'جادوئی' خرابی کی اصلاح کی اسکیم فطری طور پر غیر موثر ثابت ہوئی | کوانٹا میگزین

اگر آپ نے کبھی ٹیکسٹ میسج بھیجا ہے، سی ڈی چلائی ہے، یا کلاؤڈ میں فائل اسٹور کی ہے، تو آپ کو غلطی کی اصلاح سے فائدہ ہوا ہے۔ یہ انقلابی خیال 1940 کی دہائی کا ہے، جب محققین نے پہلی بار محسوس کیا کہ کسی بھی پیغام کو اس شکل میں دوبارہ لکھنا ممکن ہے جو بعد میں بدعنوانی کو آسانی سے تبدیل کرنے کی اجازت دیتا ہے۔

سالوں کے دوران، محققین نے بہت سی ذہین اسکیمیں تیار کی ہیں، جنہیں غلطی کو درست کرنے والے کوڈز کہتے ہیں، جو ڈیٹا کو مختلف طریقوں سے انکوڈ کرتے ہیں اور غلطیوں کو ٹھیک کرنے کے لیے مختلف طریقہ کار استعمال کرتے ہیں۔ لیکن نظریاتی کمپیوٹر سائنس دانوں کے لیے، چند ایسے ہی مجبور ہیں جتنے کہ نام نہاد مقامی طور پر قابل اصلاح کوڈ۔ ان کوڈز میں بیک وقت دو خصوصیات ہیں جو لگ بھگ متضاد لگتی ہیں: کسی بھی غلطی کو صرف چند جگہوں پر انکوڈ شدہ ڈیٹا کو پڑھ کر درست کیا جا سکتا ہے، پھر بھی کوئی حملہ آور کوڈ کے ساتھ انتخابی چھیڑ چھاڑ کر کے اس اصلاحی طریقہ کار کو ناکام نہیں کر سکتا۔ یہ ایسا ہی ہے جیسے آپ کسی کتاب سے پھٹے ہوئے کسی بھی صفحے کو صرف چند دیگر پر نظر ڈال کر بازیافت کرسکتے ہیں۔

"یہ کافی جادوئی واقعہ ہے،" نے کہا ٹام گرکیمبرج یونیورسٹی میں کمپیوٹر سائنس دان۔ "ایک ترجیح، یہ واضح نہیں ہے کہ ایسی ریاضیاتی چیز بالکل موجود ہو سکتی ہے۔"

لیکن یہ جادو بھاری قیمت پر آتا ہے۔ مقامی طور پر درست کرنے کے قابل کوڈز کی صرف معلوم مثالیں انتہائی غیر موثر ہیں - کسی بھی پیغام کو انکوڈنگ کرنا بھی اسے تیزی سے طویل بناتا ہے۔ اس طرح انکوڈ کی گئی پوری کتابیں بہت زیادہ ناقابل برداشت ہوں گی۔

کمپیوٹر سائنس دانوں نے طویل عرصے سے سوچا ہے کہ آیا بہتر مقامی طور پر درست کوڈز ممکن ہیں۔ انہوں نے خاص طور پر ان کوڈز پر توجہ مرکوز کی ہے جو کسی بھی غلطی کو درست کرنے کے لیے صرف تین سوالات کا استعمال کرتے ہیں، امید ہے کہ اس سخت پابندی سے ان کوڈز کو سمجھنے میں آسانی ہو سکتی ہے۔ لیکن اس سادہ سے کیس نے بھی 20 سال سے زیادہ عرصے سے محققین کو پریشان کر رکھا ہے۔

اب کمپیوٹر سائنسدان پرویش کوٹھاری کارنیگی میلن یونیورسٹی اور اس کا گریجویٹ طالب علم پیٹر منوہر آخر میں ہے ثابت ہوا کہ تین سوالوں کا مقامی طور پر قابل اصلاح کوڈ بنانا ناممکن ہے جو اس کفایتی لاگت سے بچتا ہو۔ یہ ایک منفی نتیجہ ہو سکتا ہے، لیکن کوئی بھی چیز جو غلطی کی اصلاح کی حدود کو واضح کرتی ہے وہ محققین کے لیے پرجوش ہے، خاص طور پر اس لیے کہ مقامی طور پر درست کیے جانے والے کوڈز کی ریاضی ان علاقوں میں پھیلتی ہے جو مواصلات سے دور ہیں۔

