ہماری پہیلی کام گزشتہ ماہ ایک کو بچانے کے لئے تھا سٹار ٹریک کی قیادت میں آٹھ کی سطح پارٹی انٹرپرائز کمیونیکیشن آفیسر لیفٹیننٹ احورا (دیر سے کھیلا گیا۔ Nichelle Nichols)۔ عملے کو ایک سیارے پر ایک اجنبی نسل کیٹیناٹی نے قید کر رکھا ہے۔ ہار Nebula. فرار ہونے کے لیے، انہیں کسی ایسے کام کو انجام دینے کے اپنے امکانات کو زیادہ سے زیادہ کرنا ہوگا جو شروع میں کامیابی کا صرف ایک مایوس کن امکان پیش کرتا ہو۔
آٹھ افراد کے عملے کو کام کے بارے میں مطلع کیا جاتا ہے جب وہ عارضی طور پر ایک مشترکہ کمرے میں رکھے جاتے ہیں جہاں وہ بات چیت کرنے اور حکمت عملی بنانے کے لیے آزاد ہوتے ہیں۔ چند گھنٹوں میں، انہیں، ایک وقت میں، ایک کمرے میں لے جایا جائے گا جسے رولیٹی چیمبر کہتے ہیں۔ اس کمرے میں آٹھ بٹن لگاتار ترتیب دیئے گئے ہیں، جن میں سے ہر ایک مختلف عملے کے رکن کو جواب دینے کے لیے پروگرام کیا گیا ہے۔ عملے کو گمراہ کرنے کے لیے، ہر بٹن کو تصادفی طور پر عملے کے دوسرے رکن کے نام کے ساتھ غلط لیبل لگا دیا جاتا ہے۔ عملے کے ہر رکن کو کسی بھی ترتیب میں چار بٹن دبانے کی اجازت ہے۔ جب بھی وہ کوئی بٹن دبائیں گے، وہ دیکھیں گے کہ بٹن واقعی کس کا ہے۔ ان کی چار کوششوں کے اندر، انہیں ان کے لیے تفویض کردہ بٹن تلاش کرنا ہوگا۔ عملے کے آزاد ہونے کے لیے ان سب کو اس کام میں کامیاب ہونا ہے۔ اگر ان میں سے ایک بھی ناکام ہوا تو سب کو پھانسی دے دی جائے گی۔ عملے کے کسی رکن نے اپنی کوشش مکمل کرنے کے بعد، انہیں اپنے عملے کے ساتھیوں میں سے کسی کو معلومات پہنچانے کا کوئی طریقہ نہیں دیا جائے گا۔
کامیابی کے امکانات کم نظر آتے ہیں۔ اگر عملے کے ارکان تصادفی طور پر بٹنوں کا انتخاب کرتے ہیں، تو ہر ایک کو اپنا بٹن تلاش کرنے کا 1 میں سے 2 موقع ملے گا۔ تمام آٹھوں کے کامیاب ہونے کا امکان 1 میں سے صرف 256 ہے، یا تقریباً 0.4%۔
لیکن انہیں تصادفی طور پر بٹن دبانے کی ضرورت نہیں ہے۔ کامیابی کے امکانات کو بڑھانے کا ایک طریقہ یہ بھی ہو سکتا ہے کہ تمام بٹن دبانے کو کسی طرح سے باہر کر دیا جائے۔ یہ ہمیں ہمارے پہلے پہیلی سوال کی طرف لاتا ہے۔
پہیلی 1
عملے کے زندہ رہنے کے امکانات کو کتنا بہتر بنایا جا سکتا ہے اگر وہ اس بات کو یقینی بنائیں کہ ہر بٹن کو یکساں طور پر دبایا جائے (کسی بھی چار بٹن کو تصادفی طور پر دبانے کے بجائے)؟
روب کورلیٹ اور JPayette اس کے اچھے جوابات دیئے، جیسا کہ انہوں نے دوسرے تمام سوالات کئے۔ جہاں تک اس کالم میں پہیلیاں کے پیچھے مرکزی خیال کا تعلق ہے، روب کورلیٹ، جے پییٹ اور Jouni Seppänen اسے خوبصورتی سے بیان کیا، جبکہ سچا بگنون ایک کمپیوٹر حل میں حصہ لیا.
