Isaac Newton không được biết đến với tinh thần hào hiệp, và thái độ coi thường các đối thủ của ông đã trở thành huyền thoại. Nhưng trong một lá thư gửi cho đối thủ cạnh tranh của mình, Gottfried Leibniz, hiện được gọi là Epistola sau, Newton xuất hiện như một người hoài cổ và gần như thân thiện. Trong đó, anh kể một câu chuyện thời sinh viên của mình, khi anh mới bắt đầu học toán. Anh ta kể lại cách anh ta thực hiện một khám phá quan trọng cân bằng các khu vực dưới đường cong với tổng vô hạn bằng một quá trình đoán và kiểm tra. Cách lập luận của anh ấy trong bức thư thật quyến rũ và dễ tiếp cận, nó khiến tôi nhớ đến những trò chơi đoán khuôn mẫu mà bọn trẻ thích chơi.
Mọi chuyện bắt đầu khi Newton còn trẻ đọc John Wallis ' Số học vô hạn, một công trình tiêu biểu của toán học thế kỷ 17. Wallis bao gồm một phương pháp mới và quy nạp để xác định giá trị của số pi, và Newton muốn phát minh ra một cái gì đó tương tự. Ông bắt đầu với bài toán tìm diện tích của một "đoạn tròn" có chiều rộng có thể điều chỉnh được $ latex x $. Đây là vùng bên dưới hình tròn đơn vị, được xác định bởi $ latex y = sqrt {1-x ^ 2} $, nằm trên phần của trục hoành từ 0 đến $ latex x $. Đây $ latex x $ có thể là bất kỳ số nào từ 0 đến 1 và 1 là bán kính của hình tròn. Diện tích của một hình tròn đơn vị là pi, như Newton đã biết, vì vậy khi $ latex x = 1 $, diện tích dưới đường cong là một phần tư hình tròn đơn vị, $ latexfrac {π} {4} $. Nhưng đối với các giá trị khác của $ latex x $, không có gì được biết đến.
Nếu Newton có thể tìm ra cách xác định diện tích dưới đường cong cho mọi giá trị có thể có của $ latex x $, nó có thể cung cấp cho anh ta một phương tiện chưa từng có để ước tính số pi. Đó ban đầu là kế hoạch lớn của anh ấy. Nhưng trên đường đi, anh ấy đã tìm ra một thứ thậm chí còn tốt hơn: một phương pháp để thay thế các đường cong phức tạp bằng tổng vô hạn của các khối xây dựng đơn giản hơn được tạo thành từ $ latex x $.
Bước đầu tiên của Newton là suy luận bằng phép loại suy. Thay vì nhắm trực tiếp vào diện tích của đoạn tròn, ông đã điều tra diện tích của các đoạn tương tự được giới hạn bởi các đường cong sau:
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.
Newton biết rằng các diện tích bên dưới các đường cong trong danh sách với lũy thừa toàn số (như $ latex frac {0} {2} = 0 $ và $ latex frac {2} {2} = 1 $) sẽ dễ dàng tính toán, bởi vì chúng đơn giản hóa đại số. Ví dụ,
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.
Tương tự,
Nhưng không có sự đơn giản hóa nào như vậy cho phương trình của đường tròn - $ latex y_1 = sqrt {1-x ^ 2} = (1-x ^ 2) ^ frac {1} {2} $ - hoặc các đường cong khác với nửa lũy thừa. Vào thời điểm đó, không ai biết làm thế nào để tìm thấy tung tích của bất kỳ ai trong số họ.
May mắn thay, các khu vực dưới đường cong với lũy thừa toàn số là đơn giản. Lấy đường cong $ latex y_4 = 1-2x ^ 2 + x ^ 4 $. Một quy tắc nổi tiếng vào thời điểm đó cho các hàm như vậy cho phép Newton (và bất kỳ ai khác) nhanh chóng tìm ra diện tích: Với bất kỳ lũy thừa toàn số nào $ latex nge 0 $, diện tích dưới đường cong $ latex y = x ^ n $ over khoảng thời gian từ $ latex 0 $ đến $ latex x $ được cho bởi $ latex \ frac {x ^ {n + 1}} {n + 1} $. (Wallis đã đoán quy tắc này bằng phương pháp quy nạp của mình và Pierre de Fermat đã chứng minh điều đó một cách thuyết phục.) Với quy tắc này, Newton biết rằng diện tích dưới đường cong $ latex y_4 $ là $ latex x-frac {2x ^ 3} {3 } + frac {x ^ 5} {5} $.
