تعارف
الگورتھم میں، زندگی کی طرح، منفیت ایک ڈریگ ہو سکتی ہے۔
گراف پر دو پوائنٹس کے درمیان مختصر ترین راستہ تلاش کرنے کے مسئلے پر غور کریں — لنکس، یا کناروں سے جڑے ہوئے نوڈس کا نیٹ ورک۔ اکثر، یہ کنارے قابل تبادلہ نہیں ہوتے ہیں: ایک گراف سڑک کے نقشے کی نمائندگی کر سکتا ہے جس پر کچھ سڑکیں دوسروں کے مقابلے میں سست ہیں یا زیادہ ٹولز ہیں۔ کمپیوٹر سائنس دان ہر کنارے کو ایک "وزن" کے ساتھ جوڑ کر ان فرقوں کا حساب لگاتے ہیں جو کہ اس حصے میں منتقل ہونے کی لاگت کا اندازہ لگاتا ہے - چاہے وہ لاگت وقت، پیسے یا کسی اور چیز کی نمائندگی کرتی ہو۔ 1950 کی دہائی سے، وہ جان چکے ہیں کہ کس طرح مختصر ترین راستے کو بنیادی طور پر جتنی جلدی ممکن ہو نظریاتی طور پر تلاش کیا جائے، یہ فرض کرتے ہوئے کہ تمام وزن مثبت اعداد ہیں۔
لیکن کچھ گرافس پر وزن منفی ہو سکتا ہے — ایک طبقہ کے ساتھ سفر کرنے سے دوسرے حصے کو عبور کرنے کی لاگت کو پورا کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک ڈیلیوری ڈرائیور پر غور کریں جس کو گیس اور ٹولز کی لاگت (مثبت وزن سے ظاہر ہوتی ہے) کو ٹرانسپورٹنگ پیکجوں سے حاصل ہونے والی آمدنی (منفی وزن سے ظاہر ہوتا ہے) میں توازن رکھنا چاہیے۔ ایسی صورتوں میں، تیز ترین معلوم مختصر ترین راستہ الگورتھم کام نہیں کرتا ہے۔ کئی دہائیوں سے، منفی وزن والے گراف پر مختصر ترین راستے تلاش کرنے کے لیے تیز رفتار الگورتھم اب بھی بے کار رہے ہیں۔
اب کمپیوٹر سائنس دانوں کی تینوں نے اس دیرینہ مسئلے کو حل کر دیا ہے۔ ان کا نیا یلگورتم, جو ایک گراف کے ذریعے ہر دوسرے نوڈ کے لیے دیئے گئے "ذریعہ" نوڈ سے مختصر ترین راستے تلاش کرتا ہے، تقریباً اس رفتار سے میل کھاتا ہے جو مثبت وزن والے الگورتھم نے بہت پہلے حاصل کی تھی۔
مزید کیا ہے، نیا نقطہ نظر دہائیوں پرانی ریاضیاتی تکنیکوں کا استعمال کرتا ہے، اور جدید ترین گراف تھیوری ریسرچ پر حاوی ہونے والے مزید نفیس طریقوں سے بچتا ہے۔
"میں یقین نہیں کر سکتا تھا کہ اتنا آسان الگورتھم موجود ہے،" کہا میکسیملین پروبسٹ گٹنبرگ، سوئس فیڈرل انسٹی ٹیوٹ آف ٹیکنالوجی زیورخ میں کمپیوٹر سائنس دان۔ "یہ سب 40 سالوں سے وہاں موجود ہے۔ یہ صرف کسی کو واقعی ہوشیار اور یہ سب کام کرنے کے لئے پرعزم ہونے کی ضرورت ہے۔
لالچ کی حدود