روب کورلیٹ کا جواب یہ ہے:
ہر بٹن کو مساوی تعداد میں دبانے کو یقینی بنانے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ قیدیوں کو 4 کے دو برابر سائز کے گروپوں میں الگ کیا جائے۔
ہر گروپ صرف اپنے گروپ کے ممبروں کے مطابق بٹن دباتا ہے۔ اس طرح، اگر A، B، C اور D سب ایک ہی ذیلی گروپ میں ہیں تو وہ صرف A، B، C اور D کے بٹن کو دباتے ہیں۔
یہ مسئلہ اس امکان کے بارے میں پوچھنے میں بدل جاتا ہے کہ ہر قیدی کو صحیح گروپ میں مختص کیا گیا ہے کیونکہ اس کے بعد انہیں چار یا اس سے کم دبانے میں اپنا بٹن دبانے کی ضمانت دی جاتی ہے۔
پہلے گروپ (اور اس وجہ سے دوسرے گروپ کو بھی) چار افراد کے ساتھ آباد کرنے کے طریقوں کی تعداد 4 میں سے 8 کو منتخب کرنے کے طریقوں کی تعداد ہے جو کہ C(8, 4) = 70 ہے۔ لہذا، طریقوں کی کل تعداد ہر ایک کو دو گروپوں میں مختص کرنا 70 ہے۔
صرف ایک مختص ہے جو ہر ایک قیدی کو صحیح گروپ میں صحیح طریقے سے مختص کرتا ہے اور اس لیے ہر ایک کے صحیح گروپ میں ہونے اور تمام قیدیوں کے زندہ بچ جانے کا امکان 1/70 ہے جو کہ پچھلی حکمت عملی کے 3.66/1 سے 256 گنا بہتر ہے۔ [لیکن یہ اب بھی بہت چھوٹا ہے: صرف 1.4 فیصد موقع۔]
پہیلی 2
اصل مایوس کن مشکلات کو 90 گنا سے زیادہ، تقریباً 36.5 فیصد تک بہتر کرنے کا ایک طریقہ ہے، جو کہ معجزانہ لگتا ہے! اس حکمت عملی میں لوپس یا اندازوں کی زنجیروں کا استعمال شامل ہے - اس لیے نیکلیس نیبولا اور کیٹیناتی کے حوالے (کیٹینا زنجیر کے لیے لاطینی ہے)۔ حکمت عملی کی بنیادی شکل میں، عملے کا ہر رکن اپنے نام والے بٹن کو دبانے سے شروع ہوتا ہے، پھر عملے کے رکن کے نام والے بٹن پر چلا جاتا ہے جس کا پہلا بٹن اصل میں تھا، اور اسی طرح ناموں کا ایک سلسلہ بناتا ہے۔
آئیے دیکھتے ہیں کہ یہ عملی طور پر کیسے کام کرتا ہے۔ خاکہ میں، بٹنوں کو ان کے لیبل کے ساتھ سفید رنگ میں دکھایا گیا ہے۔ نیچے دیئے گئے نیلے حروف بٹنوں کے حقیقی مالکان کو ظاہر کرتے ہیں۔ جب عملے کا پہلا رکن، A، رولیٹی چیمبر میں داخل ہوتا ہے، تو وہ سب سے پہلے A بٹن دباتی ہے۔ یہ C کا بٹن ہے، اس لیے وہ اگلا بٹن C دباتی ہے، پھر بٹن E اور آخر میں F بٹن دباتی ہے، جو کہ درحقیقت A کا اپنا بٹن ہے، اس لیے اس نے اسے چار کوششوں میں کامیابی سے پایا۔ نوٹ کریں کہ بٹن ACEF چار بٹنوں کا ایک بند لوپ بناتے ہیں۔ جب عملے کے ارکان C، E اور F اپنی باری لیتے ہیں، تو وہ بھی اسی بند لوپ کے ارد گرد جائیں گے، اپنی اپنی جگہوں سے شروع کرتے ہوئے، اور چار کوششوں میں اپنے بٹن بھی تلاش کریں گے۔
