Hợp nhất các trường, các nhà toán học tiến xa hơn về vấn đề cũ | Tạp chí Quanta

Sự thay đổi kế hoạch đến trong một chuyến đi đường. Vào một ngày đẹp trời tháng 4 năm ngoái, các nhà toán học Rachel Greenfeld và Sarah Peluse khởi hành từ cơ quan chính của họ, Viện Nghiên cứu Cao cấp ở Princeton, New Jersey, hướng đến Rochester, New York, nơi cả hai dự kiến ​​sẽ có buổi nói chuyện vào ngày hôm sau.

Họ đã vật lộn trong gần hai năm với một giả thuyết quan trọng trong phân tích sóng hài, lĩnh vực nghiên cứu cách tách các tín hiệu phức tạp thành các tần số thành phần của chúng. Cùng với cộng tác viên thứ ba, Bến du thuyền Iliopoulou, họ đang nghiên cứu một dạng của bài toán trong đó các tần số thành phần được biểu diễn dưới dạng các điểm trên một mặt phẳng có khoảng cách với nhau liên quan đến các số nguyên. Ba nhà nghiên cứu đang cố gắng chỉ ra rằng không thể có quá nhiều điểm trong số này, nhưng cho đến nay, tất cả các kỹ thuật của họ đều chưa đạt được hiệu quả.

Họ dường như đang quay bánh xe của họ. Sau đó, Peluse nảy ra một ý nghĩ: Điều gì sẽ xảy ra nếu họ bỏ qua bài toán phân tích điều hòa - tất nhiên là tạm thời - và chuyển sự chú ý của họ sang các tập hợp điểm trong đó khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ chính xác là một số nguyên? Những tập hợp như vậy có thể có những cấu trúc khả dĩ nào? Các nhà toán học đã cố gắng tìm hiểu các tập khoảng cách nguyên từ thời cổ đại. Ví dụ, bộ ba Pythagore (chẳng hạn như 3, 4 và 5), biểu thị các tam giác vuông có ba đỉnh cách nhau một khoảng nguyên.

Peluse, hiện là giáo sư tại Đại học Michigan, cho biết: “Trong xe, tôi đoán vì Rachel bị mắc kẹt với tôi nên tôi đã nhắc đến chuyện đó. Ý tưởng giải quyết các tập hợp khoảng cách nguyên đã được điện khí hóa Greenfeld.

Trước khi họ kịp nhận ra điều đó, họ đã bắt tay vào không chỉ một mà là hai sự thay đổi hướng đi.

Peluse nói: “Chúng tôi thực sự đã không chú ý đến nơi mình sẽ đến và không ra khỏi đường cao tốc. “Chúng tôi đã đi ngược hướng với Rochester trong khoảng một giờ trước khi chúng tôi nhận ra, bởi vì chúng tôi rất hào hứng với môn toán.”

Năm 1945, Norman Anning và Paul Erdős chứng minh rằng một tập hợp vô hạn các điểm trong mặt phẳng cách nhau đều là số nguyên phải nằm trên một đường thẳng. Đối với một tập hợp điểm hữu hạn, các khả năng sẽ đa dạng hơn một chút. Các nhà toán học đã xây dựng các tập hợp lớn nằm trên một đường thẳng hoặc một đường tròn, đôi khi có thêm ba hoặc bốn điểm nằm ngoài lực cản chính. (Bản thân các điểm không nhất thiết phải có tọa độ nguyên - câu hỏi là về khoảng cách giữa chúng.)

Chưa ai nghĩ ra được một tập hợp lớn các điểm với bất kỳ cấu hình nào khác, nhưng cũng chưa ai chứng minh được rằng các cấu hình khác là không thể. Trong gần 80 năm kể từ kết quả của Anning và Erdős, chủ đề này hầu như không có tiến triển gì - cho đến tận bây giờ.

Greenfeld, Iliopoulou và Peluse có chứng minh rằng tất cả các điểm trong một tập hợp khoảng cách số nguyên lớn - có lẽ ngoại trừ một số điểm ngoại lệ thưa thớt - phải nằm trên một đường thẳng hoặc vòng tròn. “Nếu bạn muốn có một tập hợp lớn trong đó tất cả các khoảng cách theo cặp đều là số nguyên thì vòng tròn và đường thẳng là những người chơi duy nhất,” cho biết József Solymosi của Đại học British Columbia. Ông gọi kết quả của họ là một “giải pháp tuyệt vời”.