"یہ نتیجہ حیرت انگیز ہے،" کہا شبھانگی صرافٹورنٹو یونیورسٹی میں کمپیوٹر سائنس دان۔ "یہ ایک بہت بڑی پیش رفت ہے۔"

تعداد میں طاقت

غلطی کی اصلاح کو سمجھنے کے لیے، اس ڈیٹا کا تصور کریں جسے آپ بٹس، یا 0s اور 1s کی ترتیب کے طور پر محفوظ کرنا چاہتے ہیں۔ ایک خرابی، اس ماڈل میں، 0 کا 1 میں یا اس کے برعکس کوئی بھی ناپسندیدہ فلپ ہو سکتا ہے، چاہے یہ بے ترتیب اتار چڑھاؤ یا جان بوجھ کر چھیڑ چھاڑ کی وجہ سے ہو۔

فرض کریں کہ آپ کسی دوست کو پیغام بھیجنا چاہتے ہیں، لیکن آپ کو تشویش ہے کہ غلطیاں معنی بدل سکتی ہیں۔ ایک سادہ حکمت عملی یہ ہے کہ آپ اپنے پیغام میں ہر 0 کو 000 سے اور ہر 1 کو 111 سے بدل دیں۔ اگر آپ کا دوست پیغام کا کوئی ایسا حصہ دیکھتا ہے جس میں لگاتار تین ایک جیسے بٹس نہیں ہوتے ہیں، تو اسے معلوم ہو جائے گا کہ ایک غلطی ہو گئی ہے۔ اور اگر غلطیاں بے ترتیب اور نسبتاً نایاب ہیں، تو 110 کی کوئی بھی سٹرنگ کرپٹڈ 111 کے مقابلے میں کرپٹڈ 000 ہونے کا زیادہ امکان ہے۔ ہر ٹرپلٹ کے اندر ایک سادہ اکثریت کا ووٹ زیادہ تر غلطیوں کو درست کرنے کے لیے کافی ہوگا۔

یہ اسکیم، جسے ریپیٹیشن کوڈ کہا جاتا ہے، سادگی کی خوبی رکھتی ہے، لیکن اس کی سفارش کرنے کے لیے کچھ اور نہیں۔ ایک چیز کے لیے، نسبتاً نایاب غلطیوں سے نمٹنے کے لیے اسے ہر پیغام کی لمبائی تین گنا کرنے کی ضرورت ہوتی ہے، اور اگر دو ملحقہ غلطیوں کا معقول موقع ہے، تو ہمیں اور بھی بے کار ہونے کی ضرورت ہوگی۔ اس سے بھی بدتر بات یہ ہے کہ اگر غلطیاں بے ترتیب نہ ہوں تو یہ تیزی سے بیکار ہو جاتا ہے، جیسے کہ جب حملہ آور فعال طور پر کوڈ کو سبوتاژ کرنے کی کوشش کرتے ہیں۔ ریپیٹیشن کوڈ میں، دیے گئے بٹ کو درست کرنے کے لیے درکار تمام معلومات کو صرف چند دیگر بٹس میں محفوظ کیا جاتا ہے، جس سے اسے ہدفی حملے کا خطرہ ہو جاتا ہے۔

خوش قسمتی سے، غلطی کو درست کرنے والے بہت سے کوڈز بہتر ہیں۔ ایک مشہور مثال، جسے کہا جاتا ہے۔ ریڈ سلیمان کوڈ, پیغامات کو کثیر الاضلاع میں تبدیل کر کے کام کرتا ہے — ریاضی کے تاثرات جیسے x² + 3x + 2 جو مختلف اصطلاحات پر مشتمل ہوتے ہیں جو ایک ساتھ شامل کیے جاتے ہیں، ہر ایک متغیر کے ساتھ (جیسے x) ایک مختلف طاقت پر اٹھایا گیا ہے۔ Reed-Solomon کوڈ کا استعمال کرتے ہوئے ایک پیغام کو انکوڈ کرنے میں پیغام میں ہر ایک حرف کے لیے ایک اصطلاح کے ساتھ کثیرالاضلاع بنانا، پھر کثیر نام کو گراف پر ایک وکر کے طور پر بنانا اور منحنی خطوط کے نقاط کو ذخیرہ کرنا شامل ہے (کم از کم ایک مزید لینا) حروف کی تعداد سے زیادہ پوائنٹ)۔ خرابیاں ان پوائنٹس میں سے کچھ کو منحنی خطوط سے دور کر سکتی ہیں، لیکن اگر بہت زیادہ خرابیاں نہیں ہیں، تو صرف ایک کثیر الثانی منحنی زیادہ تر پوائنٹس سے گزرے گا۔ یہ وکر تقریباً یقینی طور پر حقیقی پیغام سے مطابقت رکھتا ہے۔

