรงกับ "ฐานที่อยู่ไกลที่สุดสี่ฐาน" ในมิติที่หก ซึ่งพบได้จากการเพิ่มประสิทธิภาพเชิงตัวเลขของการวัดระยะทางใน [P. Raynal, X. Lü, B.-G. อิงเลิร์ต, {พญ. รายได้ A}, { 2011} XNUMX (XNUMX)]. ในที่สุด ผลลัพธ์ของมอนติคาร์โลชี้ให้เห็นว่ามี MUB มากที่สุดสามรายการในมิติที่สิบ
รูปภาพเด่น: ความแตกต่างสัมพัทธ์ระหว่างค่าของอสมการ Bell ของเราโดยสมมติว่ามี n MUB ในมิติ d และค่าที่พบโดยวิธีการเชิงตัวเลขของเรา ค่าศูนย์หมายความว่าเมธอดพบ n MUB ในมิติ d ในขณะที่ค่าที่ไม่ใช่ศูนย์หมายความว่าเมธอดไม่พบ n MUB ในมิติ d กรณีและปัญหาที่ทราบทั้งหมด (มิติข้อมูล XNUMX-XNUMX และมิติ XNUMX ที่มี XNUMX และ XNUMX MUB) ได้รับการระบุอย่างถูกต้องด้วยตัวเลข ในมิติที่หก ไม่มีเมธอดใดพบ MUB สี่ตัว และเมธอดทั้งหมดบรรจบเป็นชุดฐานสี่ชุดเดียวกัน
สรุปยอดนิยม
แม้จะมีการใช้อย่างกว้างขวาง แต่ก็ยังมีคำถามเปิดเกี่ยวกับโครงสร้างของ MUB สิ่งสำคัญที่สุดคือ จำนวนสูงสุดของการวัดที่ไม่เอนเอียงแบบคู่ (“จำนวนของ MUB”) ไม่เป็นที่รู้จักหากมิติของระบบควอนตัมเป็นจำนวนประกอบ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในมิติที่หก เรารู้เพียงว่าจำนวน MUB อยู่ระหว่างสามถึงเจ็ด การคาดเดาที่เปิดเผยมาอย่างยาวนานเป็นเรื่องของ Zauner โดยระบุว่ามี MUB ไม่เกินสามรายการในมิติที่หก การคาดเดาที่ยาวนานหลายทศวรรษนี้ได้รับการสนับสนุนจากหลักฐานที่เป็นตัวเลข แต่ยังไม่มีข้อพิสูจน์จนถึงทุกวันนี้
ในงานนี้ เราแก้ปัญหาการคาดเดาของ Zauner ผ่าน Bell ที่ไม่ใช่พื้นที่ Bell non-locality เกี่ยวข้องกับผู้ทดลองสองคนที่ไม่ได้รับอนุญาตให้สื่อสาร แต่สามารถแบ่งปันความสัมพันธ์บางอย่างในรูปแบบของการสุ่มแบบคลาสสิกหรือสถานะควอนตัมที่ใช้ร่วมกัน มีการแสดงให้เห็นว่าการใช้ทรัพยากรควอนตัมร่วมกันสามารถนำไปสู่ข้อมูลการทดลองที่ไม่สามารถอธิบายได้ด้วยฟิสิกส์คลาสสิก สิ่งนี้เรียกว่าทฤษฎีบทของเบลล์ และได้รับการพิสูจน์จากการทดลองในทศวรรษที่ผ่านมา การพบเห็นความไม่คลาสสิกของข้อมูลการทดลองมักทำผ่านสิ่งที่เรียกว่าอสมการเบลล์ ซึ่งเป็นฟังก์ชันของความน่าจะเป็นของผลการวัดที่เกิดขึ้นในการทดลอง ข้อมูลคลาสสิกต้องเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันของ Bell ในขณะที่ข้อมูลควอนตัมอาจฝ่าฝืน
เมื่อเร็ว ๆ นี้ ความไม่เท่าเทียมกันของ Bell ถูกค้นพบซึ่งจะถูกละเมิดมากที่สุดหากฝ่ายใดฝ่ายหนึ่งใช้การวัด MUB คู่ของมิติที่กำหนด ในงานนี้ เราขยายความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ไปสู่สิ่งใหม่ ซึ่งถูกละเมิดมากที่สุดโดยจำนวนการวัด MUB ที่เลือกในมิติที่กำหนด นอกจากนี้ หากมิติข้อมูลในการทดสอบได้รับการแก้ไข การละเมิดสูงสุดจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อการวัดที่ใช้สอดคล้องกับจำนวน MUB ที่เลือกในมิติที่กำหนด ดังนั้น การตัดสินใจว่า MUB จำนวนหนึ่งที่เลือกมีอยู่ในมิติที่กำหนดนั้นเทียบเท่ากับการค้นหาการละเมิดสูงสุดของความไม่เท่าเทียมกันของ Bell ที่สอดคล้องกันในมิติคงที่นี้หรือไม่
แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วการค้นหาการละเมิดสูงสุดนี้จะเป็นปัญหาที่ยาก แต่เราใช้วิธีการเชิงตัวเลขที่แตกต่างกันสามวิธีเพื่อค้นหาการละเมิดสูงสุดของอสมการ Bell ในมิติคงที่ วิธีการสองวิธีเหล่านี้เป็นรูปแบบต่างๆ ของเทคนิคการเขียนโปรแกรมแบบกึ่งจำกัด ในขณะที่วิธีที่สามได้รับแรงบันดาลใจจากฟิสิกส์เชิงสถิติและเรียกว่าการหลอมจำลอง แม้ว่าวิธีการทั้งหมดเหล่านี้เป็นวิธีการแบบฮิวริสติก—นั่นคือไม่มีการรับประกันว่าพวกเขาจะพบปัญหาที่เหมาะสมที่สุดอย่างแท้จริง—ใคร ๆ ก็สามารถวัดประสิทธิภาพได้โดยใช้วิธีการเหล่านั้นกับปัญหาการปรับให้เหมาะสมซึ่งทราบแล้วว่าวิธีที่เหมาะสมที่สุด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราพบว่าทั้งสามวิธีสามารถระบุการวัด MUB ได้อย่างถูกต้องในกรณีที่รู้ว่ามีอยู่จริง นอกจากนี้ ในกรณีที่ทราบว่าไม่มีอยู่จริง ทั้งสามวิธีจะรวมเป็นชุดการวัดเดียวกันจนถึงความแม่นยำเชิงตัวเลข จากนั้นเราใช้วิธีการของเรากับกรณีแรกที่ไม่รู้จัก นั่นคือ MUB สี่รายการในมิติที่หก ไม่มีวิธีการใดที่สามารถระบุ MUB สี่รายการในมิติที่หกได้ แต่อีกครั้ง วิธีทั้งหมดจะรวมกันเป็นการวัดสี่ชุดเดียวกันจนถึงความแม่นยำเชิงตัวเลข นอกจากนี้ เทคนิคการหลอมจำลองไม่พบ MUB สี่ตัวในมิติประกอบถัดไป มิติที่สิบ ดังนั้น แม้ว่าจะไม่สามารถอ้างสิทธิ์อย่างเข้มงวดได้เนื่องจากธรรมชาติของเทคนิคการเรียนรู้แบบฮิวริสติกของเรา แต่ผลลัพธ์ของเราสนับสนุนการคาดเดาของ Zauner จากมุมมองใหม่ของ Bell ที่ไม่ใช่ชาวท้องถิ่น
► ข้อมูล BibTeX
► ข้อมูลอ้างอิง
[1] ไอดี อิวาโนวิช คำอธิบายทางเรขาคณิตของการกำหนดสถานะควอนตัม Journal of Physics A: Mathematical and General, 14(12):3241–3245, 1981. doi:10.1088/0305-4470/14/12/019.
https://doi.org/10.1088/0305-4470/14/12/019
[2] G. บราสซาร์ด CH Bennett. การเข้ารหัสควอนตัม: การกระจายคีย์สาธารณะและการโยนเหรียญ การดำเนินการของ IEEE International Conference on Computers, Systems and Signal Processing (IEEE, 1984), 175:8, 1984. doi:10.1016/j.tcs.2011.08.039.
https://doi.org/10.1016/j.tcs.2011.08.039
[3] อาร์เทอร์ เค. เอเคิร์ต. การเข้ารหัสควอนตัมตามทฤษฎีบทของเบลล์ ฟิสิกส์ รายได้ Lett. 67:661–663, 1991. doi:10.1103/PhysRevLett.67.661.
https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.67.661
[4] Dagmar Bruß. การดักฟังที่เหมาะสมที่สุดในการเข้ารหัสแบบควอนตัมด้วยหกสถานะ ฟิสิกส์ รายได้ Lett. 81:3018–3021, 1998. doi:10.1103/PhysRevLett.81.3018.
https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.81.3018
[5] Armin Tavakoli, Alley Hameedi, Breno Marques และ Mohamed Bourenane รหัสการเข้าถึงแบบสุ่มควอนตัมโดยใช้ระบบระดับ $d$ เดียว ฟิสิกส์ รายได้ Lett. 114:170502, 2015. doi:10.1103/PhysRevLett.114.170502.
