1ICFO-Institut de Ciencies Fotoniques, Барселонський інститут науки і технологій, 08860 Кастельдефельс, Іспанія
2CFIS-Centre de Formació Interdisciplinària Superior, UPC-Universitat Politècnica de Catalunya, 08028 Barcelona, Spain
3Univ Grenoble Alpes, CNRS, Grenoble INP, Institut Neel, 38000 Grenoble, France
4ICREA-Institucio Catalana de Recerca i Estudis Avançats, Lluis Companys 23, 08010 Барселона, Іспанія
Вам цей документ цікавий чи ви хочете обговорити? Скайте або залиште коментар на SciRate.
абстрактний
Взаємно незміщені основи відповідають дуже корисним парам вимірювань у квантовій теорії інформації. У найменшому складеному вимірі, шість, відомо, що існує від трьох до семи взаємно неупереджених основ, з гіпотезою десятиліттями, відомою як гіпотеза Заунера, яка стверджує, що існує щонайбільше три. Тут ми розглядаємо гіпотезу Цаунера чисельно через побудову нерівностей Белла для кожної пари цілих чисел $n,d ge 2$, які можуть бути максимально порушені у розмірності $d$ тоді і тільки тоді, коли $n$ MUB існують у цьому розмірі. Таким чином, ми перетворюємо гіпотезу Цаунера на оптимізаційну задачу, яку ми вирішуємо за допомогою трьох чисельних методів: оптимізації коливань, нелінійного напіввизначеного програмування та методів Монте-Карло. Усі три методи правильно ідентифікують відомі випадки в низьких вимірах і всі припускають, що не існує чотирьох взаємно незміщених основ у вимірі шість, причому всі знаходять однакові основи, які чисельно оптимізують відповідну нерівність Белла. Крім того, ці чисельні оптимізатори, здається, збігаються з «чотирма найбільш віддаленими базами» у розмірі шість, знайденими шляхом чисельної оптимізації міри відстані в [P. Рейналь, X. Лю, Б.-Г. Englert, {Phys. Rev. A}, { 83} 062303 (2011)]. Нарешті, результати Монте-Карло свідчать про те, що в десятому вимірі існує щонайбільше три MUB.
Рекомендоване зображення: відносна різниця між значенням наших нерівностей Белла, припускаючи, що n MUB існує у розмірності d, і значенням, знайденим нашими чисельними методами. Нульові значення означають, що методи знайшли n MUB у вимірі d, тоді як ненульові значення означають, що методи не знайшли n MUB у вимірі d. Усі відомі випадки (розміри від другого до п’яти та розміри шість із двома та трьома MUB) правильно визначені цифрами. У шостому вимірі жоден із методів не знаходить чотирьох MUB, і всі методи сходяться до одного набору з чотирьох баз.
Популярне резюме
Незважаючи на їх широке використання, досі залишаються відкритими питання щодо структури MUB. Найважливішим є те, що максимальна кількість вимірювань, які є попарно незміщеними («кількість MUB»), невідома, якщо розмірність квантової системи є складеним числом. Зокрема, у шостому вимірі ми знаємо лише, що кількість MUB становить від трьох до семи. Давно існує відкрита гіпотеза Заунера, яка стверджує, що в шести вимірі існує не більше трьох MUB. Ця здогадка, що виникла десятиліттями, підтверджується деякими числовими доказами, але доказів немає донині.
У цій роботі ми розглядаємо гіпотезу Заунера через нелокальність Белла. Нелокальність Белла стосується двох експериментаторів, яким заборонено спілкуватися, але вони можуть поділяти деякі кореляції у формі класичної випадковості або спільного квантового стану. Було показано, що спільне використання квантових ресурсів може призвести до експериментальних даних, які неможливо пояснити класичною фізикою (точніше, так званими моделями локальних прихованих змінних). Це відомо як теорема Белла, і вона була експериментально перевірена в останнє десятиліття. Свідчення некласичності експериментальних даних найчастіше виконується за допомогою так званих нерівностей Белла, які є функціями ймовірностей результатів вимірювання, що відбуваються в експерименті. Класичні дані повинні задовольняти нерівності Белла, тоді як квантові дані можуть їх порушувати.
Нещодавно було виявлено нерівності Белла, які максимально порушуються, якщо одна зі сторін використовує пару вимірювань MUB заданої розмірності. У цій роботі ми поширюємо ці нерівності на нові, які максимально порушуються вибраною кількістю вимірювань MUB у заданому вимірі. Крім того, якщо розмірність в експерименті є фіксованою, максимальне порушення досягається тоді і тільки тоді, коли використані вимірювання відповідають вибраній кількості MUB у даному розмірі. Таким чином, визначення того, чи існує вибрана кількість MUB у даному вимірі, еквівалентно знаходженню максимального порушення відповідної нерівності Белла в цьому фіксованому вимірі.
