Стара гіпотеза руйнується, що робить сфери набагато складнішими | Журнал Quanta

На початку червня, коли математики приземлилися в лондонському аеропорту Хітроу, викликав ажіотаж. Їх призначенням був Оксфордський університет і а конференція на честь 65-річчя від дня народження Майкл Хопкінс, математик із Гарвардського університету, який був наставником для багатьох учасників.

Гопкінс зробив собі ім'я наприкінці 1980-х років завдяки роботі над сімома припущеннями, які Даг Равенел Рочестерського університету, сформульованого десятиліттям раніше. Вони стосувалися методів визначення того, коли дві форми або простори, які можуть виглядати по-різному, насправді однакові. Гопкінс і його співробітники довели всі гіпотези Равенеля, крім однієї, проблеми з навіюваною, але загадковою назвою, що називається гіпотезою телескопа.

У той час Гопкінс припинив роботу над припущеннями Равенеля. Десятиліттями пізніше припущення про телескоп здавалося майже неможливим розгадати.

«Ви не можете торкатися такої теореми», — сказав Гопкінс.

Але коли математики прибули до Лондона, поширилися чутки, що це було зроблено групою з чотирьох математиків, пов’язаних із Массачусетським технологічним інститутом, трьох із яких консультував Гопкінс у аспірантурі. Наймолодший із чотирьох, аспірант ім Ішан Леві, мав виступити з доповіддю у вівторок, на другий день конференції, коли, здавалося, може бути оголошено доказ.

«Я чув чутки про те, що це збирається, і я точно не знав, чого очікувати», — сказав Весна Стояноська, математик з Університету Іллінойсу, Урбана-Шампейн, який відвідав конференцію.

Незабаром стало зрозуміло, що чутки правдиві. Починаючи з вівторка та протягом наступних трьох днів, Леві та його співавтори: Роберт Бурклунд, Джеремі Хан та Томер Шланк — пояснив натовпу з приблизно 200 математиків, як вони довели, що гіпотеза про телескоп була хибною, що зробило її єдиною з оригінальних гіпотез Равенеля, яка не відповідає дійсності.

Спростування припущення про телескоп має багато наслідків, але одне з найпростіших і найглибших полягає в наступному: це означає, що в дуже високих вимірах (подумайте про 100-вимірну сферу) Всесвіт різних форм є набагато складнішим, ніж передбачили математики.

Картографування карт

Щоб класифікувати форми або топологічні простори, математики розрізняють відмінності, які мають значення, і ті, які не мають значення. Теорія гомотопії — це перспектива, з якої можна проводити ці відмінності. Він вважає м’яч і яйце фундаментально одним топологічним простором, оскільки ви можете згинати і розтягувати одне в інше, не розриваючи жодного. Таким же чином гомотопічна теорія вважає м’яч і камеру принципово різними, оскільки вам потрібно зробити отвір у м’ячі, щоб деформувати його у камеру.

Гомотопія корисна для класифікації топологічних просторів — створення діаграм усіх можливих форм. Це також важливо для розуміння ще чогось, що хвилює математиків: карт між просторами. Якщо у вас є два топологічні простори, один із способів дослідити їхні властивості — це пошук функцій, які перетворюють або відображають точки на одному в точки на іншому — введіть точку в просторі A, отримайте точку в просторі B як результат, і зробіть це для всіх точок на A.

Щоб побачити, як ці карти працюють і чому вони висвітлюють властивості відповідних просторів, почніть із кола. Тепер нанесіть його на двовимірну сферу, яка є поверхнею кулі. Існує нескінченна кількість способів зробити це. Якщо ви уявляєте сферу як поверхню Землі, ви можете розмістити своє коло на будь-якій лінії широти, наприклад. З точки зору теорії гомотопії, усі вони еквівалентні або гомотопні, тому що всі вони можуть стискатися до точки на північному чи південному полюсі.