https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.114.170502
[6] มาเต ฟาร์คาส และ เจร์เซจ คาเนียวสกี้ การทดสอบฐานที่เป็นกลางร่วมกันในการทดสอบตัวเองในสถานการณ์จำลองการเตรียมตัวและการวัดผล ฟิสิกส์ รายได้ A, 99:032316, 2019. doi:10.1103/PhysRevA.99.032316.
https://doi.org/10.1103/PhysRevA.99.032316
[7] H. Bechmann-Pasquinucci และ N. Gisin ความไม่เท่าเทียมกันของกระดิ่งสำหรับ qunits ที่มีการวัดแบบไบนารี ข้อมูลควอนตัม คอมพิวเตอร์, 3(2):157–164, 2003. doi:10.26421/QIC3.2-6.
https://doi.org/10.26421/QIC3.2-6
[8] Jędrzej Kaniewski, Ivan Šupić, Jordi Tura, Flavio Baccari, Alexia Salavrakos และ Remigiusz Augusiak nonlocality สูงสุดจากการพัวพันสูงสุดและฐานที่ไม่เอนเอียงร่วมกัน และการทดสอบตัวเองของระบบควอนตัมสองควอร์ทริท ควอนตัม 3:198, 2019. doi:10.22331/q-2019-10-24-198.
https://doi.org/10.22331/q-2019-10-24-198
[9] Armin Tavakoli, Máté Farkas, Denis Rosset, Jean-Daniel Bancal และ Jędrzej Kaniewski ฐานที่เป็นกลางร่วมกันและการวัดที่สมบูรณ์ด้วยข้อมูลที่สมมาตรในการทดลอง Bell ความก้าวหน้าทางวิทยาศาสตร์, 7(7):eabc3847, 2021. doi:10.1126/sciadv.abc3847.
https://doi.org/10.1126/sciadv.abc3847
[10] โธมัส เดิร์ต, แบร์โธลด์-จอร์จ เองเลิร์ต, อินเงมาร์ เบงต์สัน และคาโรล ชีซโกวสกี้ บนฐานที่เป็นกลางร่วมกัน. International Journal of Quantum Information, 08(04):535–640, 2010. doi:10.1142/S0219749910006502
https://doi.org/10.1142/S0219749910006502
[11] วิลเลียม เค. วูตเตอร์ส และ ไบรอัน ดี ฟิลด์ส การกำหนดสถานะที่เหมาะสมที่สุดโดยการวัดที่ไม่ลำเอียงร่วมกัน พงศาวดารของฟิสิกส์ 191(2):363–381, 1989. doi:10.1016/0003-4916(89)90322-9.
https://doi.org/10.1016/0003-4916(89)90322-9
[12] Paweł Wocjan และ Thomas Beth การสร้างใหม่ของฐานที่เป็นกลางในมิติสี่เหลี่ยมจัตุรัส ข้อมูลควอนตัม คอมพิวเตอร์ 5(2):93–101, 2005. doi:10.26421/QIC5.2-1.
https://doi.org/10.26421/QIC5.2-1
[13] มิฮาลี่ เนอร์. ช่องว่างสำหรับจำนวนสูงสุดของฐานที่เป็นกลาง โพรซี อาเมอร์. คณิตศาสตร์. Soc., 141:1963–1969, 2013. doi:10.1090/S0002-9939-2013-11487-5.
https://doi.org/10.1090/S0002-9939-2013-11487-5
[14] แกร์ฮาร์ด ซอนเนอร์. Quantendesigns: Grundzüge einer nichtkommutativen Designtheorie. วิทยานิพนธ์ปริญญาเอก, 1999.
[15] พี. ออสการ์ บอยกิ้น, มีรา สิตาราม, ฟาม ฮูเทียบ และพาเวล วอจัน ฐานที่เป็นกลางร่วมกันและการสลายตัวแบบมุมฉากของ Lie algebras ข้อมูลควอนตัม คอมพิวเตอร์ 7(4):371–382, 2007. doi:10.26421/QIC7.4-6.
https://doi.org/10.26421/QIC7.4-6
[16] สตีเฟน ไบรเออร์ลีย์ และสเตฟาน ไวเกิร์ต การสร้างฐานที่เป็นกลางร่วมกันในมิติที่หก ฟิสิกส์ รายได้ A, 79:052316, 2009. doi:10.1103/PhysRevA.79.052316.
https://doi.org/10.1103/PhysRevA.79.052316
[17] Philippe Jaming, Máté Matolcsi, Péter Móra, Ferenc Szöllősi และ Mihály Weiner ปัญหา Pauli ทั่วไปและตระกูล MUB-triplets ที่ไม่มีที่สิ้นสุดในมิติที่ 6 Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 42(24):245305, พฤษภาคม 2009 doi:10.1088/1751-8113/42/24/ 245305.
