介绍
2,000 多年前,希腊数学家埃拉托斯特尼 (Eratosthenes) 提出了一种查找素数的方法,该方法至今仍在数学界产生影响。 他的想法是通过逐渐“筛选”非素数来识别给定点的所有素数。 他的筛子首先划掉所有 2 的倍数(除了 2 本身),然后划掉 3 的倍数(除了 3 本身)。 下一个数字 4 已被划掉,因此下一步是划掉 5 的倍数,依此类推。 唯一幸存下来的数字是素数——其唯一约数是 1 和它们本身的数字。
埃拉托色尼专注于全套素数,但您可以使用他的筛子的变体来寻找具有各种特殊功能的素数。 想要找到仅相差 2 的“孪生素数”,例如 11 和 13 或 599 和 601? 有一个筛子可以做到这一点。 想要找到比完全平方数大 1 的素数,例如 17 或 257? 还有一个筛子。
现代筛子推动了数论中许多问题的最大进步,从费马大定理到尚未证明的孪生素数猜想(该猜想认为存在无限多对孪生素数)。 匈牙利数学家 Paul Erdős 在 1965 年写道,筛法“也许是数论中最强大的基本工具”。
然而,这种能力受到数学家对素数如何沿数轴分布的有限理解的限制。 对某个小数字(例如 100)进行筛选很简单。但是数学家希望了解当数字变大时筛选的行为。 他们不能希望列出所有在筛子中幸存下来的数字,直到某个极大的停止点。 因此,他们尝试估计该列表中有多少数字。
介绍
对于埃拉托斯特尼筛,这个估计取决于整数被 2、3、5 等整除的频率——这些信息相对容易获得。 但对于更复杂的筛子,例如孪生素数的筛子,关键信息通常涉及素数除以不同数字时留下的余数。 例如,素数除以 1 后余数为 3 的频率有多少? 或者除以 8 余数 15?
当您沿着数轴移动时,这些余数会形成统计上可预测的模式。 1896 年,比利时数学家 Charles-Jean de la Vallée Poussin 证明了余数会逐渐趋于均匀——例如,如果将素数放入两个桶中,具体取决于它们除以 1 时的余数是 2 还是 3,则两个桶最终将容纳大致相同数量的素数。 但为了充分发挥筛分法的潜力,数学家不仅需要知道水桶最终是否会趋于平衡,还需要知道它们多久会平衡。
事实证明这具有挑战性。 经过 1960 世纪 1980 年代和 2013 年代的爆发性进步之后,新的发展大多逐渐消失。 XNUMX 年发生了一个值得注意的例外,当时张一堂发表了 地标证明 存在无限多对彼此距离比某个有限界限更近的素数。 但八十年代开展的主体工作在三十多年来基本上没有任何进展。
现在这个主题正在享受复兴,由 系列 of 三 文件 由牛津数学家撰写 詹姆斯·梅纳德 2020 年(他被任命的前两年) 荣获菲尔兹奖,数学的最高荣誉)。 梅纳德分析了一个称为“分布水平”的数字,该数字捕获素数余数均匀分布到桶中的速度(有时参考特定类型的筛子)。 对于许多常用的筛子,他表明分布水平至少为 0.6,打破了 0.57 世纪 1980 年代 XNUMX 的记录。
梅纳德的工作及其引发的后续研究“为解析数论注入了新的活力”,他说 约翰·弗里德兰德 多伦多大学的教授,在 1980 世纪 XNUMX 年代的发展中发挥了重要作用。 “这是一次真正的复兴。”
介绍
在过去的几个月里,梅纳德的三名研究生 已可以选用 书面 文件 扩展梅纳德和张的结果; 其中一篇论文,由 贾里德·杜克·利希特曼 (现为斯坦福大学博士后研究员)将 Maynard 的分布水平推至约 0.617。 然后,利希特曼利用这一增加来计算直到给定停止点的孪生素数数量的改进上限,以及“哥德巴赫表示”的数量——偶数表示为两个素数之和。
“这些年轻人正在关注现在真正的热门话题,”说 安德鲁·格兰维尔 蒙特利尔大学。
对于数论之外的人来说,从 0.6 增加到 0.617 似乎没什么意义。 但格兰维尔说,在筛子理论中,“有时这些小小的胜利可能会带来毁灭性的后果。”
包含和排除
估计筛子在某个停止点之前去除了多少个数字 N,数学家使用一种基于包含/排除的方法。 要了解其工作原理,请考虑埃拉托斯特尼筛法。 这个筛子首先去除所有 2 的倍数——这大约是最多的数字的一半 N。 接下来,筛子去除所有 3 的倍数——大约 1/3 的数字直到 N。 所以你可能认为到目前为止你已经删除了大约 1/2 + 1/3 的数字 N.
