تعارف
جیومیٹری کی طالبہ جینا کل رات بہت دیر تک جاگتی رہی اور دیکھتے ہوئے اپنا ہوم ورک کرتی رہی عظیم برطانیہ بیک اپ آف، لہذا جب وہ آخر کار سونے کے لئے گئی تو اس کا نیند کا دماغ ابھی بھی کپ کیک اور کمپاس سے بھرا ہوا تھا۔ اس نے ایک انتہائی غیر معمولی خواب دیکھا۔
جینا نے خود کو امیجنری یونیورسٹی میں گریٹ براؤنی بیک آف کا جج پایا، ایک ایسا اسکول جہاں طلباء بہت جیومیٹری سیکھتے ہیں لیکن بہت کم ریاضی سیکھتے ہیں۔ Imaginary U طلباء کی ٹیموں کو سب سے بڑی براؤنی بنانے کا کام سونپا گیا تھا، اور یہ جینا پر منحصر تھا کہ وہ فاتح کا تعین کرے۔
ٹیم الفا ختم کرنے والی پہلی تھی، اور انہوں نے فخر کے ساتھ فیصلہ کرنے کے لیے اپنی مستطیل براؤنی پیش کی۔ جینا نے ایک حکمران نکالا اور براؤنی کی پیمائش کی: یہ 16 انچ لمبا اور 9 انچ چوڑا تھا۔ ٹیم بیٹا نے تیزی سے اپنی مربع براؤنی کے ساتھ پیروی کی، جس کی پیمائش ہر طرف 12 انچ تھی۔ تب ہی مصیبت شروع ہوئی۔
ٹیم الفا کے کپتان نے کہا، "ہماری براؤنی آپ سے بہت لمبی ہے۔ "ہمارا واضح طور پر بڑا ہے، لہذا ہم فاتح ہیں!"
"لیکن آپ کے مستطیل کا چھوٹا حصہ ہمارے مربع کی طرف سے بہت چھوٹا ہے،" ٹیم بیٹا کے نمائندے نے کہا۔ "ہمارا مربع واضح طور پر بڑا ہے۔ ہم جیت گئے ہیں!"
جینا کو اس بات پر بحث کرنا عجیب لگا۔ "مستطیل براؤنی کا رقبہ 9 گنا 16 ہے، جو 144 مربع انچ ہے،" اس نے کہا۔ مربع براؤنی کا رقبہ 12 گنا 12 ہے، جو کہ 144 مربع انچ بھی ہے۔ براؤنز ایک ہی سائز کے ہیں: یہ ٹائی ہے۔
دونوں ٹیمیں پریشان نظر آئیں۔ ایک طالب علم، جسے کبھی ضرب نہیں سکھائی گئی تھی، نے کہا، "میں نہیں سمجھتا کہ 'بار' سے آپ کا کیا مطلب ہے۔ "میں بھی نہیں،" دوسرے نے کہا۔ ایک تیسرے نے کہا، "میں نے کمپلیکس کالج کے طلباء کے بارے میں سنا ہے کہ وہ ایک بار نمبروں کا استعمال کرتے ہوئے علاقے کی پیمائش کرتے ہیں، لیکن اس کا کیا مطلب ہے؟" خیالی یونیورسٹی واقعی ایک عجیب جگہ تھی، یہاں تک کہ خواب بھی۔
جینا کیا کرنے والی تھی؟ وہ ٹیموں کو کیسے قائل کر سکتی ہے کہ ان کے براؤنز ایک ہی سائز کے ہیں اگر وہ یہ نہیں سمجھتے کہ رقبہ کی پیمائش کیسے کی جائے اور نمبروں کو کیسے ضرب کیا جائے؟ خوش قسمتی سے، جینا کے پاس ایک باصلاحیت خیال تھا۔ "مجھے ایک چاقو دو،" اس نے کہا۔
جینا نے مستطیل براؤنی کے لمبے حصے سے 12 انچ نیچے کی پیمائش کی اور مختصر طرف کے متوازی کٹ بنایا۔ اس نے بڑے مستطیل کو دو چھوٹے میں بدل دیا: ایک کی پیمائش 9-by-12 اور دوسری 9-by-4۔ تین فوری کٹ کے ساتھ اس نے 9 بائی 4 ٹکڑے کو تین چھوٹے 3 بائی 4 ٹکڑوں میں بدل دیا۔ تھوڑا سا دوبارہ ترتیب دینے کے نتیجے میں ہجوم سے اوہ اور آہ کی آوازیں سنائی دیتی ہیں: جینا نے مستطیل کو مربع کی عین نقل میں تبدیل کر دیا تھا۔
