Các nhà toán học loại bỏ mối đe dọa lâu dài đối với phỏng đoán thắt nút

Hơn 60 năm trước, Ralph Fox đã đặt ra một bài toán về các nút thắt ám ảnh các nhà toán học cho đến ngày nay. câu hỏi của anh ấy hiện nay thường được hình thành dưới dạng “phỏng đoán lát cắt-dải băng”, cho rằng hai nhóm nút thắt dường như khác biệt thực sự giống nhau. Với gợi ý về sự đơn giản tao nhã trong thế giới của các nút thắt, nó trở thành một trong những vấn đề nổi bật nhất trong lý thuyết nút thắt. “Điều đó có nghĩa là thế giới có cấu trúc hơn một chút so với những gì bạn có thể mong đợi,” nói cá đuối, một nhà toán học tại Viện Toán học Max Planck ở Bonn.

Trong nhiều thập kỷ, một nút thắt đặc biệt đã bị nghi ngờ là một con đường khả thi để giải quyết phỏng đoán. Tuy nhiên, trong một bài viết được đăng vào mùa hè năm ngoái, năm nhà toán học nhận thấy rằng nút thắt này rốt cuộc sẽ không hoạt động. Mặc dù các lập luận mà họ đưa ra sẽ cung cấp những hiểu biết mới về một loại nút thắt rộng hơn, nhưng toàn bộ công việc khiến các nhà toán học không chắc chắn về phỏng đoán. “Tôi nghĩ rằng có những tranh cãi thực sự chính đáng về việc liệu nó có trở thành sự thật hay không,” nói Kristen Hendricks, một nhà toán học tại Đại học Rutgers.

Phỏng đoán lát-ruy-băng liên quan đến hai loại nút thắt: nút thắt lát cắt và nút thắt ruy-băng. Tìm ra nút thắt nào là lát cắt là “một trong những câu hỏi cơ bản mà chủ đề của chúng tôi xoay quanh,” cho biết Abhishek Mallick, một trong những tác giả của bài báo mới.

Một nút thắt toán học có thể được coi như một vòng dây thông thường. Các nhà toán học gọi một vòng lặp đơn giản không có nút thắt là “thắt nút”. (Mặc dù đây không phải là nút thắt theo nghĩa thông thường của từ này, nhưng các nhà toán học nghĩ về nút thắt như một ví dụ đơn giản nhất về nút thắt.)

Các nút thắt cũng xác định ranh giới của một hình dạng mà các nhà toán học gọi là đĩa, mặc dù không phải lúc nào nó cũng giống hình đĩa theo nghĩa thông thường của từ này. Ví dụ đơn giản nhất, nút thắt, tạo thành ranh giới của một vòng tròn - một “đĩa” thực sự trông giống như một cái đĩa. Nhưng vòng lặp tạo thành ranh giới không chỉ của một vòng tròn nằm phẳng trên bàn, mà còn của một cái bát - mở rộng thành ba chiều - được đặt lộn ngược trên mặt bàn. Các đĩa mà các nút xác định có thể được mở rộng thêm từ ba chiều thành bốn chiều.

Nếu có một nút thắt trong chuỗi, các đĩa sẽ phức tạp hơn. Trong không gian ba chiều, những chiếc đĩa đó có những điểm kỳ dị — những điểm mà chúng hoạt động không tốt về mặt toán học. Các nút cắt lát là những nút có thể - trong bốn chiều - để tìm một đĩa không có điểm kỳ dị như vậy. Nút thắt lát là “điều tốt nhất tiếp theo đến tận cùng,” như Peter Teichner, cũng thuộc Viện Max Planck, đã đặt nó.

Mặc dù vậy, các đĩa được bao quanh bởi các nút thắt trong không gian ba chiều có thể xấu và khó làm việc. Giả thuyết lát cắt ruy băng nói rằng chúng không nhất thiết phải như vậy.

Các nút ruy băng là các nút có đĩa giống như các dải ruy băng. Trong không gian ba chiều, những dải ruy băng này có thể tự xuyên qua, giống như một dải ruy băng thông thường có thể được kéo qua một vết rạch được tạo ra ở tâm của nó. Về mặt toán học, sự truyền qua như vậy được gọi là điểm kỳ dị dải băng. Không giống như các loại điểm kỳ dị khác, điểm kỳ dị dải băng có thể dễ dàng bị loại bỏ bằng cách di chuyển vào bốn chiều. Điều này giúp các nhà toán học dễ dàng chỉ ra rằng tất cả các nút ruy băng đều là lát cắt.