Cách tiếp cận mới sử dụng các ý tưởng và kỹ thuật từ ba lĩnh vực toán học riêng biệt: tổ hợp, lý thuyết số và hình học đại số. Sự kết hợp của các lĩnh vực khác nhau này “có thể là một bước đột phá tâm lý thực sự”, ông nói. Terence tao, một nhà toán học tại Đại học California, Los Angeles.

Alex Iosevich, của Đại học Rochester, đồng ý. Ông nói: “Họ đã đặt ra một nền tảng rất vững chắc cho một loạt vấn đề rất rộng lớn”. “Tôi hoàn toàn không nghi ngờ gì rằng điều này sẽ còn tìm ra những ứng dụng sâu sắc hơn nữa.”

Giới hạn của sự đơn giản

Trong một mặt phẳng, thật dễ dàng để chọn một tập hợp vô hạn các điểm cách nhau một khoảng nguyên — chỉ cần lấy dòng yêu thích của bạn, tưởng tượng một trục số được đặt chồng lên nó và sử dụng một số hoặc tất cả các điểm tương ứng với số nguyên. Nhưng đây là cách duy nhất để xây dựng một tập hợp khoảng cách số nguyên vô hạn trong mặt phẳng, như Anning và Erdős đã nhận ra vào năm 1945. Ngay khi bạn chỉ có ba điểm không nằm trên cùng một đường thẳng, cấu hình của bạn sẽ trở nên hạn chế đến mức không thể thực hiện được để thêm vô số điểm nữa.

Lý do tóm lại là hình học đơn giản. Hãy tưởng tượng bắt đầu với hai điểm A và B cách nhau một khoảng nguyên. Nếu bạn muốn thêm điểm thứ ba, C, có khoảng cách nguyên từ cả A và B nhưng không nằm trên đường thẳng đi qua chúng, thì hầu hết các điểm trong mặt phẳng sẽ không thực hiện được. Các điểm khả thi duy nhất nằm trên các đường cong đặc biệt gọi là hyperbol cắt giữa A và B. Nếu A và B cách nhau 4 đơn vị thì có chính xác bốn hyperbol này. (Một hyperbol thường có hai phần riêng biệt, ví dụ như hai đường cong màu đỏ trong hình bên dưới tạo thành một hyperbol đơn.)

Khi bạn đã chọn C (trong ví dụ này là 3 đơn vị từ A và 5 đơn vị từ B), bạn hầu như không có bất kỳ lựa chọn nào để thêm nhiều điểm hơn. Bất kỳ điểm nào bạn có thể thêm vào đều phải nằm trên một trong các hyperbol giữa A và B hoặc trên đường thẳng chạy qua chúng. Nhưng nó cũng phải nằm trên một trong các hyperbol giữa A và C, và một trong các hyperbol giữa B và C (hoặc các đường tương ứng) - nói cách khác, một điểm mới chỉ có thể được đặt ở nơi ba hyperbol hoặc đường thẳng giao nhau (mặc dù không phải mọi điểm giao nhau đều hoạt động). Chỉ có hữu hạn nhiều đường hyperbol và đường thẳng này để bắt đầu, và hai hyperbol (hoặc đường thẳng) có thể giao nhau ở nhiều nhất bốn điểm. Vì vậy, cuối cùng bạn chỉ có hữu hạn nhiều điểm giao nhau để chọn - bạn không thể xây dựng một tập hợp vô hạn.

Khi cần hiểu một tập hợp hữu hạn các điểm khoảng cách nguyên thực sự trông như thế nào, cách tiếp cận hyperbol nhanh chóng trở nên khó sử dụng. Khi bạn thêm điểm, bạn phải vật lộn với số lượng hyperbol ngày càng tăng. Ví dụ: vào thời điểm tập hợp của bạn chỉ có 10 điểm, việc thêm điểm thứ 11 sẽ tạo ra 10 họ hyperbol mới - tất cả các họ nằm giữa điểm mới của bạn và mỗi điểm đã có trong tập hợp. Greenfeld nói: “Bạn không thể thêm nhiều điểm vì bạn sẽ bị lạc trong tất cả các hyperbol và giao điểm đó.

