Доказ потоку допомагає математикам знайти стабільність у хаосі | Журнал Quanta

Як і багато в чому в математиці, доказ почався з кави. У вересні 2019 р. Кетрін Манн Корнельського університету відвідав Кінгстон, Онтаріо, щоб прочитати гостьову лекцію в Університеті Квінс. Після цього вона сіла до свого господаря, Томас Бартельме, для того, що мало бути швидкою чашкою кави. Він хотів дізнатися її думку щодо проблеми, над якою він працював, пов’язаної з математичними моделями, які називаються динамічними системами, які описують, як такі прості явища, як рух маятника вперед-назад, або такі складні, як погода, розвиваються з часом.

Перш ніж вони це зрозуміли, минули години. «Ми просто сиділи в цій кав’ярні, малювали картини, кожен із нас намагався зрозуміти, що хоче сказати інший», — сказав Манн. «На початку я думав, що цей хлопець не має сенсу». Але коли вони навчилися говорити математичною мовою один одного, обидва стали більш оптимістичними щодо своїх шансів знайти рішення.

Манн не завжди любила математику — у дитинстві вона погано володіла арифметикою, — але саме така розмова зрештою спонукала її вивчати її. Хоча спочатку її цікавила кар’єра філософа, вона зрозуміла, що це не те, що їй підходить. Для філософів «продуктивна дискусія означає перевірку своєї позиції проти позиції когось іншого», — сказала вона. «Математика навпаки. Ви розмовляєте з кимось, і ви обоє в одній команді з самого початку. Якщо хтось каже: «Це так не працює», ви скажете: «О, розкажи мені більше». Я знайшов такий спосіб розмови набагато кращим».

Бартельме цікавився конкретними динамічними системами, які називаються потоками Аносова, які природно виникають у багатьох областях математики та діють як важливі іграшкові моделі. Ці системи демонструють, здавалося б, парадоксальні властивості в одному місці: хаос і стабільність; жорсткість і гнучкість; присутність внутрішньої геометричної структури серед основної топологічної пустелі.

Кожна з цих властивостей виникає в динамічних системах, які математики прагнули зрозуміти протягом століть, від руху планет навколо Сонця до поширення хвороб серед населення. Але в таких системах роз’єднання цих різних функцій стає безнадійно складним. Потоки Аносова були визначені як об’єкти дослідження в 1960-х роках, тому що вони виявляють цю важливу поведінку в крайньому ступені, що полегшує їх аналіз. «Ви сподіваєтесь, що як тільки у вас буде ідеальна картина цієї справи, ви зможете повернутися до безладного реального світу та підійти до нього новими очима», — сказав Манн.

«На початку теорії динамічних систем потоки Аносова були як маяки, які вказували вам напрямок, куди вам слід рухатися», — сказав Етьєн Гіс École Normale Supérieure у Ліоні, Франція.

Тим не менш, їх було неймовірно важко зрозуміти. Хоча математики досягли значного прогресу за останні 60 років, вони все ще далекі від досягнення ідеальної картини, про яку говорив Манн: класифікації всіх різних типів потоків Аносова.

Тепер, в а серія останні документи, Бартельме і Манн разом з Стівен Франкель Вашингтонського університету в Сент-Луїсі, зробили вражаючий крок до цієї недосяжної мети. Переклавши питання про рух і форму на мову алгебри, вони показали, що для повного й однозначного визначення даного потоку Аносова потрібно відносно мало даних. (Їхній результат також справедливий для споріднених, але більш загальних динамічних систем, які називаються псевдопотоками Аносова.) Приховані у всьому цьому хаосі, вони знайшли структуру.

Математики вже застосували свій результат для вирішення ключових питань про потоки Аносова, а саме, як їх побудувати та скільки їх може бути. «Іноді результати важливі, тому що вони справді пропонують нову точку зору на предмет», — сказав Рафаель Потріє, математик в Університеті Республіки в Уругваї. «Ось що тут відбувається».

Геометрична перспектива

З кінця 19 століття, коли робота Анрі Пуанкаре з небесної механіки поклала початок сучасній теорії динамічних систем, математики розглядали динаміку через призму геометрії.

Розглянемо маятник. Залишившись на самоті, він висить вертикально, нерухомо. Але якщо підняти його і відпустити, він буде гойдатися вперед-назад. У певний момент стан маятника можна зафіксувати двома частинами інформації: його кутом від вертикального висячого положення та його швидкістю. У результаті ви можете представити всі можливі стани маятника як точки на площині, яка відома як простір станів.

Якщо ви почнете з будь-якої з цих точок, диференціальне рівняння (на основі законів руху Ньютона) підкаже вам, як змінюватимуться кут і швидкість маятника з часом. Цей рух фіксується кривою, або «траєкторією», яка петляє через простір станів. Якщо ви зміните початковий кут і швидкість маятника, ви отримаєте іншу траєкторію через простір станів.

