نمبروں کے حساب سے رنگ کاری کسروں میں ریاضی کے نمونوں کو ظاہر کرتی ہے۔

پی ایچ ڈی شروع کرنے کے ایک سال بعد۔ میک گل یونیورسٹی میں ریاضی میں، میٹ بوون کو ایک مسئلہ تھا۔ "میں نے اپنے کوالیفائنگ امتحانات دیئے اور ان پر بالکل بھیانک کام کیا،" انہوں نے کہا۔ بوون کو یقین تھا کہ اس کے اسکور اس کی ریاضی کی مہارت کی عکاسی نہیں کرتے، اور اس نے اسے ثابت کرنے کا عزم کیا۔ آخری زوال اس نے کیا، جب اس نے اور اس کے مشیر نے، مارسین سبوک, ایک اہم پیشگی پوسٹ کیا کے طور پر جانا جاتا میدان میں رامسی تھیوری.

تقریباً ایک صدی سے، رمسی تھیوریسٹ اس بات کا ثبوت جمع کر رہے ہیں کہ ریاضیاتی ڈھانچہ مخالف حالات میں برقرار رہتا ہے۔ وہ عددوں کے بڑے سیٹوں کو توڑ سکتے ہیں جیسے انٹیجرز یا فریکشنز، یا نیٹ ورک پر پوائنٹس کے درمیان روابط کو کاٹ دیں۔ اس کے بعد وہ یہ ثابت کرنے کے طریقے تلاش کرتے ہیں کہ بعض ڈھانچے ناگزیر ہیں، یہاں تک کہ اگر آپ انہیں ہوشیار طریقے سے توڑ کر یا کاٹ کر بنانے سے بچنے کی کوشش کرتے ہیں۔

جب رامسی تھیوریسٹ نمبروں کے سیٹ کو تقسیم کرنے کی بات کرتے ہیں، تو وہ اکثر رنگ بھرنے کی زبان استعمال کرتے ہیں۔ کئی رنگ چنیں: سرخ، نیلے اور پیلے، مثال کے طور پر۔ اب مجموعہ میں ہر نمبر کو رنگ تفویض کریں۔ یہاں تک کہ اگر آپ اسے بے ترتیب یا افراتفری کے انداز میں کرتے ہیں تو، کچھ نمونے لامحالہ ابھریں گے جب تک کہ آپ مختلف رنگوں کی صرف ایک محدود تعداد کا استعمال کریں، چاہے وہ تعداد بہت زیادہ ہو۔ Ramsey تھیوریسٹ ان نمونوں کو تلاش کرنے کی کوشش کرتے ہیں، نمبروں کے ساختی سیٹوں کو تلاش کرتے ہیں جو "ایک رنگی" ہیں، یعنی ان کے عناصر کو ایک ہی رنگ تفویض کیا گیا ہے۔

پہلے رنگنے کے نتائج 19ویں صدی کے آخر تک واپس آتے ہیں۔ 1916 تک، Issai Schur نے یہ ثابت کر دیا تھا کہ اگرچہ آپ مثبت عدد (قدرتی اعداد کے نام سے بھی جانا جاتا ہے) کو رنگ دیتے ہیں، ہمیشہ نمبروں کا ایک جوڑا رہے گا۔ x اور y اس طرح کہ x, y، اور ان کا مجموعہ x+y سب ایک ہی رنگ کے ہیں. 20ویں صدی کے دوران، ریاضی دانوں نے رنگ بھرنے کے مسائل پر کام جاری رکھا۔ 1974 میں نیل ہند مین Schur کے نتیجے میں توسیع عدد کے لامحدود ذیلی سیٹ کو شامل کرنے کے لیے۔ Schur کے نظریہ کی طرح، ہند مین کا اطلاق ہوتا ہے اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا ہے کہ قدرتی اعداد کیسے رنگین ہوں (کریون کی ایک محدود تعداد کے ساتھ)۔ ہند مین کے سیٹ میں نہ صرف یہ انٹیجرز ایک ہی رنگ کے ہیں، بلکہ اگر آپ ان کے کسی مجموعہ کو جمع کریں تو نتیجہ بھی وہی رنگ ہوگا۔ اس طرح کے سیٹ اس میں جفت نمبروں سے مشابہت رکھتے ہیں، جس طرح جفت نمبروں کا کوئی بھی مجموعہ ہمیشہ برابر ہوتا ہے، اسی طرح ہند مین کے کسی ایک سیٹ میں کسی بھی نمبر کا مجموعہ اس سیٹ میں موجود ہوگا۔

"ہندمین کا نظریہ ریاضی کا ایک حیرت انگیز ٹکڑا ہے،" سبوک نے کہا۔ "یہ ایک ایسی کہانی ہے جس پر ہم فلم بنا سکتے ہیں۔"