Reed-Solomon کوڈز انتہائی موثر ہوتے ہیں — آپ کو غلطیوں کو درست کرنے کے لیے صرف چند اضافی پوائنٹس کو ذخیرہ کرنے کی ضرورت ہوتی ہے، اس لیے کوئی بھی انکوڈ شدہ پیغام اصل سے معمولی طور پر لمبا ہوتا ہے۔ وہ اس قسم کے ٹارگٹڈ خلل کے لیے بھی کم خطرے سے دوچار ہیں جو تکراری کوڈ کے لیے تباہی کا باعث بنے گا، کیونکہ کسی بھی جگہ غلطی کو درست کرنے کے لیے استعمال ہونے والی معلومات کو پورے انکوڈ شدہ پیغام میں تقسیم کیا جاتا ہے۔

سوچو عالمی سطح پر، مقامی طور پر ایکٹ

ریڈ سلیمان کوڈ کی طاقت باہم مربوط ہونے سے پیدا ہوتی ہے۔ لیکن قطعی طور پر اس باہم مربوط ہونے کی وجہ سے، پوری چیز کو پڑھے بغیر انکوڈ شدہ پیغام میں کسی ایک غلطی کو ٹھیک کرنے کا کوئی طریقہ نہیں ہے۔ یہ مواصلات کے تناظر میں ایک مسئلہ کی طرح نہیں لگ سکتا ہے: اگر آپ ایک پیغام بھیج رہے ہیں، تو آپ شاید چاہتے ہیں کہ وصول کنندہ یہ سب پڑھ لے۔ لیکن یہ ڈیٹا سٹوریج میں ایک ذمہ داری ہو سکتی ہے - غلطی کی اصلاح کا ایک اور بڑا اطلاق۔

ایک ایسی کمپنی پر غور کریں جو صارفین کی ای میلز کو کلاؤڈ میں اسٹور کرتی ہے — یعنی سرورز کی ایک وسیع صف پر۔ آپ ای میلز کے پورے مجموعہ کو ایک طویل پیغام کے طور پر سوچ سکتے ہیں۔ اب فرض کریں کہ ایک سرور کریش ہو جاتا ہے۔ Reed-Solomon کوڈ کے ساتھ، آپ کو اس گمشدہ سرور سے اپنی ای میلز کو بازیافت کرنے کے لیے تمام انکوڈ شدہ ڈیٹا پر مشتمل ایک بڑے پیمانے پر حساب کتاب کرنے کی ضرورت ہوگی۔ "تمہیں سب کچھ دیکھنا پڑے گا،" کہا زیو ڈیویر، پرنسٹن یونیورسٹی میں کمپیوٹر سائنس دان۔ "یہ اربوں اور اربوں ای میلز ہوسکتے ہیں - اس میں واقعی کافی وقت لگ سکتا ہے۔"

محققین ان کوڈز کی وضاحت کے لیے "مقامی" کی اصطلاح استعمال کرتے ہیں جو انکوڈ شدہ پیغام کا صرف ایک حصہ استعمال کرتے ہیں۔ جگہ کی غلطیاں یا ان کو درست کریں۔ سادہ تکراری کوڈ میں اس مقامی کردار کی کچھ چیز ہوتی ہے، لیکن یہ وہی چیز ہے جو اسے چھیڑ چھاڑ کا اتنا خطرہ بناتی ہے۔ ایک مقامی طور پر قابل اصلاح کوڈ، اس کے برعکس، دونوں جہانوں کا بہترین حاصل کرتا ہے — یہ صرف چند سوالات کے ساتھ کسی بھی غلطی کو درست کر سکتا ہے، یہ سب آپس میں ربط کو کھونے کے بغیر جو Reed-Solomon کوڈز کو بہت لچکدار بناتا ہے۔