Điều ngược lại - rằng mọi nút thắt của lát cắt cũng là dải băng - là phỏng đoán về dải băng, vốn là một câu hỏi mở trong nhiều thập kỷ. (Để làm phức tạp thêm vấn đề, các nút cắt lát có một số phân loại liên quan, bao gồm “lát cắt trơn tru” và “lát cắt tô pô”. Sự phỏng đoán chỉ áp dụng cho loại nút thắt “lát cắt trơn tru”, đó là điều mà các nhà toán học thường gọi là “lát cắt”.)

Để bác bỏ phỏng đoán, chỉ cần tìm một nút thắt được cắt trơn tru, nhưng không phải là dải ruy băng. Trong nhiều thập kỷ, các nhà toán học đã để mắt tới một ứng cử viên: dây cáp (2, 1) của nút thắt hình số tám, được tạo ra bằng cách luồn một sợi dây thứ hai dọc theo nút thắt hình số tám rồi hợp nhất hai dây này để tạo thành một nút thắt duy nhất.

Vào năm 1980, Akio Kawauchi đã chứng minh rằng nút thắt này vừa là lát cắt hợp lý vừa là lát cắt đại số, các tính chất tương tự như là lát cắt trơn tru, nhưng không hoàn toàn giống nhau. Năm 1994, Katura Miyazaki đã chứng minh rằng nó không phải là dải băng, để lại một mở đầu hồi hộp cho các nhà toán học. Nếu kết quả của Kawauchi có thể được củng cố chỉ bằng một cú chạm để chứng tỏ rằng nút thắt được cắt trơn tru, thì điều đó sẽ bác bỏ phỏng đoán.

Bài báo mới chứng minh rằng nút thắt đang được đề cập rốt cuộc không phải là lát cắt, đóng sầm cánh cửa này lại.

Hendricks, người đã làm việc chặt chẽ với hai trong số các tác giả của bài báo mới cho biết: “Phỏng đoán về dải băng vẫn còn mạnh mẽ. “Điều đó rất thú vị, bởi vì mọi người đã cố gắng hiểu ví dụ này trong một thời gian dài.”

Bằng chứng mới dựa trên một thứ gọi là bìa kép phân nhánh. Bạn có thể hình dung một nắp kép có nhánh bằng cách liên tưởng đến một quả cầu rỗng, giống như một quả bóng rổ. Để tạo một nắp kép có nhánh của một quả bóng rổ, hãy cắt nó từ trên xuống dưới dọc theo một trong các đường kinh độ. Bây giờ, hãy kéo một mặt của miếng cao su mà bạn đã cắt, kéo dài nó dọc theo đường xích đạo cho đến khi vật liệu bao bọc xung quanh. Sau khi hoàn thành quá trình chuyển đổi này, bạn có một quả bóng rổ được làm bằng hai lớp vật liệu có thể hoán đổi cho nhau, do đó có “lớp vỏ kép”. (Trong trường hợp này, cao su có thể được kéo căng và xoắn theo cách bạn muốn mà không bị gãy hoặc nhàu nát.)

Từ “phân nhánh” trong “bìa kép phân nhánh” xuất phát từ một sự biến đổi không rõ ràng. Vì bạn kéo dài theo chiều ngang, nên vẫn chỉ có một lớp ở điểm trên cùng và dưới cùng của quả bóng, cực bắc và cực nam. Những điểm này gọi là điểm nhánh, và sự có mặt của chúng làm cho bìa kép thành bìa kép phân nhánh.

Khi nói đến các nút thắt, nắp kép phân nhánh được lắp ráp theo cách sao cho các điểm nhánh chính là nút thắt: các điểm, giống như cực bắc và cực nam của bóng rổ, chỉ được che một lần.

“Trong lịch sử, việc xem xét các nắp phân nhánh kép là một công cụ tiêu chuẩn của giao dịch,” cho biết Jennifer Hôm, một nhà toán học tại Viện Công nghệ Georgia, người đã làm việc với hai tác giả của bài báo mới. Điều này là do — giống như một quả bóng rổ bao quanh một quả bóng khí — lớp vỏ kép phân nhánh của một nút lát bao quanh một hình dạng bốn chiều nhất định. Nếu các nhà toán học có thể chỉ ra rằng lớp vỏ kép phân nhánh của một nút thắt không bao quanh đúng hình dạng 4D, thì họ có thể loại trừ khả năng nút thắt đó là lát cắt.

