ماڈیولر فارمز کو دیکھیں، ریاضی کا 'پانچواں بنیادی آپریشن' | کوانٹا میگزین

جرمن ریاضی دان مارٹن ایچلر نے کہا کہ ریاضی میں پانچ بنیادی عمل ہیں۔ "اضافہ، گھٹاؤ، ضرب، تقسیم اور ماڈیولر شکلیں"

مذاق کا حصہ، یقینا، یہ ہے کہ ان میں سے ایک دوسروں کی طرح نہیں ہے. ماڈیولر شکلیں بہت زیادہ پیچیدہ اور پراسرار افعال ہیں، اور طالب علم عموماً گریجویٹ اسکول تک ان کا سامنا نہیں کرتے ہیں۔ لیکن "شاید ریاضی کے بہت کم ایسے شعبے ہیں جہاں ان کے پاس درخواستیں نہیں ہیں جہاں سے وہ کرتے ہیں،" کہا ڈان زگیربون، جرمنی میں میکس پلانک انسٹی ٹیوٹ برائے ریاضی کے ایک ریاضی دان۔ ہر ہفتے، نئے کاغذات نمبر تھیوری، جیومیٹری، کمبینیٹرکس، ٹوپولوجی، کرپٹوگرافی اور یہاں تک کہ سٹرنگ تھیوری تک اپنی رسائی کو بڑھاتے ہیں۔

ان کو اکثر ایسے افعال کے طور پر بیان کیا جاتا ہے جو ہم آہنگی کو اس قدر حیران کن اور وسیع کرتے ہیں کہ ممکن نہیں ہونا چاہیے۔ ان ہم آہنگی کے ساتھ آنے والی خصوصیات ماڈیولر شکلوں کو بے حد طاقتور بناتی ہیں۔ یہی چیز ہے جس نے انہیں فرمیٹ کے آخری تھیوریم کے تاریخی 1994 کے ثبوت میں کلیدی کھلاڑی بنا دیا۔ یہ وہی ہے جس نے انہیں مرکزی بنایا کرہ پیکنگ پر حالیہ کام. اور یہی چیز اب انہیں "ہر چیز کے ریاضیاتی نظریہ" کی جاری ترقی کے لیے اہم بناتی ہے لینگ لینڈز پروگرام.

لیکن وہ کیا ہیں؟

لامحدود ہم آہنگی۔

ماڈیولر شکل کو سمجھنے کے لیے، یہ سب سے پہلے زیادہ مانوس ہم آہنگی کے بارے میں سوچنے میں مدد کرتا ہے۔

عام طور پر، ایک شکل کو ہم آہنگی کہا جاتا ہے جب کچھ تبدیلی ہوتی ہے جو اسے ایک جیسی چھوڑ دیتی ہے۔

ایک فنکشن توازن بھی دکھا سکتا ہے۔ مساوات $latex f(x) = x^2$ کے ذریعہ بیان کردہ پیرابولا پر غور کریں۔ یہ ایک توازن کو پورا کرتا ہے: اس کی عکاسی کی جا سکتی ہے۔ y- محور مثال کے طور پر، $latex f(3) = f(−3) = 9$۔ مزید عام طور پر، اگر آپ کسی بھی ان پٹ کو $latex x$ کو $latex -x$ میں شفٹ کرتے ہیں، تو $latex x^2$ اسی قدر کو آؤٹ پٹ کرتا ہے۔

لامحدود طور پر بہت سے افعال اس توازن کو پورا کرتے ہیں۔ یہاں صرف چند ایک ہیں:

آخری مثال مثلثیات سے کوزائن فنکشن ہے۔ یہ عکاسی کی توازن کو ظاہر کرتا ہے، لیکن اس میں دیگر ہم آہنگی بھی ہے۔ اگر آپ $latex x$ کو شفٹ کرتے ہیں۔ $latex 2pi$ کے انٹیجر ضرب کے ذریعہ، فنکشن ہمیشہ ایک ہی قدر لوٹاتا ہے - اس کا مطلب یہ ہے کہ لامحدود طور پر بہت ساری تبدیلیاں ہیں جو فنکشن کو غیر تبدیل شدہ چھوڑ سکتی ہیں۔

