ریاضی دان 'کریزی' کٹس تھرو فور ڈائمینشنز پر حیران ہیں | کوانٹا میگزین

ٹوپولوجی میں مطالعہ کی مرکزی چیزیں مینی فولڈز کہلانے والی خالی جگہیں ہیں، جو جب آپ ان پر زوم ان کرتے ہیں تو چپٹی نظر آتی ہیں۔ ایک کرہ کی سطح، مثال کے طور پر، ایک دو جہتی کئی گنا ہے۔ ٹوپولوجسٹ ایسے دو جہتی کئی گنا کو اچھی طرح سمجھتے ہیں۔ اور انہوں نے ایسے اوزار تیار کیے ہیں جو انہیں تین جہتی کئی گنا اور پانچ یا اس سے زیادہ جہتوں کا احساس دلاتے ہیں۔

لیکن چار جہتوں میں، "سب کچھ تھوڑا سا پاگل ہو جاتا ہے،" نے کہا سیم ہیوز، آکسفورڈ یونیورسٹی میں پوسٹ ڈاکٹریٹ محقق۔ اوزار کام کرنا چھوڑ دیتے ہیں۔ غیر ملکی رویہ ابھرتا ہے. جیسا کہ ٹام مروکا میساچوسٹس انسٹی ٹیوٹ آف ٹیکنالوجی نے وضاحت کی، "دلچسپ مظاہر دیکھنے کے لیے کافی گنجائش ہے، لیکن اتنی گنجائش نہیں کہ وہ الگ ہو جائیں۔"

1990 کی دہائی کے اوائل میں، مروکا اور پیٹر کرون ہائیمر ہارورڈ یونیورسٹی کا مطالعہ کر رہے تھے کہ کس طرح دو جہتی سطحوں کو چار جہتی کئی گنا میں سرایت کیا جا سکتا ہے۔ انہوں نے ان سطحوں کو نمایاں کرنے کے لیے نئی تکنیکیں تیار کیں، جس سے وہ چار جہتی کئی گنا کی دوسری صورت میں ناقابل رسائی ساخت میں اہم بصیرت حاصل کر سکیں۔ ان کے نتائج نے تجویز کیا کہ سطحوں کے ایک وسیع طبقے کے ممبران اپنے والدین کے کئی گنا کو نسبتاً آسان طریقے سے کاٹتے ہیں، جس سے بنیادی خاصیت میں کوئی تبدیلی نہیں ہوتی۔ لیکن کوئی بھی ثابت نہیں کر سکا کہ یہ ہمیشہ سچ تھا۔

فروری میں، ایک ساتھ مل کر ڈینیئل روبرمین برینڈیس یونیورسٹی، ہیوز جوابی مثالوں کا ایک سلسلہ بنایا - "پاگل" دو جہتی سطحیں جو اپنے والدین کو اس طرح سے الگ کرتی ہیں کہ ریاضی دانوں کا خیال تھا کہ یہ ناممکن ہے۔ جوابی مثالیں ظاہر کرتی ہیں کہ چار جہتی کئی گنا زیادہ نمایاں طور پر متنوع ہیں جتنا کہ ریاضی دانوں نے پہلے کی دہائیوں میں محسوس کیا تھا۔ "یہ واقعی ایک خوبصورت کاغذ ہے،" مروکا نے کہا۔ "میں بس اسے دیکھتا رہتا ہوں۔ وہاں بہت سی مزیدار چھوٹی چیزیں ہیں۔"

فہرست بنانا

گزشتہ سال کے آخر میں، Ruberman منظم کرنے میں مدد کی۔ ایک کانفرنس جس نے کم جہتی ٹوپولوجی میں سب سے اہم کھلے مسائل کی ایک نئی فہرست بنائی۔ اس کی تیاری میں، اس نے 1997 کے اہم غیر حل شدہ ٹاپولوجیکل مسائل کی پچھلی فہرست کو دیکھا۔ اس میں ایک سوال بھی شامل تھا جو کرون ہائیمر نے مروکا کے ساتھ اپنے کام کی بنیاد پر کیا تھا۔ "یہ وہاں تھا، اور مجھے لگتا ہے کہ یہ تھوڑا سا بھول گیا تھا،" روبرمین نے کہا۔ اب اس نے سوچا کہ وہ اس کا جواب دے سکتا ہے۔

سوال کو سمجھنے کے لیے، یہ سب سے پہلے دو کلیدی خیالات پر غور کرنے میں مدد کرتا ہے: بس منسلک کئی گنا، اور بنیادی گروپ۔

بس جڑے ہوئے کئی گنا خالی جگہیں ہیں جن میں سے کوئی سوراخ نہیں ہوتا ہے۔ ایک جہت میں، ایک لامحدود لائن صرف منسلک ہے، لیکن ایک دائرہ نہیں ہے۔ دو جہتوں میں، ایک لامحدود طیارہ اور ایک کرہ کی سطح صرف ایک دوسرے سے جڑے ہوئے ہیں، لیکن ڈونٹ کی سطح نہیں ہے۔