Nhưng điều này không hoàn toàn phù hợp với cáp (2, 1) của nút thắt hình số tám: Vỏ kép phân nhánh của nó bao quanh đúng loại hình dạng bốn chiều. Việc chỉ ra rằng dây cáp (2, 1) của nút thắt hình số tám không phải là lát cắt phụ thuộc vào tính đối xứng của hình dạng thường bị bỏ qua.

Khi bạn kéo căng bề mặt của một quả bóng rổ để tạo thành một lớp vỏ kép phân nhánh, bạn có thể tưởng tượng đang làm một việc gì đó tương tự như quả bóng không khí ba chiều bên trong. Khi bạn kéo cao su xung quanh quả bóng, chỉ cần kéo không khí cùng với nó. Cũng giống như hai lớp cao su có thể hoán đổi cho nhau, có hai bán cầu trong quả cầu khí, cả hai đều kết thúc ở cùng một vị trí. Nói cách khác, sự đối xứng từ bên ngoài quả bóng kéo dài vào bên trong.

Theo cách tương tự, các đối xứng trên nắp kép phân nhánh của một lát cắt chạm tới không gian 4D bên trong. Các nhà toán học thường bỏ qua tính đối xứng này khi cố gắng chứng minh rằng các nút thắt không phải là lát cắt. Nhưng trong trường hợp này, nó là cần thiết. Nếu các tác giả của tác phẩm mới có thể chỉ ra rằng không có sự đối xứng như vậy, thì họ có thể kết luận rằng nút thắt không phải là lát cắt.

“Bởi vì câu hỏi không đề cập đến bất kỳ sự đối xứng nào, bạn sẽ nghĩ: Chà, làm thế nào mà sự đối xứng xuất hiện trong bức tranh để nói lên bất cứ điều gì về nó? Nhưng bằng cách nào đó, thật kỳ diệu, trong trường hợp này, tính đối xứng xuất hiện trong bức tranh và giải quyết vấn đề cho bạn,” Mallick, tác giả của bài báo mới cho biết. Irving Đại của Đại học Stanford, JungHwan Park của Viện Khoa học và Công nghệ Tiên tiến Hàn Quốc, Matthew Stoffregen của Đại học Bang Michigan, và Sungkyung Kang của Viện Khoa học Cơ bản Hàn Quốc.

“Chúng tôi biết rằng cấu trúc đó đã ở đó. Nhưng một phần lý do tại sao mọi người không nghiên cứu nó là vì chúng tôi không có cách nào theo dõi cấu trúc đó,” Ray nói. “Bạn cần một công cụ mạnh mẽ, lạ mắt để phát hiện ra điều đó.”

Để đưa ra lập luận, nhóm nghiên cứu đã phải sử dụng toán học sâu và phức tạp liên quan đến nút thắt và không gian xung quanh nó, dựa trên các đối xứng tinh tế hơn cả đối xứng của nắp kép phân nhánh. Trong hai giấy tờ trước, Dai, Mallick và Stoffregen đã tính toán một số thuộc tính này. Khi Kang đến thăm Stoffregen tại Bang Michigan vào mùa hè năm ngoái, sợi cáp (2, 1) của nút thắt hình số tám vẫn còn trong tâm trí anh, các nhà nghiên cứu nhanh chóng nhận ra rằng những công thức đó sẽ giải quyết được vấn đề về độ cắt của nó. “Có một trực giác mách bảo tôi rằng tính toán này sẽ hoạt động,” Kang nói. “Và chỉ cần tính toán nó, chúng ta có thể giải quyết vấn đề này ngay bây giờ.”

Vào cuối tháng XNUMX, bài báo của họ đã được đăng trực tuyến, chứng minh rằng trên thực tế, nút thắt không phải là một lát cắt. Park cho biết, những ý tưởng trong bài báo nên được áp dụng cho nhiều nút thắt mà độ cắt của chúng hiện đang bị nghi ngờ. “Đây mới chỉ là khởi đầu,” anh nói. Mặc dù bài báo này tập trung vào một nút thắt cụ thể, Park cho biết các công cụ mà họ đã phát triển sẽ hoạt động cho các họ nút thắt tổng quát hơn nhiều. Tuy nhiên, tính không lát cắt của nút thắt ban đầu đảm bảo rằng phỏng đoán về dải băng lát cắt sẽ vẫn chưa được giải quyết cho đến bây giờ.