یہ اضافی ہم آہنگی کوزائن جیسے افعال کو ناقابل یقین حد تک مفید بناتی ہے۔ "بنیادی طبیعیات کا زیادہ تر حصہ مثلثیاتی افعال کے مکمل مضمرات کو سمجھنے کے ساتھ شروع ہوتا ہے،" کہا کین اونو، ورجینیا یونیورسٹی میں ایک ریاضی دان۔

"ماڈیولر شکلیں مثلثی افعال کی طرح ہیں، لیکن سٹیرائڈز پر،" انہوں نے مزید کہا۔ وہ لامحدود بہت سی "چھپی ہوئی" ہم آہنگی کو پورا کرتے ہیں۔

پیچیدہ کائنات

فنکشنز صرف اتنا کچھ کر سکتے ہیں جب ان کی تعریف حقیقی اعداد کے لحاظ سے کی جاتی ہے — ایسی اقدار جن کا اظہار روایتی اعشاریہ کے طور پر کیا جا سکتا ہے۔ نتیجے کے طور پر، ریاضی دان اکثر پیچیدہ اعداد کی طرف رجوع کرتے ہیں، جنہیں حقیقی اعداد کے جوڑے کے طور پر سوچا جا سکتا ہے۔ کسی بھی پیچیدہ نمبر کو دو قدروں کے لحاظ سے بیان کیا جاتا ہے - ایک "حقیقی" جز اور ایک "خیالی"، جو ایک حقیقی عدد ہے جو −1 کے مربع جڑ سے ضرب کیا جاتا ہے (جسے ریاضی دان $latex i$ لکھتے ہیں)۔

لہذا کسی بھی پیچیدہ نمبر کو دو جہتی جہاز میں ایک نقطہ کے طور پر پیش کیا جاسکتا ہے۔

پیچیدہ اعداد کے افعال کو تصور کرنا مشکل ہے، اس لیے ریاضی دان اکثر رنگ کی طرف رجوع کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، آپ پیچیدہ طیارے کو رنگین کر سکتے ہیں تاکہ یہ قوس قزح کے پہیے کی طرح نظر آئے۔ ہر نقطہ کا رنگ قطبی نقاط میں اس کے زاویہ سے مطابقت رکھتا ہے۔ مرکز کے دائیں طرف، جہاں پوائنٹس کا زاویہ 0 ڈگری ہوتا ہے، آپ سرخ ہو جاتے ہیں۔ 90 ڈگری پر، یا سیدھے اوپر، پوائنٹس کا رنگ روشن سبز ہوتا ہے۔ اور اسی طرح. آخر میں، سموچ کی لکیریں ٹپوگرافیکل نقشے کی طرح سائز، یا وسعت میں تبدیلیوں کو نشان زد کرتی ہیں۔

اب آپ پیچیدہ افعال کی وضاحت کے لیے اسے حوالہ گراف کے طور پر استعمال کر سکتے ہیں۔ ہوائی جہاز پر ایک پوائنٹ کی پوزیشن ان پٹ کی نمائندگی کرتی ہے، اور آپ حوالہ گراف کی بنیاد پر اس نقطہ کو رنگ تفویض کریں گے۔ مثال کے طور پر، فنکشن $latex f(z) = z^2$ پر غور کریں۔ جب $latex z = 1 + i$، $latex f(z) = 2i$، چونکہ $latex (1 + i)^2 = 2i$۔ کیونکہ حوالہ گراف پر $latex 2i$ کا رنگ روشن سبز ہے، اس لیے آپ کے نئے گراف پر آپ پوائنٹ $latex 1 + i$ کو روشن سبز رنگ دیں گے۔