کہانی 1956 میں شروع ہوتی ہے، جب ڈچ کمپیوٹر سائنس دان Edsger Dijkstra نے صرف مثبت وزن والے گراف پر مختصر ترین راستے تلاش کرنے کے لیے ایک تیز الگورتھم تیار کیا۔ اسے سمجھنے کے لیے، ماخذ سے شروع ہونے کا تصور کریں اور ایک وقت میں گراف ایک نوڈ کو تلاش کریں، جیسے جیسے آپ جاتے ہیں نئے دریافت شدہ کناروں کے وزن کو لکھیں۔ ہر بار جب آپ کسی نوڈ پر جاتے ہیں تو، ماخذ سے لے کر نئے نوڈ کے ہر پڑوسی تک کے مختصر ترین راستوں کا ابتدائی تخمینہ لگائیں، اگر آپ کو کوئی نیا چھوٹا راستہ ملا ہے تو موجودہ تخمینے کو اپ ڈیٹ کریں۔ یہ فیصلہ کرنے کے لیے کہ اگلا کون سا غیر دریافت شدہ نوڈ جانا ہے، اسے استعمال کریں جسے لالچی حکمت عملی کہا جاتا ہے: اپنے موجودہ تخمینے کے مطابق جو بھی ذریعہ کے قریب ہو اس پر جائیں۔
مثبت وزن کے ساتھ، Dijkstra کا الگورتھم ہر نوڈ کو پہلی بار دیکھنے کے لیے جو راستہ اختیار کرتا ہے وہ واقعی سب سے چھوٹا ہے۔ یہ دیکھنا سب سے آسان ہے کہ یہ پہلے مرحلے کے لیے درست ہے۔ تصور کریں کہ دو نوڈس A اور B ایک کنارے سے جڑے ہوئے ہیں جن کا وزن 2 ہے۔ اگر A سورس نوڈ ہے، اور اس کو چھونے والے ہر دوسرے کنارے کا وزن زیادہ ہے، تو A سے B تک کا سیدھا راستہ ان دو پوائنٹس کو جوڑنے والا سب سے چھوٹا راستہ ہونا چاہیے۔ ، چونکہ کسی دوسرے راستے کا پہلا حصہ پہلے ہی لمبا ہوگا۔ یکساں استدلال ہر قدم پر کام کرتا ہے۔ الگورتھم کو کبھی پیچھے مڑ کر نہیں دیکھنا پڑتا ہے، اس لیے گراف کو ایک بار چلانے کے بعد اس کے ختم ہونے کی ضمانت ہے — یہی چیز اسے اتنی تیز بناتی ہے۔
لیکن منفی وزن Dijkstra کی لالچی حکمت عملی کے لیے پریشانی کا باعث ہے۔ ہمارے ڈیلیوری ڈرائیور پر دوبارہ غور کریں۔ A سے B تک کا ایک سیدھا راستہ جس میں ایک چھوٹا سا منافع ہوتا ہے، ایک گردشی راستے سے کم رقم کما سکتا ہے جس کی کہیں بڑی ادائیگی ہوتی ہے۔ "آپ صرف مقامی معلومات کی بنیاد پر فیصلے نہیں کر سکتے،" نے کہا سنجیو کھنہ، پنسلوانیا یونیورسٹی میں کمپیوٹر سائنس دان۔ "بالآخر ایک حقیقی انعام حاصل کرنے کے لیے آپ کو کئی بظاہر سب سے بہترین حرکتیں کرنی پڑ سکتی ہیں۔"
کئی دہائیوں سے، منفی وزن والے گراف پر کام کرنے والے کمپیوٹر سائنس دانوں نے Dijkstra کے الگورتھم کی رفتار کو اسی طرح کے "کمبینیٹریل" الگورتھم کے ساتھ ملانے کی کوشش کی۔ ان میں مجرد آپریشنز شامل ہیں - جیسے امکانات کی گنتی، وزن میں ترمیم کرنا اور کناروں کو منتخب طور پر حذف کرنا - جو کہ بنیادی گراف کی مجرد ساخت کی عکاسی کرتے ہیں۔ تاہم، 1990 کی دہائی تک ترقی سست پڑ گئی۔ ابھی حال ہی میں، محققین نے "مسلسل اصلاح" الگورتھم استعمال کیے ہیں، جو کیلکولس سے چالیں لیتے ہیں۔ بدقسمتی سے، نتیجے میں ہونے والی رفتار محدود رہی ہے، اور اکثر سادگی کی قیمت پر آتی ہے۔
سائیکل توڑ دیں