دونوں ٹیموں کو اب اس بات پر متفق ہونا پڑا کہ ان کے براؤنز ایک ہی سائز کے تھے۔ ایک کو الگ کر کے اور دوسرے کو بنانے کے لیے اسے دوبارہ ترتیب دے کر، جینا نے دکھایا کہ دو بھورے ایک ہی کل رقبے پر قابض ہیں۔ جیومیٹری میں ہزاروں سالوں سے اس طرح کے ڈسکشنز کا استعمال کیا جا رہا ہے تاکہ یہ ظاہر کیا جا سکے کہ اعداد و شمار ایک ہی سائز کے ہیں، اور ڈسیکشنز اور مساوی کے بارے میں بہت سے قابل ذکر نتائج ہیں۔ آج بھی ریاضی دان مکمل طور پر سمجھنے کے لیے ڈسیکشن اور دوبارہ ترتیب کا استعمال کرتے ہیں جب کچھ شکلیں برابر ہوتی ہیں، جس کے نتیجے میں کچھ حیران کن حالیہ نتائج سامنے آتے ہیں۔
بنیادی شکلوں کے لیے ایریا فارمولے تیار کرتے وقت آپ نے شاید ریاضی کی کلاس میں جیومیٹرک ڈسیکشنز دیکھے ہوں گے۔ مثال کے طور پر، آپ کو یاد ہوگا کہ ایک متوازی طومار کا رقبہ اس کی بنیاد کی لمبائی کے اس کی اونچائی کے برابر ہے: اس کی وجہ یہ ہے کہ متوازی علامت کو الگ کیا جا سکتا ہے اور اسے مستطیل میں دوبارہ ترتیب دیا جا سکتا ہے۔
اس ڈسیکشن سے پتہ چلتا ہے کہ متوازی گرام کا رقبہ ایک ہی بنیاد اور اونچائی والے مستطیل کے رقبہ کے برابر ہے، جو کہ جیسا کہ کوئی بھی شخص جو خیالی یونیورسٹی میں نہیں گیا تھا، جانتا ہے، ان دو نمبروں کی پیداوار ہے۔
Imaginary U کے بارے میں بات کرتے ہوئے، گریٹ براؤنی بیک آف ابھی گرم ہو رہا تھا۔ ٹیم گاما ایک بڑی سہ رخی براؤنی کے ساتھ پہنچی۔ "یہ ہے فاتح،" انہوں نے دلیری سے اعلان کیا۔ "ہمارے دونوں فریق دوسروں کے مقابلے بہت لمبے ہیں۔"
جینا نے اطراف کی پیمائش کی۔ "اس کا بھی یہی علاقہ ہے!" اس نے کہا. "یہ ایک صحیح مثلث ہے، اور ٹانگوں کی پیمائش 18 اور 16 ہے، اور اس طرح یہ علاقہ ہے..." جینا نے ایک لمحے کے لیے توقف کیا، ہر ایک کے چہروں پر حیران کن تاثرات دیکھ کر۔ "اوہ، کوئی بات نہیں. بس مجھے چاقو دے دو۔"
جینا نے بڑی تدبیر کے ساتھ ہائپوٹینوس کے وسط پوائنٹ سے لمبی ٹانگ کے وسط پوائنٹ تک کاٹا، پھر نئے بنے ہوئے مثلث کو گھمایا تاکہ بڑے ٹکڑے میں بسنے پر یہ ایک بہترین مستطیل بنا دے۔
"یہ بالکل ہماری براؤنی ہے!" ٹیم الفا نے پکارا۔ یقینی طور پر، نتیجے میں مستطیل 9 بائی 16 تھا: بالکل وہی سائز جو ان کا ہے۔
ٹیم بیٹا کو ان کے شکوک تھے۔ "لیکن یہ مثلث ہمارے مربع سے کیسے موازنہ کرتا ہے؟" ان کے ٹیم لیڈر نے پوچھا۔