Vì vậy, các nhà toán học đã tìm kiếm các nguyên tắc dễ quản lý hơn để xây dựng các tập hợp lớn các điểm khoảng cách nguyên không nằm trên một đường thẳng. Nhưng họ chỉ có thể nghĩ ra một cách tiếp cận: Đặt điểm của bạn vào một vòng tròn. Nếu bạn muốn đặt một khoảng cách nguyên với một nghìn tỷ điểm chẳng hạn, thì có nhiều cách để đạt được một nghìn tỷ điểm trên một vòng tròn bán kính 1 có khoảng cách đều là phân số. Sau đó, bạn có thể phóng to vòng tròn cho đến khi tất cả các khoảng cách phân số chuyển thành số nguyên. Bạn càng muốn có nhiều điểm trong bộ của mình thì bạn càng cần phải thổi phồng vòng tròn.

Qua nhiều năm, các nhà toán học chỉ đưa ra được những ví dụ kỳ lạ hơn một chút. Họ có thể xây dựng các tập hợp khoảng cách số nguyên lớn trong đó tất cả trừ bốn điểm đều nằm trên một đường thẳng hoặc tất cả ngoại trừ ba điểm đều nằm trên một đường tròn. Nhiều nhà toán học nghi ngờ rằng đây là những tập hợp khoảng cách số nguyên lớn duy nhất trong đó không phải tất cả các điểm đều nằm trên một đường thẳng hoặc một đường tròn. Họ sẽ biết chắc chắn điều này nếu họ có thể chứng minh được thứ gọi là giả thuyết Bombieri-Lang. Nhưng các nhà toán học đang bị chia rẽ về việc liệu giả thuyết này có đúng hay không.

Kể từ công trình của Anning và Erdős vào năm 1945, các nhà toán học đã đạt được rất ít tiến bộ trong việc tìm hiểu các tập khoảng cách nguyên. Theo thời gian, bài toán khoảng cách số nguyên dường như tham gia vào một loạt các bài toán khác trong tổ hợp, lý thuyết số và hình học có cách phát biểu đơn giản nhưng dường như không thể giải được. “Đó là thước đo mức độ thảm hại của toán học của chúng ta,” Tao nói.

Theo một cách nào đó, bài toán khoảng cách số nguyên là nạn nhân của những thành công ban đầu của chính nó. Chứng minh hyperbol, với sự đơn giản khéo léo của nó, là biểu tượng cho triết lý được tán thành bởi Erdős, một nhà toán học có ảnh hưởng lớn, người thường nói về “Cuốn sách” - một tập tưởng tượng về những bằng chứng tao nhã nhất trong toán học. Iosevich nói: Văn hóa đơn giản mà Erdős đề cao đã dẫn đến “những kết quả to lớn” trong hình học tổ hợp. Nhưng nó cũng có thể dẫn đến những điểm mù - trong trường hợp này là về giá trị của việc áp dụng các phương pháp tiếp cận từ hình học đại số.

Iosevich nói: “Tôi không nghĩ bạn sẽ tìm thấy một kết quả [trong hình học đại số] đã được chứng minh trong 50 năm qua mà không liên quan nhiều về mặt kỹ thuật và lộn xộn”. “Tuy nhiên, đôi khi mọi thứ cần phải như thế này.”

Nhìn lại quá khứ, bài toán khoảng cách số nguyên đang chờ đợi các nhà toán học sẵn sàng xem xét những đường cong ngang ngược hơn hyperbol và sau đó sử dụng các công cụ điều chỉnh lại từ hình học đại số và lý thuyết số để chế ngự chúng. Iosevich nói: “Nó đòi hỏi những người có đủ kiến ​​thức và sự quan tâm.

Ông nói, hầu hết các nhà toán học đều hài lòng với việc sử dụng một vài công cụ trong một góc của toán học trong suốt sự nghiệp của họ. Nhưng Greenfeld, Iliopoulou và Peluse là những nhà thám hiểm dũng cảm, Iosevich nói. “Họ xem toán học như một tổng thể mạch lạc.”

Phức tạp hóa vấn đề

Vào mùa hè năm 2021, Greenfeld quyết định rằng đã đến lúc phải giải quyết một vấn đề từ phép phân tích sóng hài mà cô đã nghiền ngẫm từ khi còn học cao học. Phân tích sóng hài cổ điển, vốn tạo nền tảng cho việc xử lý tín hiệu trong thế giới thực, là việc phân tách tín hiệu thành các sóng hình sin có tần số và pha khác nhau. Quá trình này hoạt động vì có thể tạo ra một danh sách vô hạn các sóng hình sin mà khi kết hợp lại sẽ thu được tất cả các đặc điểm của bất kỳ tín hiệu nào mà không có bất kỳ sự dư thừa nào.

