Математики в захваті від «Божевільних» прорізів у чотирьох вимірах | Журнал Quanta

Центральними об’єктами дослідження в топології є простори, звані різноманіттями, які виглядають плоскими, якщо їх збільшити. Поверхня кулі, наприклад, є двовимірним різноманіттям. Топологи дуже добре розуміють такі двовимірні різноманіття. І вони розробили інструменти, які дозволяють їм зрозуміти тривимірні різноманіття та різноманіття з п’ятьма або більше вимірами.

Але в чотирьох вимірах «усе стає трохи божевільним». Сем Хьюз, постдокторант Оксфордського університету. Інструменти перестають працювати; з’являється екзотична поведінка. як Том Мровка з Массачусетського технологічного інституту пояснив: «Там достатньо місця для виникнення цікавих явищ, але не так багато, щоб вони розпалися».

На початку 1990-х років Мровка і Пітер Кронгаймер Гарвардського університету вивчали, як двовимірні поверхні можуть бути вбудовані в чотиривимірні різноманіття. Вони розробили нові методи для характеристики цих поверхонь, що дозволило їм отримати вирішальне розуміння інакше недоступної структури чотиривимірних різновидів. Їхні висновки свідчать про те, що всі члени широкого класу поверхонь прорізають свою материнську колектор відносно простим способом, залишаючи фундаментальну властивість незмінною. Але ніхто не міг довести, що це завжди правда.

У лютому разом с Даніель Руберман Університет Брандейса, Хьюз побудував послідовність контрприкладів — «божевільні» двовимірні поверхні, які розсікають свої батьківські різноманіття способами, які математики вважали неможливими. Контрприклади показують, що чотиривимірні різноманіття навіть більш різноманітні, ніж уявляли математики в попередні десятиліття. «Це справді гарний папір», — сказав Мровка. «Я просто дивлюся на це. Там багато смачних дрібниць».

Складання списку

Наприкінці минулого року, Руберман допоміг організувати конференція, яка створила новий список найбільш значущих відкритих проблем у топології низької розмірності. Готуючись до нього, він подивився на попередній список важливих невирішених топологічних проблем з 1997 року. Він включав питання, яке поставив Кронгаймер на основі своєї роботи з Мровкою. «Це було там, і я думаю, що про нього трохи забули», — сказав Руберман. Тепер він думав, що зможе на це відповісти.

Щоб зрозуміти це питання, спочатку варто розглянути дві ключові ідеї: однозв’язні многовиди та фундаментальну групу.

Просто з'єднані колектори - це простори без будь-яких отворів, що проходять через них. В одному вимірі нескінченна лінія просто з’єднана, а коло – ні. У двох вимірах нескінченна площина і поверхня сфери просто з’єднані, а поверхня бублика – ні.

Математики роблять цю відмінність суворою, розміщуючи петлі на різноманітті та розглядаючи, як їх можна деформувати. Якщо будь-яку петлю можна стиснути до точки, то колектор просто з’єднаний. На площині чи поверхні кулі, наприклад, це можливо — подумайте про натягування мотузки. Але якщо ця нитка обертається по колу, вона не може стиснутися. Подібним чином, на поверхні пончика петлі, які проходять навколо або через центральний отвір, не можуть бути деформовані в одну точку. Сам пончик стає на заваді.

Математики класифікують простори, які не просто з’єднуються шляхом обчислення їхньої «фундаментальної групи», об’єкта, структура якого відображає те, як петлі звужуються. Простозв'язані багатоманітності мають «тривіальну» фундаментальну групу лише з одним елементом. Але різноманіття з отворами в них мають більш складні фундаментальні групи.

Чотиривимірні різноманіття, які просто з’єднані, все ще можуть бути досить дивними. Щоб зрозуміти їх, математики розмірковують про те, що може статися з вбудованими в них двовимірними поверхнями.

За аналогією подумайте про те, щоб покласти петлю мотузки на аркуш паперу. З цим мало що можна зробити. Але підніміть його в тривимірний простір, і ви зможете зав'язати його в складні вузли. Способи, за допомогою яких ви можете маніпулювати ланцюжком — одновимірною багатоманітністю — прояснюють природу простору, у який він вбудований.