کوٹھاری نے کہا، ’’یہ واقعی ایک سخت خیال ہے۔

مقامی طور پر قابل اصلاح کوڈز کی سب سے مشہور مثالیں 1954 میں ریاضی دانوں کے ذریعہ ایجاد کردہ قابل احترام غلطی کو درست کرنے والے کوڈ کے ورژن ہیں۔ ڈیوڈ مولر اور ارونگ ریڈ (جس نے ریڈ سلیمان کوڈ تیار کرنے میں بھی مدد کی)۔ Reed-Solomon کوڈز کی طرح، Reed-Muller کوڈز لمبے پیغامات کو انکوڈ کرنے کے لیے متعدد اصطلاحات کے ساتھ متعدد اصطلاحات کا استعمال کرتے ہیں۔

Reed-Solomon کوڈز میں استعمال ہونے والے کثیر ناموں میں ایک واحد متغیر شامل ہوتا ہے، x، لہذا مزید اصطلاحات شامل کرنے کا واحد طریقہ اعلی اختیارات کا استعمال کرنا ہے۔ x. اس کے نتیجے میں بہت سے وِگلز کے ساتھ ایک وکر نکلتا ہے جسے صرف بہت سے پوائنٹس کو دیکھ کر ہی پن کیا جا سکتا ہے۔ Reed-Muller کوڈز اس کے بجائے polynomials استعمال کرتے ہیں جس میں ہر اصطلاح میں متعدد متغیرات کو ایک ساتھ ضرب کیا جا سکتا ہے۔ مزید متغیرات کا مطلب ہے ان کو جوڑنے کے مزید طریقے، جو بدلے میں کسی بھی انفرادی متغیر کو اس طرح کی اعلیٰ طاقتوں تک بڑھائے بغیر کثیرالاضلاع اصطلاحات کی تعداد بڑھانے کا ایک طریقہ پیش کرتا ہے۔

ریڈ-مولر کوڈ بہت لچکدار ہیں۔ آپ کثیر الثانی میں ظاہر ہونے والی اعلیٰ طاقت کو بڑھا کر، متغیرات کی تعداد بڑھا کر، یا دونوں کو طویل پیغامات کو انکوڈ کر سکتے ہیں۔ Reed-Muller کوڈ کو مقامی طور پر درست کرنے کے لیے، آپ ہر متغیر کی زیادہ سے زیادہ طاقت کو ایک چھوٹی مستقل قدر پر محدود کرتے ہیں، اور صرف متغیرات کی تعداد بڑھا کر طویل پیغامات کو ہینڈل کرتے ہیں۔

مقامی طور پر قابل اصلاح کوڈ کے لیے خاص طور پر، وہ زیادہ سے زیادہ طاقت 2 پر سیٹ کی گئی ہے۔ پھر جہاں تک ہر انفرادی متغیر کا تعلق ہے، پیغام کو انکوڈنگ کرنے والا کثیر الثانی ایک سادہ پیرابولا کا پتہ لگاتا ہے۔ اس پیرابولا کی صحیح شکل کا تعین کرنے کے لیے، آپ کو صرف تین پوائنٹس پر وکر کی جانچ کرنے کی ضرورت ہے۔ مزید یہ کہ بہت سے متغیرات کے ساتھ ایسے بہت سے پیرابولا ہیں، جن میں سے کسی کو بھی غلطیاں درست کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ یہی چیز ریڈ مولر کوڈز کو اتنا لچکدار بناتی ہے۔

بدقسمتی سے، Reed-Muller کوڈ میں ایک سنگین خرابی ہے: ایک پیغام کو انکوڈ کرنے کے لیے درکار بٹس کی تعداد متغیرات کی تعداد کے ساتھ تیزی سے بڑھ جاتی ہے۔ اگر آپ ایک انتہائی مقامی کوڈ چاہتے ہیں جو صرف چند سوالات کے ساتھ غلطیوں کو درست کرتا ہے، تو آپ کو طویل پیغامات کے لیے بہت سے متغیرات کی ضرورت ہوگی، اور Reed-Muller کوڈ عملی طور پر تیزی سے بیکار ہو جائے گا۔

