Ось SU(N): багатовимірні квантові ворота та градієнти

Ось SU(N): багатовимірні квантові ворота та градієнти

Мітка часу: 7 березня 2024 р., 11:20

Роланд Вірсема1,2, Ділан Льюїс3, Девід Віріхс4, Хуан Карраскілья1,2і Натан Кіллоран4

1Інститут вектора, Центр MaRS, Торонто, Онтаріо, M5G 1M1, Канада
2Департамент фізики та астрономії, Університет Ватерлоо, Онтаріо, N2L 3G1, Канада
3Факультет фізики та астрономії, Університетський коледж Лондона, Лондон WC1E 6BT, Великобританія
4Ксанаду, Торонто, Онтаріо, M5G 2C8, Канада

Вам цей документ цікавий чи ви хочете обговорити? Скайте або залиште коментар на SciRate.

абстрактний

Варіаційні квантові алгоритми використовують невипуклі методи оптимізації для пошуку оптимальних параметрів параметризованої квантової схеми з метою вирішення обчислювальної задачі. Вибір анзаца схеми, яка складається з параметризованих вентилів, є вирішальним для успіху цих алгоритмів. Тут ми пропонуємо ворота, які повністю параметризують спеціальну унітарну групу $mathrm{SU}(N)$. Цей гейт генерується сумою некомутуючих операторів, і ми надаємо метод обчислення його градієнта на квантовому обладнанні. Крім того, ми надаємо теорему щодо обчислювальної складності обчислення цих градієнтів за допомогою результатів теорії алгебри Лі. При цьому ми додатково узагальнюємо попередні методи зсуву параметрів. Ми показуємо, що запропонований вентиль та його оптимізація задовольняють квантову межу швидкості, що призводить до геодезичних на унітарній групі. Нарешті, ми надаємо числові докази на підтримку здійсненності нашого підходу та показуємо перевагу нашого вентиля над стандартною схемою декомпозиції вентиля. Роблячи це, ми показуємо, що має значення не тільки виразність анзаца, але й те, як він явно параметризований.

Here comes the SU(N): multivariate quantum gates and gradients PlatoBlockchain Data Intelligence. Vertical Search. Ai.

Рекомендоване зображення: переосмислення параметризації загальних унітарних вентилів.

Наш код є у вільному доступі на Github:
https://github.com/dwierichs/Here-comes-the-SUN

Існує демонстрація, яка ілюструє деякі ключові моменти статті:
https://pennylane.ai/qml/demos/tutorial_here_comes_the_sun/

Популярне резюме

У царині варіаційних квантових обчислень існує безліч ланцюгів, але пошук ефективної за часом схеми з оптимальною можливістю навчання залишається проблемою. Ми представляємо новий тип багатовимірного квантового вентиля, який називається $mathrm{SU}(N)$, і показуємо, як його розрізнити на квантовому обладнанні. Ми досліджуємо обмеження швидкості, відхилення в градієнтному навчанні, а також можливість тренування на практиці. Ми стверджуємо, що наш запропонований вентиль SU(N) має переваги перед іншими загальними унітарними воротами як з якісних, так і з кількісних аргументів, що ілюструє, наскільки важливо вибрати правильну параметризацію для варіаційного квантового вентиля.

► Дані BibTeX

► Список літератури

[1] М. Серезо, Ендрю Аррасміт, Раян Беббуш, Саймон К. Бенджамін, Сугуру Ендо, Кейсуке Фуджі, Джаррод Р. МакКлін, Косуке Мітараі, Сяо Юань, Лукаш Сінсіо та Патрік Дж. Коулз. “Варіаційні квантові алгоритми”. Nature Reviews Physics 3, 625–644 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s42254-021-00348-9

[2] Жюль Тіллі, Хунсян Чен, Шусян Цао, Даріо Пікоцці, Канав Сетіа, Їн Лі, Едвард Грант, Леонард Воссніг, Іван Рангер, Джордж Х. Бут і Джонатан Теннісон. “Варіаційний квантовий власний розв’язувач: огляд методів і найкращих практик”. Physics Reports 986, 1–128 (2022).
https://​/​doi.org/​10.1016/​j.physrep.2022.08.003

[3] Цзюнь Лі, Сяодун Ян, Сіньхуа Пен і Чанг-Пу Сун. “Гібридний квантово-класичний підхід до квантового оптимального управління”. фіз. Преподобний Летт. 118, 150503 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.118.150503