Подібним чином, у складнішому світі чотирьох вимірів, двовимірні поверхні є «свого роду ключем до всього бізнесу, у багатьох різних аспектах», сказав Руберман. «Поверхні говорять про чотиривимірний різновид набагато більше, ніж ви маєте право очікувати». Поверхні дозволяють розрізняти різноманіття: якщо поверхня може жити всередині одного колектора, але не в іншому, ви знаєте, що різноманіття різні. А поверхні можна використовувати для побудови нових колекторів зі старих.

Поверхні також мають відповідні фундаментальні групи. Так само і їхні доповнення — частина різноманіття, яка залишається, коли ви забираєте поверхню. Видаліть екватор із двовимірних різновидів, таких як поверхня кулі чи бублика, наприклад, і ви отримаєте дві роз’єднані півкулі. Але поверхня пончика залишається цільною, якщо зняти вертикальне кільце замість горизонтального. Подібним чином, залежно від того, як ви вирізаєте поверхню з чотиривимірного різноманіття, ви можете отримати різні види доповнень.

Ще в 1990-х роках Мровка і Кронгаймер досліджували, що відбувається, коли ви вирізаєте двовимірну поверхню з чотиривимірного різноманіття. Якщо сам колектор просто з’єднаний, яким умовам повинні відповідати поверхні, щоб гарантувати, що їх доповнення також повинні бути просто з’єднані?

Кронгаймер і Мровка знали, що деякі типи поверхонь можуть мати доповнення, які не просто пов’язані. Але їхня робота, здавалося, показала, що інший широкий клас поверхонь завжди повинен мати просто зв’язані доповнення.

Протягом майже трьох десятиліть ніхто не міг знайти приклад поверхні в цьому класі, доповнення якого не було б просто зв’язаним. Але восени 2023 року, зіткнувшись з проблемою, Руберман подумав, що зможе. Замість того щоб почати з чотиривимірного різноманіття та вирізати поверхню, він почав із двовимірної поверхні, яка мала необхідні властивості, і побудував навколо неї різновид.

Спочатку він розгладшив поверхню в чотиривимірну краплю. Ця чотиривимірна крапка мала тривимірну межу, так само як тривимірний об’єкт, наприклад м’яч, має двовимірну межу. Руберман хотів прикріпити ретельно підібраний чотиривимірний колектор з іншого боку межі, який слугував би доповненням до поверхні. Якби гамбіт працював, то цей різновид мав би складну фундаментальну групу, але фундаментальна група всього разом узятого була б тривіальною. Таким чином, новостворений чотиривимірний колектор буде просто з’єднаний.

Але щоб мати можливість правильно склеїти все разом, він мав показати, що фундаментальна група нового доповнення задовольняє всілякі властивості. «Я поняття не мав, як це зробити», — сказав Руберман.

Потім у січні Хьюз — теоретик груп — виступив із доповіддю в Brandeis. У залі був Руберман. Він визнав, що у Хьюза може бути втрачена частина, яку він шукав. Ці двоє зустрілися наступного дня, і протягом кількох годин вони опрацювали основні ідеї, які їм потрібні. Чого не вистачало Руберману, «це те, що теоретики груп обчислювали на даний момент протягом 70-80 років», — сказав Хьюз. «Ми були на цьому вічно». До кінця тижня вони мали готовий доказ.

"Я знав деякі речі, і він знав деякі речі, і між нами двома, ми знали достатньо, щоб просто зробити це", - сказав Руберман.

Через те, як теорія груп використовується в доказі, «це трохи незвично», сказав Меггі Міллер Техаського університету, Остін. «Це написано дещо інакше, ніж більшість чотиривимірних топологів було б зручно».

Результат є ще одним прикладом того, наскільки складною може стати чотиривимірна топологія. «Існує набагато цікавіше вбудовування поверхонь, ніж ми думали», — сказав Хьюз. Це ускладнює класифікацію різновидів і доведення інших видів результатів щодо них.

Тим не менш, у березні ц. Інанч Байкур Університету Массачусетса, Амгерст, який організував торішню конференцію зі складання списків разом із Руберманом, оголосив рішення до іншої проблеми, пов’язаної з однозв’язними чотиривимірними многовидами зі списку 1997 року.

Здається, топологи прибирають.