Потім відобразіть коло на двовимірній поверхні внутрішньої труби (тор з одним отвором). Знову ж таки, існує нескінченна кількість способів зробити це, і більшість із них гомотопні. Але не всі. Ви можете розташувати коло горизонтально або вертикально навколо тора, і жодне не може плавно деформуватися в інше. Це два (з багатьох) способи відображення кола на торі, тоді як є лише один спосіб відобразити його на сферу, що відображає фундаментальну різницю між двома просторами: тор має один отвір, а сфера — жодного.

Легко порахувати способи, якими ми можемо відобразити коло на двовимірну сферу або тор. Це знайомі простори, які легко уявити. Але підрахувати карти набагато важче, коли йдеться про простори з більшою вимірністю.

Розмірні відмінності

Якщо дві сфери мають однакову розмірність, між ними завжди існує нескінченна кількість карт. І якщо простір, з якого ви виконуєте відображення, є нижчим виміром, ніж простір, який ви відображуєте (як у нашому прикладі одновимірного кола, відображеного на двовимірну сферу), завжди є лише одна карта.

Частково з цієї причини підрахунок карт є найцікавішим, коли простір, з якого ви картографуєте, має більший вимір, ніж простір, який ви картографуєте, наприклад, коли ви відображаєте семивимірну сферу на тривимірну сферу. У таких випадках кількість відображень завжди кінцева.

«Карти між сферами загалом більш цікаві, коли джерело має більший вимір», — сказав Хан.

Крім того, кількість карт залежить лише від різниці в кількості вимірів (коли розміри стають достатньо великими порівняно з різницею). Тобто кількість карт із 73-вимірної сфери на 53-вимірну сферу є такою ж, як кількість карт із 225-вимірної сфери на 205-вимірну сферу, тому що в обох випадках різниця у вимірі становить 20.

Математики хотіли б знати кількість відображень між просторами будь-якої різниці у розмірності. Їм вдалося обчислити кількість карт для майже всіх різниць розмірності до 100: існує 24 карти між сферами, коли різниця становить 20, і 3,144,960 23 XNUMX, коли різниця XNUMX.

Але обчислення кількості карт для будь-якої різниці, що перевищує 100, виснажує сучасну обчислювальну потужність. І в той же час математики не виявили достатньо закономірностей у кількості карт для подальшої екстраполяції. Їхня мета — заповнити таблицю, яка визначає кількість карт для будь-якої різниці у розмірах, але ця мета здається дуже далекою.

«Я не очікую повного вирішення цього питання за життя моїх онуків», — сказав Равенель, якому 76 років.

Гіпотеза телескопа робить прогноз щодо того, як зростає кількість карт із збільшенням різниці у розмірах. По суті, це передбачає, що кількість зростає повільно. Якби це було правдою, це б трохи полегшило проблему заповнення цієї таблиці.

Від сумніву до зневіри

Свою назву гіпотеза про телескоп отримала неймовірним чином.

Почалося з того, що в дуже високих вимірах геометрична інтуїція, сформована в нижчих вимірах, часто руйнується, і важко порахувати карти між сферами. Але, формулюючи свою гіпотезу, Равенель розумів, що не потрібно. Замість того, щоб підраховувати карти між сферами, ви можете зробити проксі-підрахунок карт між сферами та об’єктами, які називаються телескопами.

Телескопи включають серію копій замкнутої кривої більшого виміру, кожна з яких є зменшеною версією попередньої. Ряд кривих нагадує з’єднані труби справжнього розбірного телескопа. «Як би дивно не звучав цей телескоп, коли ви його описуєте, насправді з ним легше мати справу, ніж із самою сферою», — сказав Равенель.

Але все ж сфери можуть відображатися на телескопах багатьма різними способами, і проблема полягає в тому, щоб знати, коли ці карти справді відрізняються.

Щоб визначити, чи є два простори гомотопними, потрібен математичний тест, відомий як інваріант, який є обчисленням на основі властивостей просторів. Якщо обчислення дає різні значення для кожного простору, ви знаєте, що вони унікальні з точки зору гомотопії.