لیکن ہند مین نے سوچا کہ زیادہ ممکن ہے۔ اس کا خیال تھا کہ آپ کو ایک من مانی طور پر بڑا (لیکن محدود) یک رنگی سیٹ مل سکتا ہے جس میں نہ صرف اس کے اراکین کی رقم ہوتی ہے بلکہ مصنوعات بھی ہوتی ہیں۔ انہوں نے کہا، "میں نے کئی دہائیوں سے اس بات کو برقرار رکھا ہے کہ یہ ایک حقیقت ہے،" انہوں نے مزید کہا: "میں یہ نہیں مانتا کہ میں اسے ثابت کر سکتا ہوں۔"

ہند مین کا قیاس

اگر آپ رقم کو ترک کر دیتے ہیں اور صرف اس بات کو یقینی بنانا چاہتے ہیں کہ پروڈکٹس ایک ہی رنگ کے ہوں، تو یہ آسان ہے کہ ہندمین کے تھیوریم کو استعمال کرتے ہوئے رقم کو مصنوعات میں تبدیل کرنے کے لیے اپنایا جائے (جیسا کہ سلائیڈ رول کرتا ہے)۔

ایک ساتھ رقم اور مصنوعات کے ساتھ کشتی کرنا، تاہم، کہیں زیادہ مشکل ہے۔ "ان دونوں کو ایک دوسرے سے بات کرانا بہت مشکل ہے،" کہا جوئل موریرا، واروک یونیورسٹی میں ایک ریاضی دان۔ "اضافہ اور ضرب کا آپس میں تعلق کو سمجھنا - یہ ایک طرح سے، تمام نمبر تھیوری کی بنیاد ہے، تقریباً۔"

یہاں تک کہ ایک آسان ورژن جو ہندمین نے پہلی بار 1970 کی دہائی میں تجویز کیا تھا چیلنجنگ ثابت ہوا۔ اس نے قیاس کیا کہ قدرتی نمبروں کے کسی بھی رنگ میں فارم کا یک رنگی سیٹ ہونا ضروری ہے {x, y, xy, x+y} — دو نمبر x اور y، نیز ان کی رقم اور مصنوعات۔ بوون نے کہا کہ "لوگوں نے کئی دہائیوں تک اس مسئلے پر واقعی کوئی پیش رفت نہیں کی۔ "اور پھر اچانک، 2010 کے آس پاس، لوگوں نے اس کے بارے میں زیادہ سے زیادہ چیزیں ثابت کرنا شروع کر دیں۔"

بوون نے { کے بارے میں سیکھاx, y, xy, x+y} مسئلہ 2016 میں، اس کے کالج کے دوسرے سمسٹر میں، جب کارنیگی میلن یونیورسٹی میں ان کے ایک پروفیسر نے کلاس میں مسئلہ بیان کیا۔ بوون اس کی سادگی سے متاثر ہوا۔ انہوں نے کہا کہ "یہ ان ٹھنڈی چیزوں میں سے ایک ہے جہاں یہ پسند ہے، ٹھیک ہے، میں زیادہ ریاضی نہیں جانتا، لیکن میں اسے سمجھ سکتا ہوں،" انہوں نے کہا۔

2017 میں، موریرا ثابت ہوا کہ آپ کر سکتے ہیں ہمیشہ ایک یک رنگی سیٹ تلاش کریں جس میں چار مطلوبہ عناصر میں سے تین ہوں: x, xy، اور x + y. دریں اثنا، بوون نے اپنے سینئر سال کے دوران سوال کے ساتھ اتفاق سے ٹنکر کرنا شروع کر دیا۔ "میں اصل میں مسئلہ حل نہیں کر سکا،" انہوں نے کہا۔ "لیکن میں ہر چھ ماہ بعد اس پر واپس آؤں گا۔" اس کے پی ایچ ڈی پر ناقص کارکردگی کے بعد۔ 2020 میں کوالیفائنگ امتحانات میں، اس نے اپنی کوششوں کو دوگنا کردیا۔ کچھ دنوں بعد، اس نے ثابت کر دیاx, y, xy, x+y} دو رنگوں کے معاملے کے لیے قیاس، جس کا نتیجہ یہ ہے کہ رون گراہم نے پہلے ہی 1970 کی دہائی میں کمپیوٹر کی مدد سے ثابت کر دیا تھا۔

اس کامیابی کے ساتھ، بوون نے سبوک کے ساتھ مل کر نتیجہ کو کسی بھی رنگ تک بڑھانے کے لیے کام کیا۔ لیکن وہ جلد ہی تکنیکی تفصیلات میں الجھ گئے۔ سبوک نے کہا کہ جب رنگوں کی تعداد زیادہ ہوتی ہے تو مسئلہ کی پیچیدگی مکمل طور پر قابو سے باہر ہو جاتی ہے۔ 18 ماہ تک، انہوں نے بہت کم قسمت کے ساتھ، خود کو نکالنے کی کوشش کی۔ "اس ڈیڑھ سال کے دوران، ہمارے پاس تقریباً XNUMX لاکھ غلط ثبوت تھے،" سبوک نے کہا۔

