ریاضی دان کیسے جانتے ہیں کہ ان کے ثبوت درست ہیں؟

لامحدودیت کے بارے میں کوئی کیسے یقین کے ساتھ بات کر سکتا ہے؟ ان سب کو جانے بغیر ہم واقعی پراسرار بنیادی نمبروں کے بارے میں کیا جان سکتے ہیں؟ جس طرح سائنس دانوں کو اپنے مفروضوں کا اندازہ لگانے کے لیے ڈیٹا کی ضرورت ہوتی ہے، اسی طرح ریاضی دانوں کو قیاس آرائیوں کو ثابت کرنے یا غلط ثابت کرنے کے لیے ثبوت کی ضرورت ہوتی ہے۔ لیکن نمبر تھیوری کے غیر محسوس دائرے میں ثبوت کے طور پر کیا شمار ہوتا ہے؟ اس ایپی سوڈ میں، سٹیون سٹروگیٹز بات کر رہے ہیں۔ میلانیا میچیٹ ووڈ، ہارورڈ یونیورسٹی میں ریاضی کے پروفیسر، یہ جاننے کے لیے کہ کس طرح امکان اور بے ترتیب پن ریاضی دانوں کے مطالبے کے دلائل کے لیے ثبوت قائم کرنے میں مدد کر سکتے ہیں۔

سنو ایپل پوڈ, Spotify, گوگل پوڈ کاسٹ, Stitcher, میں دھن یا آپ کی پسندیدہ پوڈ کاسٹنگ ایپ، یا آپ کر سکتے ہیں۔ اس سے سٹریم Quanta.

مکمل نقل

سٹیون سٹروگیٹز (00:02): میں Steve Strogatz ہوں، اور یہ ہے۔ کیوں کی خوشی، سے ایک پوڈ کاسٹ کوتاٹا میگزین جو آپ کو آج ریاضی اور سائنس کے سب سے بڑے جواب طلب سوالات میں لے جاتا ہے۔ اس ایپی سوڈ میں، ہم بات کرنے جا رہے ہیں۔ ریاضی میں ثبوت. ریاضی دان کس قسم کے ثبوت استعمال کرتے ہیں؟ اس سے پہلے کہ ان کے پاس واٹر ٹائٹ ثبوت موجود ہو، ان کو شک کرنے کی کیا وجہ ہے کہ کچھ سچ ہو سکتا ہے؟

00:26 مثال کے طور پر، ریاضی کی شاخ میں جسے نمبر تھیوری کے نام سے جانا جاتا ہے، ریاضی دانوں کو اندازہ لگانے میں مدد کرنے کے لیے بے ترتیب پن کو استعمال کرنے کی ایک طویل تاریخ ہے۔ اب، امکان کا استعمال ان کی مدد کے لیے کیا جا رہا ہے کہ یہ ثابت کیا جائے کہ کیا سچ ہے۔

(00:53) ہم یہاں پرائم نمبرز پر توجہ مرکوز کریں گے۔ آپ کو شاید بنیادی نمبر یاد ہیں، ٹھیک ہے؟ آپ نے ان کے بارے میں اسکول میں سیکھا۔ بنیادی نمبر 1 سے بڑا ایک مکمل نمبر ہے جسے صرف 1 اور خود سے تقسیم کیا جاسکتا ہے۔ مثال کے طور پر، 7 یا 11۔ وہ بنیادی نمبر ہیں، لیکن 15 اس لیے نہیں ہے کہ 15 کو 3 یا 5 سے یکساں طور پر تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ آپ بنیادی اعداد کے بارے میں سوچ سکتے ہیں جیسے کیمسٹری کے متواتر جدول کے عناصر، معنی میں کہ وہ ناقابل تقسیم ایٹم ہیں جو باقی تمام اعداد کو بناتے ہیں۔

(01:27) پرائم نمبرز ایسا لگتا ہے کہ وہ سادہ ہونے چاہئیں، لیکن ریاضی کے سب سے بڑے اسرار پرائم نمبرز کے بارے میں سوالات ہیں۔ کچھ معاملات میں، سوالات جو سینکڑوں سالوں کے ارد گرد ہیں. پرائمز کے بارے میں واقعی کچھ بہت لطیف ہے۔ ایسا لگتا ہے کہ وہ ترتیب اور بے ترتیبی کے درمیان سرحدی علاقے میں رہتے ہیں۔ آج کا میرا مہمان ریاضی میں ثبوت کی نوعیت کے بارے میں مزید سمجھنے میں ہماری مدد کرے گا، اور خاص طور پر کیسے اور کیوں بے ترتیب پن ہمیں پرائم نمبرز کے بارے میں اتنا کچھ بتا سکتا ہے، اور کیوں امکان پر مبنی ماڈل نمبر تھیوری کے آخری کنارے پر اتنے مفید ہو سکتے ہیں۔ ان سب پر بات کرنے کے لیے اب میرے ساتھ شامل ہو رہی ہیں میلانی میچیٹ ووڈ، ہارورڈ یونیورسٹی میں ریاضی کی پروفیسر۔ خوش آمدید، میلانیا!

میلانیا میچیٹ ووڈ (02:09): ہیلو، آپ سے بات کر کے اچھا لگا۔

Strogatz (02:11): آپ سے بات کر کے بہت اچھا لگا، میں بہت بڑا مداح ہوں۔ آئیے ایک دوسرے کے تعلق سے ریاضی اور سائنس کے بارے میں بات کرتے ہیں کیونکہ الفاظ اکثر ایک ساتھ استعمال ہوتے ہیں، اور پھر بھی ہم ریاضی میں ثبوت اور یقین کے لیے جو تکنیک استعمال کرتے ہیں وہ سائنس میں کرنے کی کوشش سے کچھ مختلف ہیں۔ مثال کے طور پر، جب ہم ریاضی میں ثبوت اکٹھا کرنے کے بارے میں بات کرتے ہیں، تو یہ کیسے ایک جیسا ہے یا سائنس میں سائنسی طریقہ سے ثبوت اکٹھا کرنے سے کیسے مختلف ہے؟

لکڑی (02:38): ایک ریاضیاتی ثبوت ایک بالکل ہوا بند، مکمل منطقی دلیل ہے کہ کچھ ریاضی کا دعوی اس طرح ہونا چاہئے اور کسی اور طریقے سے نہیں ہوسکتا ہے۔ اس لیے سائنسی نظریہ کے برعکس - جو آج ہمارے پاس موجود ثبوتوں کی بنیاد پر ہمارے پاس سب سے بہتر ہوسکتا ہے، لیکن ہمیں مزید شواہد ملیں گے، آپ جانتے ہیں، اگلے 10 سالوں میں اور ہوسکتا ہے کہ ایک نیا نظریہ ہو - ایک ریاضیاتی ثبوت کہتے ہیں کہ کچھ بیان اس طرح ہونا چاہئے، ہم ممکنہ طور پر یہ دریافت نہیں کر سکتے کہ یہ 10 سال، یا 20 سالوں میں غلط ہو گا۔