$latex f(z) = z^2$ کا گراف دو بار رنگوں سے گزرتا ہے، کیونکہ ایک پیچیدہ نمبر کو مربع کرنے سے اس کا زاویہ دوگنا ہوجاتا ہے۔ اس میں زیادہ سموچ لائنیں بھی ہیں، کیونکہ آؤٹ پٹ سائز میں زیادہ تیزی سے بڑھتے ہیں۔

عام طور پر، جب آپ مرکز (یا اصلیت) کے ذریعے کھینچی گئی اخترن لکیر پر پوائنٹس کی عکاسی کرتے ہیں تو گراف ایک جیسا نظر آتا ہے۔

یہ ایک پیچیدہ قدر والے فنکشن کی ایک ہم آہنگی ہے۔ ماڈیولر شکلیں اس طرح کی ہم آہنگی کی ایک حیران کن قسم کی نمائش کرتی ہیں۔ لیکن ان رنگوں اور سموچ کی لکیروں کی نمائندگی کرنے والے اصل فعل کو سمجھنا مشکل ہو سکتا ہے۔

بنیادی ڈومین

ایسا کرنے کے لیے، یہ ان پیچیدہ افعال کو دیکھنے کے طریقے کو آسان بنانے کی کوشش کرنے میں مدد کرتا ہے۔

ماڈیولر فارم کی ہم آہنگی کی وجہ سے، آپ پورے فنکشن کا حساب صرف ان پٹ کے ایک تنگ سلیور کی بنیاد پر کر سکتے ہیں، جو ہوائی جہاز کے ایک ایسے علاقے میں واقع ہے جسے بنیادی ڈومین کہتے ہیں۔ یہ خطہ افقی محور سے اوپر جانے والی پٹی کی طرح دکھائی دیتا ہے جس کے نیچے سے ایک نیم سرکلر سوراخ کاٹا جاتا ہے۔

اگر آپ جانتے ہیں کہ فنکشن وہاں کیسے برتاؤ کرتا ہے، تو آپ کو معلوم ہوگا کہ یہ ہر جگہ کیا کرتا ہے۔

یہاں کیسے ہے:

دو قسم کی تبدیلیاں بنیادی ڈومین کو دائیں اور بائیں کاپی کرتی ہیں، نیز افقی محور کے ساتھ ہمیشہ سکڑنے والے نیم دائروں کی ایک سیریز میں۔ یہ کاپیاں پیچیدہ جہاز کے پورے اوپری حصے کو بھرتی ہیں۔

ایک ماڈیولر فارم کاپیوں کو ایک دوسرے سے ایک خاص طریقے سے جوڑتا ہے۔ اسی جگہ اس کی ہم آہنگی تصویر میں داخل ہوتی ہے۔

اگر آپ پہلی قسم کی تبدیلی کے ذریعے ایک کاپی میں ایک نقطہ سے دوسرے میں ایک نقطہ پر منتقل کر سکتے ہیں - ایک یونٹ کو بائیں یا دائیں منتقل کر کے - تو ماڈیولر فارم ان دو پوائنٹس کو ایک ہی قدر تفویض کرتا ہے۔ جس طرح کوزائن فنکشن کی قدریں $latex 2pi$ کے وقفوں میں دہرائی جاتی ہیں، اسی طرح ایک ماڈیولر شکل ایک یونٹ کے وقفوں میں متواتر ہوتی ہے۔

دریں اثنا، آپ دوسری قسم کی تبدیلی کے ذریعے ایک کاپی میں ایک نقطہ سے دوسرے میں ایک نقطہ تک پہنچ سکتے ہیں — دائرے کی حد کو رداس 1 کے ساتھ مرکزیت پر منعکس کر کے۔ اس صورت میں، ماڈیولر فارم ضروری نہیں کہ ان پوائنٹس کو ایک ہی قدر تفویض کرے۔ تاہم، دونوں پوائنٹس پر موجود اقدار ایک دوسرے سے باقاعدہ طور پر منسلک ہیں جو ہم آہنگی کو بھی جنم دیتی ہیں۔