ڈیویر نے کہا، "اس معاملے میں ایکسپونینشل بہت خراب ہے۔ لیکن کیا یہ ناگزیر ہے؟

قابل تصحیح یا ڈیکوڈیبل؟

جیسا کہ کمپیوٹر سائنس دانوں نے کوشش کی اور مقامی طور پر درست کیے جانے والے زیادہ موثر کوڈز تلاش کرنے میں ناکام رہے، انہیں شک ہونے لگا کہ ایسے کوڈز بالکل بھی ممکن نہیں ہیں۔ 2003 میں، دو محققین ثابت ہوا کہ صرف دو سوالات کا استعمال کرتے ہوئے ریڈ-مولر کوڈ کو شکست دینے کا کوئی طریقہ نہیں ہے۔ لیکن یہ جہاں تک کسی کو ملا ہے۔

کوٹھاری نے کہا، "ایک بار جب آپ تین پر چلے جاتے ہیں، تو ہمارا علم بہت خاکستری ہو جاتا ہے۔"

اگلی پیش رفت معاملات کو مزید پیچیدہ بناتی ہے۔ میں شائع ہونے والے دو مقالوں میں 2008 اور 2009کمپیوٹر سائنس دانوں سرگئی یخانن اور کلیم ایفریمینکو نے دکھایا کہ تین سوالوں کے کوڈز کیسے بنائے جائیں جو ریڈ-مولر کوڈز سے زیادہ موثر تھے، لیکن یہ کوڈ مقامی طور پر درست نہیں تھے۔ اس کے بجائے، ان کے پاس ایک بالکل مختلف پراپرٹی تھی جسے مقامی ڈیکوڈیبلٹی کہتے ہیں۔

فرق کو سمجھنے کے لیے، آئیے ایک بار پھر کلاؤڈ سٹوریج فراہم کرنے والے کا تصور کریں جو صارفین کے ڈیٹا کو ایک لمبے پیغام میں جوڑتا ہے اور غلطی کو درست کرنے والے کوڈ کا استعمال کرتے ہوئے اس کی حفاظت کرتا ہے۔ مقامی طور پر درست کرنے کے قابل کوڈز اور مقامی طور پر ڈی کوڈ ایبل کوڈ دونوں اصل پیغام کے کسی بھی حصے میں صرف چند سوالات کے ساتھ غلطی کو درست کر سکتے ہیں۔

لیکن ہر غلطی کو درست کرنے والے کوڈ کے لیے اضافی بٹس کی بھی ضرورت ہوتی ہے جو اصل پیغام میں نہیں تھے — اسی لیے پیغام کو انکوڈنگ کرنا اسے طویل بناتا ہے۔ دو قسم کے کوڈز اس بات میں مختلف ہیں کہ وہ ان اضافی بٹس کے ساتھ کیسے سلوک کرتے ہیں۔ مقامی طور پر ڈی کوڈ ایبل کوڈز ان بٹس میں غلطیوں کو درست کرنے کے لیے درکار سوالات کی تعداد کے بارے میں کوئی وعدہ نہیں کرتے ہیں۔ لیکن مقامی طور پر درست کرنے کے قابل کوڈ میں، کسی بھی اضافی بٹس میں غلطی کو بالکل اسی طرح ٹھیک کیا جا سکتا ہے جس طرح اصل پیغام کے کسی بھی بٹ میں غلطی ہوتی ہے۔

"ہر وہ چیز جو آپ اسٹور کرتے ہیں، چاہے وہ صارفین کا اصل ڈیٹا ہو یا فالتو پن اور چیک کی معلومات - ان سب کو مقامی طور پر درست کیا جا سکتا ہے،" کہا۔ مدھو سوڈان، ہارورڈ یونیورسٹی میں کمپیوٹر سائنس دان۔