2021 کے موسم گرما میں، دو کمپیوٹر سائنس دان جو کوپن ہیگن یونیورسٹی میں ساتھی بنیں گے۔ دانوپون نانونگکائی اور کرسچن ولف نیلسن - مشترکہ تحقیقی منصوبے کے لیے ایک موضوع کی تلاش کر رہے تھے۔ "مسیحی نے کہا، 'اوہ، ویسے، میں چھٹیوں پر تھا، اور اس کی وجہ سے میں ایک بہت ہی مہتواکانکشی چیز کے بارے میں سوچنے کی کوشش کر رہا تھا،'" نانونگکائی نے یاد کیا، جو اب ساربرکن، جرمنی میں میکس پلانک انسٹی ٹیوٹ فار انفارمیٹکس میں ہیں۔ انہوں نے منفی وزن کے مختصر ترین راستوں کے مسئلے کو حل کیا اور مدعو کیا۔ ہارون برنسٹین ان میں شامل ہونے کے لیے رٹجرز یونیورسٹی کا۔
تینوں محققین دیگر مسائل کے لیے مشترکہ گراف الگورتھم کے ماہر تھے، اور وہ یہ دیکھنا چاہتے تھے کہ یہ نسبتاً قدیم طریقے انہیں کس حد تک حاصل کر سکتے ہیں۔ برنسٹین نے کہا کہ "درحقیقت کسی ایسے مسئلے پر کام کرنے میں ایک خاص آزادی ہے جو مہتواکانکشی ہے اور ایک طویل عرصے سے کھلا ہے۔"
تینوں نے عارضی طور پر ممکنہ گرافس کے ذیلی سیٹ کو نظر انداز کر کے شروع کیا: جو منفی سائیکلوں پر مشتمل ہیں۔ یہ وہ راستے ہیں جو کناروں کی ایک سیریز سے گزرنے کے بعد جہاں سے شروع ہوئے تھے واپس لوٹ جاتے ہیں جن کا وزن منفی نمبر تک پہنچ جاتا ہے۔ نقطہ آغاز سے قابل رسائی منفی سائیکلوں والے گراف میں، ایک مختصر ترین راستے کا تصور ٹوٹ جاتا ہے، کیونکہ آپ منفی چکر کے گرد بار بار لیپ لے کر، اپنی مرضی کے مطابق کسی بھی نوڈ کے فاصلے کو منفی (یا منافع بخش) بنا سکتے ہیں۔ اپنی منزل کی طرف روانہ
محققین نے شبہ ظاہر کیا کہ طویل منفی راستے اس مسئلے کو مشکل بنانے کے لیے بنیادی طور پر ذمہ دار تھے۔ لہذا انہوں نے قریبی نوڈس کے تنگ جھرمٹ پر توجہ مرکوز کرنا شروع کی، جس میں کوئی لمبا منفی راستہ نہیں ہو سکتا: اس کی وجہ یہ ہے کہ اگر دو پوائنٹس کو ایک مختصر مثبت راستے سے جوڑ دیا جائے، تو ان کے درمیان ایک طویل منفی راستہ شامل کرنے سے ایک منفی سائیکل بن جائے گا۔ برنسٹین نے کہا کہ ایک سخت جھرمٹ کے اندر، "حقیقت یہ ہے کہ ہر کوئی ایک مثبت معنوں میں ایک دوسرے کے قریب ہے درحقیقت آپ کو منفی کناروں کے بارے میں بھی مفید معلومات فراہم کرتا ہے،" برنسٹین نے کہا۔ "یہ آپ کو بتاتا ہے کہ چیزیں زیادہ منفی نہیں ہوسکتی ہیں۔"
زیادہ تر گرافوں میں بہت سے ایسے سخت کلسٹر ہوتے ہیں جو صرف ایک دوسرے سے کمزور جڑے ہوتے ہیں۔ اگر محققین تمام کلسٹروں کی نشاندہی کر سکتے ہیں، تو انہیں شبہ ہے کہ وہ ہر ایک کے اندر تیزی سے مختصر ترین راستے تلاش کرنے کا ایک طریقہ تیار کر سکتے ہیں۔ وہاں سے، ان کے پاس انفرادی کلسٹرز کو جوڑنے اور اصل گراف پر مختصر ترین راستے تلاش کرنے میں آسان وقت ہو سکتا ہے۔ لیکن اس کے لیے کسی بھی گراف کے ان خطوں کو تیزی سے تلاش کرنے کی ضرورت ہوگی جس میں نوڈس ایک دوسرے کے قریب ہیں - کچھ ایسا جسے وہ نہیں جانتے تھے کہ کیسے کرنا ہے۔ کلید ایک ایسی تکنیک نکلی جو گراف تھیوری کی بالکل مختلف شاخ میں شروع ہوئی۔