آپ ان تبدیلیوں کو لامحدود طور پر بہت سے طریقوں سے جوڑ سکتے ہیں، جو آپ کو لاتعداد ہم آہنگی کی شرائط فراہم کرتا ہے جو ماڈیولر فارم کو پورا کرنا ضروری ہے۔

"یہ ضروری نہیں کہ بہت پرجوش لگے،" کہا جان ووئٹ، ڈارٹ ماؤتھ کالج میں ایک ریاضی دان۔ "میرا مطلب ہے، اوپری آدھے جہاز کو تراشنا اور مختلف جگہوں پر نمبر لگانا - کس کو پرواہ ہے؟"

"لیکن وہ بہت بنیادی ہیں،" انہوں نے مزید کہا۔ اور ایسا ہونے کی ایک وجہ ہے۔

کنٹرول شدہ جگہیں۔

1920 اور 30 ​​کی دہائی میں، جرمن ریاضی دان ایرک ہیک نے ماڈیولر شکلوں کے گرد ایک گہرا نظریہ تیار کیا۔ اہم طور پر، اس نے محسوس کیا کہ وہ مخصوص جگہوں پر موجود ہیں - مخصوص جہتوں اور دیگر خصوصیات کے ساتھ خالی جگہیں۔ اس نے سوچا کہ ان خالی جگہوں کو کس طرح ٹھوس طریقے سے بیان کیا جائے اور مختلف ماڈیولر شکلوں کو ایک دوسرے سے جوڑنے کے لیے ان کا استعمال کیا جائے۔

اس احساس نے 20 ویں اور 21 ویں صدی کی ریاضی کو بہت آگے بڑھایا ہے۔

یہ سمجھنے کے لیے کہ کس طرح، پہلے ایک پرانے سوال پر غور کریں: آپ دیے گئے عدد کو چار مربعوں کے مجموعہ کے طور پر کتنے طریقوں سے لکھ سکتے ہیں؟ صفر لکھنے کا صرف ایک طریقہ ہے، مثال کے طور پر، جبکہ 1 کو ظاہر کرنے کے 24 طریقے ہیں، 2 کو ظاہر کرنے کے 32 طریقے، اور 3 کو ظاہر کرنے کے 1 طریقے ہیں۔ اس ترتیب کا مطالعہ کرنے کے لیے — 8، 24، 32، XNUMX اور اسی طرح — ریاضی دانوں نے اسے ایک لامحدود رقم میں انکوڈ کیا جسے جنریٹنگ فنکشن کہتے ہیں:

$لیٹیکس 1 + 8q + {{24q}^2} + {{32q}^3} + {{24q}^4} + {{48q}^5} + …$

لازمی طور پر یہ جاننے کا کوئی طریقہ نہیں تھا کہ $latex q^{174}$ کا گتانک کیا ہونا چاہیے — یہ بالکل وہی سوال تھا جس کا وہ جواب دینے کی کوشش کر رہے تھے۔ لیکن ترتیب کو پیدا کرنے والے فنکشن میں تبدیل کر کے، ریاضی دان اس کے بارے میں معلومات کا اندازہ لگانے کے لیے کیلکولس اور دیگر شعبوں سے اوزار استعمال کر سکتے ہیں۔ وہ، مثال کے طور پر، کسی بھی قابلیت کی قدر کا تخمینہ لگانے کا طریقہ تلاش کرنے کے قابل ہو سکتے ہیں۔

لیکن یہ پتہ چلتا ہے کہ اگر پیدا کرنے والا فنکشن ایک ماڈیولر شکل ہے، تو آپ بہت بہتر کر سکتے ہیں: آپ ہر عدد کے لیے ایک درست فارمولے پر ہاتھ اٹھا سکتے ہیں۔

"اگر آپ جانتے ہیں کہ یہ ایک ماڈیولر شکل ہے، تو آپ سب کچھ جانتے ہیں،" کہا جان برونیئر جرمنی کی ٹیکنیکل یونیورسٹی آف ڈرمسٹڈٹ کے۔

