Giới thiệu
Đầu năm nay, bộ ba nhà toán học đã quyết định biến chanh thành nước chanh - và cuối cùng đã tạo ra bước tiến lớn về một vấn đề mà các nhà toán học đã suy nghĩ hàng thế kỷ.
Cả ba vừa hoàn thành một dự án và đang suy nghĩ về các bước tiếp theo thì vào cuối tháng 3, hai người trong số họ — Levent Alpöge của Đại học Harvard và Ari Shnidman của Đại học Do Thái Jerusalem – mắc bệnh Covid-19, riêng biệt nhưng gần như đồng thời. Nhiều người sẽ nghỉ ngơi trong hoàn cảnh như vậy, nhưng thành viên nhóm thứ ba, Manjul Bhargava của Đại học Princeton, đề xuất điều ngược lại. Ông gợi ý rằng việc tăng cường các cuộc họp Zoom hàng tuần của họ lên ba hoặc bốn lần một tuần có thể khiến những cộng tác viên ốm yếu của ông mất tập trung khỏi các triệu chứng của họ. Cả ba quyết định rằng việc cách ly có thể là một cơ hội để yên tâm suy nghĩ.
Trong những cuộc họp này, họ đã xem xét một trong những câu hỏi lâu đời nhất trong lý thuyết số: Có bao nhiêu số nguyên có thể được viết dưới dạng tổng của hai phân số lập phương, hay như các nhà toán học gọi chúng là số hữu tỉ? Ví dụ, số 6 có thể viết là (17/21)3 + (37/21)3, trong khi 13 = (7/3)3+(2/3)3.
Các nhà toán học đã nghi ngờ trong nhiều thập kỷ rằng một nửa số số nguyên có thể được viết theo cách này. Cũng giống như với các số lẻ và số chẵn, thuộc tính này dường như chia các số nguyên thành hai phe bằng nhau: những số bằng tổng của hai lập phương và những số không bằng nhau.
Nhưng không ai có thể chứng minh được điều này, hay thậm chí không đưa ra bất kỳ giới hạn nào về tỷ lệ các số nguyên rơi vào mỗi phe. Theo như những gì các nhà toán học đã biết, trại bao gồm các tổng các lập phương hữu tỷ có thể rất nhỏ - hoặc nó có thể chứa gần như mọi số nguyên. Các nhà toán học đã tính toán rằng, nếu giả thuyết Birch và Swinnerton-Dyer là đúng (như được nhiều người tin tưởng), thì khoảng 59% các số lên tới 10 triệu là tổng của hai lập phương hữu tỉ. Nhưng những dữ liệu đó tốt nhất có thể đưa ra gợi ý về cách hoạt động của phần còn lại của trục số.
Không giống như số lẻ và số chẵn, “hai phe này rất tinh tế,” nói Barry Mazur của Harvard. Không có bài kiểm tra nào để xác định số nào thuộc về phe nào được biết là có tác dụng với tất cả các số. Các nhà toán học đã đưa ra các bài kiểm tra là những ứng cử viên sáng giá, nhưng hiện tại mỗi bài kiểm tra đều có một số nhược điểm - hoặc các nhà toán học không thể chứng minh rằng bài kiểm tra sẽ luôn đưa ra kết luận, hoặc họ không thể chứng minh rằng kết luận đó là đúng.
Bhargava cho biết, khó khăn trong việc hiểu tổng các lập phương và phương trình bậc ba nói chung là “một nỗi bối rối thường xuyên đối với các nhà lý thuyết số”. Anh ta giành được huy chương Fields vào năm 2014 một phần vì công trình của ông về các giải pháp hợp lý đến các phương trình bậc ba được gọi là đường cong elip, trong đó tổng của hai lập phương là trường hợp đặc biệt.
Bây giờ, trong một tờ giấy được đăng trực tuyến vào cuối tháng 2, Alpöge, Bhargava và Shnidman đã chỉ ra rằng ít nhất 21/9.5 (khoảng 5%) và nhiều nhất là 6/83 (khoảng XNUMX%) các số nguyên có thể được viết dưới dạng tổng của hai phân số lập phương.
Câu hỏi về tổng các hình khối không chỉ là một sự tò mò. Các đường cong elip có cấu trúc phức tạp đã đưa chúng trở thành trung tâm của nhiều lĩnh vực toán học thuần túy và toán học ứng dụng, đặc biệt là cho phép các nhà mật mã xây dựng các mật mã mạnh mẽ. Giả thuyết Birch và Swinnerton-Dyer, câu hỏi trọng tâm trong lĩnh vực này, được treo giải thưởng trị giá 1 triệu đô la cho người tìm ra nó vì nó là một trong những Bài toán đoạt giải Thiên niên kỷ của Viện Toán học Clay.