گراف کاٹنا
1980 کی دہائی میں، کمپیوٹر سائنس دانوں نے ایک تکنیک تیار کی جسے کم قطر کی سڑن کہا جاتا ہے تاکہ گراف میں تنگ کلسٹرز کو منتخب کیا جا سکے اور ان کلسٹرز کو الگ کرنے کے لیے حذف کرنے کے لیے کناروں کی شناخت کی جا سکے۔ یہ تکنیک گراف کو آزاد حصوں میں تقسیم کرنے کا ایک طریقہ فراہم کرتی ہے۔ یہ "تقسیم شدہ" الگورتھم کی سہولت کے لیے ایجاد کیا گیا تھا، جس میں ایک گراف کے مختلف حصوں پر حسابات متوازی طور پر چلتے ہیں، لہذا یہ مختصر ترین راستوں والے الگورتھم کے لیے کم کارآمد تھا، جن میں یہ خاصیت نہیں ہے۔
Bernstein، Nanongkai اور Wulff-Nilsen نے محسوس کیا کہ کم قطر کی سڑن ان کو زیادہ توجہ مرکوز کرنے والی منفییت کے بغیر جھرمٹ کی شناخت میں مدد دے سکتی ہے۔ بدقسمتی سے، معیاری کم قطر کے سڑنے والے الگورتھم صرف غیر ہدایت شدہ گرافس پر کام کرتے ہیں - جن میں ہر کنارے کو دونوں سمتوں میں عبور کیا جا سکتا ہے۔ منفی وزن والے مختصر ترین راستوں کا مسئلہ، اس دوران، صرف ڈائریکٹڈ گرافس پر ہی سمجھ میں آتا ہے، جس میں ہر کنارہ ایک طرفہ گلی ہے۔ (بصورت دیگر، ایک واحد غیر ہدایت شدہ منفی کنارہ ایک منفی سائیکل بنائے گا جس میں اس کنارے پر آگے پیچھے بار بار ہاپس شامل ہوں گے۔) اگر محققین کم قطر کے سڑن کو استعمال کرنا چاہتے ہیں، تو انہیں اسے اپنانا ہوگا۔
انہوں نے اپنے نئے پیپر میں یہی کیا۔ سے متاثر ہوا۔ ماضی کا کام جس میں Bernstein اور Wulff-Nilsen نے Probst Gutenberg کے ساتھ تعاون کیا تھا، انہوں نے کم قطر کے سڑن سے مشابہ ڈائریکٹ گرافس کے لیے فریکچرنگ کا طریقہ کار تیار کیا۔ یہ طریقہ کار صرف چند مٹھی بھر کناروں کو حذف کرنے کے لیے بے ترتیب عمل کا استعمال کرتے ہوئے ایک صوابدیدی ہدایت شدہ گراف کو ٹائٹ کلسٹرز کی ایک سیریز میں کاٹ دیتا ہے۔ اس کے بعد، وہ کلسٹرز ایک اسپارسر نیٹ ورک کے ذریعے جڑے ہوئے ہیں جس میں تمام کنارے ایک ہی سمت میں اشارہ کرتے ہیں۔ اس قسم کے نیٹ ورک کو ڈائریکٹڈ ایسکلک گراف یا ڈی اے جی کہا جاتا ہے۔
ڈی اے جی کو ایک ندی کی طرح سوچیں جس میں پانی مختلف راستوں سے بہہ سکتا ہے: کچھ راستے مختلف ذرائع سے بہتے ہیں، دوسرے مختلف سمتوں سے باہر نکلتے ہیں، اور پھر بھی دوسرے الگ الگ ہو سکتے ہیں اور دوبارہ ایک ساتھ مل سکتے ہیں۔ لیکن کوئی بھی چیز کبھی پیچھے کی طرف نہیں بہتی، اس لیے کوئی چکر نہیں ہیں۔ اس سے DAGs کے ساتھ کام کرنا بہت آسان ہو جاتا ہے۔