Існує багато видів інваріантів, і деякі можуть сприймати відмінності, які інші інваріанти не бачать. Гіпотеза телескопа передбачає, що інваріант під назвою Morava E-теорія (та її симетрії) може ідеально розрізняти всі карти між сферами та телескопами з точністю до гомотопії — тобто, якщо Морава EТеорія каже, що карти різні, вони різні, і якщо вона каже, що вони однакові, вони однакові.

Але до 1989 року Равенель почав сумніватися, що це правда. Його скептицизм виник через виконані ним розрахунки, які, здавалося, не узгоджувалися з гіпотезою. Але лише в жовтні того року, коли потужний землетрус вразив район затоки, коли він був у Берклі, ці сумніви перетворилися на повну недовіру.

«Я дійшов цього висновку через день-два після землетрусу, тому мені подобається думати, що сталося щось, що змусило мене думати, що це неправда», — сказав Равенель.

Щоб спростувати припущення про телескоп, знадобилося б знайти більш потужний інваріант, який міг би бачити речі Morava E- теорія не може. Десятиліттями здавалося, що такий інваріант не був доступним, що робило гіпотезу недосяжною. Але прогрес останніх років змінив це — і Бурклунд, Хан, Леві та Шланк скористалися цим.

Екзотика, що вибухає

Їх доказ спирається на набір інструментів, які називаються алгебраїчними K-теорія, яка була заснована в 1950-х роках Александром Гротендіком і швидко розвивалася протягом останнього десятиліття. Він має застосування в усій математиці, в тому числі в геометрії, де він має здатність посилювати інваріант.

Чотири автори використовують алгебраїку K-теорія як гаджет: Вони вводять Morava E-теорії, і їхнім результатом є новий інваріант, який вони називають алгебраїчним K-теорія нерухомих точок Морави E-теорія. Потім вони застосовують цей новий інваріант до карт від сфер до телескопів і доводять, що він може бачити карти, які Морава E- теорія не може.

І справа не тільки в тому, що цей новий інваріант має ще кілька карт. Він бачить набагато більше, навіть нескінченно більше. Настільки більше, що справедливо сказати, що Морава E-Теорія ледве торкалася поверхні, коли дійшло до ідентифікації карт від сфер до телескопів.

Нескінченно більше карт від сфер до телескопів означає нескінченно більше карт між самими сферами. Кількість таких карт є кінцевою для будь-якої різниці у розмірах, але новий доказ показує, що кількість зростає швидко й невблаганно.

Те, що існує так багато карт, вказує на тривожну геометричну реальність: існує так багато сфер.

У 1956 році Джон Мілнор виявив перші приклади так званих «екзотичних» сфер. Це простори, які можна деформувати у справжню сферу з точки зору гомотопії, але відрізняються від сфери в певному точному сенсі. Екзотичних сфер взагалі не існує в першому, другому чи третьому вимірах, і ніхто не виявив їх прикладів нижче сьомого виміру — виміру, де Мілнор вперше їх знайшов. Але зі збільшенням розміру кількість екзотичних сфер вибухає. Є 16,256 15 у вимірі 523,264 і 19 XNUMX у вимірі XNUMX.

І все ж, якими б величезними не були ці цифри, спростування припущення про телескоп означає, що їх набагато, набагато більше. Спростування означає, що існує більше карт між сферами, ніж передбачалося, коли Равенель висловив гіпотезу, і єдиний спосіб отримати більше карт – мати більшу різноманітність сфер для відображення між собою.

Існують різні типи прогресу в математиці та природничих науках. Один вид вносить порядок у хаос. Але інший посилює хаос, розвіюючи обнадійливі припущення, які не були правдою. Спростування гіпотези про телескоп таке. Це поглиблює складність геометрії та підвищує ймовірність того, що багато поколінь онуків прийдуть і підуть, перш ніж хтось повністю зрозуміє карти між сферами.

«Здається, кожен значний прогрес у цій темі говорить нам, що відповідь набагато складніша, ніж ми думали раніше», — сказав Равенель.