Strogatz (03:17): ٹھیک ہے، ریاضی میں ثبوت کے طور پر کس قسم کی چیزیں شمار ہوتی ہیں؟

لکڑی (03:19): تو آپ دیکھ سکتے ہیں کہ بہت ساری مثالوں میں کچھ سچ ہے۔ اور بہت ساری مثالوں میں اس کے سچ ہونے کی بنیاد پر، جو آپ کہہ سکتے ہیں کہ اس حقیقت کا ثبوت ہوگا، آپ ایک قیاس کر سکتے ہیں، جسے ریاضی دان ایک قیاس کہتے ہیں، ایک اندازہ کہ کچھ سچ ہے۔ لیکن پھر، ریاضی دان جو چاہیں گے وہ اس بات کا ثبوت ہو گا کہ جو چیز آپ نے بہت ساری مثالوں میں دیکھی ہے وہ ہمیشہ اس طریقے سے کام کرے گی جس کا آپ دعوی کرتے ہیں۔

Strogatz (03:49): درست، صرف ثبوت کے وزن سے بہت مختلف۔ یہ ایک بیان ہے کہ ایک وجہ ہے کہ کچھ ہمیشہ کے لیے، ہر وقت کے لیے، ہر معاملے میں سچ ہونے جا رہا ہے۔

لکڑی (03:58): اور نہ صرف "اوہ ٹھیک ہے، میں نے ایک ملین کیسز دیکھے ہیں اور یہ ان میں سے ہر ایک میں سچ ہے۔" جو یہ اندازہ لگانے یا قیاس کرنے کی ایک وجہ ہے کہ یہ ہمیشہ سچ ہے۔ لیکن ریاضی میں، ہم ایسے اندازے کے درمیان فرق کرتے ہیں جو بہت سے معاملات یا شواہد کی بنیاد پر ہو سکتا ہے، اور ایک تھیوریم یا ثبوت، ایک دلیل جو آپ کو بتاتی ہے کہ یہ ہر معاملے میں کام کرے گا، یہاں تک کہ آپ کے پاس بھی۔ کوشش نہیں کی

Strogatz (04:25): اب، کیا یہ صرف یہ ہے کہ ریاضی دان فطرت کے اعتبار سے پرہیزگار ہیں، یا ایسی صورتیں ہیں جہاں کوئی ایسی چیز جو سچ لگتی تھی، امکانات کی ایک بہت بڑی تعداد تک، کچھ دوسری بڑی تعداد سے آگے درست نہیں ہوتی۔ ?

لکڑی (04:39): اوہ، یہ بہت اچھا سوال ہے۔ ٹھیک ہے، یہاں ایک مثال ہے جو مجھے پسند ہے، کیونکہ مجھے بنیادی نمبر پسند ہیں۔ اس لیے جب آپ بنیادی نمبروں کے ذریعے جاتے ہیں — 2، 3، 5، 7 — ان چیزوں میں سے ایک جو آپ کر سکتے ہیں، آپ دیکھ سکتے ہیں اور کہہ سکتے ہیں، "ارے، کیا وہ 2 سے تقسیم ہوتے ہیں؟" اور یہ زیادہ دلچسپ نہیں نکلا۔ 2 کے بعد، ان میں سے کوئی بھی 2 سے قابل تقسیم نہیں ہے۔ وہ سب ہیں، وہ تمام عجیب ہیں۔

(05:10) اور پھر آپ سوچ سکتے ہیں، "اچھا، کیا وہ 3 سے تقسیم ہوتے ہیں؟" اور یقیناً، 3 کے بعد، وہ 3 سے بھی تقسیم نہیں ہو سکتے، کیونکہ وہ پرائمز ہیں۔ تاہم، آپ محسوس کر سکتے ہیں کہ ان میں سے کچھ، جب آپ انہیں 3 سے تقسیم کرتے ہیں، تو آپ کو 1 کا بقیہ حصہ ملتا ہے، کہ وہ 1 کے ضرب سے 3 زیادہ ہیں۔ تو 7 جیسی چیزیں، جو 1 سے 6 زیادہ ہے، یا 13 جو کہ 1 سے 12 زیادہ ہے۔ اور ان میں سے کچھ پرائمز، جیسے 11، یا 17، جو کہ 2 سے 15 زیادہ ہیں، جب آپ انہیں 2 سے تقسیم کریں گے تو ان کے پاس باقی 3 ہوں گے، کیونکہ وہ ایک سے 2 زیادہ ہیں۔ 3 کا کثیر۔

(05:47) اور اس طرح آپ ٹیموں میں ان پرائمز کے بارے میں سوچ سکتے ہیں۔ ٹیم 1 وہ تمام ہیں جو 1 کے ضرب سے 3 زیادہ ہیں اور ٹیم 2 وہ تمام ہیں جو 2 کے ضرب سے 3 زیادہ ہیں۔ پرائمز اور آپ حساب کر سکتے ہیں، اور دیکھ سکتے ہیں کہ ٹیم 1 میں کتنے ہیں، اور ٹیم 2 میں کتنے ہیں۔ اور اگر آپ نے یہ تعداد 600 بلین تک کی، ہر پوائنٹ پر، ہر نمبر 600 بلین تک، آپ کو معلوم ہو گا کہ ٹیم 2 پرائمز سے زیادہ ٹیم 1 پرائمز ہیں۔ لہذا، آپ قدرتی طور پر اس ثبوت کی بنیاد پر اندازہ لگا سکتے ہیں کہ ٹیم 2 پرائمز سے زیادہ ٹیم 1 پرائمز ہمیشہ ہوں گے۔

Strogatz (06:33): ضرور۔ بالکل ایسا ہی لگتا ہے۔

لکڑی: پتہ چلتا ہے، تقریباً 608-بلین-کچھ نمبر پر، میں صحیح نمبر بھول جاتا ہوں، یہ بدل جاتا ہے۔

Strogatz (06:46): اوہ، چلو۔

لکڑی: جی ہاں، یہ واقعی بدل جاتا ہے۔ اور اب اچانک، ٹیم 1 برتری میں ہے۔ تو، وہ ہے -

Strogatz (06:53): ایک منٹ انتظار کریں۔ انتظار کرو، لیکن یہ حیرت انگیز ہے. کیا - اب، کیا وہ بدلتے رہتے ہیں؟ کیا ہم جانتے ہیں کہ جب آپ چلتے رہتے ہیں تو کیا ہوتا ہے؟ کیا وہ بدلتے رہتے ہیں؟