Tuy nhiên, thông thường, các nhà nghiên cứu muốn nghiên cứu thứ gì đó phức tạp hơn tín hiệu một chiều. Chẳng hạn, họ có thể muốn phân tách tín hiệu trên đĩa trên mặt phẳng. Nhưng đĩa chỉ có thể lưu trữ một tập hợp hữu hạn các sóng hình sin tương thích - quá ít để nắm bắt được hành vi của tất cả các tín hiệu có thể có trên đĩa. Câu hỏi sau đó trở thành: Bộ sưu tập hữu hạn này có thể lớn đến mức nào?

Trong một tập hợp như vậy, tần số của các sin có thể được biểu diễn dưới dạng các điểm trong mặt phẳng có vẻ không thích phân cụm theo đường thẳng và đường tròn: Bạn sẽ không bao giờ tìm thấy ba điểm gần với cùng một đường hoặc bốn điểm đều gần nhau. vào cùng một vòng tròn. Greenfeld hy vọng sử dụng ác cảm này để chứng minh rằng những tập hợp tần số này chỉ có thể chứa một vài điểm.

Tại một cuộc họp năm 2021 tại Đại học Bonn, Greenfeld đã tham dự một buổi nói chuyện về “phương pháp xác định”, một kỹ thuật từ lý thuyết số có thể được sử dụng để ước tính có bao nhiêu điểm nguyên thuộc một số loại nhất định có thể nằm trên các đường cong. Cô nhận ra rằng công cụ này có thể chính là thứ cô cần. Greenfeld tuyển dụng Iliopoulou và Peluse, những người cũng có mặt tại cuộc họp. Greenfeld nói: “Chúng tôi bắt đầu học phương pháp này cùng nhau.

Nhưng dù có rất nhiều nỗ lực, họ dường như không thể áp dụng phương pháp xác định theo mục đích của mình và đến mùa xuân năm 2023, họ cảm thấy chán nản. Iosevich đã mời Greenfeld và Peluse lái xe đến Rochester để thăm. “Vì vậy, chúng tôi đã nghĩ, 'Được rồi, chúng ta sẽ đến Rochester và việc nói chuyện với Alex sẽ tiếp thêm sinh lực cho chúng ta',” Peluse nói. Nhưng hóa ra, họ hạ cánh ở Rochester đã được hồi sinh nhờ một cuộc thảo luận sôi nổi về khoảng cách số nguyên trên đường vòng không có kế hoạch dọc theo sông Susquehanna ở Pennsylvania.

Họ đến quá muộn để dự bữa tối với Iosevich, nhưng họ thấy anh đang đợi ở sảnh khách sạn với những túi đồ ăn mang đi. Anh ấy đã tha thứ cho sự chậm trễ của họ - và còn hơn cả tha thứ vào sáng hôm sau, khi họ nói với anh ấy về kế hoạch giải quyết các tập hợp khoảng cách nguyên. “Anh ấy rất phấn khích,” Peluse nhớ lại. “Về mặt cảm xúc, đây là một sự thúc đẩy rất lớn.”

Giống như phương pháp hyperbol, Greenfeld, Iliopoulou và Peluse đã cố gắng kiểm soát cấu trúc của các tập hợp khoảng cách nguyên bằng cách xác định các họ đường cong mà các điểm phải nằm trên đó. Phương pháp hyperbola bắt đầu trở nên quá phức tạp ngay khi bạn có nhiều hơn một vài điểm, nhưng Greenfeld, Iliopoulou và Peluse đã tìm ra cách xem xét nhiều điểm cùng lúc bằng cách di chuyển toàn bộ cấu hình vào một không gian có chiều cao hơn.

Để xem cách thức hoạt động của điều này, giả sử bạn bắt đầu với điểm “tham chiếu” A trong tập khoảng cách số nguyên của bạn. Mọi điểm khác trong tập hợp đều cách A một khoảng cách nguyên. Các điểm nằm trong một mặt phẳng, nhưng bạn có thể đưa mặt phẳng đó vào không gian ba chiều bằng cách thêm tọa độ thứ ba vào mỗi điểm, giá trị của nó là khoảng cách từ A. Ví dụ: , giả sử A là điểm (1, 3). Khi đó điểm (4, 7), cách A 5 đơn vị, biến thành điểm (4, 7, 5) trong không gian ba chiều. Quá trình này biến mặt phẳng thành một hình nón trong không gian ba chiều có đỉnh nằm ở A, hiện được dán nhãn (1, 3, 0). Các điểm khoảng cách nguyên trở thành các điểm trong không gian ba chiều nằm trên hình nón và trên một mạng nhất định.