Хоча знаходження цього максимального порушення загалом є складною проблемою, ми використовуємо три різні чисельні методи як спробу знайти максимальне порушення наших нерівностей Белла у фіксованому розмірі. Два з цих методів є варіантами методів напіввизначеного програмування, тоді як третій натхненний статистичною фізикою і називається моделюванням відпалу. Хоча всі ці методи є евристичними, тобто немає гарантії, що вони знайдуть справжній оптимум проблеми, можна оцінити їхню ефективність, застосовуючи їх до проблем оптимізації, оптимум яких відомий. Зокрема, ми виявили, що всі три методи здатні правильно ідентифікувати вимірювання MUB у випадках, коли відомо, що вони існують. Крім того, у випадках, коли відомо, що вони не існують, усі три методи збігаються до одного набору вимірювань із точністю до чисельної точності. Потім ми застосовуємо наші методи до першого невідомого випадку, тобто чотирьох MUB у вимірі шість. Жоден із методів не в змозі ідентифікувати чотири MUB у вимірі шість, але знову ж таки всі вони збігаються до того самого набору з чотирьох вимірювань із точністю до числової точності. Крім того, техніка моделювання відпалу не знаходить чотирьох MUB у наступному складеному вимірі, вимірі десять. Тому, хоча строгі твердження не можуть бути зроблені через евристичну природу наших методів, наші результати підтверджують гіпотезу Цаунера з нової точки зору нелокальності Белла.
► Дані BibTeX
► Список літератури
[1] І. Д. Іванович. Геометричний опис визначення квантового стану. Journal of Physics A: Mathematical and General, 14(12):3241–3245, 1981. doi:10.1088/0305-4470/14/12/019.
https://doi.org/10.1088/0305-4470/14/12/019
[2] G. Brassard CH Bennett. Квантова криптографія: розподіл відкритих ключів і підкидання монет. Матеріали Міжнародної конференції IEEE з комп’ютерів, систем і обробки сигналів (IEEE, 1984), 175:8, 1984. doi:10.1016/j.tcs.2011.08.039.
https:///doi.org/10.1016/j.tcs.2011.08.039
[3] Артур К. Екерт. Квантова криптографія на основі теореми Белла. фіз. Rev. Lett., 67:661–663, 1991. doi:10.1103/PhysRevLett.67.661.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.67.661
[4] Дагмар Брус. Оптимальне підслуховування в квантовій криптографії з шістьма станами. фіз. Rev. Lett., 81:3018–3021, 1998. doi:10.1103/PhysRevLett.81.3018.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.81.3018
[5] Армін Таваколі, Аллі Хаміді, Брено Маркес і Мохамед Буреннан. Квантові коди випадкового доступу з використанням однорівневих систем $d$. фіз. Rev. Lett., 114:170502, 2015. doi:10.1103/PhysRevLett.114.170502.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.114.170502
[6] Мате Фаркаш і Єнджей Канєвський. Самотестування взаємно неупереджених баз у сценарії підготовки та вимірювання. фіз. Rev. A, 99:032316, 2019. doi:10.1103/PhysRevA.99.032316.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.99.032316
[7] Х. Бехман-Пасквінуччі та Н. Гізін. Нерівність Белла для одиниць з двійковими вимірюваннями. Квантова інформація. Comput., 3(2):157–164, 2003. doi:10.26421/QIC3.2-6.
https:///doi.org/10.26421/QIC3.2-6
[8] Єнджей Канєвський, Іван Шупіч, Хорді Тура, Флавіо Баккарі, Алексія Салавракос і Ремігіуш Аугусяк. Максимальна нелокальність від максимальної заплутаності та взаємно незміщених базисів, а також самотестування двокутрітних квантових систем. Quantum, 3:198, 2019. doi:10.22331/q-2019-10-24-198.
https://doi.org/10.22331/q-2019-10-24-198
[9] Армін Таваколі, Мате Фаркаш, Деніс Россет, Жан-Даніель Банкаль та Єнджей Канєвський. Взаємно незміщені основи та симетричні інформаційно повні вимірювання в експериментах Белла. Наукові досягнення, 7(7):eabc3847, 2021. doi:10.1126/sciadv.abc3847.
https:///doi.org/10.1126/sciadv.abc3847
[10] Томас Дюрт, Бертольд-Георг Енглерт, Інгемар Бенгтссон і Кароль Жичковскі. На взаємно неупередженій основі. Міжнародний журнал квантової інформації, 08(04):535–640, 2010. doi:10.1142/S0219749910006502.
https: / / doi.org/ 10.1142 / S0219749910006502
[11] Вільям К Вуттерс і Браян Д Філдс. Визначення оптимального стану шляхом взаємно незміщених вимірювань. Annals of Physics, 191(2):363–381, 1989. doi:10.1016/0003-4916(89)90322-9.
https://doi.org/10.1016/0003-4916(89)90322-9
[12] Павел Воцян і Томас Бет. Нова конструкція взаємно незміщених баз у квадратних розмірах. Квантова інформація. Comput., 5(2):93–101, 2005. doi:10.26421/QIC5.2-1.
https:///doi.org/10.26421/QIC5.2-1
[13] Міхай Вайнер. Розрив для максимальної кількості взаємно незміщених баз. Proc. амер. математика Soc., 141:1963–1969, 2013. doi:10.1090/S0002-9939-2013-11487-5.
https://doi.org/10.1090/S0002-9939-2013-11487-5
[14] Герхард Заунер. Quantendesigns: Grundzüge einer nichtkommutativen Designtheorie. Кандидатська дисертація, 1999.