اس ترتیب میں دو بٹنوں کے دو چھوٹے لوپ بھی ہیں: BD اور GH۔ عملے کے یہ چار ارکان دو کوششوں میں اپنے بٹن تلاش کر لیں گے۔ لہذا، اس انتظام کے ساتھ، عملے کے تمام ارکان کامیاب ہوں گے، اور وہ اپنی آزادی حاصل کر چکے ہوں گے۔ یہ واضح ہے کہ اگر انتظام میں صرف 4 یا اس سے کم لمبائی کے لوپس شامل ہیں، تو عملے کے تمام ارکان کامیاب ہو جائیں گے اور انہیں آزاد کر دیا جائے گا۔ اگر، دوسری طرف، 5 یا اس سے زیادہ کا ایک لوپ ہے، تو اس لوپ پر موجود عملے کے تمام اراکین چار کوششوں میں اپنا بٹن تلاش کرنے میں ناکام ہو جائیں گے، اور عملے کو پھانسی دے دی جائے گی۔ کامیابی کا امکان معلوم کرنے کے لیے، ہم 5، 6، 7 یا 8 کے لوپ ہونے کا امکان تلاش کر سکتے ہیں، ان کو شامل کر سکتے ہیں، اور اس رقم کو 1 سے گھٹا سکتے ہیں۔ دوسرے طریقے سے اس کا حساب لگانا آسان ہے کیونکہ آٹھ کے لیے بٹن، صرف ایک لوپ ہو سکتا ہے جس میں 5، 6، 7 یا 8 ممبر ہوں۔
8 ہیں! آٹھ بٹنوں کو ترتیب دینے کے مختلف طریقے۔ لیکن جب ہم لوپ بناتے ہیں، تو ایک ہی لوپ ان میں سے آٹھ انتظامات کے لیے بنتا ہے (ABCDEFGH وہی لوپ بناتا ہے جیسا کہ BCDEFGHA، جو کہ CDEFGHAB جیسا ہوتا ہے، وغیرہ)۔ لہذا سائز 8 کے لوپ ہونے کا امکان (8!/8)/8 ہے، جو کہ صرف 1/8 ہے۔ اسی طرح، سائز 7 کا لوپ ہونے کا امکان 1/7 ہے، سائز 6 کا 1/6، اور سائز 5 کا 1/5 ہے۔ لہذا، ہمارے نڈر عملے کے لیے کامیابی کا امکان 1 − (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8)، یا 36.5% ہے، جیسا کہ پہلے ذکر کیا گیا ہے۔
مندرجہ بالا حکمت عملی کسی بھی تعداد میں قیدیوں کے لیے کام کرتی ہے، اور اس تعداد میں اضافے کے ساتھ بے ترتیب نقطہ نظر کے مقابلے میں مشکلات میں بہتری تیزی سے بڑھتی ہے۔ یہ چار قیدیوں کے لیے تقریباً سات گنا، چھ کے لیے 24 گنا، آٹھ کے لیے 93 گنا اور حیران کن ہے (3.8 × 1029-100 قیدیوں کے لیے گنا۔ اس بے پناہ اضافہ کو سمجھنے کی کلید یہ ہے کہ یہ طریقہ گروپ کے ہر رکن کی کامیابی یا ناکامی کو دوسروں کے ساتھ جوڑتا ہے۔ بہت بڑی حد تک یہ سب ایک ساتھ کامیاب یا ناکام ہوتے ہیں۔ گروپ کی کامیابی کا امکان کسی ایک شخص کی نسبت بہت زیادہ نہیں گرتا، ایک قیدی کے لیے صرف 50% سے گر کر 30.69% رہ جاتا ہے کیونکہ قیدیوں کی تعداد بغیر کسی حد کے بڑھ جاتی ہے۔ دوسری طرف، بے ترتیب نقطہ نظر یا یہاں تک کہ "بھی-بٹن دبانے" کے طریقہ کار کے کامیاب ہونے کا امکان بہت کم قیدیوں کے لیے بھی تیزی سے صفر کے بہت قریب ہو جاتا ہے۔
اگر اس حکمت عملی کے پیچھے کی منطق اب بھی مبہم معلوم ہوتی ہے تو اس میں 100 قیدیوں کے مسئلے کا تجزیہ یہ ہے۔ Veritasium کی طرف سے بہترین ویڈیو.