但这是多算了,因为您重复计算了 2 和 3 的倍数(6 的倍数)的数字。 这些大约是所有数字的 1/6 N,因此要纠正计算两次的情况,您需要减去 1/6,从而使要删除的内容的运行总计变为 1/2 + 1/3 − 1/6。
接下来,您可以继续处理 5 的倍数 - 这将在计数中添加 1/5,但您必须减去 1/10 和 1/15,以纠正可同时被 2 和 5 或同时被 3 整除的数字的计数过多。 5. 即便如此,你还没有完全完成 - 你不小心纠正了两次可被 2、3 和 5 整除的数字,因此为了解决这个问题,你必须在你的计数中添加 1/30,从而使运行总计至 1/2 + 1/3 − 1/6 + 1/5 − 1/10 − 1/15 + 1/30。
随着这个过程的继续,总和获得越来越多的项,涉及分母越来越大的分数。 为了防止“大约1/2”和“大约1/3”等近似值中的小误差堆积太多,数论学家通常在完成整个筛子之前就停止加法和减法过程,并满足于上限和下限而不是确切的答案。
理论上,类似的过程应该适用于更奇特的素数集,例如孪生素数。 但是,当涉及到孪生素数时,除非您知道素数余数如何均匀地分布到存储桶中,否则包含/排除将不起作用。
介绍
要了解这一点,请考虑双素筛如何工作。 您可以首先使用埃拉托色尼筛来查找直到 N。 然后,进行第二轮筛选,删除不属于孪生素数对的每个素数。 一种方法是,如果左侧两个点的数字不是素数,则筛选出素数(或者您可以查看右侧的两个点 - 任一筛子都可以)。 使用向左的筛子,您将保留诸如 13 之类的素数,因为 11 也是素数,但划掉诸如 23 之类的素数,因为 21 不是素数。
您可以将此筛子视为首先将素数集在数轴上向左移动两个点,然后划掉移动后的集合中非素数的数字(例如 21)。 在移位集中,您将删除 3 的倍数,然后删除 5 的倍数,依此类推。 (您不必担心 2 的倍数,因为移位后的集合中的数字都是奇数,除了第一个数字。)
接下来是包含/排除,以估计您划掉了多少个数字。 在埃拉托斯特尼筛中,删除 3 的倍数会删除所有数字的大约 1/3。 但在较小的移位素数集合中,当我们删除 3 的倍数时,很难预测有多少个素数会落下。
任何数字 k 移位集中比某个素数小 2。 因此,如果 k 是3的倍数,则其对应的素数, k + 2,除以 2 时余数为 3。素数除以 1 时余数为 2 或 3(3 本身除外),因此您可能会猜测,最多有一半的素数 N 余数为 1,一半余数为 2。这意味着在筛子的这一步中,您将划掉移位集中大约一半的数字(而不是埃拉托斯特尼筛子中的 1/3)。 因此,您需要在包含/排除总和中写入 1/2 项。
感谢 de la Vallée Poussin,我们知道最终一半素数除以 1 时余数为 2,一半素数除以 3 时余数为 XNUMX。但是要进行包含/排除操作,仅仅知道余数桶是否平衡是不够的最终 - 你需要知道它们通过以下方式平衡 N。 否则,您无法对包含/排除总和中的“1/2”有任何信心。 也许,数学家们一个多世纪以来一直担心,素数的分布有奇怪的怪癖,破坏了我们的包含/排除总和所需的一些计数。
“如果你没有分布定理,你就无法理解完成筛子后会发生什么,”说 陶ence 加州大学洛杉矶分校。
基本路径点
数论学家可以通过数论中最著名的未解决问题——广义黎曼假设——来预测水桶开始趋于平衡的速度。 如果这个假设成立,则意味着如果我们正在查看直到某个非常大的数字的所有素数 N,然后素数余数被均匀地分配到任何除数的桶中,最大可达约的平方根 N。 例如,如果您正在查看小于 1 万亿的素数,则当您将它们除以 120、7,352 或 945,328(任何小于约 1 万的除数)时,您会期望它们均匀地分布到余数桶中( 1 万亿的平方根)。 数学家表示,广义黎曼假设预测素数的分布水平至少为 1/2,因为另一种写法的平方根 N 是的 N1/2.