Tương tự, nếu bạn chọn hai điểm tham chiếu, A và B, bạn có thể chuyển đổi các điểm trong mặt phẳng thành các điểm trong không gian bốn chiều — chỉ cần cung cấp cho mỗi điểm hai tọa độ mới có giá trị là khoảng cách của nó với A và B. Quá trình này sẽ chuyển đổi mặt phẳng thành một bề mặt cong trong không gian bốn chiều. Bạn có thể tiếp tục thêm nhiều điểm tham chiếu hơn theo cách này. Với mỗi điểm tham chiếu mới, kích thước sẽ tăng thêm một và mặt phẳng được ánh xạ tới một bề mặt thậm chí còn lắc lư hơn (hoặc, như các nhà toán học nói, một bề mặt có bậc cao hơn).

Với khuôn khổ này, các nhà nghiên cứu đã sử dụng phương pháp xác định từ lý thuyết số. Định thức là những con số, thường gắn liền với ma trận, nắm bắt một loạt các đặc tính hình học của một tập hợp các điểm - ví dụ, một định thức cụ thể có thể đo diện tích của tam giác được tạo bởi ba trong số các điểm. Phương pháp định thức đưa ra một cách sử dụng các định thức đó để ước tính số điểm nằm đồng thời trên một bề mặt lắc lư và trên một mạng tinh thể - đúng loại tình huống mà Greenfeld, Iliopoulou và Peluse đang giải quyết.

Các nhà nghiên cứu đã sử dụng một dòng công việc dựa trên phương pháp xác định để chỉ ra rằng khi họ thiết lập khoảng cách nguyên của chúng đến một chiều cao phù hợp, tất cả các điểm phải nằm trên một số lượng nhỏ các đường cong đặc biệt. Những đường cong này, khi bóng của chúng trong mặt phẳng không phải là đường thẳng hoặc hình tròn, không thể chứa nhiều điểm mạng, đây là những ứng cử viên duy nhất cho các điểm trong tập hợp khoảng cách nguyên. Điều đó có nghĩa là số điểm trong tập hợp có thể nằm ngoài đường chính hoặc đường tròn bị chặn - các nhà nghiên cứu đã chỉ ra rằng nó phải nhỏ hơn một hàm tăng rất chậm của đường kính của tập hợp.

Giới hạn của chúng không đạt tiêu chuẩn của phỏng đoán “bốn điểm ngoài đường thẳng hoặc ba điểm ngoài đường tròn” mà nhiều nhà toán học tin là đúng với các tập khoảng cách số nguyên lớn. Mặc dù vậy, kết quả cho thấy “bản chất của phỏng đoán là đúng”, Jacob Fox của Đại học Stanford cho biết. Các nhà toán học cho biết, một bằng chứng đầy đủ về giả thuyết có thể sẽ cần đến những ý tưởng mới khác.

Iosevich cho biết sơ đồ mã hóa nhiều chiều của nhóm là “cực kỳ mạnh mẽ”. “Về nguyên tắc không chỉ có những ứng dụng mà còn có những ứng dụng mà tôi đang nghĩ tới.”

Một ứng dụng mà Greenfeld, Iliopoulou và Peluse hy vọng sẽ giải quyết vấn đề phân tích sóng hài ban đầu của họ mà cả ba hiện đang quay trở lại. Kết quả của họ về các tập khoảng cách nguyên “có thể là bước đệm hướng tới điều đó,” Greenfeld nói.

Iosevich dự đoán rằng sự tổng hợp tổ hợp với hình học đại số mà các nhà nghiên cứu khởi xướng sẽ không dừng lại với các tập khoảng cách nguyên hoặc các bài toán liên quan trong giải tích điều hòa. “Tôi tin rằng những gì chúng ta đang thấy là một bước đột phá về mặt khái niệm,” ông nói. “Điều này gửi một thông điệp tới mọi người trong cả hai lĩnh vực rằng đây là một sự tương tác rất hiệu quả.”

Nó cũng gửi đi một thông điệp về giá trị của việc đôi khi khiến vấn đề trở nên phức tạp hơn, Tao nói. Ông lưu ý rằng các nhà toán học thường cố gắng làm điều ngược lại. “Nhưng đây là một ví dụ cho thấy việc phức tạp hóa vấn đề thực sự là một bước đi đúng đắn.”

Ông nói, sự tiến bộ này đã thay đổi cách ông nghĩ về các đường cong bậc cao. “Đôi khi họ có thể là bạn chứ không phải kẻ thù của bạn.”