اگرچہ اصولی طور پر مختلف ہے، مقامی درستگی اور مقامی ڈیکوڈ ایبلٹی ہمیشہ 2008 سے پہلے عملی طور پر قابل تبادلہ نظر آتی تھی - ہر مشہور مقامی طور پر ڈی کوڈ ایبل کوڈ بھی مقامی طور پر قابل اصلاح تھا۔ Yekhanin اور Efremenko کی دریافت نے دونوں حالات کے درمیان بنیادی فرق کا امکان بڑھا دیا۔ یا شاید یہ ممکن تھا کہ Yekhanin اور Efremenko کے کوڈز کو مقامی طور پر درست کرنے کے لیے ان میں ترمیم کی جائے۔ اس سے دونوں شرائط ایک بار پھر برابر ہو جائیں گی، لیکن اس کا مطلب یہ بھی ہو گا کہ محققین کو اس بارے میں غلط فہمی ہوئی تھی کہ مقامی طور پر درست کرنے کے قابل تین سوالوں کے کوڈ کیسے حاصل کر سکتے ہیں۔ کسی بھی طرح، روایتی حکمت کو تبدیل کرنا پڑے گا.

قرض لینے کی منطق

کوٹھاری اور منوہر نے بالآخر کمپیوٹر سائنس کے ایک مختلف شعبے سے ایک تکنیک کو اپناتے ہوئے اس تناؤ کو حل کیا: نام نہاد رکاوٹوں کے اطمینان کے مسائل کا مطالعہ۔ دوستوں کے ایک گروپ کے ساتھ رات کے کھانے کے منصوبوں کو مربوط کرنے کی کوشش کرنا ایک طرح کا اطمینان بخش مسئلہ ہے۔ ہر ایک کے پاس انتخاب ہوتے ہیں جسے وہ قبول کریں گے اور انتخاب وہ ویٹو کریں گے۔ آپ کا کام یا تو ایسا منصوبہ تلاش کرنا ہے جو سب کو مطمئن کرے، یا، اگر ایسا کوئی منصوبہ نہیں ہے، تو اسے جلد از جلد معلوم کریں۔

ان دو ممکنہ نتائج کے درمیان ایک موروثی عدم توازن ہے۔ ایک قابل قبول حل تلاش کرنا آسان نہیں ہوسکتا ہے، لیکن ایک بار جب آپ کے پاس یہ ہو جائے تو، کسی اور کو راضی کرنا آسان ہے کہ یہ کام کرے گا۔ لیکن یہاں تک کہ اگر آپ جانتے ہیں کہ مسئلہ واقعی "ناقابل تسلی بخش" ہے، تو شاید کوئی ایسی مثال نہ ہو جو ثبوت فراہم کرتی ہو۔

2021 میں، کوٹھاری اور منوہر نے یونیورسٹی آف کیلیفورنیا، برکلے کے وینکٹیشن گروسوامی کے ساتھ مل کر اہم پیشرفت ان مشکل ناقابل تسلی بخش معاملات کی نشاندہی کرنے کے لیے ایک نئی نظریاتی تکنیک کا استعمال کرتے ہوئے رکاوٹوں کے اطمینان کے مسائل کے مطالعہ میں۔ انہیں شبہ تھا کہ نیا طریقہ دیگر مسائل کو حل کرنے کے لیے بھی ایک طاقتور ذریعہ ہوگا، اور گروسوامی کے گریجویٹ طالب علم عمر الربیہ نے مشورہ دیا کہ وہ مقامی طور پر ڈی کوڈ ایبل تین سوالات والے کوڈز کو دیکھیں۔