介绍
如果这个假设是正确的,那就意味着当你筛分多达 1 万亿时,你可以剔除 2 的倍数,然后是 3,然后是 5,并继续下去,直到包含/排除总和开始涉及约 1 的除数万——超过这个点,你就无法计算总和中的项了。 在 1900 年代中期,数论学家证明了许多以下形式的筛定理:“如果广义黎曼假设是正确的,那么……”
但其中很多结果实际上并不需要广义黎曼假设的全部力量——只要知道素数被很好地分布到几乎每个除数的桶中就足够了,而不是每个单独的除数。 在 1960 世纪 XNUMX 年代中期, 恩里科·邦比里(Enrico Bombieri) 和阿斯科尔德·维诺格拉多夫 另 管理 证明这一点:如果我们满足于知道几乎每个除数的桶都是均匀的,那么素数的分布水平至少为 1/2。
至今仍被广泛使用的邦别里-维诺格拉多夫定理立即证明了许多先前依赖于未经证明的广义黎曼假设的结果。 “这是分布定理的黄金标准,”陶说。
但数学家长期以来一直怀疑——数字证据表明——素数的真实分布水平要高得多。 在 1960 世纪 XNUMX 年代末, 彼得·埃利奥特(Peter Elliott) 和海尼·哈尔伯斯坦 猜想 素数的分布水平仅低于 1 - 换句话说,如果您要查看某个大数的素数,它们应该均匀地分布到桶中,即使是大小非常接近该大数的除数。 当您进行包含/排除时,这些大除数很重要,因为当您校正超算时它们会出现。 因此,数学家越接近艾略特和哈尔伯斯坦预测的分布水平,他们可以在包含/排除总和中计算的项就越多。 陶说,证明艾略特-哈尔伯斯坦猜想是“梦想”。
然而,直到今天,还没有人能够在 Bombieri-Vinogradov 定理所达到的全面通用性方面击败 1/2 分布水平。 数学家们开始将这个绊脚石称为素数的“平方根障碍”。 利奇曼说,这个障碍是“我们理解素数的一个基本途径”。
新世界纪录
不过,对于许多筛分问题,即使关于素数如何划分为桶的信息不完整,您也可以取得进展。 以孪生素数问题为例:如果左边两个数能被 3 或 5 或 7 整除,则筛选出一个素数,这与询问该素数本身除以 2 或 3 或 5 时是否余数为 7 是一样的 —换句话说,质数是否落入这些除数中的任何一个的“2”桶中。 因此,您不需要知道素数是否均匀分布在这些除数的所有存储桶中 - 您只需要知道每个“2”存储桶是否包含我们期望的素数数量。
1980 世纪 XNUMX 年代,数学家开始研究如何证明专注于某一特定桶的分布定理。 这项工作最终以 1986纸 作者:Bombieri、Friedlander 和 亨里克·伊万尼克 这将单个桶的分布水平推高至 4/7(约 0.57),不是所有筛子,而是大部分筛子。
与 Bombieri-Vinogradov 定理一样,1980 世纪 XNUMX 年代提出的思想体系也得到了广泛的应用。 最值得注意的是,它启用了 巨大 飞跃 数学家对费马大定理的理解,该定理说方程 an + bn = cn 对于任何指数都没有自然数解 n 高于 2。(后来在 1994 年使用不依赖分布定理的技术证明了这一点。)然而,在 1980 世纪 XNUMX 年代的兴奋之后,几十年来素数分布水平几乎没有取得任何进展。