[15] П. Оскар Бойкін, Міра Сітхарам, Фам Хуу Тіп і Павел Воцян. Взаємно незміщені базиси та ортогональні розклади алгебр Лі. Квантова інформація. Comput., 7(4):371–382, 2007. doi:10.26421/QIC7.4-6.
https:///doi.org/10.26421/QIC7.4-6
[16] Стівен Браєрлі та Стефан Вайгерт. Побудова взаємно незміщених баз у розмірності шість. фіз. Rev. A, 79:052316, 2009. doi:10.1103/PhysRevA.79.052316.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.79.052316
[17] Філіп Джамінг, Мате Матольчі, Петер Мора, Ференц Шоллезі та Міхай Вайнер. Узагальнена проблема Паулі та нескінченна сім’я MUB-трійок у розмірності 6. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 42(24):245305, травень 2009. doi:10.1088/1751-8113/42/24/ 245305.
https://doi.org/10.1088/1751-8113/42/24/245305
[18] Гері Макконнелл, Гаррі Спенсер і Афак Тахір. Докази за та проти гіпотези Цаунера MUB у $mathbb{C}^6$. 2021. doi:10.48550/arXiv.2103.08703.
https:///doi.org/10.48550/arXiv.2103.08703
[19] Сандер Гріблінг і Свен Полак. Взаємно незміщені базиси: поліноміальна оптимізація та симетрія. 2021. doi:10.48550/arXiv.2111.05698.
https:///doi.org/10.48550/arXiv.2111.05698
[20] Інгемар Бенгтссон, Войцех Брузда, Оса Ерікссон, Ян-Оке Ларссон, Войцех Тадей і Кароль Жичковскі. Взаємно незміщені базиси та матриці Адамара шостого порядку. Журнал математичної фізики, 48(5):052106, 2007. doi:10.1063/1.2716990.
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.2716990
[21] Філіп Рейналь, Сінь Лю та Бертольд-Георг Енглерт. Взаємно неупереджені основи в шести вимірах: чотири найбільш віддалені бази. фіз. Rev. A, 83:062303, 2011. doi:10.1103/PhysRevA.83.062303.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.83.062303
[22] Едгар А. Агілар, Якуб Й. Боркала, Пьотр Міронович і Марцін Павловський. Зв'язки між взаємно незміщеними базами та квантовими кодами випадкового доступу. фіз. Rev. Lett., 121:050501, 2018. doi:10.1103/PhysRevLett.121.050501.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.121.050501
[23] Ніколас Бруннер, Даніель Кавальканті, Стефано Піроніо, Валеріо Скарані та Стефані Венер. Нелокальність дзвону. Rev. Mod. Phys., 86:419–478, 2014. doi:10.1103/RevModPhys.86.419.
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.86.419
[24] MOSEK ApS. MOSEK Fusion API для C++ 9.2.49, 2021. URL: https:///docs.mosek.com/9.2/cxxfusion/index.html.
https:///docs.mosek.com/9.2/cxxfusion/index.html
[25] Хіроші Ямасіта, Хіроші Ябе та Коухей Харада. Метод прямо-подвійної внутрішньої точки для нелінійного напіввизначеного програмування. Математичне програмування, 135(1):89–121, 2012. doi:10.1007/s10107-011-0449-z.
https: / / doi.org/ 10.1007 / s10107-011-0449-z
[26] Стівен Бойд і Лівен Ванденберге. Опукла оптимізація. Cambridge University Press, 2004. doi:10.1017/CBO9780511804441.
https:///doi.org/10.1017/CBO9780511804441
[27] S. Kirkpatrick, CD Gelatt і MP Vecchi. Оптимізація шляхом моделювання відпалу. Science, 220(4598):671–680, 1983. doi:10.1126/science.220.4598.671.
https: / / doi.org/ 10.1126 / science.220.4598.671
[28] Ніколас Метрополіс, Аріанна В. Розенблут, Маршалл Н. Розенблут, Августа Х. Теллер та Едвард Теллер. Рівняння стану обчислень швидкодіючих обчислювальних машин. Журнал хімічної фізики, 21(6):1087–1092, 1953. doi:10.1063/1.1699114.
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.1699114
[29] Мігель Наваскуес, Стефано Піроніо та Антоніо Асін. Обмеження множини квантових кореляцій. фіз. Rev. Lett., 98:010401, 2007. doi:10.1103/PhysRevLett.98.010401.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.98.010401
Цитується
Ця стаття опублікована в Quantum під Creative Commons Attribution 4.0 International (CC на 4.0) ліцензія. Авторське право залишається за оригінальними власниками авторських прав, такими як автори або їх установи.