کوٹھاری نے کہا، ’’یہ ایک کیل تھا جس میں ہمارے ہاتھ میں ہتھوڑا تھا۔

Yekhanin اور Efremenko کے حیران کن نتائج سے پتہ چلتا ہے کہ مقامی طور پر ڈیکوڈ ایبل تین سوالوں والے کوڈز Reed-Muller کوڈز سے زیادہ موثر ہو سکتے ہیں۔ لیکن کیا ان کے کوڈز بہترین ممکن تھے، یا کیا مقامی طور پر ڈیکوڈ ایبل تین سوالوں کے کوڈز اور بھی موثر ہوسکتے ہیں؟ کوٹھاری، منوہر، گروسوامی اور الرابیہ نے سوچا کہ ان کی نئی تکنیک اس حد کو ثابت کرنے کے قابل ہو سکتی ہے کہ اس طرح کے کوڈز کتنے موثر ہیں۔ ان کا منصوبہ ایک منطقی فارمولہ تیار کرنا تھا جس میں ایک دیے گئے سائز کے تمام ممکنہ تین سوالوں کے مقامی طور پر ڈیکوڈ ایبل کوڈز کی ساخت شامل ہو، اور اسے غیر تسلی بخش ثابت کیا جائے، اس طرح یہ ظاہر ہوتا ہے کہ ایسا کوئی کوڈ موجود نہیں ہے۔

چار محققین نے 2022 میں اس سمت میں پہلا قدم اٹھایا، ایک سیٹنگ نئی حد مقامی طور پر ڈی کوڈ ایبل تین سوالوں کی زیادہ سے زیادہ کارکردگی پر۔ نتیجہ اس سے بہت آگے نکل گیا جو محققین دیگر تکنیکوں کے ساتھ حاصل کرنے میں کامیاب رہے تھے، لیکن اس نے تمام کوڈز کو یکنین اور ایفریمینکو سے زیادہ موثر قرار نہیں دیا۔

کوٹھاری اور منوہر کو شبہ تھا کہ وہ مزید آگے بڑھ سکتے ہیں۔ لیکن اس وقت تک پیشرفت رک گئی جب تک کہ منوہر نے لفافے کا ایک فوری حساب کتاب نہیں کیا جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ یہ تکنیک مقامی طور پر قابل اصلاح کوڈز کے لیے اس سے کہیں بہتر کام کر سکتی ہے جو کہ مقامی طور پر ڈی کوڈ ایبل کے لیے تھی۔

کچھ مہینوں کے بعد، بہت ساری غلط شروعاتوں کے بعد جس نے انہیں خوفزدہ کر دیا کہ وہ بہت زیادہ پر امید ہوں گے، آخر کار تکنیک نے اپنے وعدے پر پورا اترا۔ کوٹھاری اور منوہر نے ثابت کیا کہ جیسا کہ محققین نے شبہ ظاہر کیا تھا، یہ ناممکن ہے کہ کسی بھی تین سوالات کے مقامی طور پر قابل اصلاح کوڈ کا ریڈ-مولر کوڈز سے بہتر طور پر کام کرے۔ یہ ایکسپونینشل اسکیلنگ ایک بنیادی حد ہے۔ ان کا نتیجہ یہ بھی ایک ڈرامائی مظاہرہ تھا کہ مقامی درستگی اور مقامی ڈیکوڈ ایبلٹی، اگرچہ سطحی طور پر ایک جیسی ہیں، واقعی ایک بنیادی سطح پر مختلف ہیں: مؤخر الذکر کا ادراک سابق کے مقابلے میں واضح طور پر آسان ہے۔

کوٹھاری اور منوہر اب امید کرتے ہیں کہ اپنی تکنیک کو ان کوڈز کا مطالعہ کرنے کے لیے بڑھا دیں گے جن کو تین سے زیادہ سوالات کرنے کی اجازت ہے، جیسا کہ اب ان کے بارے میں بہت کم معلومات ہیں۔ اور غلطی کی اصلاح کے نظریہ میں پیشرفت اکثر دوسرے بظاہر غیر متعلقہ شعبوں میں مضمرات رکھتی ہے۔ خاص طور پر، مقامی طور پر قابل اصلاح کوڈز کے مسئلے سے لے کر ہر جگہ حیرت انگیز طور پر ظاہر ہوتے ہیں۔ نجی ڈیٹا بیس کی تلاش کے ثبوت کے لئے خفیہ نگاری میں combinatorics میں نظریات. یہ کہنا قبل از وقت ہے کہ کوٹھاری اور منوہر کی تکنیک کا ان مختلف شعبوں پر کیا اثر پڑے گا، لیکن محققین پر امید ہیں۔

"یہاں واقعی ایک خوبصورت نیا آئیڈیا ہے،" ڈیویر نے کہا۔ "میرے خیال میں بہت زیادہ صلاحیت ہے۔"