然后在 2013 年,张以与 Bombieri、Friedlander 和 Iwaniec 不同的方向找到了如何克服平方根障碍。 他深入研究了 1980 世纪 1 年代初期旧的、不流行的方法,在仅用“平滑”数字(没有大质因数的数字)进行筛选的情况下,对 Bombieri 和 Vinogradov 的 2/XNUMX 分布水平进行了最微小的改进。 这一微小的进步使张 证明长久以来的猜想 当你沿着数轴出去时,你会不断遇到距离比某个固定界限更近的素数对。 (随后,梅纳德和陶各自 分别提出了 该定理的另一个证明是通过使用改进的筛子而不是改进的分布水平。)
张的结果借鉴了代数几何世界中黎曼假设的一个版本。 与此同时,邦别里、弗里德兰德和伊万涅克的工作依赖于梅纳德所说的与称为自同构形式的对象的“某种神奇的联系”,这些对象有自己版本的黎曼假设。 陶说,自守形式是高度对称的物体,属于“数论的高性能端”。
几年前,梅纳德确信,通过结合他们的见解,应该可以从这两种方法中榨取更多的汁液。 梅纳德在 2020 年发表的三篇系列论文(被格兰维尔称为“杰作”)中,成功地将分布水平推高至 3/5,即 0.6,其背景比 Bombieri、Friedlander 和 Iwaniec 研究的背景稍窄一些。
现在,梅纳德的学生正在进一步推动这些技术。 利希特曼 最近想通了 如何将 Maynard 分布水平扩展到 0.617 左右。 然后,他将这种增加应用到了孪生素数计数的新上限以及偶数的哥德巴赫表示形式作为两个素数之和。 对于后者,这是第一次有人能够使用经典 Bombieri-Vinogradov 定理中超过 1/2 的分布级别。
梅纳德的另一位学生, 亚历山德鲁·帕斯卡迪, 具有 与 0.617 数字相符 不是素数的分布水平,而是光滑数的分布水平。 与素数一样,光滑数在数论中随处可见,并且它们的分布水平和素数的分布水平的结果通常是齐头并进的。
与此同时,第三个学生, 朱莉娅·斯塔德曼, 具有 提升发行水平 张研究的设置中的素数,其中约数(而不是被除的数字)是平滑数。 张以微弱优势突破了平方根障碍 在这种背景下,达到了 0.5017 的分布水平,然后是一个名为 Polymath 项目的在线协作 提高了那个数字 至 0.5233; Stadlmann 现在已将其提高至 0.525。
陶说,其他数学家嘲笑分析数论学家对微小数值进步的痴迷。 但这些微小的改进的意义超出了所讨论的数字。 “这就像 100 米短跑之类的,你可以将 3.96 秒缩短到 3.95 秒,”他说。 每一项新的世界纪录都是“你的方法进步程度的基准”。
总的来说,“这些技术变得更加清晰和统一,”他说。 “越来越清楚的是,一旦你在一个问题上取得了进展,如何将其适应另一个问题。”
这些新进展还没有爆炸性的应用,但这项新工作“肯定会改变我们的思维方式,”格兰维尔说。 “这不仅仅是更用力地敲钉子——这实际上是一把升级版的锤子。”
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