[4] К. Мітараї, М. Негоро, М. Кітагава та К. Фуджі. «Навчання квантових схем». фіз. Rev. A 98, 032309 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.98.032309

[5] Марія Шульд, Вілле Бергхольм, Крістіан Гоголін, Джош Ізаак і Натан Кіллоран. «Оцінка аналітичних градієнтів на квантовому обладнанні». фіз. Rev. A 99, 032331 (2019).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.99.032331

[6] Гевін Е. Крукс. «Градієнти параметризованих квантових воріт із використанням правила зсуву параметрів і розкладання воріт» (2019) arXiv:1905.13311.
arXiv: 1905.13311

[7] Артур Ф. Ізмайлов, Роберт А. Ленг і Цзу-Чінг Єн. “Аналітичні градієнти у варіаційних квантових алгоритмах: алгебраїчні розширення правила зсуву параметрів до загальних унітарних перетворень”. фіз. Rev. A 104, 062443 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.104.062443

[8] Девід Віріхс, Джош Ізаак, Коді Ван і Седрік Єн-Ю Лін. «Загальні правила зсуву параметрів для квантових градієнтів». Квант 6, 677 (2022).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2022-03-30-677

[9] Олександр Кирієнко та Вінсент Е. Ельфвінг. “Узагальнені правила диференціювання квантових ланцюгів”. фіз. Rev. A 104, 052417 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.104.052417

[10] Дірк Олівер Тайс. “Належні” правила зсуву для похідних збурено-параметричних квантових еволюцій”. Квант 7, 1052 (2023).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2023-07-11-1052

[11] Лукас Слеттері, Бенджамін Віллалонга та Браян К. Кларк. “Унітарна блочна оптимізація для варіаційних квантових алгоритмів”. фіз. Дослідження 4, 023072 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevResearch.4.023072

[12] Цзінь-Го Лю, І-Хун Чжан, Юань Ван і Лей Ван. «Варіаційний квантовий власний розв’язувач із меншою кількістю кубітів». фіз. Дослідження 1, 023025 (2019).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevResearch.1.023025

[13] Абхінав Кандала, Антоніо Меццакапо, Крістан Темме, Майка Такіта, Маркус Брінк, Джеррі М. Чоу та Джей М. Гамбетта. «Апаратно ефективний варіаційний квантовий розв’язувач власних сигналів для малих молекул і квантових магнітів». Nature 549, 242–246 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1038 / nature23879

[14] Навін Ханеджа та Штеффен Дж. Глейзер. “Декомпозиція Картана $SU(2^n)$та керування спіновими системами”. Хімічна фізика 267, 11–23 (2001).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​S0301-0104(01)00318-4

[15] Барбара Краус і Хуан I Сірак. «Оптимальне створення заплутаності за допомогою двокубітного воріт». Physical Review A 63, 062309 (2001).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.63.062309

[16] Фаррох Ватан і Колін Вільямс. “Оптимальні квантові схеми для загальних двокубітових вентилів”. фіз. Rev. A 69, 032315 (2004).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.69.032315

[17] Фаррох Ватан і Колін Вільямс. «Реалізація загального трикубітового квантового вентиля» (2004). arXiv:quant-ph/​0401178.
arXiv: quant-ph / 0401178

[18] Юха Й. Вартяйнен, Мікко Мьоттенен і Мартті М. Саломаа. «Ефективна декомпозиція квантових воріт». фіз. Преподобний Летт. 92, 177902 (2004).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.92.177902

[19] Доменіко Д'Алессандро і Рафаеле Романо. “Декомпозиція унітарних еволюцій і динаміка заплутаності дводольних квантових систем”. Журнал математичної фізики 47, 082109 (2006).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.2245205

[20] Елвін Зуленер і Роберт Вілле. «Компіляція квантових схем SU(4) для архітектур IBM QX». У матеріалах 24-ї Азійсько-Тихоокеанської конференції з автоматизації проектування. Сторінка 185–190. ASPDAC '19Нью-Йорк, Нью-Йорк, США (2019). Асоціація обчислювальної техніки.
https: / / doi.org/ 10.1145 / 3287624.3287704