جینا اس کے لیے تیار تھی۔ "ہم پہلے ہی جانتے ہیں کہ مستطیل اور مربع ایک ہی سائز کے ہیں، اس لیے عبوری طور پر، مثلث اور مربع کا سائز ایک ہی ہے۔" Transitivity مساوات کی سب سے اہم خصوصیات میں سے ایک ہے: یہ کہتا ہے کہ اگر a = b اور b = c، تو a = c. جینا نے جاری رکھا، "اگر پہلی براؤنی کا رقبہ دوسری کے رقبہ کے برابر ہے، اور دوسری براؤنی کا رقبہ تیسری کے رقبہ کے برابر ہے، تو پہلی اور تیسری براؤنی کے بھی برابر علاقے ہونے چاہئیں۔"
لیکن جینا کو وہاں رکنے کے لیے ڈسیکشن کے ساتھ بہت زیادہ مزہ آ رہا تھا۔ "یا ہم صرف چند مزید کٹوتیاں کر سکتے ہیں۔"
پہلے جینا نے مستطیل کو گھمایا جو پہلے ایک مثلث تھا۔ پھر اس نے اسے بالکل اسی پیٹرن کا استعمال کرتے ہوئے کاٹا جو اس نے ٹیم الفا کے مستطیل پر استعمال کیا تھا۔
پھر اس نے دکھایا کہ ٹیم گاما کے مثلث کے اس نئے ڈسیکشن کو ٹیم بیٹا کے مربع میں کیسے تبدیل کیا جا سکتا ہے، بالکل اسی طرح جیسے اس نے ٹیم الفا کے مستطیل کے ساتھ کیا تھا۔
اس صورت حال میں ہم کہتے ہیں کہ مثلث اور مربع "قینچی ہم آہنگ" ہیں: آپ تصور کر سکتے ہیں کہ قینچی کا استعمال کرتے ہوئے ایک شکل کو بہت سے ٹکڑوں میں کاٹ کر دوسرے کو دوبارہ ترتیب دیا جا سکتا ہے۔ مثلث اور مربع کی صورت میں، براؤنز بالکل ظاہر کرتے ہیں کہ یہ قینچی کیسے کام کرتی ہے۔
نوٹ کریں کہ پیٹرن دونوں سمتوں میں کام کرتا ہے: یہ مثلث کو مربع یا مربع کو مثلث میں تبدیل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، کینچی کی مطابقت ہم آہنگی ہے: اگر شکل A، B کی شکل کے لیے کینچی کے موافق ہے، تو شکل B بھی کینچی A کی شکل کے لیے موافق ہے۔
درحقیقت، اوپر کی دلیل جس میں مثلث، مستطیل اور مربع شامل ہے، ظاہر کرتا ہے کہ قینچی کی موافقت بھی عبوری ہے۔ چونکہ مثلث مستطیل کے موافق کینچی ہے اور مستطیل مربع کے موافق کینچی ہے، اس لیے مثلث مربع کے موافق کینچی ہے۔ ثبوت پیٹرن میں ہے: بس انہیں درمیانی شکل پر چڑھائیں، جیسا کہ اوپر مستطیل کے ساتھ کیا گیا تھا۔
اگر آپ مثلث کو ان ٹکڑوں میں کاٹتے ہیں جو مستطیل بناتے ہیں، پھر مستطیل کو ان ٹکڑوں میں کاٹ دیں جو مربع بناتے ہیں، نتیجے میں آنے والے ٹکڑوں کو تینوں شکلوں میں سے کسی کو بنانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔
حقیقت یہ ہے کہ کینچی ہم آہنگی عبوری ہے ایک حیرت انگیز نتیجہ کے مرکز میں ہے: اگر دو کثیر الاضلاع کا رقبہ ایک ہے، تو وہ کینچی ہم آہنگ ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ، ایک ہی رقبے کے ساتھ کسی بھی دو کثیر الاضلاع کو دیکھتے ہوئے، آپ ہمیشہ ایک کو محدود تعداد میں ٹکڑوں میں کاٹ کر دوسرے کو بنانے کے لیے دوبارہ ترتیب دے سکتے ہیں۔