Quy tắc tương tự cho phép anh ta tìm diện tích bên dưới các đường cong khác với lũy thừa toàn số trong danh sách trên. Hãy viết $ latex A_n $ cho diện tích dưới đường cong $ latex y_n = (1-x ^ 2) ^ frac {n} {2} $, trong đó $ latex n = 0, 1, 2,… $. Áp dụng quy tắc sẽ mang lại lợi nhuận
$ latex A_0 = x $
$ latex A_1 = hspace {.295em}? $
$ latex A_2 = x -frac {1} {3} x ^ 3 $
$ latex A_3 = hspace {.295em}? $
$ latex A_4 = x -frac {2} {3} x ^ 3 + frac {1} {5} x ^ 5 $
$ latex A_5 = hspace {.295em}? $
$ latex A_6 = x -frac {3} {3} x ^ 3 + frac {3} {5} x ^ 5 - frac {1} {7} x ^ 7 $
và như thế. Ý tưởng xảo quyệt của Newton là lấp đầy khoảng trống, hy vọng đoán được $ latexA_1 $ (chuỗi cho diện tích không xác định của đoạn tròn) dựa trên những gì ông có thể nhìn thấy trong chuỗi khác. Một điều rõ ràng ngay lập tức: Mỗi $ latexA_n $ bắt đầu đơn giản với $ latex x $. Điều đó đề xuất sửa đổi các công thức như vậy:
$ latex A_0 = x $
$ latex A_1 = xhspace {.247em} -hspace {.247em}? $
$ latex A_2 = x -frac {1} {3} x ^ 3 $
$ latex A_3 = xhspace {.247em} -hspace {.247em}? $
$ latex A_4 = x -frac {2} {3} x ^ 3 + frac {1} {5} x ^ 5 $
$ latex A_5 = xhspace {.247em} -hspace {.247em}? $
$ latex A_6 = x -frac {3} {3} x ^ 3 + frac {3} {5} x ^ 5 - frac {1} {7} x ^ 7 $.
Sau đó, để thay thế loạt dấu hỏi tiếp theo, Newton đã xem xét các số hạng $ latex x ^ 3 $. Với một chút giấy phép, chúng ta có thể thấy rằng ngay cả $ latexA_0 $ cũng có một trong các số hạng khối này, vì chúng ta có thể viết lại nó thành $ latex A_0 = x-frac {0} {3} x ^ 3 $. Khi Newton giải thích với Leibniz, ông nhận thấy “rằng các số hạng thứ hai $ latex frac {0} {3} x ^ 3, frac {1} {3} x ^ 3, frac {2} {3} x ^ 3, frac { 3} {3} x ^ 3 $, v.v., theo cấp số cộng ”(anh ta đang nói đến 0, 1, 2, 3 trong tử số). Nghi ngờ rằng cấp số cộng này cũng có thể mở rộng vào khoảng trống, Newton đoán rằng toàn bộ dãy tử số, đã biết và chưa biết, phải là các số cách nhau bởi $ latex frac {1} {2} (0, frac {1} {2 }, 1, frac {3} {2}, 2, frac {5} {2}, 3…) $ “và do đó, hai số hạng đầu tiên của chuỗi” mà anh ấy quan tâm - $ latex A_1 $ vẫn chưa biết , $ latex A_3 $ và $ latex A_5 $ - “phải là $ latex x- frac {1} {3} (frac {1} {2} x ^ 3), x-frac {1} {3} (frac {3} {2} x ^ 3), x-frac {1} {3} (frac {5} {2} x ^ 3) $, v.v. ”
Do đó, ở giai đoạn này, các mẫu gợi ý cho Newton rằng $ latex A_1 $ nên bắt đầu bằng
$ latex A_1 = x-frac {1} {3} (frac {1} {2} x ^ 3) +… $.