[21] Б. Фоксен, К. Нілл, А. Дансуорт, П. Роушан, Б. Чіаро, А. Мегрант, Дж. Келлі, Цзіджун Чен, К. Сацінгер, Р. Барендс, Ф. Аруте, К. Арья, Р. Беббуш , Д. Бекон, Дж. Ч. Бардін, С. Бойшо, Д. Буелл, Б. Беркетт, Ю Чен, Р. Коллінз, Е. Фархі, А. Фаулер, К. Гідні, М. Джустина, Р. Графф, М. Харріган , Т. Хуанг, С. В. Ісаков, Е. Джефрі, З. Цзян, Д. Кафрі, К. Кечеджі, П. Клімов, А. Коротков, Ф. Костріца, Д. Ландхуіс, Е. Лусеро, Дж. Макклін, М. Мак’юен, X. Мі, М. Мохсені, Дж. Й. Мутус, О. Нааман, М. Нілі, М. Ніу, А. Пєтухов, К. Кінтана, Н. Рубін, Д. Санк, В. Смілянський, А. Вайнсенчер, Т.Ц. Вайт, З. Яо, П. Є, А. Залкман, Х. Невен і Дж. М. Мартініс. «Демонстрація безперервного набору двокубітових воріт для короткострокових квантових алгоритмів». фіз. Преподобний Летт. 125, 120504 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.125.120504

[22] E Groeneveld. «Перепараметризація для покращення чисельної оптимізації в багатовимірній оцінці (ко) дисперсії REML». Genetics Selection Evolution 26, 537–545 (1994).
https:/​/​doi.org/​10.1186/​1297-9686-26-6-537

[23] Тапані Райко, Харрі Вальпола та Ян Лекун. «Глибоке навчання стає легшим завдяки лінійним перетворенням у перцептронах». У Neil D. Lawrence and Mark Girolami, редактори, Proceedings of the Fifteenth International Conference on Artificial Intelligence and Statistics. Том 22 Proceedings of Machine Learning Research, сторінки 924–932. Ла-Пальма, Канарські острови (2012). PMLR. url: https://​/​proceedings.mlr.press/​v22/​raiko12.html.
https://​/​proceedings.mlr.press/​v22/​raiko12.html

[24] Сергій Іоффе та Крістіан Сегеді. «Пакетна нормалізація: прискорення глибокого навчання мережі шляхом зменшення внутрішнього зсуву коваріат». На міжнародній конференції з машинного навчання. Сторінки 448–456. PMLR (2015).
https: / / doi.org/ 10.5555 / 3045118.3045167

[25] Тім Саліманс і Дурк П. Кінгма. «Нормалізація ваги: ​​проста перепараметризація для прискорення навчання глибоких нейронних мереж». Досягнення нейронних систем обробки інформації. Том 29. (2016).
https://​/​doi.org/​10.48550/​arXiv.1602.07868

[26] Роберт Прайс. «Корисна теорема для нелінійних пристроїв, що мають гаусівські входи». IRE Transactions on Information Theory 4, 69–72 (1958).
https://​/​doi.org/​10.1109/​TIT.1958.1057444

[27] Данило Хіменес Резенде, Шакір Мохамед і Даан Вірстра. “Стохастичне зворотне поширення та наближений висновок у глибоких генеративних моделях”. У Еріку П. Сінгу та Тоні Джебарі, редакторах, Матеріали 31-ї Міжнародної конференції з машинного навчання. Том 32 Proceedings of Machine Learning Research, сторінки 1278–1286. Пекін, Китай (2014). PMLR. url: https://​/​proceedings.mlr.press/​v32/​rezende14.html.
https://​/​proceedings.mlr.press/​v32/​rezende14.html

[28] Дідерік П. Кінгма та Макс Веллінг. «Автоматичне кодування варіаційного Байєса». У Yoshua Bengio та Yann LeCun, редактори, 2-га Міжнародна конференція з уявлень про навчання, ICLR 2014, Банф, AB, Канада, 14-16 квітня 2014 р., Матеріали конференції. (2014). url: http://​/​arxiv.org/​abs/​1312.6114.
arXiv: 1312.6114

[29] Браян Сі Холл. “Групи Лі, алгебри Лі та представлення”. Спрингер. (2013). 2-е видання.
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-319-13467-3

[30] Вільям Фултон і Джо Гарріс. “Теорія репрезентації: перший курс”. Том 129. Springer Science & Business Media. (2013).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-1-4612-0979-9