اس کی وجہ یہ ہے کہ ماڈیولر شکل کی لامحدود بہت سی ہم آہنگی صرف دیکھنے میں خوبصورت نہیں ہیں - "وہ بہت مجبور ہیں،" نے کہا۔ لیری رولن Vanderbilt University کے، کہ انہیں "چیزوں کے درمیان مطابقت اور شناخت کو خود بخود ثابت کرنے کا ایک آلہ" بنایا جا سکتا ہے۔

ریاضی دان اور طبیعیات دان اکثر افعال پیدا کرنے میں دلچسپی کے سوالات کو انکوڈ کرتے ہیں۔ وہ خاص منحنی خطوط پر پوائنٹس کی تعداد، یا بعض جسمانی نظاموں میں ریاستوں کی تعداد کو شمار کرنا چاہتے ہیں۔ "اگر ہم خوش قسمت ہیں، تو یہ ایک ماڈیولر شکل ہے،" نے کہا کلاڈیا الفیس نیومنجرمنی کی بیلفیلڈ یونیورسٹی میں ریاضی دان۔ یہ ثابت کرنا بہت مشکل ہو سکتا ہے، لیکن اگر آپ کر سکتے ہیں، تو "ماڈیولر شکلوں کا نظریہ اتنا بھرپور ہے کہ یہ آپ کو ان [سیریز] گتانکوں کی چھان بین کرنے کے بہت سے امکانات فراہم کرتا ہے۔"

تعمیر

کوئی بھی ماڈیولر فارم بہت پیچیدہ نظر آنے والا ہے۔ کچھ آسان ترین — جو کہ دیگر ماڈیولر شکلوں کے لیے عمارت کے بلاکس کے طور پر استعمال ہوتے ہیں — کو آئزن اسٹائن سیریز کہا جاتا ہے۔

آپ آئزن اسٹائن سیریز کے بارے میں سوچ سکتے ہیں کہ فنکشنز کی لامحدود رقم۔ ان افعال میں سے ہر ایک کا تعین کرنے کے لیے، لامحدود 2D گرڈ پر پوائنٹس کا استعمال کریں:

جب آپ اصل کے قریب گرڈ میں صرف چار پوائنٹس سے وابستہ فنکشنز کو شامل کرتے ہیں، تو آپ دیکھ سکتے ہیں کہ کس طرح مختلف ہم آہنگی ابھرنا شروع ہوتی ہے۔

اگر آپ گرڈ کے لامحدود بہت سے فنکشنز کا پورا مجموعہ لیتے ہیں، تو آپ کو ایک آئزن اسٹائن سیریز ملتی ہے جو کہ لکھنے کے لیے سب سے آسان ماڈیولر شکل ہے۔ پیٹرن فارم کی متعین ہم آہنگی کی عکاسی کرتے ہیں — بائیں اور دائیں طرف لامتناہی دہراتے ہیں، اور افقی محور کے قریب زیادہ پیچیدہ طریقوں سے تبدیل ہوتے ہیں۔

کھیل جاری ہے۔

ماڈیولر شکلوں کے مطالعہ نے ریاضی کی کامیابیوں کا سیلاب لایا ہے۔ مثال کے طور پر، کرہ پیکنگ پر حالیہ کام، جس کے لیے یوکرین کی ریاضی دان میرینا ویازوسکا پچھلے سال فیلڈز میڈل جیتا تھا۔, ماڈیولر فارم استعمال کیا. "جب میں نے اسے دیکھا تو میں کافی حیران ہوا،" برونیئر نے کہا۔ "لیکن یہ کسی نہ کسی طرح کام کرتا ہے۔"

ماڈیولر شکلیں ایک اہم الجبری شے سے جڑی ہوئی ہیں جسے کہا جاتا ہے۔ راکشس گروپ. ان کا استعمال خاص قسم کے نیٹ ورکس کی تعمیر کے لیے کیا جاتا ہے جسے کہتے ہیں۔ توسیعی گرافجو کمپیوٹر سائنس، کمیونیکیشن تھیوری اور دیگر ایپلی کیشنز میں ظاہر ہوتا ہے۔ انہوں نے سٹرنگ تھیوری اور کوانٹم فزکس میں پارٹیکل انٹریکشن کے ممکنہ ماڈلز کا مطالعہ کرنا ممکن بنایا ہے۔