Ви хочете вивчити всі такі траєкторії як єдиний математичний об’єкт. Цей геометричний спосіб кодування вашої динамічної системи називається «потік». Замість того, щоб думати про те, як маятник витинає дуги в повітрі, ви можете вивчити його поведінку, проаналізувавши потік. У цьому випадку потік складається з вкладених еліпсів (кожен еліпс представляє спосіб, у який маятник може коливатися вперед і назад), а також кривих над і під цими еліпсами (що представляють сценарії, у яких маятник обертається швидко, як вертушка).

Але потоки можуть стати набагато складнішими, включаючи заплутані, високовимірні простори станів. Візьмемо 100 частинок, що рухаються та взаємодіють у просторі. Потік, який фіксує їх поведінку, є набором нескінченної кількості траєкторій через 600-вимірний простір станів. (Щоб описати лише стан однієї частинки, вам потрібно шість частин інформації: три числа для її положення та три для швидкості. Отже, для опису всіх 100 частинок одночасно потрібно 600 чисел.)

Щоб розробити інструменти для вивчення цих складніших систем, математикам потрібен був правильний полігон — системи, достатньо прості, щоб мати сенс, але досить складні, щоб відобразити властивості, які їх насправді цікавлять.

Ось тут і спрацювали потоки Аносова.

Глобальна стабільність, локальний хаос

Ще до того, як роботи Пуанкаре в 19 столітті змінили спосіб вивчення динамічних систем, математики цікавилися системами, де частинка проходить найкоротший доступний шлях: так звана геодезична. На площині частинки слідують за групою прямих ліній; на поверхні кулі вони рухаються по великих колах. Топологія або глобальна форма поверхні впливає на вигляд цих шляхів.

Геодезичний потік описує всі можливі способи руху частинки, коли вона не підпадає під дію зовнішніх сил. Простір станів, загалом, є чотиривимірним: два з цих вимірів відповідають фізичному положенню частинки, тоді як інші два відповідають швидкості її руху. Але якщо ви готові відкинути деяку інформацію — якщо, наприклад, вам не важлива швидкість руху частинки, а лише те, у який бік вона дивиться в будь-який момент часу — ви можете описати її рух за допомогою тривимірного простір стану. Два виміри описують його положення, а третій вимір представляє напрямок, куди він дивиться. Саме так математики часто думають про геодезичні потоки: як про сукупність траєкторій у тривимірному просторі станів.

Ці потоки викликали інтерес математиків з ряду причин. З кінця 1800-х років вони дозволили геометрам і топологам краще зрозуміти структуру дуже складних поверхонь — поверхонь, які надто важко досліджувати безпосередньо, але які стають легшими, коли ви дивитеся, як на них рухаються частинки. І вони настільки ж важливі для динаміків, тому що багато механічних систем у фізиці можна представити як геодезичні потоки.

На початку 20-го століття французький математик Жак Адамар почав досліджувати геодезичні потоки на «негативно викривлених» поверхнях, тобто поверхнях, які виглядають як сідло в будь-якій точці. (Це, мабуть, неможливо візуалізувати, але математично корисно.) Він виявив, що такі види геодезичних потоків завжди хаотичні: якщо ви мізерно змінюєте початкове положення частинки, вона опиниться на зовсім іншій траєкторії, тобто ви не може передбачити довгострокову поведінку системи. (З іншого боку, геодезичний потік на поверхні сфери не має цієї властивості.)

«У певному сенсі ці системи… є максимально хаотичними», — сказав Енді Хаммерліндл Університету Монаша в Австралії.

У 1960-х роках, спираючись на роботу Адамара, російський математик Дмитро Аносов помітив, що якщо ви трохи скорегуєте рівняння, яке визначає геодезичний потік, усі траєкторії лише трохи зміщуються: ви можете перевести свій початковий потік у новий, не змінюючи його загального структура. За типових обставин така структурна стабільність жодним чином не гарантована, але вона є для цих типів геодезичних потоків. «Результатом є «глобальна стабільність, локальний хаос», — сказав Манн. «У динаміці вас дійсно цікавить це злиття стабільності та хаосу». Обидва вони співіснують у багатьох динамічних системах, встановлюючи тонкий і важливий баланс, який математики намагалися роз’єднати з часів роботи Пуанкаре про нашу Сонячну систему.

Аносов виявив, що як хаос, так і стабільність виникають автоматично в геодезичному потоці, оскільки його траєкторії сходяться та розходяться, як лінії, накреслені на шматку іриски, коли його стискають і розтягують.