لکڑی (07:01): ہاں، بہت اچھا سوال۔ لہذا، واقعی، یہ ایک نظریہ ہے کہ وہ اکثر لامحدود لیڈز کو تبدیل کریں گے۔

Strogatz (07:07): واقعی؟

لکڑی: تو وہ لیڈز کی تجارت کرتے رہیں گے۔ لیکن جب آپ پرائم نمبرز کا مطالعہ کر رہے ہوتے ہیں تو اپنے ذہن کے پیچھے رکھنا واقعی ایک بہترین مثال ہے، کہ صرف اس لیے کہ پہلے 600 بلین کیسز کے لیے کچھ سچ تھا اس کا مطلب یہ نہیں ہے کہ یہ ہمیشہ سچ رہے گا۔

Strogatz (07:25): اوہ، واہ۔ اچھا ٹھیک ہے. تو، عام طور پر، آپ ایک قیاس سے ثبوت تک کیسے پہنچتے ہیں؟

لکڑی (07:31): یہ کیس پر بہت زیادہ منحصر ہے۔ میرا مطلب ہے کہ ریاضی کے بہت سے ایسے معاملات ہیں جہاں ہمارے پاس قیاس ہیں اور ہمارے پاس کوئی ثبوت نہیں ہے۔ اس لیے قیاس سے ثبوت تک پہنچنے کے لیے کوئی آسان نسخہ نہیں ہے، یا ہمارے پاس اتنے مشہور کھلے مسائل نہیں ہوں گے جہاں، آپ جانتے ہیں، کچھ ایسے ہیں - کچھ قیاس جو لوگ سوچتے ہیں کہ کوئی چیز ایک خاص طریقے سے کام کرتی ہے، لیکن ہم ایسا نہیں کرتے۔ یہ یقینی طور پر نہیں جانتے. لیکن، آپ جانتے ہیں، بعض اوقات قیاس اسباب بتا سکتا ہے کہ کچھ سچ ہے۔ بعض اوقات یہ صرف ریاضیاتی نظریہ ہوتا ہے، جو زیادہ سے زیادہ ریاضیاتی تھیوری پر بنایا گیا ہے جسے لوگ سیکڑوں سالوں سے تیار کر رہے ہیں، ہمیں ان چیزوں کو سمجھنے کے لیے کام کرنے کے لیے کافی ٹولز اور ڈھانچہ فراہم کرتا ہے، کہ ہم ایک ثبوت کے ساتھ سامنے آتے ہیں۔ لیکن ایسا نہیں ہے کہ گمان ضروری طور پر ثبوت کی طرف لے جاتا ہے۔ قیاس لوگوں کو ثبوت تلاش کرنے کی ترغیب دے سکتا ہے، لیکن جس طرح سے ثبوت آتا ہے وہ قیاس سے بالکل الگ ہو سکتا ہے۔

Strogatz (08:31): ہاں، میں ایسے شواہد کی گنتی میں دلچسپی رکھتا ہوں، یا اس قسم کے شواہد کی فہرست بناتا ہوں جو ثبوت سے کم ہوں، جو لوگوں کو یہ اعتماد دلائیں کہ ثبوت کے لیے جانے کی کوشش کرنا قابل قدر ہے۔

لکڑی (08:41): ہاں، ایک اور چیز جسے ہم ثبوت کے طور پر کہہ سکتے ہیں جو کہ صرف مثالیں ہی نہیں ہیں، ایک تحقیقی ہوگی۔ ہورسٹک ایک دلیل کی طرح ہو سکتا ہے، سوائے سختی کے بہت کم معیار کے۔ یہ بالکل ایسا ہی ہے، کیا یہ ٹھیک لگتا ہے؟ نہیں "کیا میں نے یقینی طور پر اس حقیقت کو کسی شک کے سائے سے باہر قائم کیا ہے؟" لیکن "ایسا کرتا ہے - ہاں، یہ کافی قابل فہم لگتا ہے۔" لہذا ایک ہورسٹک استدلال کی ایک لائن ہوسکتی ہے جو کافی قابل فہم معلوم ہوتی ہے، آپ جانتے ہیں، لیکن حقیقت میں یہ ایک سخت دلیل نہیں ہے۔ تو یہ ایک قسم کا ثبوت ہے۔

(09:12) کبھی کبھی کسی کے پاس ایسا ماڈل ہو سکتا ہے جو ہمارے خیال میں ریاضیاتی نظام کے ضروری عناصر کو پکڑتا ہے جسے ہم سمجھنے کی کوشش کر رہے ہیں، اور اس طرح آپ یہ اندازہ لگائیں گے کہ آپ کا سسٹم آپ کے ماڈل جیسا طرز عمل رکھتا ہے۔

Strogatz (09:30): ٹھیک ہے۔ کسی موقع پر، میں ماڈلز اور قیاس آرائیوں کی کچھ مثالیں سننا چاہتا ہوں اور، آپ کو معلوم ہے کہ وہ کس حد تک کام کرتے ہیں یا کچھ سوالات پر کام نہیں کرتے یا دوسروں پر نہیں، لیکن، اگر آپ کو کوئی اعتراض نہ ہو، میں کروں گا۔ صرف چند چھوٹی ذاتی چیزوں کی طرف واپس جانا پسند کرتے ہیں، اس قسم کی، کیونکہ ہم یہاں نمبرز کے بارے میں بات کر رہے ہیں، اور آپ نمبر تھیوریسٹ ہیں۔ لوگ اپنی روزمرہ کی زندگی میں بہت سے نمبر تھیوریسٹوں کو نہیں جانتے ہوں گے۔ تو، مجھے حیرت ہے کہ کیا آپ ہمیں بتا سکتے ہیں۔ نمبر تھیوری کیا ہے؟اور یہ بھی، آپ کو یہ دلچسپ کیوں لگتا ہے؟ تم اسے پڑھنے کیوں آئے ہو؟

لکڑی (10:02) ٹھیک ہے، نمبر تھیوری پورے نمبروں کا ریاضیاتی مطالعہ ہے۔ تو سوچیں 1، 2، 3، 4، 5۔ اور خاص طور پر، پورے نمبروں میں ایک اہم چیز بنیادی نمبر ہیں۔ جیسا کہ آپ نے وضاحت کی، بالکل شروع میں، یہ وہ عمارتی بلاکس ہیں جن سے ہم، ضرب کے ذریعے، باقی تمام اعداد کو بنا سکتے ہیں۔ لہذا چونکہ نمبر تھیوری کا تعلق ان تمام مکمل نمبروں سے ہے، اس کا تعلق ان کے بلڈنگ بلاکس، پرائم نمبرز، اور کس طرح دوسرے نمبرز کو پرائمز میں فیکٹر کرتے ہیں اور کیسے وہ بنائے گئے ہیں - پرائمز سے باہر.