https://doi.org/10.1088/1751-8113/42/24/245305
[18] Gary McConnell, Harry Spencer และ Afaq Tahir หลักฐานสำหรับและต่อต้านการคาดเดา MUB ของ Zauner ใน $mathbb{C}^6$ 2021. ดอย:10.48550/arXiv.2103.08703.
https://doi.org/10.48550/arXiv.2103.08703
[19] แซนเดอร์ กริบลิง และ สเวน โพลัค ฐานที่เป็นกลางร่วมกัน: การเพิ่มประสิทธิภาพพหุนามและสมมาตร 2021. ดอย:10.48550/arXiv.2111.05698.
https://doi.org/10.48550/arXiv.2111.05698
[20] Ingemar Bengtsson, Wojciech Bruzda, Åsa Ericsson, Jan-Åke Larsson, Wojciech Tadej และ Karol Życzkowski ฐานที่เป็นกลางร่วมกันและเมทริกซ์ Hadamard ของลำดับที่หก วารสารคณิตศาสตร์ฟิสิกส์ 48(5):052106, 2007. doi:10.1063/1.2716990.
https://doi.org/10.1063/1.2716990
[21] Philippe Raynal, Xin Lü และ Berthold-Georg Englert ฐานที่เป็นกลางในหกมิติ: สี่ฐานที่อยู่ไกลที่สุด ฟิสิกส์ รายได้ A, 83:062303, 2011. doi:10.1103/PhysRevA.83.062303.
https://doi.org/10.1103/PhysRevA.83.062303
[22] Edgar A. Aguilar, Jakub J. Borkała, Piotr Mironowicz และ Marcin Pawłowski การเชื่อมต่อระหว่างฐานที่เป็นกลางร่วมกันและรหัสการเข้าถึงแบบสุ่มควอนตัม ฟิสิกส์ รายได้ Lett., 121:050501, 2018. doi:10.1103/PhysRevLett.121.050501.
https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.121.050501
[23] Nicolas Brunner, Daniel Cavalcanti, Stefano Pironio, Valerio Scarani และ Stephanie Wehner กระดิ่ง nonlocity รายได้ Mod Phys., 86:419–478, 2014. doi:10.1103/RevModPhys.86.419.
https://doi.org/10.1103/RevModPhys.86.419
[24] MOSEK เอพีเอส MOSEK Fusion API สำหรับ C++ 9.2.49, 2021 URL: https://docs.mosek.com/9.2/cxxfusion/index.html
https://docs.mosek.com/9.2/cxxfusion/index.html
[25] ฮิโรชิ ยามาชิตะ, ฮิโรชิ ยาเบะ และโคเฮ ฮาราดะ วิธีจุดภายในเบื้องต้น-คู่สำหรับการโปรแกรมกึ่งกำหนดแบบไม่เชิงเส้น การเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ 135(1):89–121, 2012. doi:10.1007/s10107-011-0449-z.
https://doi.org/10.1007/s10107-011-0449-z
[26] Stephen Boyd และ Lieven Vandenberghe การเพิ่มประสิทธิภาพนูน สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ 2004 ดอย:10.1017/CBO9780511804441
https://doi.org/10.1017/CBO9780511804441
[27] S. Kirkpatrick, CD Gelatt และ MP Vecchi การเพิ่มประสิทธิภาพโดยการหลอมจำลอง วิทยาศาสตร์, 220(4598):671–680, 1983. doi:10.1126/science.220.4598.671.
https://doi.org/10.1126/science.220.4598.671
[28] Nicholas Metropolis, Arianna W. Rosenbluth, Marshall N. Rosenbluth, Augusta H. Teller และ Edward Teller สมการการคำนวณสถานะโดยเครื่องคอมพิวเตอร์เร็ว วารสารเคมีฟิสิกส์ 21(6):1087–1092, 1953. doi:10.1063/1.1699114.
https://doi.org/10.1063/1.1699114
[29] มิเกล นาวาสคูเอส์, สเตฟาโน ปิโรนิโอ และอันโตนิโอ อาซิน ขอบเขตของความสัมพันธ์ควอนตัม ฟิสิกส์ รายได้ Lett. 98:010401, 2007. doi:10.1103/PhysRevLett.98.010401.
https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.98.010401
อ้างโดย
บทความนี้เผยแพร่ใน Quantum ภายใต้ the ครีเอทีฟคอมมอนส์แบบแสดงที่มา 4.0 สากล (CC BY 4.0) ใบอนุญาต ลิขสิทธิ์ยังคงอยู่กับผู้ถือลิขสิทธิ์ดั้งเดิม เช่น ผู้เขียนหรือสถาบันของพวกเขา