Аносов узагальнив концепцію геодезичного потоку на негативно вигнутій поверхні, записавши конкретні математичні умови для такої поведінки, подібної до ірисок. Ці узагальнені потоки тепер носять його ім'я. Будь-який геодезичний потік на негативно викривленій поверхні є одним. Але Аносов подумав, що існує ціла літанія динамічних систем, які діють таким чином.

Хоча це визначення може здатися дивно конкретним, таке розтягування та стиснення можна знайти в багатьох динамічних системах. Але це не так очевидно чи повсюдно в цих контекстах. У потоці Аносова поведінка, подібна до ірисок, з’являється всюди, що робить його екстремальним випадком і, отже, особливо хорошою модельною системою для розробки нових інструментів і ідей.

Подібно до того, як вчені могли б спробувати дізнатися про експресію генів у плодової мушки, перш ніж переходити до людей, математики довели результати щодо топологічних, статистичних та інших властивостей потоків Аносова, а потім поширили цю роботу на інші динамічні системи. Наприклад, у 1970-х роках математики використовували те, що вони знали про течії Аносова (та суміжні системи), щоб сформулювати припущення про те, які типи потоків можуть виявляти структурну стабільність. У 1990-х роках Шухей Хаясі Токійського університету довів, що це правда.

Ярлик для ідентифікації

Аносов міг запропонувати лише одну сімейку систем, яка відповідала б його критеріям. Але з тих пір математики відкрили величезний зоопарк прикладів. (Більшість із них є потоками в тривимірному просторі станів. Більш вимірні потоки Аносова залишаються погано вивченими.)

Математики хочуть повністю зрозуміти потоки Аносова: знайти всі їх приклади, проаналізувати їх структуру, оцінити, які простори можуть їх підтримувати, а які ні, і визначити, скільки різних потоків може жити в даному просторі.

Але щоб зробити щось із цього, їм спершу потрібно ознайомитись із основами, зокрема знайти хороший спосіб охарактеризувати певний потік Аносова.

Саме це зробили Бартельме, Франкель і Манн.

Уявіть потік Аносова як складний клубок нескінченної кількості траєкторій, які разом заповнюють тривимірний простір станів, як пряжа. Цей простір станів називається багатоманітністю. Якщо збільшити будь-яку його частину, воно виглядатиме як звичайний тривимірний простір, але глобально воно може мати дуже складну структуру, повну дірок та інших дивних особливостей.

Деякі з траєкторій у колекторі обертаються назад, представляючи, як частинка може врешті-решт повернутися до свого початкового стану (займаючи ту саму позицію на поверхні та спрямовану в тому самому напрямку). Більшість траєкторій, однак, ніколи не повертаються до тієї самої точки: замість того, щоб утворити замкнуту траєкторію, вони нескінченно звиваються, вічно розмотується нитка.

Троє математиків довели, що для більшості потоків Аносова (а також потоків псевдоАносова) знання лише замкнутих, або «періодичних» траєкторій дозволяє повністю визначити всю систему. «Ви не втратите багато, перейшовши до цього простішого», — сказав Франкель. «Насправді він збирає всю інформацію». Є деякі винятки, але в цих випадках тріо показало, що для характеристики потоку потрібна лише одна додаткова інформація.

Робота дає спосіб визначити, чи є два різні потоки еквівалентними, тобто чи існує певний математичний спосіб перетворити кожну траєкторію в одному потоці в траєкторію в іншому. Ви не можете перевірити це вручну, траєкторію за траєкторією; вам потрібен ярлик, спосіб ідентифікації потоку з меншою кількістю інформації.

Щоб отримати цей ярлик, Бартельме, Франкель і Манн звернулися до ключового інструменту алгебри, яким часто користуються топологи: фундаментальної групи.

Переклад до алгебри

Фундаментальна група фактично є списком петель на різноманітті (і всіх їх комбінаціях), які кодують інформацію про форму різноманіття. Розглянемо поверхню бублика, або тора — двовимірного різноманіття. Ви можете побудувати одну петлю, починаючи з точки на торі, проходячи через отвір і повертаючись туди, звідки ви почали. Якщо замість того, щоб проходити через отвір, ви обходите його, ви утворили другу петлю. Фундаментальною групою тора є набір цих двох петель і всіх їхніх комбінацій (наприклад, ви можете уявити собі двічі навколо отвору або один раз пройти через отвір, а потім обігнути його тощо). Фундаментальна група тривимірного різноманіття ускладнюється.

Кожна періодична траєкторія в заданому потоці Аносова відповідає класу петель, представлених у фундаментальній групі. За словами Бартельме, Франкеля та Манна, для більшості потоків Аносова (і псевдо-Аносова) знання цієї підмножини достатньо, щоб дозволити вам реконструювати весь потік. Вам навіть не потрібно знати, чи переплітаються певні траєкторії, або скільки існує копій певної періодичної траєкторії. Лише з періодичних даних ви можете створити свій потік — спочатку отримати одно- та двовимірні об’єкти, які кодують різні аспекти потоку, і, нарешті, отримати сам тривимірний потік.