اس قابل ذکر نظریہ کا ثبوت بھی نمایاں طور پر سیدھا ہے۔ سب سے پہلے، ہر کثیرالاضلاع کو مثلث میں کاٹ دیں۔
دوسرا، ہر مثلث کو مستطیل میں تبدیل کریں، جیسا کہ جینا نے مثلث براؤنی کو دوبارہ ترتیب دیا۔
اب مشکل تکنیکی حصہ آتا ہے: ہر مستطیل کو ایک نئے مستطیل میں تبدیل کریں جو ایک یونٹ چوڑا ہو۔
ایسا کرنے کے لیے، مستطیل سے ان ٹکڑوں کو کاٹنا شروع کریں جو ایک یونٹ چوڑے ہوں۔
اگر آپ مستطیل کو چوڑائی 1 کے ٹکڑوں کی ایک لازمی تعداد میں کاٹ سکتے ہیں، تو آپ کا کام ہو گیا: بس انہیں ایک دوسرے کے اوپر اسٹیک کریں۔ بصورت دیگر، جب آخری ٹکڑا 1 سے 2 یونٹ چوڑا ہو تو کاٹنا بند کر دیں، اور باقی کو ایک دوسرے کے اوپر اسٹیک کریں۔
اگر مستطیل بذات خود 1 یونٹ سے کم چوڑا ہے تو پریشان نہ ہوں: بس اسے آدھے حصے میں کاٹ لیں اور دو ٹکڑوں کو ایک نیا مستطیل بنانے کے لیے استعمال کریں جو دوگنا لمبا اور آدھا موٹا ہو۔ ضرورت کے مطابق دہرائیں جب تک کہ آپ کو 1 اور 2 یونٹ چوڑا مستطیل نہ مل جائے۔
اب تصور کریں کہ اس آخری مستطیل کی اونچائی ہے۔ h اور چوڑائی w، 1 کے ساتھ w < 2. ہم اس مستطیل کو کاٹ کر اسے 1 چوڑائی اور اونچائی والے مستطیل میں دوبارہ ترتیب دینے جا رہے ہیں h × w. ایسا کرنے کے لیے، اوورلے h × w مطلوبہ کے ساتھ مستطیل hw × 1 مستطیل اس طرح۔
پھر نقطے والی لکیر کے ساتھ کونے سے کونے تک کاٹیں، اور دائیں کنارے کے نیچے دائیں جانب چھوٹے مثلث کو کاٹ دیں۔ hw × 1 مستطیل۔
یہ کاٹتا ہے h × w تین ٹکڑوں میں مستطیل جو ایک میں دوبارہ ترتیب دیا جا سکتا ہے hw × 1 مستطیل۔ (اس حتمی تحلیل کا جواز پیش کرنے کے لیے کچھ ہوشیار دلائل درکار ہیں جن میں ملتے جلتے مثلث شامل ہیں۔ تفصیلات کے لیے ذیل کی مشقیں دیکھیں۔)
آخر میں، اس آخری مستطیل کو اسٹیک کے اوپر رکھیں، اور آپ نے کامیابی کے ساتھ اس کثیر الاضلاع کو — واقعی، کوئی بھی کثیرالاضلاع — چوڑائی 1 کے مستطیل میں تبدیل کر دیا ہے۔
اب اگر اصل کثیرالاضلاع کا رقبہ تھا۔ A، پھر اس مستطیل کی اونچائی ہونی چاہیے۔ Aلہذا ہر کثیرالاضلاع رقبہ کے ساتھ A کینچی چوڑائی 1 اور اونچائی والے مستطیل کے موافق ہے۔ A. اس کا مطلب ہے کہ اگر دو کثیر الاضلاع کا رقبہ ہے۔ A، پھر وہ دونوں ایک ہی مستطیل کے موافق قینچی ہیں، لہذا عبوری طور پر وہ ایک دوسرے کے موافق قینچی ہیں۔ یہ ظاہر کرتا ہے کہ ہر کثیرالاضلاع رقبہ کے ساتھ A رقبہ کے ساتھ ہر دوسرے کثیرالاضلاع کے ساتھ قینچی ہے۔ A.