[31] В. Россманн. “Групи Лі: Вступ через лінійні групи”. Оксфордські дипломні тексти з математики. Oxford University Press. (2002). 5-е видання.
https://​/​doi.org/​10.1093/​oso/​9780198596837.001.0001

[32] Жан-П'єр Серр. «Алгебри Лі та групи Лі: лекції 1964 року в Гарвардському університеті». Спрингер. (2009).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-540-70634-2

[33] Норберт Шух і Єнс Сіверт. «Природний двокубітовий шлюз для квантового обчислення з використанням взаємодії $mathrm{XY}$». фіз. Rev. A 67, 032301 (2003).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.67.032301

[34] TP Orlando, JE Mooij, Lin Tian, ​​Caspar H. van der Wal, LS Levitov, Seth Lloyd і JJ Mazo. «Надпровідний кубіт постійного струму». фіз. B 60, 15398–15413 (1999).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevB.60.15398

[35] Б. Е. Кейн. «Квантовий ядерний спіновий комп’ютер на основі кремнію». Nature 393, 133–137 (1998).
https: / / doi.org/ 10.1038 / 30156

[36] A. Imamo¯lu, DD Awschalom, G. Burkard, DP DiVincenzo, D. Loss, M. Sherwin та A. Small. «Квантова обробка інформації за допомогою обертів квантових точок і резонатора qed». фіз. Преподобний Летт. 83, 4204–4207 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.83.4204

[37] Цзяці Ленг, Юсян Пен, Ї-Лін Цяо, Мін Лін і Сяоді Ву. «Диференційовані аналогові квантові обчислення для оптимізації та керування» (2022). arXiv:2210.15812.
arXiv: 2210.15812

[38] Р. М. Вілкокс. «Експоненціальні оператори та диференціація параметрів у квантовій фізиці». Журнал математичної фізики 8, 962–982 (1967). arXiv:https://​/​doi.org/​10.1063/​1.1705306.
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.1705306
arXiv: https://doi.org/10.1063/1.1705306

[39] Е. Т. Віттакер. “XVIII.—Про функції, які представлені розширеннями теорії інтерполяції”. Праці Королівського товариства Единбурга 35, 181–194 (1915).
https: / / doi.org/ 10.1017 / S0370164600017806

[40] Джеймс Бредбері, Рой Фростіг, Пітер Хокінс, Метью Джеймс Джонсон, Кріс Лірі, Дугал Маклорен, Джордж Некула, Адам Паске, Джейк ВандерПлас, Скай Вандерман-Мілн і Цяо Чжан (2018). код: google/​jax.
https://​/​github.com/​google/​jax

[41] Адам Паске, Сем Гросс, Франсіско Масса, Адам Лерер, Джеймс Бредбері, Грегорі Ченен, Тревор Кіллін, Земінг Лін, Наталія Гімельшейн, Лука Антіга та ін. «Pytorch: імперативний стиль, високопродуктивна бібліотека глибокого навчання». Досягнення нейронних систем обробки інформації. Том 32. (2019).
https://​/​doi.org/​10.48550/​arXiv.1912.01703

[42] Мартін Абаді, Ашіш Агарвал, Пол Бархем, Юджин Бревдо, Жіфен Чен, Крейг Сітро, Грег С. Коррадо, Енді Девіс, Джеффрі Дін, Метью Девін, Санджай Гемават, Ієн Гудфеллоу, Ендрю Харп, Джеффрі Ірвінг, Майкл Айсард, Янцін Цзя, Рафал Йозефович, Лукаш Кайзер, Манджунат Кудлур, Джош Левенберг, Кульбаб Мане, Раджат Монга, Шеррі Мур, Дерек Мюррей, Кріс Олах, Майк Шустер, Джонатон Шленс, Бенуа Штайнер, Ілля Суцкевер, Кунал Талвар, Пол Такер, Вінсент Ванхуке, Віджай Васудеван , Фернанда Вієгас, Оріол Віньялс, Піт Ворден, Мартін Воттенберг, Мартін Віке, Юань Ю та Сяоцян Чжен (2015). код: https://​/​www.tensorflow.org/​.
https://​/​www.tensorflow.org/​