«Це було для мене несподіванкою, — сказав Бартельме. «Я думаю, люди могли б здогадатися, що це не має бути правдою, тому що це досить слабка інформація».

Ось що робить роботу такою інтригуючою. «Якщо вибрати траєкторію навмання, вона щільно заповнить простір. А періодичні траєкторії цього не роблять. Вони повертаються туди, звідки почали, і не бачать більшої частини простору», – сказав Емі Вілкінсон Чиказького університету. І все ж якщо взяти ці періодичні траєкторії разом, можна зрозуміти повну структуру потоку. «У цьому краса результату».

У потоці Аносова існує ще нескінченна кількість періодичних траєкторій. Але ця нескінченна кількість є «зліченною» — меншою нескінченністю, ніж «незліченна» загальна кількість траєкторій. Це схоже на те, що між числами 1 і 2 є нескінченна кількість дробів, але в цьому інтервалі є багато ірраціональних чисел, таких як $latex sqrt{2}$. Як наслідок, зведення потоку лише до його періодичних траєкторій може бути корисним для оцінки того, чи є дві системи еквівалентними.

Бартельме, Франкель і Манн також знайшли винятки зі свого правила: у деяких випадках можливо, що два потоки відрізняються, але мають однакові періодичні траєкторії. Але виявилося, що ці винятки мають дуже особливу структуру, і математики змогли визначити, що для їх характеристики потрібна лише ще одна інформація.

Після завершення перевірки наприкінці минулого року Бартельме та Манн об’єдналися Серхіо Фенлі, математик з Університету штату Флорида, який провів багато досліджень потоків Аносова, щоб повністю охарактеризувати ці винятки. У новій статті, яку вони ще не опублікували в Інтернеті, вони каталогізували ситуації, які породжують ці більш складні потоки. Роблячи це, вони не тільки покладалися на попередній результат, але й закінчили створенням нових потоків, які мають одну інтригуючу властивість: їх неможливо повністю охарактеризувати за допомогою періодичних даних. "Це дивовижно", - сказав Потрі. «Це як з астрономією: іноді ви вивчаєте орбіти планет, і, краще розуміючи їх, ви виявляєте, що там повинна бути якась планета, про яку ви не знали. І це говорить вам направити свій телескоп так, щоб ви його побачили. Я думаю, що це сталося в цій роботі».

«Це насправді дає дуже чіткий спосіб закрити цю тему», — сказав Фенлі. «Можуть трапитися погані об’єкти, але погані об’єкти, як виявляється, не такі вже й погані».

Підрахунки та класифікації

Декілька математиків, у тому числі Потрі та Фенлі, вже використали результат Бартельме, Франкеля та Манна для завершення інших доказів пов’язаних динамічних систем.

Бартельме та Манн також використали свою роботу, щоб просунутися в одному з найбільших відкритих питань про потоки Аносова: чи можливо, щоб заданий 3D-різноманітник підтримував нескінченну кількість різних потоків Аносова?

Подібно до того, як контури річкового берега впливають на можливі шляхи течії води в річці, структура колектора впливає на можливі види динамічних потоків. (Пороги Білої води не відображаються на широких плоских площинах.)

Раніше було відомо, що багато 3D різноманіття взагалі не можуть служити простором станів для будь-яких потоків Аносова. А кілька років тому Манн і Джонатан Боуден, математик з Регенсбурзького університету в Німеччині, довів, що для будь-якого кінцевого числа на ваш вибір — 15,000 15 різних потоків, або 15 мільйонів, або XNUMX мільярдів — ви можна знайти 3D колектор що має принаймні стільки різних потоків. (Інша група показав це незалежно.)

Але досі невідомо, чи можна знайти колектор із нескінченною кількістю різних потоків Аносова. Бартельме та Манн довели особливий випадок, об’єднавши свою нову роботу з іншими недавніми результатами в області, що називається контактною геометрією. «У цьому інтерфейсі, безперечно, щось назріває», — сказав Борис Гассельблат університету Тафтса. «Це нове й захоплююче».

Все це, сподіваюся, допоможе в довгостроковій меті класифікації потоків Аносова (включаючи потоки вищої розмірності). Але це також забезпечує нові напрямки для досліджень і дає математикам краще розуміння зв’язку між топологією та динамікою. За словами Потрі, буде цікаво вивчити ці періодичні дані разом із відповідною груповою структурою окремо. «Є багато запитань, які відкриваються лише тому, що вони визначили цей об’єкт, цей видобуток», – сказав він. «Тепер ми повинні це зрозуміти».