محققین طویل عرصے سے جانتے ہیں کہ منفی وزن کے ساتھ بھی DAGs پر تیزی سے مختصر ترین راستے کیسے تلاش کیے جاتے ہیں۔ لہذا فریکچرنگ تکنیک نے تینوں محققین کو کسی بھی ہدایت شدہ گراف کو دو خصوصی کیسز - ڈی اے جی اور سخت کلسٹرز کے مجموعے تک کم کرنے کے قابل بنایا جو ہر ایک کو سنبھالنا آسان تھا۔
نئے مختصر ترین راستوں کا الگورتھم بار بار فریکچرنگ طریقہ کار کا استعمال کرتا ہے تاکہ گراف کو ڈی اے جی کے ذریعے جڑے ہوئے سخت کلسٹرز میں تقسیم کیا جا سکے۔ اس کے بعد یہ ان جھرمٹوں کو مزید اور مزید الگ کرتا ہے۔ عمل کے اختتام پر، اندرونی سطح پر کلسٹرز جتنا ممکن ہو قریب سے جڑے ہوئے ہیں۔ الگورتھم کے اتنے تیز ہونے کی ایک وجہ یہ ہے کہ یہ ایک بہت بڑے گراف کو بھی مکمل طور پر ٹوٹنے میں بہت زیادہ تکرار نہیں کرتا ہے، بالکل اسی طرح اگر آپ بار بار تقسیم کرتے ہیں تو ایک بڑی تعداد کو مناسب سائز تک کم کرنے میں زیادہ وقت نہیں لگتا۔ یہ نصف میں.
اس انداز میں گراف کو مکمل طور پر ٹوٹ جانے کے ساتھ، محققین گراف کے ہر حصے سے مختصر ترین راستے تلاش کر سکتے ہیں۔ نیسٹڈ گراف ڈھانچے کی سب سے اندرونی سطح پر سخت کلسٹرز کے لیے، یہ آسان تھا - ان میں عملی طور پر کوئی منفیت باقی نہیں تھی۔ اور محققین پہلے ہی جانتے تھے کہ ڈی اے جی سیکشنز میں ان میں شامل ہونے والے مختصر ترین راستے کیسے تلاش کیے جائیں۔
آخر میں، الگورتھم فریکچرنگ کے عمل سے ختم ہونے والے کناروں کو واپس جوڑتا ہے اور مختصر ترین راستوں پر ان کے اثرات کا حساب لگاتا ہے۔ محققین نے ثابت کیا کہ کناروں کو تصادفی طور پر حذف کرنے کے ان کے عمل میں "پسماندہ" کناروں کو ختم کرنے کے لیے تقریباً ہمیشہ صرف چند حذف کرنے کی ضرورت ہوتی ہے - اس قسم کی جو ان کے DAG کو بڑے چکروں کے ساتھ گراف میں بدل دے گی۔ اس نے اس بات کا انتہائی امکان نہیں بنا دیا کہ کوئی بھی مختصر ترین راستہ بہت سارے پسماندہ حصوں سے گزرے گا، اس لیے وہ 1950 کی دہائی سے درسی کتاب کے دو طریقوں کو ملا کر اس مشکل آخری مرحلے کو حل کر سکتے ہیں: Dijkstra کا الگورتھم اور منفی وزن والے گراف کے لیے تیار کردہ پہلا الگورتھم۔
کھنہ نے کہا، "یہ ان خیالات کی ایک انتہائی چالاک ترکیب ہے۔ الگورتھم منفی وزن والے گرافس کے لیے پہلا ہے جو "قریبی لکیری" وقت میں چلتا ہے - جس کا مطلب ہے کہ اس کا رن ٹائم تمام کناروں کو گننے کے لیے درکار وقت کے تقریباً متناسب ہے، یہ ممکنہ طور پر تیز ترین ہو سکتا ہے۔
اور منفی سائیکلوں والے گرافوں کا کیا ہوگا، جنہیں محققین نے شروع میں نظر انداز کرنے کا فیصلہ کیا؟ اپنے مختصر ترین راستوں کے الگورتھم کو حتمی شکل دینے کے بعد، انہوں نے ظاہر کیا کہ یہ منفی سائیکلوں کی نشاندہی کرنے کے لیے ایک تیز الگورتھم کے طور پر بھی کام کر سکتا ہے۔ عملی طور پر کوئی گراف اس کی پہنچ سے باہر نہیں تھا۔