Strogatz (10:37): تو، نمبر تھیوری، آج ہمارے مقاصد کے لیے، میرا اندازہ ہے، بنیادی نمبروں میں ایک خاص دلچسپی کے ساتھ، پورے اعداد کا مطالعہ ہوگا۔ یہ ایک بہت اچھی شروعات کی طرح لگتا ہے۔ مجھے لگتا ہے کہ یہ اس سے زیادہ ہے۔ لیکن شاید یہ اب ہمارے لیے اچھی تعریف ہے۔ اگر آپ ایسا سوچتے ہیں؟

لکڑی (10:50): یہ ایک اچھی بات ہے، یہ ایک اچھی شروعات ہے۔ میرا مطلب ہے، وہاں سے، کوئی مزید چیزوں کی کھوج کرتا ہے، ٹھیک ہے، اگر آپ ایسے نمبر سسٹمز پر غور کرنا شروع کر دیں جو صرف پورے نمبروں سے زیادہ پیچیدہ ہیں؟ جیسا کہ آپ دوسرے نمبر لگانا شروع کرتے ہیں، جیسے 2 کا مربع جڑ، پھر پرائمز اور فیکٹرائزیشن کے ساتھ کیا ہوتا ہے؟ آپ مزید سوالات کی طرف لے جاتے ہیں۔ لیکن ایمانداری سے، صرف پورے نمبروں اور پرائمز میں بہت زیادہ امیر اور خوبصورت ریاضی ہے۔

Strogatz (11:16): تو پھر اس کو ذہن میں رکھتے ہوئے، آپ کو یہ مجبور کیوں لگتا ہے؟ آپ کو نمبر تھیوری کا مطالعہ کیوں پسند ہے؟ کس چیز نے آپ کو اس کی طرف راغب کیا؟

لکڑی (11:22): مجھے لگتا ہے کہ مجھے پسند ہے کہ سوالات اتنے ٹھوس ہوسکتے ہیں۔ آپ جانتے ہیں، میں جا کر ابتدائی اسکول کے بچوں سے بات کرتا ہوں۔ اور میں انہیں کچھ ایسی چیزوں کے بارے میں بتا سکتا ہوں، جن کے بارے میں میں سوچتا ہوں۔ اس لیے، میرے لیے کسی ایسی چیز پر کام کرنا مزے کی بات ہے کہ ایک طرف تو سوالات اتنے ٹھوس ہو سکتے ہیں، لیکن دوسری طرف، اسے حل کرنے کی کوشش کی پہیلی بہت مشکل ہو سکتی ہے۔ میرا مطلب ہے، لوگ لفظی طور پر ہزاروں سالوں سے پورے اعداد کے بارے میں سوالات کے جوابات دینے کی کوشش کر رہے ہیں۔

(11:54) اور ریاضی کی بہت سی شاخیں ہیں۔ جدید نمبر تھیوری کا ایک اہم حصہ یہ ہے کہ ان ضدی پرانے سوالات پر پیش رفت کرنے کے لیے جن پر لوگ اتنے عرصے سے کام کر رہے ہیں، کسی کو نئے آئیڈیاز لانے کی ضرورت ہے، اور ریاضی کے دوسرے حصوں کے ساتھ رابطہ قائم کرنے کی ضرورت ہے۔ لہٰذا اگرچہ میں خود کو نمبر تھیوریسٹ کہوں گا، میں ہر طرح کے شعبوں سے ریاضی کا استعمال کرتا ہوں۔ مطالعہ سے، آپ جانتے ہیں، جیومیٹری اور ٹوپولوجی اور خالی جگہوں کی شکلیں امکان اور بے ترتیب مطالعہ تک۔ میں ہر قسم کی ریاضی کا استعمال کرتا ہوں، لیکن مکمل اعداد اور بنیادی اعداد اور فیکٹرائزیشن جیسی چیزوں کے بارے میں کچھ کہنے کی کوشش کرتا ہوں۔

Strogatz (12:36): ہاں، مجھے ریاضی کا وہ وژن پسند ہے جیسا کہ خیالات کے اس بڑے باہم جڑے ہوئے جال کے، اور آپ اس کے کسی خاص حصے میں رہنا چاہتے ہیں جو آپ کا پسندیدہ ہو۔ لیکن آپ نے بنیادی نمبروں کا تذکرہ کیا ہے کہ وہ نمبر تھیوری میں دلچسپی کا ایک خاص علاقہ ہے، جو اس کا سب سے بنیادی حصہ ہے۔ ان کے بارے میں کیا مشکل ہے؟ یہ ابھی تک واضح نہیں ہے، ہماری بحث میں، وہاں اتنا پراسرار کیا ہے؟ جیسا کہ ہم نے ان کی تعریف کی ہے، ہم شاید ان کی فہرست جاری رکھ سکتے ہیں، مجھے لگتا ہے۔ آپ جن مسائل کا ذکر کر رہے ہیں ان میں سے کچھ کیا ہیں جو سینکڑوں سال پرانے ہیں؟

لکڑی (13:05): ٹھیک ہے، ایک سب سے بڑا اور اہم سوال، جو شاید تقریباً 120 سال پرانا ہے، آپ نے کہا، "اوہ، آپ ان کی فہرست بنا سکتے ہیں۔ اگر آپ نے ایسا کیا تو آپ کو کتنے ملیں گے؟" تو ہم کہتے ہیں کہ آپ نے سو، یا ایک ہزار، یا سو ہزار، یا ایک ملین، ایک ارب تک پرائمز درج کیے ہیں۔ جیسا کہ آپ بڑے اور بڑے نمبروں تک پرائمز کی فہرست بناتے ہیں، ان میں سے کتنے نمبرز جن سے آپ گزرتے ہیں اصل میں پرائم ہوں گے؟ لہذا اس مقدار کو سمجھنا واقعی دل کی بات ہے۔ ریمن کا مفروضہ، جو کلے میتھ انسٹی ٹیوٹ میں سے ایک ہے۔ ملینیم پرائز کے مسائلجواب دینے کے لیے ایک ملین ڈالر کا انعام ہے۔ یہ سب سے مشہور سوالات میں سے ایک ہے اور ہمیں اس کا کوئی اندازہ نہیں ہے کہ اسے کیسے کرنا ہے، اور یہ واقعی صرف اس سوال کے بارے میں ہے، جب آپ ان پرائمز کی فہرست بنائیں گے، تو آپ کو کتنے ملیں گے؟