پہیلی 3
یہ پہیلی لیفٹیننٹ اہورا کے بچپن کے کھیل کو یاد کرنے کے بارے میں تھی، جو بنیادی طور پر ایک ہی پہیلی تھی، لیکن چھ لوگوں کے لیے۔ ایک اشارہ کے طور پر، میں نے چار لوگوں کے لیے مسئلہ حل کرنے کا مشورہ دیا۔ اب جب کہ ہمارے پاس فارمولا ہے، ہم آسانی سے امکانات کا حساب لگا سکتے ہیں۔
چار لوگوں کے لیے، اس بات کا امکان کہ سب سے لمبا لوپ صرف 2 یا 1 ہے: 1 − (1/3 + 1/4) یا 41.7% بے ترتیب انتخاب پر سات گنا فائدہ کے ساتھ۔
چھ لوگوں کے لیے، اس بات کا امکان کہ سب سے طویل لوپ 3، 2 یا 1 ہے: 1 − (1/4 + 1/5 + 1/6) یا 38.3% بے ترتیب انتخاب پر 24 گنا سے زیادہ کے ساتھ۔
پہیلی 4
جیسا کہ ہماری کہانی جاری ہے، یہ پتہ چلتا ہے کہ Catenati میں سے ایک نے خاص طور پر ناپسندی کا اظہار کیا ہے انٹرپرائز عملہ اور دور سے ان کی نگرانی کر رہا ہے۔ اسے شبہ ہے کہ انہوں نے اہورا کے خاکے کی بنیاد پر کوئی موثر حکمت عملی تیار کی ہے۔ وہ رولیٹی شروع ہونے سے پہلے چیمبر میں گھس کر اور جان بوجھ کر بٹن کے لیبل کی ترتیب کو تبدیل کرکے ان کے منصوبے کو ناکام بنانے کے لیے پرعزم ہے۔ کیا وہ اس منصوبے کو کامیابی سے ناکام بنا سکتا ہے؟ لینڈنگ پارٹی کو کیا چیز چھپانے کے لیے خاص طور پر محتاط رہنا چاہیے؟
عملے کی حکمت عملی کی بحث میں بہت جلد، اہورا کی آنکھیں اچانک تنگ ہو گئیں۔ اس نے اپنے عملے کو ایک اشارہ دیا، اور اس نے نکولس میں بات کرنے کا اعلان کرتے ہوئے کہا، "براہ کرم نکولس میں مزید تمام گفتگو۔" Nicholese ایک نئی زبان تھی جو Uhura نے اپنے کیریئر کے شروع میں صرف اس قسم کی صورتحال کے لیے ایجاد کی تھی، تاکہ عالمگیر مترجمین کے استعمال کو روکا جا سکے۔ "آپ نے اس مشکوک کیٹیناٹی کو دیکھا ہوگا،" اس نے جاری رکھا۔ "وہ ہمیں سبوتاژ کرنے کی کوشش کر سکتا ہے، اس لیے ہمیں اپنے منصوبے میں ترمیم کرنے کی ضرورت ہے۔ یہاں ہمیں کیا کرنے کی ضرورت ہے… "
احورا نے نئے منصوبے کا خاکہ پیش کیا جب تک کہ وہ مطمئن نہ ہو جائے کہ اس کے عملے کا ہر رکن اسے اچھی طرح جانتا ہے۔ پھر اس نے اپنی آنکھوں میں بہت دور نظر ڈالتے ہوئے کہا، "میں نے نکولس کا نام 20 ویں صدی کی مشہور اداکارہ کے نام پر رکھا۔ مجھے خوشی ہے کہ میں نے اصرار کیا کہ Starfleet اسے ہمارے تمام بحری جہازوں پر معیاری بنائے۔
وہ واپس عملے کی طرف مڑی۔ "یہ سب ہے، افسران. تم جانتے ہو کہ کیا کرنا ہے!"
ہم بالکل نہیں جانتے کہ اہورا نے اپنی ٹیم کو کیا بتایا۔ لیکن JPayette اور Rob Corlett کے پاس ایک اچھا خیال تھا۔ یہاں ایک بار پھر روب کورلیٹ ہے:
اگر بری کیٹیناٹی کو یہ معلوم ہوتا ہے کہ وہ اس حکمت عملی کو استعمال کر رہے ہیں تو وہ ڈسپلے پر دکھائے گئے ناموں کو تبدیل کر سکتا ہے تاکہ یہ یقینی بنایا جا سکے کہ 4 سے زیادہ لمبا سائیکل ہے۔
اس کو توڑنے کے لیے پھر قیدیوں کو ایک خفیہ حکم سے اتفاق کرنا ہوگا جو ترتیب کو بے ترتیب بناتا ہے۔ وہ ایسا کچھ کہہ کر کرتے ہیں جیسے "اگر آپ اہورا کا نام دیکھتے ہیں، تو چیکوف کے نشان والے بٹن پر جائیں۔ اگر آپ چیکوف کا نام ظاہر کرتے ہوئے دیکھتے ہیں تو اسمتھ وغیرہ کے نشان والے بٹن پر جائیں۔
اس طرح، Catenati کی طرف سے دوبارہ ترتیب دینے سے کوئی فرق نہیں پڑتا کیونکہ یہ صرف اس صورت میں کام کرتا ہے جب آپ کو معلوم ہو کہ عملہ ڈسپلے پر موجود ناموں کا جواب کیسے دے گا۔ اگرچہ انہیں کسی بھی ترتیب کو خفیہ رکھنے کی ضرورت ہے، ورنہ یہ دوبارہ ٹوٹ سکتا ہے۔
جیسا کہ ہم نے دیکھا، اہورا نے اس بات کو یقینی بنایا کہ راز کو محفوظ رکھا جائے گا۔ عملے کے ہر رکن کو صرف ایک ہی خفیہ ترتیب کو استعمال کرنے اور اس بات کو یقینی بنانے کی ضرورت تھی کہ بری کیٹینیٹی کو معلوم نہیں تھا کہ یہ کیا ہے۔ درحقیقت، بری کیٹیناٹی کے بدلے ہوئے آرڈر نے عملے کے کامیاب ہونے کے امکانات کو بڑھا دیا!