متوازی راستے
برنسٹین نے 2022 فاؤنڈیشنز آف کمپیوٹر سائنس کانفرنس میں ٹیم کا نتیجہ پیش کیا، جہاں نئے الگورتھم کو بیان کرنے والے ان کے نسخے کو دو بہترین کاغذات میں سے ایک سمجھا گیا۔ دی دوسرے کاغذ گراف تھیوری میں ایک دیرینہ مسئلہ کو حل کرنے کے لیے ایک نئے قریب لکیری وقت کے الگورتھم کی وضاحت کرنے کے لیے بھی ہوا۔
وہ الگورتھم، جسے پروبسٹ گٹنبرگ اور پانچ دیگر محققین نے تیار کیا ہے، نے کم سے کم لاگت کے بہاؤ کے نام سے ایک عام مسئلہ کو حل کیا، جس کا مقصد متوازی طور پر بہت سے راستوں کے ذریعے نقل و حمل کو بہتر بنانا ہے، اور ہر کنارے کی زیادہ سے زیادہ صلاحیت کے ساتھ ساتھ منسلک لاگت بھی ہوتی ہے۔ . مختصر ترین راستوں کے مسائل کم از کم لاگت کے بہاؤ کا ایک خاص معاملہ ہیں، اس لیے نئے کم از کم لاگت کے بہاؤ الگورتھم کو منفی وزن کے مختصر ترین راستوں کے مسئلے کو قریب لکیری وقت میں حل کرنے کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے، اگرچہ بالکل مختلف نقطہ نظر کے ساتھ۔
کم سے کم لاگت کے بہاؤ پر کام کرنے والی ٹیم نے مشترکہ اور مسلسل اصلاح کی تکنیکوں کی ایک پیچیدہ ترکیب کا استعمال کرتے ہوئے اپنا عمومی مقصد کا تیز رفتار الگورتھم تیار کیا ہے جو اسے عملی طور پر کم از کم فی الحال غیر مؤثر بناتا ہے۔ برنسٹین اور ان کے ساتھیوں کا مشترکہ الگورتھم، اگرچہ ایک زیادہ مخصوص مسئلہ تک محدود ہے، سادگی کی قربانی کے بغیر اپنے قریب لکیری رن ٹائم کو حاصل کرتا ہے۔
"یہ وہ چیز ہے جو اس مقالے کے بارے میں بہت حیران کن ہے،" پروبسٹ گٹن برگ نے کہا۔ "آپ اسے ایک انڈرگریجویٹ طالب علم کو سمجھا سکتے ہیں، اور آپ اسے اپنے کمپیوٹر پر بھی نافذ کر سکتے ہیں۔"
نتیجے کے طور پر، اس نئے الگورتھم نے گراف تھیوری میں دیگر مسائل کے لیے مشترکہ نقطہ نظر میں دلچسپی کو بحال کیا ہے۔ یہ دیکھنا باقی ہے کہ کون سے مسائل کو خالصتاً امتزاج الگورتھم کا استعمال کرتے ہوئے تیزی سے حل کیا جا سکتا ہے، اور جن کے لیے واقعی پچھلے 20 سالوں میں تیار کردہ مسلسل تکنیکوں کی ضرورت ہے۔
"یہ ایک فلسفیانہ سوال ہے جسے میں سمجھنے کی کوشش کر رہا ہوں،" نانونگکائی نے کہا۔ "یہ مختصر ترین راستہ مسئلہ کچھ امید دیتا ہے۔"
- SEO سے چلنے والا مواد اور PR کی تقسیم۔ آج ہی بڑھا دیں۔
- پلیٹو بلاک چین۔ Web3 Metaverse Intelligence. علم میں اضافہ۔ یہاں تک رسائی حاصل کریں۔
- ماخذ: https://www.quantamagazine.org/finally-a-fast-algorithm-for-shortest-paths-on-negative-graphs-20230118/
- 20 سال
- 2021
- 2022
- a
- ہمارے بارے میں
- کے مطابق
- اکاؤنٹ