Strogatz (13:58): ٹھیک ہے۔ یہ مضحکہ خیز ہے، ٹھیک ہے؟ کیونکہ جیسے ہی آپ فہرست بنانا شروع کرتے ہیں، یہاں تک کہ اگر کسی نے اتفاق سے ان نمبروں کی فہرست بنانا شروع کردی جو 100 تک پرائم ہیں — آپ کو کچھ مضحکہ خیز چیزیں نظر آئیں گی۔ جیسے، پہلے 11 اور 13 میں، وہ 2 الگ ہیں۔ پندرہ، ٹھیک ہے، یہ کام نہیں کرتا، کیونکہ یہ 5 اور 3 سے تقسیم ہوتا ہے۔ پھر 17، تو اب 4 کا فرق ہے، 13 اور 17 کے درمیان۔ لیکن پھر 19 پھر قریب ہے۔ میں نہیں جانتا، میرا مطلب ہے، لہذا پرائمز کے درمیان وقفہ کاری ایک قسم کی ہو سکتی ہے۔ جیسے کبھی کبھی وہاں ایک بہت بڑا خلا ہوتا ہے، اور بعض اوقات وہ ایک دوسرے کے بالکل قریب ہوتے ہیں، صرف 2 کے فاصلے پر۔

لکڑی (14:31): ہاں، اتنا سمجھنا کہ وقفہ کاری اور ان فرقوں کو سمجھنا بھی دلچسپی کا ایک بڑا سوال ہے۔ پرائمز کے درمیان فاصلہ کو سمجھنے میں پچھلی دہائی میں قابل ذکر پیش رفت ہوئی ہے۔ لیکن ابھی بھی ایک بہت ہی پریشان کن، بنیادی سوال ہے جس کا جواب ہمیں نہیں معلوم۔ تو آپ نے بتایا کہ یہ پرائمز، 11 اور 13، صرف 2 کے فاصلے پر ہیں۔ تو ایسے پرائمز کو ٹوئن پرائمز کہتے ہیں۔ ہم توقع نہیں کر سکتے تھے کہ پرائمز 2 کے علاوہ 2 سے زیادہ قریب ہوں گے کیونکہ XNUMX کے بعد، ان سب کو طاق ہونا پڑتا ہے۔ یہاں ریاضی میں ایک کھلا سوال ہے، یعنی ہم اس کا جواب نہیں جانتے، اور وہ ہے: کیا جڑواں پرائمز کے لامحدود بہت سے جوڑے ہیں۔? اور اس طرح یہاں، ایک قیاس ہے، قیاس ہوگا، ہاں۔ میرا مطلب ہے، نہ صرف ایک قیاس ہے کہ "ہاں، انہیں ہمیشہ کے لیے جانا چاہیے، اور ہمیشہ ان میں سے زیادہ ہونا چاہیے،" بلکہ اس کے بارے میں بھی ایک قیاس ہے، اس طرح کہ آپ کے ساتھ جانے کے دوران آپ کو کتنے ملیں گے۔ لیکن یہ بالکل کھلا ہے۔ جہاں تک ہم جانتے ہیں، یہ ہو سکتا ہے کہ ایک بار جب آپ واقعی بڑی تعداد پر پہنچ جائیں، تو وہ رک جائیں اور آپ کو جڑواں پرائمز کے مزید جوڑے بالکل بھی نہ ملیں۔

Strogatz (15:40): اس کے بارے میں کچھ بہت ہی شاعرانہ ہے، متشدد، وہ سوچ، جیسے، کہ کسی وقت یہ سطر کا اختتام ہو سکتا ہے۔ میرا مطلب ہے، ہم میں سے کوئی بھی شاید اس پر یقین نہیں کرتا ہے۔ لیکن یہ ممکن ہے، میرا اندازہ ہے، یہ قابل فہم ہے کہ جڑواں بچوں کا کوئی آخری تنہا جوڑا تاریکی میں سمگل رہا ہے، وہاں سے باہر نکلنا، آپ جانتے ہیں، نمبر لائن پر۔

لکڑی (15:57): ہاں، ہو سکتا ہے۔ اور، آپ جانتے ہیں، بطور ریاضی دان، ہم کہیں گے، آپ جانتے ہیں، ہم نہیں جانتے۔ یہاں تک کہ اگر آپ ایک گراف بنا سکتے ہیں جیسے آپ نے کتنے پائے ہیں، اگر آپ اس گراف کی منصوبہ بندی کرتے ہیں، تو ایسا لگتا ہے کہ یہ واقعی یقینی طور پر اس شرح سے اوپر اور اوپر جا رہا ہے جو کبھی نہیں ہوگا — کبھی نہیں مڑیں گے۔ لیکن میرا اندازہ ہے کہ یہ ریاضی اور سائنس کے درمیان فرق کا ایک حصہ ہے، ہم اس شکوک و شبہات کو برقرار رکھتے ہیں اور کہتے ہیں، ٹھیک ہے، ہم نہیں جانتے۔ میرا مطلب ہے، شاید کسی وقت، گراف بس گھوم جاتا ہے، اور اب کچھ نہیں ہوتا۔

Strogatz (16:29): تو، وہ — مجھے گراف کی آپ کی تصویر پسند ہے، کیونکہ میرے خیال میں ہر کوئی اس خیال سے، چارٹ بنانے، کسی قسم کا گراف بنا سکتا ہے۔ آپ جانتے ہیں، پرائمز کو ڈیٹا کی طرح سوچنا۔ اور، اور اس لیے میں سمجھتا ہوں کہ ہمارے لیے ممکنہ نظریہ کے بارے میں بات کرنا شروع کرنے کے لیے یہ ایک اچھا وقت ہے۔ اور پرائمز کے سلسلے میں احتمال اور اعدادوشمار کے بارے میں بات کرنا تھوڑا سا عجیب لگتا ہے کیونکہ یہاں کوئی موقع شامل نہیں ہے۔ پرائمز کا تعین اس تعریف سے ہوتا ہے جو ہم نے دی، کہ وہ قابل تقسیم نہیں ہیں۔ لیکن پھر بھی آپ کی طرح ریاضی دانوں اور نمبر تھیوریسٹوں نے پرائمز کے بارے میں سوچنے میں شماریاتی یا احتمالی دلائل کا استعمال کیا ہے۔ مجھے حیرت ہے کہ کیا آپ سکے پلٹتے ہوئے میرے لیے اس طرح کا خاکہ بنا سکتے ہیں، اور واپس - جس کے بارے میں ہم شروع میں بات کر رہے تھے، طاق اعداد اور جفت اعداد۔