ریاضی دان کئی گنا پر لوپس رکھ کر اور اس بات پر غور کر کے اس فرق کو سخت بناتے ہیں کہ انہیں کس طرح درست کیا جا سکتا ہے۔ اگر کسی بھی لوپ کو کسی نقطہ پر سکڑایا جا سکتا ہے، تو ایک کئی گنا آسانی سے جڑا ہوا ہے۔ ایک ہوائی جہاز یا کرہ کی سطح پر، مثال کے طور پر، یہ ممکن ہے — ایک تار کو کھینچنے کے بارے میں سوچیں۔ لیکن اگر وہ تار کسی دائرے کے گرد گھومتا ہے تو یہ سکڑ نہیں سکتا۔ اسی طرح، ڈونٹ کی سطح پر، لوپس جو کہ ارد گرد یا مرکزی سوراخ سے گزرتے ہیں، ان کو ایک نقطہ میں تبدیل نہیں کیا جا سکتا۔ ڈونٹ خود ہی راستے میں آجاتا ہے۔

ریاضی دان ان خالی جگہوں کی درجہ بندی کرتے ہیں جو محض اپنے "بنیادی گروپ" کی گنتی کے ذریعے جڑے ہوئے نہیں ہیں، ایک ایسی چیز جس کی ساخت اس بات کی عکاسی کرتی ہے کہ لوپس کیسے سکڑتے ہیں۔ کئی گنا جو صرف جڑے ہوئے ہیں ان میں صرف ایک عنصر کے ساتھ ایک "معمولی" بنیادی گروپ ہوتا ہے۔ لیکن ان میں سوراخ والے کئی گنا زیادہ پیچیدہ بنیادی گروپ ہوتے ہیں۔

چار جہتی کئی گنا جو محض جڑے ہوئے ہیں اب بھی کافی عجیب ہو سکتے ہیں۔ ان کو سمجھنے کے لیے، ریاضی دان غور کرتے ہیں کہ ان میں جڑی دو جہتی سطحوں کا کیا ہو سکتا ہے۔

مشابہت سے، کاغذ کے ٹکڑے پر سٹرنگ فلیٹ کا لوپ بچھانے کے بارے میں سوچیں۔ آپ اس کے ساتھ بہت کچھ نہیں کر سکتے۔ لیکن اسے تین جہتی جگہ میں اٹھائیں، اور آپ اسے پیچیدہ گرہوں میں باندھ سکتے ہیں۔ وہ طریقے جن سے آپ سٹرنگ کو جوڑ سکتے ہیں — ایک جہتی کئی گنا — اس جگہ کی نوعیت کو واضح کرتے ہیں جس میں یہ سرایت کر رہا ہے۔

اسی طرح، چار جہتوں کی زیادہ پیچیدہ دنیا میں، دو جہتی سطحیں "کئی مختلف طریقوں سے، پورے کاروبار کی کلید ہیں،" روبرمین نے کہا۔ "سطحیں آپ کو چار جہتی کئی گنا کے بارے میں اس سے کہیں زیادہ بتاتی ہیں جس سے آپ کو توقع کرنے کا کوئی حق نہیں ہے۔" سطحیں آپ کو کئی گنا کے درمیان فرق کرنے دیتی ہیں: اگر کوئی سطح ایک کئی گنا کے اندر رہ سکتی ہے لیکن دوسرے نہیں، تو آپ جانتے ہیں کہ کئی گنا مختلف ہیں۔ اور سطحوں کو پرانے سے نئے کئی گنا بنانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔

سطحوں میں بھی اسی طرح کے بنیادی گروپ ہوتے ہیں۔ اور اسی طرح ان کی تکمیل کرتے ہیں - کئی گنا کا وہ حصہ جو آپ کی سطح کو دور کرنے پر بچ جاتا ہے۔ خط استوا کو دو جہتی کئی گنا جیسے کرہ یا ڈونٹ کی سطح سے ہٹا دیں، مثال کے طور پر، اور آپ کو دو منقطع نصف کرہ ملیں گے۔ لیکن اگر آپ افقی کی بجائے عمودی انگوٹھی کو ہٹاتے ہیں تو ڈونٹ کی سطح ایک ٹکڑے میں رہتی ہے۔ اسی طرح، اس بات پر منحصر ہے کہ آپ چار جہتی کئی گنا میں سے کسی سطح کو کیسے کاٹتے ہیں، آپ مختلف قسم کے تکمیلات حاصل کر سکتے ہیں۔

1990 کی دہائی میں، Mrowka اور Kronheimer نے تحقیق کی کہ جب آپ دو جہتی سطح کو چار جہتی کئی گنا سے نکالتے ہیں تو کیا ہوتا ہے۔ اگر خود مینی فولڈ آسانی سے جڑا ہوا ہے، تو سطحوں کو کن شرائط کو پورا کرنا چاہیے تاکہ اس بات کی ضمانت دی جا سکے کہ ان کے تکمیلات کو بھی آسانی سے منسلک ہونا چاہیے؟