لیکن یہ طاقتور نتیجہ بھی امیجنری یونیورسٹی کے براؤنی بیک آف کے فیصلے کو کامیابی سے مکمل کرنے کے لیے کافی نہیں تھا۔ ابھی ایک اندراج باقی تھا، اور ٹیم پائی نے جو کچھ دکھایا اس پر کوئی بھی حیران نہیں ہوا۔
جس لمحے جینا نے اس حلقے کو آتے دیکھا وہ ٹھنڈے پسینے میں اپنے خواب سے بیدار ہوئی۔ وہ جانتی تھی کہ ایک دائرے کو بہت سے ٹکڑوں میں کاٹ کر ایک مربع، یا مستطیل، یا کوئی کثیرالاضلاع بنانے کے لیے انہیں دوبارہ ترتیب دینا ناممکن ہے۔ 1964 میں ریاضی دانوں لیسٹر ڈوبنز، مورس ہرش اور جیک کاروش نے ثابت کیا کہ دائرہ کسی بھی کثیرالاضلاع کے موافق قینچی نہیں ہے۔ جینا کا خواب جیومیٹرک ڈراؤنے خواب میں بدل گیا تھا۔
لیکن جیسا کہ وہ ہمیشہ کرتے نظر آتے ہیں، ریاضی دانوں نے اس رکاوٹ کو نئی ریاضی میں بدل دیا۔ 1990 میں Miklós Laczkovich نے ثابت کیا کہ ایک دائرے کو کاٹنا اور اسے ایک مربع میں دوبارہ ترتیب دینا ممکن ہے، جب تک کہ آپ لامحدود چھوٹے، لامحدود طور پر منقطع، لامحدود کٹے ہوئے ٹکڑوں کا استعمال کر سکتے ہیں جو ممکنہ طور پر قینچی کے جوڑے سے تیار نہیں کیے جا سکتے۔
Laczkovich کا نتیجہ جتنا حیران کن اور پرجوش تھا، اس نے صرف یہ ثابت کیا کہ اس طرح کا گلنا نظریاتی طور پر ممکن ہے۔ اس نے یہ نہیں بتایا کہ ٹکڑوں کو کیسے بنایا جائے، صرف یہ کہ وہ موجود ہو سکتے ہیں۔ یہ وہ جگہ ہے جہاں اندراس میتھی، اولیگ پِکھورکو اور جوناتھن نول آئے: 2022 کے اوائل میں ایک کاغذ پوسٹ کیا جس میں انہوں نے Laczkovich کے کارنامے سے میل کھایا، لیکن ان ٹکڑوں کے ساتھ جن کا تصور کرنا ممکن ہے۔
بدقسمتی سے، آپ کسی بھی براؤنی بیک آف کو حل کرنے کے لیے ان کا نتیجہ استعمال نہیں کر پائیں گے۔ اکیلے کینچی 10 پیدا نہیں کر سکتی200 ان کے گلنے کے لئے ضروری ٹکڑوں. لیکن یہ سوالوں کی ایک لمبی لائن کے جواب میں ایک اور قدم آگے ہے جو اس وقت شروع ہوا جب آرکیمیڈیز نے پہلی بار $latex pi$ کی ایجاد، یا دریافت کی۔ اور یہ ہمیں نئی ریاضی ایجاد کرنے یا دریافت کرنے کی طرف بڑھتا رہتا ہے جس کا پچھلی نسلیں خواب بھی نہیں دیکھ سکتی تھیں۔
مشقیں
1. وضاحت کریں کہ ہم کیسے جانتے ہیں کہ متوازی علامت کے علاقے کے فارمولے سے اخذ کرتے ہوئے، ہم نے جس مثلث کو کاٹ دیا ہے وہ متوازی علامت کے دوسری طرف کی جگہ پر بالکل فٹ بیٹھتا ہے۔
2۔ وضاحت کریں کہ کسی بھی مثلث کو مستطیل میں کیوں جدا کیا جا سکتا ہے۔
مشق 3 اور 4 کے لیے، اس خاکہ پر غور کریں جو یہ ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے کہ ایک h × w مستطیل ایک کینچی ہے hw × 1 مستطیل، لیبل والے پوائنٹس کے ساتھ۔
3. وضاحت کریں کہ $latex triangle$ کیوں XYQ $latextriangle$ سے ملتا جلتا ہے۔ اے بی ایکس. یہ کیا لمبائی بناتا ہے QY?
4. وضاحت کریں کہ $latex triangle$ کیوں پی سی ایکس $لیٹیکس مثلث$ سے ہم آہنگ ہے۔ AZQ.