Công việc mới được xây dựng trên một bộ công cụ mà Bhargava đã phát triển trong 20 năm qua, cùng với các cộng tác viên, để khám phá toàn bộ gia đình của đường cong elip. Hiểu tổng của hai lập phương có nghĩa là phân tích một họ nhỏ hơn nhiều, và “họ càng nhỏ thì vấn đề càng khó,” cho biết Peter Sarnak của Viện Nghiên cứu Cao cấp ở Princeton.
Gia đình đặc biệt này dường như “ngoài tầm với”, Sarnak nói thêm. “Tôi sẽ nói, 'Việc đó có vẻ quá khó, quá khó.'”
Chuyển pha
Ngược lại với tổng các phân số lập phương, dường như rất phong phú, hiếm có số nguyên nào là tổng của hai phân số bình phương. Vào đầu những năm 1600, các nhà toán học Albert Girard và Pierre de Fermat đã tìm ra một bài kiểm tra đơn giản để xác định số nguyên nào là tổng của hai bình phương: Phân tích số của bạn thành số nguyên tố, sau đó kiểm tra số mũ của mỗi số nguyên tố có dư 3 khi bạn chia nó cho 4. Nếu các số mũ đó đều là số chẵn thì số của bạn là tổng của hai phân số bình phương; nếu không thì không. Ví dụ: 490 thừa số thành 21 × 51 × 72. Thừa số duy nhất có số dư bằng 3 khi chia cho 4 là 7 và 7 có số mũ chẵn. Vì vậy, 490 là tổng của hai bình phương (đối với người tò mò, nó bằng 72 + 212).
Phần lớn các số đều thất bại trong bài kiểm tra số mũ chẵn. Nếu bạn chọn ngẫu nhiên một số nguyên thì xác suất để số đó là tổng của hai phân số bình phương về cơ bản là bằng không. Các nhà toán học tin rằng điều tương tự cũng đúng với tổng của hai phân số lũy thừa bậc bốn, lũy thừa thứ năm hoặc bất kỳ lũy thừa nào lớn hơn ba. Chỉ với tổng số hình khối thì đột nhiên có sự phong phú.
Các nhà toán học đã quen với việc các phương trình bậc ba hoạt động khác với các phương trình bậc ba khác. Trong số các phương trình gồm hai biến (như phương trình tổng hai lập phương), các phương trình có số mũ cao nhất là 1 hoặc 2 có xu hướng được hiểu rõ — thông thường chúng không có nghiệm hữu tỉ hoặc có vô số nghiệm, và nói chung là dễ hiểu. kể cái nào. Trong khi đó, các phương trình có số mũ cao nhất là 4 hoặc cao hơn thường có chỉ là một sự rắc hữu hạn của các giải pháp hợp lý.
Ngược lại, phương trình bậc ba có thể có hữu hạn nghiệm, vô số nghiệm hoặc không có nghiệm nào cả. Các phương trình này thể hiện một loại chuyển pha giữa số mũ dưới 3 và số mũ ở trên, hiển thị những hiện tượng chưa từng thấy trong các cài đặt khác này. Mazur nói: “Các hình khối khác nhau ở mọi khía cạnh.
Không giống như các phương trình có số mũ thấp hơn, hình lập phương khó hiểu một cách đáng kinh ngạc. Không có phương pháp bao quát nào để tìm hoặc thậm chí đếm các nghiệm hợp lý cho phương trình bậc ba đã được chứng minh là luôn hiệu quả.
“Ngay cả với tất cả sức mạnh tính toán mà chúng tôi có, nếu bạn đưa cho tôi một đường cong elip với các hệ số rất lớn, tôi không nhất thiết biết nó có bao nhiêu nghiệm hợp lý,” nói. Ngụy Hồ, một cựu học sinh của Bhargava, người hiện là giáo sư thỉnh giảng tại Viện Nghiên cứu Cao cấp.
Trong bài toán tổng hai lập phương, các phân số có liên quan có thể rất lớn: Ví dụ: số 2,803 là tổng của hai phân số lập phương mà mỗi mẫu số có 40 chữ số. Và một khi chúng ta nhìn vào các con số hàng triệu, Bhargava nói, nhiều phân số “sẽ có nhiều chữ số hơn mức có thể ghi hết trên tất cả các tờ giấy trên thế giới này”.
Ma trận ánh xạ
Bởi vì các đường cong elip rất khó điều khiển được nên các nhà lý thuyết số tìm cách liên kết chúng với những vật thể dễ điều khiển hơn. Tháng 2 này, trong khi Alpöge và Shnidman đang chiến đấu với Covid, họ và Bhargava đã xây dựng dựa trên công việc mà Bhargava đã làm trước đó với Ho và phát hiện ra rằng bất cứ khi nào phương trình tổng các khối có nghiệm hữu tỉ, sẽ có cách để xây dựng ít nhất một 2 đặc biệt Ma trận × 2 × 2 × 2 - một dạng tương tự bốn chiều của ma trận hai chiều quen thuộc hơn. “Chúng tôi bắt đầu vạch ra kế hoạch đếm các ma trận 2 × 2 × 2 × XNUMX này,” cả ba viết.