لکڑی (17:14): ٹھیک ہے۔ لہٰذا پرائمز کے برعکس، ہم دراصل طاق اور جفت اعداد کے پیٹرن کو اچھی طرح سمجھتے ہیں۔ وہ بالکل عجیب، یکساں، طاق، برابر، یقیناً جاتے ہیں۔ لیکن فرض کریں کہ ہم اس طرز کو نہیں سمجھتے تھے۔ اور ہم اسے یہ سمجھنے کے لیے استعمال کر رہے ہیں کہ اگر آپ ایک ملین تک کے تمام نمبروں کو دیکھیں تو آپ کو کتنے طاق نمبر مل سکتے ہیں۔ آپ تصور کر سکتے ہیں، چونکہ دو امکانات ہیں، ایک عدد طاق ہو سکتا ہے یا ایک عدد جفت ہو سکتا ہے، کہ ہو سکتا ہے کسی نے ساتھ جا کر ہر نمبر کے لیے ایک سکہ پلٹایا ہو، اور اگر سکہ سر پر آئے تو عدد طاق تھا۔ اور اگر سکہ دم تک آئے تو تعداد برابر تھی۔ اور اس طرح آپ اپنا سکہ پلٹانے والے شخص کو نمبر لائن کے ساتھ ساتھ چلتے ہوئے، ہر نمبر پر ایک سکہ پلٹتے ہوئے، اور یہ سامنے آتا ہے، کہیے، اس نمبر کو طاق یا جفت کا اعلان کرنا۔

(18:03) اب، ایک طرف، یہ بکواس ہے۔ دوسری طرف، سکے پلٹنے والے ماڈل میں کچھ چیزیں درست ہو جائیں گی۔ مثال کے طور پر، اگر آپ کہتے ہیں، آپ جانتے ہیں، تقریباً ایک ملین تک کی تعداد میں سے کتنے برابر ہیں؟ ہم جانتے ہیں کہ سکوں کے پلٹنے کی تعداد جو کہ کہیں گے، اگر آپ بڑی تعداد میں سکے پلٹتے ہیں، جیسے ایک ملین، ان میں سے تقریباً نصف ہے۔ اور اس طرح، وہ ماڈل، جتنا احمقانہ ہو، پھر بھی کچھ پیشین گوئیاں درست طریقے سے کر سکتا ہے۔ اور مجھے یہ کہنا چاہئے، یہ احمقانہ لگ سکتا ہے، کیونکہ ہم اس سوال کا جواب پہلے ہی جانتے ہیں۔ خیال یہ ہے کہ ہم زیادہ پیچیدہ نمونوں کے لیے ماڈل بناتے ہیں، جیسے کہ جہاں پرائمز اعداد کے درمیان ظاہر ہوتے ہیں، بجائے اس کے کہ جہاں مشکلات ظاہر ہوں۔

Strogatz (18:55): ہاں۔ میرا مطلب ہے، میں سمجھتا ہوں کہ ہمیں اس پر روشنی ڈالنے کی ضرورت ہے - پرائمز کتنے گہرے پراسرار ہیں۔ پرائم نمبرز کے لیے کوئی فارمولہ نہیں ہے، جس طرح طاق نمبروں کا فارمولا ہے۔ جیسا کہ اگر آپ سوچتے ہیں، اوہ، چلو، یہ ہے - ہم واقعی یہاں مضحکہ خیز چیزوں کے بارے میں بات کر رہے ہیں، یہ شماریاتی ماڈلز کا ہونا حقیقت میں بہت قیمتی ہے جو ان خصوصیات کی پیش گوئی کر سکتے ہیں جو اوسط خصوصیات ہیں۔ کے ینالاگ کی طرح، ایک بڑی تعداد سے کم نصف نمبر طاق ہونے جا رہے ہیں۔ یہ وہ چیز ہے جو پرائمز کے معاملے میں ایک بہت سنجیدہ اور دلچسپ سوال ہے۔ بڑی تعداد سے کم تعداد کا کون سا حصہ بنیادی ہے؟ اور، جیسا کہ آپ کہتے ہیں، آپ ایک شماریاتی ماڈل بنا سکتے ہیں جو کہ درست ہو۔ اور پھر کیا، اسی ماڈل کو استعمال کیا جا سکتا ہے پھر یہ پیش گوئی کرنے کے لیے کہ ایک بڑی تعداد سے کم کتنے جڑواں پرائمز ہوں گے؟ کیا ایک ہی ماڈل اس معاملے میں اچھا کام کرتا ہے؟

لکڑی (19:41): تو پرائمز کے معاملے میں، اگر ہم ایک ماڈل بنا رہے تھے - آپ کو معلوم ہے، اور ایک ماڈل ہے جسے ریاضی دان کہتے ہیں پرائمز کا کرمر ماڈل - اگر ہم پرائمز کا ایک سکہ پلٹنے والا ماڈل بنا رہے تھے جہاں ہم تصور کرتے ہیں کہ کوئی نمبر لائن کے ساتھ چل رہا ہے، اور ہر نمبر پر، آپ جانتے ہیں، ایک سکے کو پلٹتے ہوئے، کہیں، یہ فیصلہ کرنے کے لیے کہ آیا وہ نمبر پرائم تھا یا نہیں، تو ہم کریں گے۔ اس ماڈل میں پرائمز کے بارے میں جتنا ہم جانتے ہیں شامل کریں۔ تو سب سے پہلے، ہم جانتے ہیں کہ بڑی تعداد کے چھوٹے نمبروں کے مقابلے میں پرائم ہونے کا امکان کم ہوتا ہے۔ تو ان سکوں کا وزن کرنا پڑے گا۔ اور ہم چاہتے ہیں - ہمیں بالکل وہی وزن ڈالنے کی کوشش کرنی ہوگی جس کی ہم توقع کرتے ہیں۔ اور ہم ایسی چیزیں جانتے ہیں، آپ کے پاس ایک دوسرے کے ساتھ دو پرائمز نہیں ہو سکتے، کیونکہ ان میں سے ایک کو طاق اور ایک کو برابر ہونا چاہیے۔ تو ہم نے اسے ماڈل میں ڈال دیا۔ اور پھر اور بھی چیزیں ہیں جو ہم پرائمز کے بارے میں جانتے ہیں۔

(20:37) تو ماڈل ایک ایسی چیز ہے جو اس سکے پلٹنے والے ماڈل سے شروع ہوتی ہے، لیکن پھر اس میں ان تمام دیگر اصولوں، اور دوسری تمام چیزیں جو ہم پرائمز کے بارے میں جانتے ہیں، کی طرف سے ترمیم کی جاتی ہے۔ اور ایک بار جب آپ ان تمام چیزوں کو ماڈل میں ڈال دیتے ہیں جن کے بارے میں ہم جانتے ہیں، تو آپ اس سکے کو پلٹتے ہوئے پوچھیں گے، آپ جانتے ہیں، ماڈل، ٹھیک ہے، کیا آپ دیکھتے ہیں، اکثر اوقات، سکے صرف 2 کے فاصلے پر آتے ہیں؟ اور ماڈل آپ کو بتاتا ہے، اوہ، ہاں، ہم اسے دیکھتے ہیں۔ درحقیقت، ہم اسے اسی خاص شرح پر دیکھتے ہیں جس کے لیے ہم آپ کو ایک فارمولا دے سکتے ہیں۔ اور پھر، اگر آپ اصل جڑواں پرائمز کی تعداد کو گراف کرتے ہیں، اصل نمبروں میں، جہاں کوئی سکے پلٹتے نہیں ہیں، ماڈل کی پیشین گوئی کے خلاف، آپ دیکھیں گے کہ ماڈل آپ کو جڑواں پرائمز کے جوڑوں کی تعداد کے بارے میں بہت درست پیشین گوئی دیتا ہے۔ جب آپ آگے بڑھیں گے تو آپ کو مل جائے گا۔ اور پھر آپ سوچتے ہیں، آپ جانتے ہیں، شاید یہ ماڈل جانتا ہے کہ یہ کس کے بارے میں بات کر رہا ہے۔