- حاصل کیا
- کے پار
- اصل میں
- تیزابیت
- اپنانے
- جوڑتا ہے
- کے بعد
- کے خلاف
- یلگورتم
- یلگوردمز
- تمام
- پہلے ہی
- ہمیشہ
- اولوالعزم، خواہش مند، حوصلہ مند
- قدیم
- اور
- ایک اور
- علاوہ
- نقطہ نظر
- نقطہ نظر
- ارد گرد
- منسلک
- واپس
- متوازن
- کی بنیاد پر
- کیونکہ
- بن
- اس سے پہلے
- شروع ہوا
- یقین ہے کہ
- برنسٹین
- BEST
- کے درمیان
- سے پرے
- بگ
- قرضے لے
- برانچ
- توڑ
- وقفے
- ٹوٹ
- حساب کرتا ہے
- کہا جاتا ہے
- اہلیت
- کیس
- مقدمات
- کچھ
- سی آئی ایس
- کلوز
- قریب سے
- کلسٹر
- تعاون کیا
- ساتھیوں
- مجموعہ
- امتزاج
- کس طرح
- گنتی
- کمپیوٹر
- کمپیوٹر سائنس
- مرکوز
- کانفرنس
- منسلک
- مربوط
- غور کریں
- پر مشتمل ہے
- مسلسل
- قیمت
- سکتا ہے
- تخلیق
- موجودہ
- اس وقت
- کٹ
- سائیکل
- ماؤنٹین
- دہائیوں
- فیصلہ کیا
- فیصلے
- ترسیل
- بیان
- منزل
- کا تعین
- ترقی
- ترقی یافتہ
- DID
- اختلافات
- مختلف
- مشکل
- براہ راست
- سمت
- دریافت
- فاصلے
- نہیں کرتا
- نہیں
- نیچے
- ڈرائیور
- ڈچ
- ہر ایک
- کما
- آسان
- سب سے آسان
- ایج
- اثرات
- کا خاتمہ
- ختم ہوگیا
- چالو حالت میں
- مکمل
- بنیادی طور پر
- تخمینہ
- اندازوں کے مطابق
- بھی
- کبھی نہیں
- سب
- موجودہ
- موجود ہے
- ماہرین
- وضاحت
- ایکسپلور
- انتہائی
- سہولت
- پرستار
- فاسٹ
- سب سے تیزی سے
- وفاقی
- چند
- فائنل
- آخر
- مل
- تلاش
- پتہ ہے
- پہلا
- پہلی بار
- بہاؤ
- بہنا
- توجہ مرکوز
- ملا
- بنیادیں
- آزادی
- سے
- مکمل طور پر
- مزید
- گیس
- جنرل
- عام مقصد
- جرمنی
- حاصل
- دی
- فراہم کرتا ہے
- Go
- مقصد
- گراف
- گرافکس
- لالچی
- بات کی ضمانت
- گٹنبرگ
- نصف
- مٹھی بھر
- ہینڈل
- ہوا
- سرخی
- مدد
- اعلی
- امید ہے کہ
- کس طرح
- کیسے
- تاہم
- HTML
- HTTPS
- خیالات
- شناخت
- پر عملدرآمد
- in
- انکم
- آزاد
- انفرادی
- معلومات
- متاثر
- مثال کے طور پر
- انسٹی ٹیوٹ
- دلچسپی
- آویشکار
- شامل
- IT
- تکرار
- میں شامل
- شمولیت
- کلیدی
- بچے
- جان
- جانا جاتا ہے
- بڑے
- بڑے
- سطح
- زندگی
- لمیٹڈ
- حدود
- لنکس
- مقامی
- لانگ
- طویل وقت
- دیرینہ
- اب
- دیکھو
- بنا
- بنا
- بناتا ہے
- بنانا
- انداز
- بہت سے
- نقشہ
- میچ
- ریاضیاتی
- میکس
- زیادہ سے زیادہ
- کا مطلب ہے کہ
- دریں اثناء
- ضم کریں
- طریقوں
- شاید
- جدید
- قیمت
- زیادہ
- چالیں
- منتقل
- تقریبا
- منفی
- پڑوسیوں
- نیٹ
- نیٹ ورک
- نئی
- اگلے
- نوڈ
- نوڈس
- تصور
- تعداد
- تعداد
- آفسیٹ
- ایک
- کھول
- آپریشنز
- اصلاح کے
- کی اصلاح کریں
- اصل
- پیدا ہوا
- دیگر
- دیگر
- دوسری صورت میں
- پیکجوں کے
- جوڑی
- کاغذ.