شاید سب سے مشہور، فرمیٹ کے آخری تھیوریم کا 1994 کا ثبوت ماڈیولر شکلوں پر منحصر ہے۔ نظریہ، جسے بڑے پیمانے پر نمبر تھیوری میں سب سے اہم مسائل میں سے ایک سمجھا جاتا ہے، یہ بتاتا ہے کہ کوئی تین غیر صفر عدد نہیں ہیں۔ a, b اور c جو مساوات کو پورا کرتا ہے $latex {a^n} + {b^n} = {c^n}$ جب $latex n$ ایک عدد 2 سے بڑا ہے۔ ریاضی دان اینڈریو وائلز نے اس کے برعکس فرض کر کے اسے درست ثابت کیا — کہ مساوات کا حل موجود ہے — اور پھر ماڈیولر شکلوں کا استعمال یہ ظاہر کرنے کے لیے کہ اس طرح کے مفروضے کو تضاد کی طرف لے جانا چاہیے۔

سب سے پہلے اس نے اپنے فرض شدہ حل کو ایک ریاضیاتی چیز کی تعمیر کے لیے استعمال کیا جسے بیضوی وکر کہتے ہیں۔ اس کے بعد اس نے دکھایا کہ آپ ہمیشہ ایک منفرد ماڈیولر شکل کو اس طرح کے وکر سے جوڑ سکتے ہیں۔ تاہم، ماڈیولر شکلوں کے نظریہ نے حکم دیا کہ اس صورت میں، وہ ماڈیولر شکل موجود نہیں ہو سکتی۔ "یہ سچ ہونا بہت اچھا ہے،" ووائٹ نے کہا۔ جس کا مطلب تھا کہ بدلے میں، فرض کیا گیا حل موجود نہیں ہو سکتا ہے - اس طرح فرمیٹ کے آخری تھیوریم کی تصدیق ہوتی ہے۔

اس سے نہ صرف صدیوں پرانا مسئلہ حل ہو گیا۔ اس نے بیضوی منحنی خطوط کی بہتر تفہیم بھی فراہم کی، جس کا براہ راست مطالعہ کرنا مشکل ہوسکتا ہے (اور جو خفیہ نگاری اور غلطی کو درست کرنے والے کوڈز میں اہم کردار ادا کرتے ہیں)۔

ثبوت نے جیومیٹری اور نمبر تھیوری کے درمیان ایک پل بھی روشن کیا۔ اس پل کو بعد میں وسیع کر دیا گیا ہے۔ لینگ لینڈز پروگرام، دونوں شعبوں کے درمیان رابطوں کا ایک بڑا مجموعہ — اور عصری ریاضی کی مرکزی تحقیقی کوششوں میں سے ایک کا موضوع۔ ماڈیولر فارمز کو دوسرے علاقوں میں بھی عام کیا گیا ہے، جہاں ان کی ممکنہ ایپلی کیشنز ابھی تسلیم ہونے لگی ہیں۔

وہ ریاضی اور طبیعیات میں ہر جگہ تبدیل ہوتے رہتے ہیں، بعض اوقات کافی پراسرار طور پر۔ "میں بلیک ہولز کے بارے میں ایک کاغذ دیکھتا ہوں،" کہا اسٹیو کڈلا ٹورنٹو یونیورسٹی کے، "اور مجھے ماڈیولر فارم ملتے ہیں جو میرے دوست ہیں۔ لیکن مجھے نہیں معلوم کہ وہ وہاں کیوں ہیں۔

"کسی نہ کسی طرح،" انہوں نے مزید کہا، "ماڈیولر شکلیں دنیا کی سب سے بنیادی ہم آہنگی کو اپنی گرفت میں لے لیتی ہیں۔"