Để làm được điều đó, nhóm nghiên cứu đã dựa trên hai chủ đề cổ điển đã được nghiên cứu trong hơn một thế kỷ. Một là “hình học của các con số”, bao gồm cách đếm các điểm mạng bên trong các hình dạng hình học khác nhau. Chủ đề này đã được phục hưng trong lĩnh vực đường cong elip trong 20 năm qua, phần lớn là nhờ công trình của Bhargava và các cộng tác viên.
Kỹ thuật còn lại, được gọi là phương pháp vòng tròn, bắt nguồn từ công trình của nhà toán học huyền thoại Ấn Độ Srinivasa Ramanujan và cộng tác viên lâu năm của ông GH Hardy vào đầu thế kỷ 20. “Đây là ứng dụng chính đầu tiên của việc kết hợp phương pháp vòng tròn với các kỹ thuật hình học số này,” Ho nói. “Phần đó rất hay.”
Bằng cách sử dụng những phương pháp này, bộ ba đã có thể chỉ ra rằng đối với ít nhất 1/6 số nguyên thì không tồn tại ma trận 2 × 2 × 2 × 2. Điều đó có nghĩa là đối với những số đó, phương trình tổng lập phương không có nghiệm hữu tỉ. Vì vậy, không quá 5/6 số nguyên, hoặc khoảng 83%, có thể là tổng lập phương của hai phân số.
Theo hướng ngược lại, họ phát hiện ra rằng ít nhất 5/12 số nguyên có đúng một ma trận trùng khớp. Thật hấp dẫn khi kết luận rằng những con số này là tổng của hai lập phương, nhưng điều đó không tự động tuân theo. Mọi số là tổng của hai lập phương đều có một ma trận, nhưng điều đó không nhất thiết có nghĩa là điều ngược lại là đúng: mọi số có ma trận đều là tổng của hai lập phương.
Alpöge, Bhargava và Shnidman cần cái mà các nhà nghiên cứu đường cong elip gọi là định lý ngược - một thứ lấy thông tin về phương trình bậc ba và sử dụng nó để xây dựng các nghiệm hợp lý. Các định lý ngược lại tạo thành một trường con đang phát triển mạnh mẽ của lý thuyết đường cong elip, vì vậy bộ ba đã chuyển sang nhờ đến hai chuyên gia thực hành của trường con đó — Ashay Burungale của Đại học Texas, Austin và Princeton. Burungale và Skinner đã có thể chỉ ra rằng, ít nhất trong một số trường hợp, nếu một số nguyên có một ma trận liên kết duy nhất thì số đó phải là tổng của hai lập phương hữu tỷ. Định lý của họ, về cơ bản chứng minh một phần có liên quan của giả thuyết Birch và Swinnerton-Dyer, xuất hiện trong bài báo dưới dạng một phụ lục dài ba trang, mà bản thân nó đã được Sarnak mô tả là tuyệt vời.
Burungale và Skinner đã không chứng minh định lý của họ cho mọi số nguyên bằng chính xác một ma trận - họ phải áp đặt một điều kiện kỹ thuật làm giảm tập hợp con 5/12 xuống còn 2/21, hay khoảng 9.5%, của tất cả các số nguyên. Nhưng Bhargava lạc quan rằng Burungale và Skinner, hoặc các nhà nghiên cứu khác trong khu vực của họ, sẽ đạt được phần còn lại của ngày 5/12 (khoảng 41%) trước khi quá lâu. Bhargava cho biết: “Kỹ thuật của họ ngày càng mạnh mẽ hơn.
Việc chứng minh phỏng đoán đầy đủ - rằng chính xác một nửa số số nguyên là tổng của hai lập phương - cuối cùng sẽ yêu cầu giải quyết tập hợp các số có nhiều hơn một ma trận liên kết. Bộ này, mà Bhargava gọi là “rất mơ hồ”, bao gồm cả những số là tổng của hai lập phương và những số không phải là tổng của hai lập phương. Ông cho biết, việc xử lý những con số như vậy sẽ đòi hỏi những ý tưởng hoàn toàn mới.
Hiện tại, các nhà nghiên cứu rất vui vì cuối cùng đã giải quyết được câu hỏi cho một tỷ lệ đáng kể các số nguyên và mong muốn khám phá thêm các kỹ thuật trong bằng chứng. “Đó là một trong những điều tuyệt vời: Bạn có thể giải thích kết quả rất dễ dàng, nhưng các công cụ này lại rất, rất tiên tiến về lý thuyết số,” Sarnak nói.