خاص طور پر ایک مشکل نے دونوں ریاضی دانوں کو ترقی کرنے سے روک دیا۔ اگر آپ بے ترتیب طور پر دو عدد عدد چنتے ہیں، تو شاید آپ ان کو تقسیم نہیں کر پائیں گے۔ ڈویژن صرف نایاب صورت میں کام کرتا ہے جہاں پہلا نمبر دوسرے کا ضرب ہوتا ہے۔ یہ انتہائی محدود ثابت ہوا۔ اس احساس کے ساتھ، بوون اور سبوک نے { کو ثابت کرنے کی کوشش کیx, y, xy, x+y} اس کے بجائے عقلی اعداد میں قیاس (جیسا کہ ریاضی دان کسر کہتے ہیں)۔ وہاں، تعداد کو ترک کر کے تقسیم کیا جا سکتا ہے۔

بوون اور سبوک کا ثبوت اس وقت سب سے خوبصورت ہوتا ہے جب اس میں شامل تمام رنگ عقلی اعداد میں کثرت سے ظاہر ہوتے ہیں۔ رنگ کئی مختلف طریقوں سے "اکثر" ظاہر ہو سکتے ہیں۔ ان میں سے ہر ایک نمبر لائن کے بڑے حصوں کا احاطہ کر سکتا ہے۔ یا اس کا مطلب یہ ہو سکتا ہے کہ آپ ہر رنگ کو دیکھے بغیر نمبر لائن کے ساتھ زیادہ سفر نہیں کر سکتے۔ عام طور پر، تاہم، رنگ ایسے اصولوں کے مطابق نہیں ہوتے ہیں۔ سبوک نے وضاحت کی کہ ان صورتوں میں، آپ عقلی اعداد کے اندر چھوٹے خطوں پر توجہ مرکوز کر سکتے ہیں جہاں رنگ زیادہ کثرت سے ظاہر ہوتے ہیں۔ "یہ وہ جگہ ہے جہاں زیادہ تر کام آیا،" انہوں نے کہا۔

اکتوبر 2022 میں، بوون اور سبوک نے ایک ثبوت پوسٹ کیا کہ اگر آپ ناطق نمبروں کو بہت سے رنگوں سے رنگین کرتے ہیں، تو فارم کا ایک سیٹ ہوگا {x, y, xy, x+y} جس کے تمام عناصر کا رنگ ایک جیسا ہے۔ "یہ ایک ناقابل یقین حد تک ہوشیار ثبوت ہے،" نے کہا ایمرے لیڈر کیمبرج یونیورسٹی کے. "یہ معلوم نتائج کا استعمال کرتا ہے۔ لیکن یہ انہیں بالکل شاندار، بہت ہی اصل، بہت جدید طریقے سے جوڑتا ہے۔

بہت سارے سوالات باقی ہیں۔ تیسرا نمبر کر سکتے ہیں۔ z آنے والی رقوم اور مصنوعات کے ساتھ، مجموعہ میں شامل کیا جائے؟ ہند مین کی جرات مندانہ پیشین گوئیوں کو مطمئن کرنے کا مطلب یہ ہوگا کہ ترتیب میں چوتھے، پانچویں، اور بالآخر من مانی طور پر بہت سے نئے نمبر شامل کیے جائیں۔ اس کے لیے عقلیت سے فطری اعداد کی طرف بڑھنے اور تقسیم کے کنڈرم کے ارد گرد راستہ تلاش کرنے کی بھی ضرورت ہوگی جس نے بوون اور سبوک کی کوششوں کو روکا تھا۔

لیڈر کا خیال ہے کہ موریرا، بوون اور سبوک سبھی مسئلے پر کام کر رہے ہیں، یہ ثبوت شاید زیادہ دور نہ ہو۔ "وہ لوگ کام کرنے کے نئے طریقے تلاش کرنے میں خاصے شاندار لگتے ہیں،" انہوں نے کہا۔ "لہذا میں ایک طرح سے پر امید ہوں کہ وہ یا ان کے کچھ ساتھی اسے تلاش کر سکتے ہیں۔"

سبوک اپنی پیشین گوئیوں میں زیادہ محتاط ہے۔ لیکن وہ کسی بھی چیز کو مسترد نہیں کر رہا ہے۔ "ریاضی کا ایک کرشمہ یہ ہے کہ اس سے پہلے کہ آپ کو ثبوت مل جائے، سب کچھ ممکن ہے،" انہوں نے کہا۔