Đây là một khởi đầu tốt, nhưng anh ấy cần nhiều hơn thế. Khi ông tìm kiếm các mẫu khác, Newton nhận thấy rằng các mẫu số trong các phương trình luôn chứa các số lẻ theo thứ tự tăng dần. Ví dụ: hãy nhìn vào $ latex A_6 $, có 1, 3, 5 và 7 trong các mẫu số của nó. Mẫu tương tự đó đã hoạt động với $ latex A_4 $ và $ latex A_2 $. Đủ đơn giản. Mô hình đó dường như vẫn tồn tại trong tất cả các mẫu số của tất cả các phương trình.
Điều còn lại là tìm một mẫu trong các tử số. Newton đã kiểm tra lại $ latex A_2 $, $ latex A_4 $ và $ latex A_6 $ và phát hiện ra thứ gì đó. Trong $ latex A_2 = x-frac {1} {3} x ^ 3 $, anh ấy thấy một số 1 nhân với $ latex x $ và một số khác trong thuật ngữ $ latexfrac {1} {1} x ^ 3 $ (anh ấy đã bỏ qua nó dấu âm trong thời điểm hiện tại). Trong $ latex A_3 = x-frac {4} {2} x ^ 3 + frac {3} {1} x ^ 5 $, anh ta thấy các tử số là 5, 1, 2. Và trong $ latex A_1 = x-frac { 6} {3} x ^ 3 + frac {3} {3} x ^ 5 -frac {5} {1} x ^ 7 $, anh ấy nhìn thấy các chữ số 7, 1, 3, 3. Những con số này hẳn là quen thuộc với bất kỳ ai người đã từng nghiên cứu về tam giác Pascal, một sự sắp xếp hình tam giác của các số, đơn giản nhất, được tạo ra bằng cách cộng các số ở trên nó lại với nhau, bắt đầu bằng 1 ở trên cùng.
Thay vì gọi Pascal, Newton gọi các tử số này là “lũy thừa của số 11”. Ví dụ, 112 = 121, là hàng thứ hai trong tam giác, và 113 = 1331, là thứ ba. Ngày nay những con số này còn được gọi là hệ số nhị thức. Chúng phát sinh khi bạn mở rộng các lũy thừa của một nhị thức như ($ latex a + b $), như trong $ latex (a + b) ^ 3 = 1a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + 1b ^ 3 $. Với mẫu này trong tay, Newton giờ đây đã có một cách dễ dàng để viết ra $ latex A_2, A_4, A_6 $ và tất cả các chữ số chẵn khác A'S.
Tiếp theo, để ngoại suy các kết quả của mình thành nửa lũy thừa và các chỉ số con có số lẻ (và cuối cùng đạt được chuỗi mà ông muốn, $ latex A_1 $), Newton cần mở rộng tam giác Pascal sang một chế độ mới tuyệt vời: ở giữa các hàng. Để thực hiện phép ngoại suy, anh ta suy ra một công thức tổng quát cho các hệ số nhị thức trong bất kỳ hàng nhất định nào của tam giác Pascal - hàng $ latex m $ - và sau đó táo bạo cắm $ latex m = frac {1} {2} $. Và thật tuyệt vời, nó đã hoạt động. Điều đó mang lại cho anh ta các tử số trong chuỗi mà anh ta đang tìm kiếm cho một vòng tròn đơn vị, $ latexA_1 $.
Đây, theo cách nói của chính Newton, là bản tóm tắt của ông với Leibniz về các hình thái mà ông nhận thấy một cách ngẫu hứng cho đến giai đoạn này trong lập luận:
Tôi bắt đầu phản ánh rằng các mẫu số 1, 3, 5, 7, v.v. đang ở trong cấp số cộng, do đó, các hệ số chỉ của tử số vẫn cần được điều tra. Nhưng trong các lĩnh vực được đưa ra xen kẽ, đây là những con số về quyền hạn của số 11… nghĩa là, đầu tiên là '1'; thì '1, 1'; thứ ba, '1, 2, 1'; thứ tư là '1, 3, 3, 1'; thứ năm là '1, 4, 6, 4, 1', v.v. và vì vậy tôi bắt đầu tìm hiểu xem các số liệu còn lại trong chuỗi có thể được tính như thế nào từ hai số liệu đầu tiên đã cho, và tôi thấy rằng khi đặt $ latex m $ cho số thứ hai hình, phần còn lại sẽ được tạo ra bằng cách nhân liên tục các số hạng của chuỗi này,
$ latex frac {m-0} {1} lần frac {m-1} {2} lần frac {m-2} {3} lần frac {m-3} {4} lần frac {m-4} {5 } $, v.v.