[43] Реалізація матричної експоненти JAX, яку можна диференціювати за допомогою автоматичного диференціювання: https://​/​jax.readthedocs.io/​en/​latest/​_autosummary/​jax.scipy.linalg.expm.html.
https://​/​jax.readthedocs.io/​en/​latest/​_autosummary/​jax.scipy.linalg.expm.html

[44] Авад Х. Аль-Мохі та Ніколас Дж. Хайгам. “Новий алгоритм масштабування та зведення у квадрат для матричної експоненти”. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 31, 970–989 (2010).
https: / / doi.org/ 10.1137 / 09074721

[45] Леонардо Банчі та Гевін Е. Крукс. «Вимірювання аналітичних градієнтів загальної квантової еволюції за допомогою правила стохастичного зсуву параметрів». Квант 5, 386 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2021-01-25-386

[46] Леннарт Біттель, Єнс Ватті та Мартін Кліш. «Швидка оцінка градієнта для варіаційних квантових алгоритмів» (2022). arXiv:2210.06484.
arXiv: 2210.06484

[47] Роланд Вірсема, Ділан Льюїс, Девід Вірікс, Хуан Карраскілья та Натан Кіллоран (2023). код: dwierichs/​Here-comes-the-SUN.
https://​/​github.com/​dwierichs/​Here-comes-the-SUN

[48] Томас Шульте-Гербрюгген, Штеффен Дж. Глейзер, Гюнтер Дірр та Уве Гельмке. «Градієнтні потоки для оптимізації квантової інформації та квантової динаміки: основи та застосування». Огляди з математичної фізики 22, 597–667 (2010).
https://​/​doi.org/​10.1142/​S0129055X10004053

[49] Роланд Вірсема та Натан Кіллоран. «Оптимізація квантових схем з рімановим градієнтним потоком» (2023).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.107.062421

[50] Вілле Бергхольм, Джош Ізаак, Марія Шульд, Крістіан Гоголін, М. Сохайб Алам, Шахнаваз Ахмед, Хуан Мігель Арразола, Карстен Бланк, Ален Дельгадо, Соран Джахангірі та ін. «Pennylane: автоматична диференціація гібридних квантово-класичних обчислень» (2018). arXiv:1811.04968.
arXiv: 1811.04968

[51] Райан Свеке, Фредерік Уайлд, Йоганнес Майєр, Марія Шульд, Пол К. Фаерманн, Бартелемі Мейнар-Пігано та Єнс Айзерт. “Стохастичний градієнтний спуск для гібридної квантово-класичної оптимізації”. Квант 4, 314 (2020).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2020-08-31-314

[52] Арам В. Харроу та Джон С. Напп. «Вимірювання градієнта малої глибини може покращити конвергенцію варіаційних гібридних квантово-класичних алгоритмів». фіз. Преподобний Летт. 126, 140502 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.126.140502

[53] Ендрю Аррасміт, Лукаш Сінчіо, Роландо Д Сомма та Патрік Джей Коулз. «Операторська вибірка для економної оптимізації у варіаційних алгоритмах» (2020). arXiv:2004.06252.
arXiv: 2004.06252

[54] Едвард Фархі, Джеффрі Голдстоун і Сем Гутман. «Алгоритм квантової наближеної оптимізації» (2014). arXiv:1411.4028.
arXiv: 1411.4028

[55] Хав'єр Гіл Відаль і Дірк Олівер Тайс. «Обчислення на параметризованих квантових схемах» (2018). arXiv:1812.06323.
arXiv: 1812.06323

[56] Роберт М. Перріш, Джозеф Т. Іосуе, Асьєр Озаета та Пітер Л. Макмехон. «Алгоритм діагоналізації Якобі та прискорення Андерсона для оптимізації параметрів варіаційного квантового алгоритму» (2019). arXiv:1904.03206.
arXiv: 1904.03206

[57] Кен М. Наканіші, Кейсуке Фуджі та Синґе Тодо. “Послідовна мінімальна оптимізація для квантово-класичних гібридних алгоритмів”. фіз. Rev. Res. 2, 043158 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevResearch.2.043158

[58] Матеуш Осташевський, Едвард Грант і Марчелло Бенедетті. “Оптимізація структури для параметризованих квантових схем”. Квант 5, 391 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2021-01-28-391

[59] Сет Ллойд. «Універсальні квантові симулятори». Наука 273, 1073–1078 (1996).
https: / / doi.org/ 10.1126 / science.273.5278.1073