ایسا ہی ہوا۔ اہورا پہلا شخص تھا جسے رولیٹی چیمبر میں لے جایا گیا۔ اس نے تین بٹن دبائے۔ کوئی بھی اس کا نہیں تھا۔ اسے غمگین ہونا چاہیے یا خوش؟ اس نے سانس روک کر چوتھا دبایا۔ اسے اپنا اصلی بٹن مل گیا تھا!
وہ جانتی تھی کہ وہ سب بچ جائیں گے۔
پہیلی 5
لینڈنگ پارٹی کا سائز غیر معینہ مدت تک بڑھنے پر کامیابی کا زیادہ سے زیادہ فیصد کس حد تک پہنچتا ہے؟ کیا آپ بتا سکتے ہیں کہ یہ طریقہ بے ترتیب بٹن دبانے سے زیادہ موثر کیوں ہے؟
JPayette نے لکھا:
مندرجہ بالا تمام 2 کے عملے کو براہ راست عام کرتا ہے۔n ہر ایک ممبر کو زیادہ سے زیادہ دبانے کی اجازت ہے۔ n بٹن پہیلی 2 سے، ہم اندازہ لگاتے ہیں کہ ان کی کامیابی کا امکان ہے۔
1 - (مجموعی طور پر k کے درمیان n + 1 اور 2n کا 1/k).
رقم کا موازنہ 1/ کے انٹیگرل سے کیا جا سکتا ہے۔x وقفہ سے زیادہ [n، 2n]، جو ہمیں یہ ثابت کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ n لامحدودیت تک بڑھتا ہے، مندرجہ بالا امکان کم ہو کر حیران کن 1 −ln(2) ≈ 30.6% ہو جاتا ہے۔ [دراصل 30.69 فیصد سے دو اعشاریہ کے مقام تک۔]
روب کورلیٹ نے مزید کہا:
اگر آپ انضمام کے بارے میں نہیں جانتے ہیں، تو آپ اسپریڈ شیٹ کا استعمال کرتے ہوئے حساب کے ذریعے فوری طور پر تخمینی جواب حاصل کر سکتے ہیں۔ میں ایک بار 0.307 تک پہنچ گیا۔ n تقریباً 750 تک پہنچ گیا جو 3 اعشاریہ XNUMX مقامات پر درست ہے۔
یہ طریقہ کیوں کام کرتا ہے ہم نے پہلے ہی اوپر وضاحت کی ہے۔ 1 سے زیادہ لمبے تمام لوپس عملے کے متعدد ارکان کے ذریعے شیئر کیے جاتے ہیں۔ اس لیے ان کی کامیابیوں اور ناکامیوں کا بہت زیادہ تعلق ہے۔ یہ اصول "ایک کے لیے سب، اور سب کے لیے ایک" کی مثال ہے۔ سیدھا Starfleet دستی سے باہر!
ہمارے تمام تعاون کرنے والوں کا شکریہ۔ JPayette اور Rob Corlett دونوں نے قابل قدر جوابات جمع کرائے جس کی وجہ سے یہ حل کالم تقریباً بے کار معلوم ہوتا ہے۔ افسوس، مجھے ہر پہیلی کالم میں ایک فاتح منتخب کرنے کے اپنے اصول پر قائم رہنا چاہیے۔ بصیرت کا انعام JPayette کو یہاں اور پچھلے پہیلی میں تعاون کے اعتراف میں دیا جاتا ہے۔ مبارک ہو! روب کورلیٹ، آپ کے تعاون کو فراموش نہیں کیا جائے گا۔
نئی بصیرت کے لیے اگلے مہینے ملیں گے!