… Theo đó, tôi đã áp dụng quy tắc này để xen kẽ các chuỗi giữa các chuỗi và vì đối với hình tròn, số hạng thứ hai là $ latex frac {1} {3} (frac {1} {2} x ^ 3) $, tôi đặt $ latex m = frac {1} {2} $ và các điều khoản phát sinh là
$ latex frac {1} {2} lần frac {frac {1} {2} -1} {2} $ hoặc $ latex -frac {1} {8} $,
$ latex -frac {1} {8} lần frac {frac {1} {2} -2} {3} $ hoặc $ latex + frac {1} {16} $,
$ latex frac {1} {16} lần frac {frac {1} {2} -3} {4} $ hoặc $ latex - frac {5} {128} $,như vậy đến vô cùng. Khi tôi hiểu rằng diện tích của đoạn tròn mà tôi muốn là
$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.
Cuối cùng, bằng cách cắm vào $ latex x = 1 $, Newton có thể nhận được tổng vô hạn cho $ latexfrac {π} {4} $. Đó là một phát hiện quan trọng, nhưng hóa ra có nhiều cách tốt hơn để tính gần đúng số pi bằng một tổng vô hạn, như chính Newton đã sớm phát hiện ra sau bước đột phá ban đầu này vào các loại tổng vô hạn, ngày nay được gọi là chuỗi lũy thừa. Cuối cùng anh ta đã tính được 15 chữ số đầu tiên của số pi.
Quay trở lại vấn đề của đoạn tròn, Newton nhận ra rằng bản thân phương trình của đường tròn (không chỉ là diện tích bên dưới nó) cũng có thể được biểu diễn bằng một chuỗi lũy thừa. Tất cả những gì anh ta cần làm là bỏ qua các mẫu số và giảm lũy thừa của $ latex x $ đi 1 trong chuỗi lũy thừa hiển thị ở trên. Vì vậy, ông đã được dẫn để đoán rằng
Để kiểm tra xem kết quả này có hợp lý hay không, Newton đã nhân nó với chính nó: “Nó trở thành $ latex 1-x ^ 2 $, các số hạng còn lại biến mất khi chuỗi tiếp tục đến vô cùng.”
Quay lại một chút từ chi tiết, chúng ta thấy một số bài học ở đây về giải quyết vấn đề. Nếu một vấn đề quá khó, hãy thay đổi nó. Nếu nó có vẻ quá cụ thể, hãy khái quát hóa nó. Newton đã làm cả hai và nhận được kết quả quan trọng hơn và mạnh mẽ hơn những gì ông tìm kiếm ban đầu.
Newton đã không cố định cố định một phần tư hình tròn. Anh ta nhìn vào một hình dạng tổng quát hơn nhiều, bất kỳ đoạn tròn nào có chiều rộng $ latex x $. Thay vì bám vào $ latex x = 1 $, anh ấy cho phép $ latex x $ chạy tự do từ 0 đến 1. Điều đó tiết lộ đặc tính nhị thức của các hệ số trong chuỗi của anh ấy - sự xuất hiện bất ngờ của các số trong tam giác Pascal và tổng quát của chúng - mà hãy để Newton xem các mẫu mà Wallis và những người khác đã bỏ qua. Việc nhìn thấy những mô hình đó đã mang lại cho Newton những hiểu biết sâu sắc mà ông cần để phát triển lý thuyết chuỗi lũy thừa một cách rộng rãi và tổng quát hơn nhiều.
Trong tác phẩm sau này, chuỗi quyền lực của Newton đã mang lại cho ông một con dao Quân đội Thụy Sĩ để tính toán. Với chúng, anh ấy có thể tính tích phân, tìm nghiệm nguyên của các phương trình đại số và tính toán các giá trị của sin, cosin và logarit. Như anh ấy đã nói, “Với sự giúp đỡ của họ, tôi có thể gần như có thể nói rằng phân tích đạt được tất cả các vấn đề”.
Đạo đức: Thay đổi một vấn đề không phải là gian lận. Đó là sáng tạo. Và nó có thể là chìa khóa cho một điều gì đó vĩ đại hơn.