[60] Ф. Альбертіні та Д. Д'Алессандро. “Поняття керованості для квантово-механічних систем”. У матеріалах 40-ї конференції IEEE з прийняття рішень та керування (номер за кат. 01CH37228). Том 2, сторінки 1589–1594 том 2. (2001).
https://​/​doi.org/​10.1109/​CDC.2001.981126

[61] Доменіко д'Алессандро. “Вступ до квантового керування та динаміки”. Чепмен і Холл/​CRC. (2021). 2-е видання.
https: / / doi.org/ 10.1201 / 9781003051268

[62] Мартін Ларокка, Пьотр Чарнік, Кунал Шарма, Гопікрішнан Муралідгаран, Патрік Дж. Коулз і М. Серезо. «Діагностика безплідних плато за допомогою інструментів квантового оптимального контролю». Квант 6, 824 (2022).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2022-09-29-824

[63] Мартін Ларокка, Натан Джу, Дієго Гарсія-Мартін, Патрік Дж. Коулз і Марко Сересо. “Теорія надпараметризації в квантових нейронних мережах”. Nature Computational Science 3, 542–551 (2023).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s43588-023-00467-6

[64] SG Schirmer, ICH Pullen та AI Solomon. “Ідентифікація динамічних алгебр Лі для скінченнорівневих квантових систем керування”. Journal of Physics A: Mathematical and General 35, 2327 (2002).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​0305-4470/​35/​9/​319

[65] Ефекан Кьокчу, Томас Стекманн, Ян Ван, Дж. К. Фрірікс, Євген Ф. Думітреску та Олександр Ф. Кемпер. «Моделювання гамільтоніана фіксованої глибини за допомогою розкладання Картана». фіз. Преподобний Летт. 129, 070501 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.129.070501

[66] Роланд Вірсема, Ефекан Кьокчу, Олександр Ф. Кемпер і Бойко Н. Бакалов. “Класифікація динамічних алгебр Лі для трансляційно-інваріантних 2-локальних спінових систем в одному вимірі” (2023). arXiv:2203.05690.
arXiv: 2203.05690

[67] Жан-П'єр Серр. “Комплексні напівпрості алгебри Лі”. Springer Science & Business Media. (2000). 1-е видання.
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-642-56884-8

[68] Динькін Євген Борисович. “Переклади Американського математичного товариства: п’ять статей з алгебри та теорії груп”. Американське математичне товариство. (1957).
https://​/​doi.org/​10.1090/​trans2/​006

[69] І. М. Джорджеску, С. Ашхаб і Франко Норі. «Квантова симуляція». Rev. Mod. фіз. 86, 153–185 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.86.153

[70] Sepehr Ebadi, Tout T Wang, Harry Levine, Alexander Keesling, Giulia Semeghini, Ahmed Omran, Dolev Bluvstein, Rhine Samajdar, Hannes Pichler, Wen Wei Ho та ін. «Квантові фази речовини на 256-атомному програмованому квантовому симуляторі». Nature 595, 227–232 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41586-021-03582-4

[71] P. Scholl, HJ Williams, G. Bornet, F. Wallner, D. Barredo, L. Henriet, A. Signoles, C. Hainaut, T. Franz, S. Geier, A. Tebben, A. Salzinger, G. Zürn , Т. Лахай, М. Вайдемюллер і А. Бровей. «Мікрохвильова інженерія програмованих $XXZ$ гамільтоніанів у масивах рідбергівських атомів». PRX Quantum 3, 020303 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.3.020303

[72] Моханнад Ібрагім, Хамед Мохаммадбагерпур, Синтія Ріос, Ніколас Т. Бронн і Грегорі Т. Берд. «Оптимізація на рівні імпульсу параметризованих квантових схем для варіаційних квантових алгоритмів» (2022). arXiv:2211.00350. 10.1109/​TQE.2022.3231124.
https://​/​doi.org/​10.1109/​TQE.2022.3231124
arXiv: 2211.00350

[73] Ойнам Ромеш Мейтей, Браян Т. Гард, Джордж С. Беррон, Девід П. Паппас, Софія Е. Економу, Едвін Барнс і Ніколас Дж. Мейхолл. «Підготовка стану без воріт для швидкого варіаційного моделювання квантового розв’язувача». npj Квантова інформація 7, 155 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41534-021-00493-0