- کاغذات
- متوازی
- حصہ
- حصے
- پاسنگ
- گزشتہ
- راستہ
- پنسلوانیا
- لینے
- پلاٹا
- افلاطون ڈیٹا انٹیلی جنس
- پلیٹو ڈیٹا
- پوائنٹ
- پوائنٹس
- مثبت
- امکانات
- ممکن
- عملی طور پر
- پریکٹس
- پیش
- مسئلہ
- مسائل
- عمل
- منافع
- منافع بخش
- پیش رفت
- منصوبے
- جائیداد
- ثابت ہوا
- فراہم کرتا ہے
- خالص
- ڈالنا
- کوانٹا میگزین
- سوال
- جلدی سے
- یکسر
- بے ترتیب
- میں تیزی سے
- تک پہنچنے
- اصلی
- احساس ہوا
- وجہ
- مناسب
- حال ہی میں
- کو کم
- کی عکاسی
- خطوں
- نسبتا
- رہے
- باقی
- بار بار
- بار بار
- کی نمائندگی
- نمائندگی
- کی نمائندگی کرتا ہے
- کی ضرورت
- ضرورت
- تحقیق
- محققین
- ذمہ دار
- محدود
- نتیجہ
- نتیجے
- انعام
- سڑک
- روٹ
- رن
- چل رہا ہے
- Rutgers یونیورسٹی
- قربانی دینا
- کہا
- اسی
- سائنس
- سائنسدان
- سائنسدانوں
- تلاش
- سیکشنز
- حصے
- حصوں
- احساس
- سیریز
- آباد
- کئی
- مختصر
- اسی طرح
- سادہ
- سادگی
- بعد
- ایک
- سائز
- چھوٹے
- So
- حل
- حل کرنا۔
- کچھ
- کسی
- کچھ
- کہیں
- بہتر
- ماخذ
- ذرائع
- خصوصی
- مخصوص
- تیزی
- جادو
- تقسیم
- معیار
- شروع کریں
- شروع
- شروع
- مرحلہ
- ابھی تک
- کہانی
- حکمت عملی
- سٹریم
- سڑک
- ساخت
- طالب علم
- اس طرح
- موسم گرما
- سوئس
- لے لو
- لیتا ہے
- لینے
- ٹیم
- تکنیک
- ٹیکنالوجی
- بتاتا ہے
- درسی کتاب
- ۔
- گراف
- ماخذ
- ان
- چیزیں
- تین
- کے ذریعے
- وقت
- کرنے کے لئے
- مل کر
- بھی
- موضوع
- چھونے
- نقل و حمل
- سفر
- مصیبت
- سچ
- ٹرن
- تبدیل کر دیا
- بنیادی
- سمجھ
- یونیورسٹی
- اپ ڈیٹ
- استعمال کی شرائط
- چھٹی
- بنیادی طور پر
- چاہتے تھے
- پانی
- ویبپی
- وزن
- کیا
- چاہے
- جس
- ڈبلیو
- کے اندر
- بغیر
- کام
- کام کر
- کام کرتا ہے
- گا
- سال
- تم
- اور
- زیفیرنیٹ
- زیورخ