Strogatz (21:31): یہ بہت اچھا ہے۔ میرا مطلب ہے، یہ ایک قسم کی اہم بات ہے، جو ہم ابھی وہاں پہنچے ہیں، وہ - آپ نے ابھی تک کمپیوٹر کا لفظ استعمال نہیں کیا۔ لیکن میں فرض کرتا ہوں کہ آپ یہ ہاتھ سے نہیں کر رہے ہیں۔ وہ لوگ جو جڑواں پرائمز کی فہرست بنا رہے ہیں، مجھے نہیں معلوم، ہم کس کے بارے میں بات کر رہے ہیں؟ ٹریلین ٹریلین ٹریلین۔ میرا مطلب ہے، یہ وہ بڑی تعداد ہیں جن کے بارے میں ہم بات کر رہے ہیں، کیا ہم نہیں ہیں؟

لکڑی (21:49): ٹھیک ہے، جڑواں پرائمز کی فہرست کے لیے، یعنی - بالکل کمپیوٹر کے ذریعے کیا جائے گا۔ لیکن اس ماڈل کو بنانے اور اس فارمولے کے ساتھ آنے کے لیے جو ماڈل دیتا ہے۔ آپ جانتے ہیں، یہ ہاتھ سے کیا جاتا ہے، بنیادی طور پر، ریاضی دانوں نے ماڈل کے بارے میں سوچتے اور اس کا پتہ لگاتے۔

Strogatz (22:07): یہ بہت اچھا ہے۔ تو یہ وہ جگہ ہے جہاں ماڈل اپنا سامان دکھا رہا ہے، کہ ماڈل اصل میں اندازہ لگا سکتا ہے کہ کمپیوٹر کیا دیکھتا ہے۔ اور یہ پیشین گوئی کرنے کے لیے کمپیوٹر کی ضرورت نہیں ہے۔ یہ ہاتھ سے، لوگوں کے ذریعے کیا جا سکتا ہے، اور حقیقت میں ثبوتوں کی طرف لے جا سکتا ہے۔ سوائے اس کے کہ یہ ماڈل کی خصوصیات کے ثبوت ہیں، ضروری نہیں کہ ابھی تک اس چیز کے ثبوت ہوں جس میں آپ کی دلچسپی ہے۔

لکڑی (22:28): ٹھیک ہے۔ اور کسی وقت کمپیوٹر رک جاتا ہے۔ آپ جانتے ہیں، کمپیوٹنگ کی صرف اتنی طاقت ہے۔ لیکن وہ فارمولہ جو آپ کو ملے گا، وہ ماڈل آپ کو دے گا، جسے آپ ثابت کر سکتے ہیں، ایک بار پھر، اس ماڈل کے سکے پلٹنے والی صورتحال کے بارے میں، وہ فارمولہ جاری رہے گا۔ آپ اس فارمولے میں بڑے اور بڑے نمبر ڈال سکتے ہیں، اس سے کہیں زیادہ بڑا جو آپ کا کمپیوٹر کبھی بھی شمار کر سکتا ہے۔

Strogatz (22:53): لہذا آپ ہمیں اس بارے میں تھوڑا سا بتا رہے ہیں کہ کس طرح بے ترتیب پن نظریہ نمبر میں دلچسپ مظاہر کے ماڈل دینے میں مدد کر سکتا ہے، اور مجھے یقین ہے کہ یہ ریاضی کے دوسرے حصوں میں بھی درست ہے۔ کیا کچھ ایسے معاملات ہیں جہاں آپ حقیقی ثبوت فراہم کرنے کے لیے بے ترتیب پن کا استعمال کر سکتے ہیں، نہ کہ صرف ماڈلز؟

لکڑی (23:10): بالکل۔ ریاضی کی ایک اور شاخ امکانی تھیوری کہلاتی ہے۔ اور امکانی نظریہ میں، وہ بے ترتیب نظاموں اور ان کے برتاؤ کے بارے میں نظریات کو ثابت کرتے ہیں۔ اور آپ سوچ سکتے ہیں کہ، ٹھیک ہے، اگر آپ کسی بے ترتیب چیز سے شروع کرتے ہیں، اور آپ اس کے ساتھ کچھ کرتے ہیں، تو آپ کے پاس ہمیشہ کچھ بے ترتیب ہوگا۔ لیکن قابل ذکر طور پر خوبصورت چیزوں میں سے ایک جو نظریہ امکان میں پایا جاتا ہے وہ یہ ہے کہ بعض اوقات آپ کسی بے ترتیب چیز سے کچھ تعییناتی حاصل کر سکتے ہیں۔

Strogatz (23:45): ٹھیک ہے، یہ کیسے کام کرتا ہے؟ پسند کیا؟

لکڑی (23:48): ہاں۔ تو آپ نے گھنٹی کا وکر دیکھا ہے، یا عام تقسیم، ریاضی دان اسے کہیں گے۔ یہ فطرت میں ہر جگہ ظاہر ہوتا ہے۔ جیسا کہ اگر آپ لوگوں کے بلڈ پریشر، یا بچے کی پیدائش کے وزن، یا کچھ اور کو دیکھیں تو ظاہر ہوتا ہے۔ اور آپ سوچ سکتے ہیں، اوہ، یہ گھنٹی وکر، کہ یہ فطرت کی ایک حقیقت ہے۔ لیکن درحقیقت، ایک نظریہ ہے، جسے امکانی نظریہ میں مرکزی حد کا نظریہ کہا جاتا ہے، جو آپ کو بتاتا ہے کہ درحقیقت، یہ گھنٹی کا وکر کسی لحاظ سے فطرت کی حقیقت نہیں، بلکہ ریاضی کی حقیقت ہے۔ مرکزی حد نظریہ آپ کو بتاتا ہے کہ اگر آپ چھوٹے بے ترتیب اثرات کے پورے گروپ کو آزادانہ طور پر یکجا کرتے ہیں، تو اس کا آؤٹ پٹ ہمیشہ ایک مخصوص تقسیم سے مماثل ہوگا۔ یہ شکل، یہ گھنٹی وکر۔ ریاضی، اور امکان کا نظریہ، یہ ثابت کر سکتا ہے کہ اگر آپ کے پاس ہے — اگر آپ بہت سی چھوٹی آزاد بے ترتیب چیزوں کو جوڑتے ہیں، تو اس تمام امتزاج کا نتیجہ آپ کو ایک ایسی تقسیم دے گا جو اس گھنٹی کے منحنی شکل کی طرح دکھائی دیتا ہے۔ اور اس طرح - یہاں تک کہ اگر آپ نہیں جانتے کہ ان پٹ کس طرح کے تھے۔ اور یہ واقعی ایک طاقتور تھیوریم ہے اور ریاضی میں واقعی ایک طاقتور ٹول ہے۔