جواب 1 کے لیے کلک کریں:
یہ ظاہر کرنے کے بہت سے طریقے ہیں کہ دو مثلث ایک دوسرے سے ہم آہنگ ہیں۔ ایک طریقہ یہ نوٹ کرنا ہے کہ متوازی لکیروں کے درمیان فاصلہ مستقل ہے، اس لیے دو دائیں مثلث میں متضاد ٹانگوں کا جوڑا ہوتا ہے۔
اور ایک متوازی علامت میں، مخالف سمتیں ہم آہنگ ہیں، جو دو مثلثوں کو hypotenuse-leg triangle congruence theorem کے ذریعے ہم آہنگ بناتی ہے۔ آپ angle-side-angle-trangle congruence theorem کا استعمال کرتے ہوئے بھی دلیل دے سکتے ہیں۔
جواب 2 کے لیے کلک کریں:
مثلث جیومیٹری کے عظیم ابتدائی نتائج میں سے ایک مثلث کے درمیانی حصے کا نظریہ ہے: اگر آپ ایک مثلث کے دو اطراف کے وسط پوائنٹس کو جوڑتے ہیں، تو نتیجے میں آنے والا لائن سیگمنٹ تیسری طرف کے متوازی اور نصف لمبائی کے برابر ہوتا ہے۔
چونکہ سیگمنٹ تیسری طرف کے متوازی ہے، زاویہ 1 اور 3 ہم آہنگ متعلقہ زاویہ ہیں۔ اور زاویے 1 اور 2 ایک ہی طرف کے اندرونی زاویے ہیں، اس لیے وہ ضمنی ہیں، جس کا مطلب ہے کہ ان کی پیمائشیں 180 ڈگری تک ہیں۔ چونکہ $latexangle$1 $latexangle$3 کے موافق ہے، اس کا مطلب ہے کہ زاویہ 3 اور 2 بھی اضافی ہیں۔
اس طرح، جب آپ اوپری مثلث کو چاروں طرف اور دائیں طرف پلٹائیں گے، تو ہم آہنگ اطراف بالکل مل جائیں گے، اور زاویہ 2 اور 3 ایک سیدھی لکیر بنائیں گے۔
یہ مثلث کو ایک متوازی علامت میں بدل دیتا ہے، جسے ہم پہلے ہی جانتے ہیں، ایک مستطیل میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔
جواب 3 کے لیے کلک کریں:
چونکہ BXYZ ایک مستطیل ہے، دونوں $latexangle$ زیڈ بی سی اور $latexangle$ زیڈ وائی ایکس۔ صحیح زاویہ ہیں. اور چونکہ مستطیل کے مخالف سمتیں متوازی ہیں، اس سے $latexangle$ بنتا ہے۔ YQX $latexangle$ کے موافق اے ایکس بیجیسا کہ وہ متبادل اندرونی زاویے ہیں۔ اس طرح $latextriangle$ XYQ $latextriangle$ سے ملتا جلتا ہے۔ اے بی ایکس زاویہ زاویہ کی مماثلت سے ملتے جلتے مثلث میں اطراف تناسب میں ہوتے ہیں، لہذا $latex frac{XY}{AB} = frac{QY}{BX}$۔ اس طرح، $latex frac{h}{hw} = frac{QY}{w}$، وغیرہ QY = 1. غور کریں کہ، چونکہ $latexangle$ اے ڈی سی ایک صحیح زاویہ اور $لیٹیکس زاویہ$ ہے۔ ڈی اے پی اور $لیٹیکس زاویہ$ YQX ہم آہنگ متعلقہ زاویہ ہیں، یہ $لیٹیکس مثلث$ بناتا ہے۔ ڈی اے پی $latextriangle$ کے موافق YQX. اس سے ثابت ہوتا ہے کہ آپ $latextriangle$ کو سلائیڈ کر سکتے ہیں۔ YQX اس جگہ پر جو فی الحال $latex triangle$ کے زیر قبضہ ہے۔ ڈی اے پی، جیسا کہ قینچی کے موافق دلیل میں درکار ہے۔
جواب 4 کے لیے کلک کریں:
نوٹ کریں کہ $latex angle$ AZQ اور $latexangle$ پی سی ایکس دونوں صحیح زاویہ ہیں، اور اس طرح ہم آہنگ۔ ورزش 3 کی طرح متوازی لکیروں کی خصوصیات کا استعمال کرتے ہوئے، ہم یہ بھی دیکھ سکتے ہیں کہ $لیٹیکس اینگل$ اے کیو زیڈ اور $لیٹیکس زاویہ$ پی ایکس سی ہم آہنگ متعلقہ زاویے ہیں۔ ورزش 3 میں بھی، ہم نے دکھایا QY = 1. یہ بناتا ہے۔ QZ = w − 1، جو بالکل وہی ہے۔ CX مساوی ہے. اس طرح، $لیٹیکس مثلث$ پی سی ایکس $لیٹیکس مثلث$ سے ہم آہنگ ہے۔ AZQ بذریعہ زاویہ-سائیڈ-زاویہ مثلث موافقت۔ یہ دلیل کے دوسرے حصے کا جواز پیش کرتا ہے کہ ایک h × w مستطیل ایک کینچی ہے hw × 1 مستطیل۔