[74] Джаррод Р. Макклін, Серхіо Бойшо, Вадим Н. Смілянський, Раян Беббуш і Хартмут Невен. «Безплідні плато в ландшафтах навчання квантової нейронної мережі». Nature Communications 9, 1–6 (2018).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41467-018-07090-4

[75] Едвард Грант, Леонард Воссніг, Матеуш Осташевський і Марчелло Бенедетті. «Стратегія ініціалізації для вирішення безплідних плато в параметризованих квантових схемах». Квант 3, 214 (2019).
https://​/​doi.org/​10.48550/​arXiv.1903.05076

[76] Андреа Сколік, Джаррод Р. Макклін, Масуд Мохсені, Патрік ван дер Смагт і Мартін Лейб. «Пошарове навчання для квантових нейронних мереж». Квантовий машинний інтелект 3, 1–11 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s42484-020-00036-4

[77] Рюдігер Ахілл і Андреа Бонфільйолі. «Ранні докази теореми Кемпбелла, Бейкера, Хаусдорфа і Динкіна». Архів історії точних наук 66, 295–358 (2012).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s00407-012-0095-8

[78] Маріо Лескано-Касадо та Давид Мартінес-Рубіо. “Дешеві ортогональні обмеження в нейронних мережах: проста параметризація ортогональної та унітарної групи”. На міжнародній конференції з машинного навчання. Сторінки 3794–3803. PMLR (2019).
https://​/​doi.org/​10.48550/​arXiv.1901.08428

[79] Андреа Марі, Томас Р. Бромлі та Натан Кіллоран. «Оцінка градієнта та похідних вищого порядку на квантовому обладнанні». фіз. Rev. A 103, 012405 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.103.012405

[80] Бенджамін Рассел і Сьюзан Степні. “Геометричні методи аналізу квантових обмежень швидкості: залежні від часу контрольовані квантові системи з обмеженими функціями керування”. У Джанкарло Маурі, Альберто Деннунціо, Лука Манцоні та Антоніо Е. Поррека, редактори, Unconventional Computation і Natural Computation. Сторінки 198–208. Конспект лекцій з інформатики, Берлін, Гейдельберг (2013). Спрингер.
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-642-39074-6_19

[81] Андреас Арванітогеоргос. «Вступ до груп Лі та геометрії однорідних просторів». Том 22. American Mathematical Soc. (2003).
https://​/​doi.org/​10.1090/​stml/​022

[82] С Хелгасон. “Диференціальна геометрія, групи брехні та симетричні простори”. American Mathematical Soc. (1978).
https://​/​doi.org/​10.1090/​chel/​341

[83] Джеймс Е Хамфріс. “Вступ до алгебр Лі та теорії представлень”. Том 9. Springer Science & Business Media. (2012).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-1-4612-6398-2

Цитується

[1] Ronghang Chen, Zhou Guang, Cong Guo, Guanru Feng та Shi-Yao Hou, «Алгоритм чистого квантового градієнтного спуску та повний квантовий варіаційний власний розв’язувач», Frontiers of Physics 19 2, 21202 (2024).

[2] Девід Віріхс, Річард Д.П. Іст, Мартін Ларокка, М. Серезо та Натан Кіллоран, «Симетричні похідні параметризованих квантових схем», arXiv: 2312.06752, (2023).

[3] Yaswitha Gujju, Atsushi Matsuo та Rudy Raymond, «Quantum Machine Learning on Near-Term Quantum Devices: Current State of Supervised and Unsupervised Techniques for Real-World Applications», arXiv: 2307.00908, (2023).

[4] Корбініан Котманн і Натан Кіллоран, «Оцінка аналітичних градієнтів імпульсних програм на квантових комп’ютерах», arXiv: 2309.16756, (2023).

Вищезазначені цитати від SAO / NASA ADS (останнє оновлення успішно 2024-03-08 04:46:05). Список може бути неповним, оскільки не всі видавці надають відповідні та повні дані про цитування.

On Служба, на яку посилається Crossref даних про цитування робіт не знайдено (остання спроба 2024-03-08 04:46:03).

Ця стаття опублікована в Quantum під Creative Commons Attribution 4.0 International (CC на 4.0) ліцензія. Авторське право залишається за оригінальними власниками авторських прав, такими як автори або їх установи.

Часова мітка:

Більше від Квантовий журнал