Strogatz (25:05): ہاں، یہ ضرور ہے۔ اور مجھے آپ کا زور پسند آیا کہ آپ کو یہ جاننے کی ضرورت نہیں ہے کہ چھوٹے اثرات کے ساتھ کیا ہو رہا ہے۔ کہ، کسی نہ کسی طرح، وہ دھل جاتا ہے۔ اس معلومات کی ضرورت نہیں ہے۔ گھنٹی کا منحنی خطوط قابل قیاس ہے، یہاں تک کہ اگر آپ نہیں جانتے کہ چھوٹے اثرات کی نوعیت کیا ہے۔ جب تک کہ ان میں سے بہت کچھ ہے اور وہ بہت کم ہیں۔ اور وہ ایک دوسرے کو متاثر نہیں کرتے ہیں، ٹھیک ہے، وہ کسی نہ کسی لحاظ سے آزاد ہیں۔

لکڑی (25:27): ہاں، بالکل۔ اور اس لیے یہ ایک آئیڈیا ہے، آپ جانتے ہیں، بعض اوقات اسے امکانی نظریہ میں عالمگیریت کہا جاتا ہے، کہ کچھ خاص قسم کی مشینیں ہوتی ہیں اگر آپ بہت زیادہ بے ترتیب ان پٹ ڈالتے ہیں، تو آپ آؤٹ پٹ کا اندازہ لگا سکتے ہیں۔ جیسے، مثال کے طور پر، کہ آپ کو یہ گھنٹی کا منحنی خطوط، یا یہ عام تقسیم ملے گی، یہاں تک کہ اگر آپ نہیں جانتے کہ آپ مشین میں کیا ڈالتے ہیں۔ اور یہ ناقابل یقین حد تک طاقتور ہوتا ہے جب ایسی چیزیں ہوتی ہیں جنہیں ہم اچھی طرح سے نہیں سمجھتے، کیونکہ -

Strogatz (25:56): لیکن تو کیا آپ مجھے بتا رہے ہیں — اوہ، میں آپ کو ختم کرنے کے لیے معذرت خواہ ہوں — لیکن کیا آپ مجھے بتا رہے ہیں کہ یہ نمبر تھیوری میں بھی ہو رہا ہے؟ کہ کسی طرح ہم نمبر تھیوری میں ظاہر کرنے کے لئے آفاقیت کا خیال حاصل کر رہے ہیں؟ یا میں خواب دیکھ رہا ہوں؟

لکڑی (26:09): ٹھیک ہے، کسی حد تک، میں کہوں گا کہ یہ میرا ایک خواب ہے جو شروع ہو رہا ہے۔ آپ جانتے ہیں، ہم صرف ہیں، ہم اسے محسوس ہونے کے لیے پہلے قدم اٹھا رہے ہیں۔ تو یہ صرف آپ کا خواب نہیں ہے، یہ میرا بھی خواب ہے۔ کچھ کام جو میں آج کر رہا ہوں اور جس پر میں اور میرے ساتھی کام کر رہے ہیں وہ اس قسم کے خواب کو حقیقت بنانے کی کوشش کر رہے ہیں تاکہ نمبروں کے بارے میں ان حیران کن سوالات میں سے کچھ جن کا جواب ہمیں نہیں معلوم، ہو سکتا ہے کہ ہم سمجھیں کہ ایسے نمونے ہیں جو نکلتے ہیں، گھنٹی کے منحنی خطوط کی طرح، ایک عام تقسیم کی طرح، جو ہم ثابت کر سکتے ہیں کہ مشین سے نکلے ہیں یہاں تک کہ اگر ہم نہیں جانتے کہ کیا اسرار ڈالا گیا ہے۔

Strogatz (26:55): ٹھیک ہے، یہ ایک بہت ہی متاثر کن، سنسنی خیز وژن ہے، اصل میں، اور مجھے امید ہے کہ یہ سب کچھ ہو جائے گا۔ میلانیا، آج ہم سے بات کرنے کے لیے آپ کا بہت بہت شکریہ۔

لکڑی (27:03): شکریہ۔ یہ بہت مزہ آیا۔

اناونسر (27:06): اگر تم چاہو کیوں کی خوشیچیک کریں کوانٹا میگزین سائنس پوڈ کاسٹاس شو کے پروڈیوسر میں سے ایک، میری میزبانی، سوسن ویلوٹ۔ اس کے علاوہ، اپنے دوستوں کو اس پوڈ کاسٹ کے بارے میں بتائیں، اور جہاں آپ سنتے ہیں ہمیں لائک یا فالو کریں۔ یہ لوگوں کو تلاش کرنے میں مدد کرتا ہے۔ کیوں کی خوشی پوڈ کاسٹ.

Strogatz (27: 26): کیوں کی خوشی سے ایک پوڈ کاسٹ ہے۔ کوتاٹا میگزین، ایک ادارتی طور پر آزاد اشاعت جو سائمنز فاؤنڈیشن کے ذریعہ تعاون یافتہ ہے۔ سائمنز فاؤنڈیشن کے فنڈز کے فیصلوں کا اس پوڈ کاسٹ میں یا اس میں عنوانات، مہمانوں، یا دیگر ادارتی فیصلوں کے انتخاب پر کوئی اثر نہیں ہوتا ہے۔ کوتاٹا میگزین. کیوں کی خوشی سوسن ویلوٹ اور پولی اسٹرائیکر نے تیار کیا ہے۔ ہمارے ایڈیٹرز جان رینی اور تھامس لن ہیں، جن کی حمایت میٹ کارلسٹروم، اینی میلچر اور لیلیٰ سلومن ہیں۔ ہمارا تھیم میوزک رچی جانسن نے ترتیب دیا تھا۔ ہمارا لوگو جیکی کنگ کا ہے، اور اقساط کا آرٹ ورک مائیکل ڈرائیور اور سیموئیل ویلاسکو کا ہے۔ میں آپ کا میزبان ہوں، سٹیو سٹروگیٹز۔ اگر آپ کے پاس ہمارے لیے کوئی سوالات یا تبصرے ہیں، تو براہ کرم ہمیں quanta@simonsfoundation.org پر ای میل کریں۔ سننے کے لیے شکریہ.