Kronheimer اور Mrowka جانتے تھے کہ کچھ قسم کی سطحوں میں ایسی تکمیلیں ہو سکتی ہیں جو محض جڑے ہوئے نہیں تھے۔ لیکن ان کے کام سے ظاہر ہوتا ہے کہ سطحوں کے ایک اور وسیع طبقے میں ہمیشہ صرف جڑے ہوئے تکمیلات ہونے چاہئیں۔

تقریباً تین دہائیوں تک، اس طبقے میں کسی کو بھی ایسی سطح کی مثال نہیں مل سکی جس کی تکمیل محض مربوط نہ ہو۔ لیکن 2023 کے موسم خزاں میں، اس مسئلے کا سامنا کرنے کے بعد، روبرمین نے سوچا کہ وہ کر سکتا ہے۔ چار جہتی کئی گنا سے شروع کرنے اور کسی سطح کو کاٹنے کے بجائے، اس نے دو جہتی سطح سے آغاز کیا جس میں ضروری خصوصیات تھیں اور اس کے گرد کئی گنا تعمیر کیا۔

سب سے پہلے، اس نے سطح کو چار جہتی بلاب میں موٹا کیا۔ اس چار جہتی بلاب کی تین جہتی باؤنڈری تھی، بالکل اسی طرح جیسے گیند جیسی تین جہتی چیز کی دو جہتی حد ہوتی ہے۔ روبرمین باؤنڈری کے دوسری طرف احتیاط سے منتخب کردہ چار جہتی کئی گنا کو جوڑنا چاہتا تھا، جو سطح کی تکمیل کے طور پر کام کرے گا۔ اگر گیمبٹ کام کرتا ہے، تو اس کئی گنا میں ایک پیچیدہ بنیادی گروپ ہوگا، پھر بھی ہر چیز کے بنیادی گروپ کو اکٹھا کرنا معمولی ہوگا۔ نو تعمیر شدہ چار جہتی کئی گنا آسانی سے منسلک ہو جائے گا.

لیکن ہر چیز کو صحیح طریقے سے جوڑنے کے قابل ہونے کے لیے، اسے یہ ظاہر کرنا تھا کہ نئے اضافے کا بنیادی گروپ ہر طرح کی خصوصیات کو مطمئن کرتا ہے۔ "مجھے نہیں معلوم تھا کہ یہ کیسے کروں،" روبرمین نے کہا۔

پھر جنوری میں، ہیوز - ایک گروپ تھیوریسٹ - نے برینڈیز میں ایک تقریر کی۔ روبرمین سامعین میں تھا۔ اس نے پہچان لیا کہ ہیوز کے پاس وہ گمشدہ ٹکڑا ہو سکتا ہے جس کی وہ تلاش کر رہا تھا۔ اگلے دن دونوں کی ملاقات ہوئی، اور چند گھنٹوں کے اندر، انہوں نے اپنے مطلوبہ اہم خیالات پر کام کیا۔ ہیوز نے کہا کہ "روبرمین جو غائب تھا" وہ کچھ ہے جو گروپ تھیوریسٹ اس وقت 70، 80 سالوں سے کمپیوٹنگ کر رہے ہیں۔ "ہم ہمیشہ کے لئے اس پر رہے ہیں۔" ہفتے کے آخر تک، ان کے پاس ایک مکمل ثبوت تھا۔

"میں کچھ چیزیں جانتا تھا، اور وہ کچھ چیزیں جانتا تھا، اور ہم دونوں کے درمیان، ہم صرف یہ کرنے کے لیے کافی جانتے تھے،" روبرمین نے کہا۔

جس طرح سے گروپ تھیوری کو ثبوت میں استعمال کیا جاتا ہے، "یہ تھوڑا سا غیر معمولی ہے،" نے کہا میگی ملر یونیورسٹی آف ٹیکساس، آسٹن۔ "یہ اس سے تھوڑا مختلف لکھا گیا ہے کہ زیادہ تر چار جہتی ٹوپولوجسٹ اس سے راحت محسوس کریں گے۔"

نتیجہ ایک اور مثال ہے کہ چار جہتی ٹوپولوجی کتنی پیچیدہ ہو سکتی ہے۔ ہیوز نے کہا کہ "سطحوں کی اس سے کہیں زیادہ دلچسپ سرایتیں ہیں جتنا ہم نے سوچا تھا۔" اس سے کئی گنا کی درجہ بندی کرنا زیادہ مشکل ہو جاتا ہے، اور ان کے بارے میں دیگر قسم کے نتائج کو ثابت کرنا مشکل ہوتا ہے۔

بہر حال مارچ میں İnanç Baykur یونیورسٹی آف میساچوسٹس، ایمہرسٹ، جس نے روبرمین کے ساتھ گزشتہ سال فہرست سازی کانفرنس کا اہتمام کیا، حل کا اعلان کیا۔ ایک اور مسئلہ جس میں 1997 کی فہرست سے صرف چار جہتی کئی گنا جڑے ہوئے ہیں۔

ایسا لگتا ہے کہ ٹاپولوجسٹ گھر کی صفائی کر رہے ہیں۔