在理解气泡团的形状方面，数学家们一直在追赶我们几千年来的物理直觉。 自然界中的肥皂泡簇通常似乎会立即进入最低能量状态，即最小化其壁（包括气泡之间的壁）的总表面积的状态。 但是检查肥皂泡是否正确地完成了这项任务——或者只是预测大气泡簇应该是什么样子——是几何学中最困难的问题之一。 直到 19 世纪后期，数学家才证明球体是最好的单一气泡，尽管希腊数学家芝诺多鲁斯早在 2,000 多年前就断言了这一点。
气泡问题很简单，可以说：您从体积的数字列表开始，然后询问如何使用最小的表面积单独包围这些空气体积。 但要解决这个问题，数学家必须考虑气泡壁的各种不同可能形状。 如果任务是附上五卷，我们甚至没有将注意力限制在五个气泡簇上的奢侈——也许最小化表面积的最佳方法是将其中一卷分成多个气泡。
即使在二维平面的更简单设置中（您试图在最小化周长的同时包围一组区域），也没有人知道包围，例如，九个或 10 个区域的最佳方法。 随着气泡数量的增加，“很快，你甚至无法得到任何合理的猜想，”说 伊曼纽尔·米尔曼 位于以色列海法的 Technion。
但四分之一个多世纪以前， 约翰沙利文，现在柏林工业大学的，意识到在某些情况下，有一个 指导猜想 有。 气泡问题在任何维度上都是有意义的，Sullivan 发现，只要你试图封装的体积最多比维度大 XNUMX，就有一种特殊的方式来封装体积，在某种意义上，比其他任何东西都更漂亮——一种完美对称的气泡簇在球体上的阴影。 他推测，这个阴影团应该是最小化表面积的团。
在随后的十年里，当你试图只附上两卷时，数学家写了一系列开创性的论文来证明沙利文的猜想。 在这里，解决方案是您可能在阳光明媚的日子在公园吹出的熟悉的双气泡，由两个球形部分组成，它们之间有一个平坦或球形的壁（取决于两个气泡的体积相同还是不同）。
现在，数学家们已经摆脱了漫长的等待——并且得到的不仅仅是解决三泡问题。 在一个 纸 Milman 和 乔尼曼得克萨斯大学奥斯汀分校的，已经证明了沙利文的猜想，即在维度为三及以上的三重气泡和四及四及以上的维度中的四重气泡，以及关于五及以上维度的五重气泡的后续论文。
当涉及到六个或更多气泡时，米尔曼和尼曼已经证明，最好的集群必须具有沙利文候选人的许多关键属性，这也可能让数学家们开始为这些情况证明猜想。 “我的印象是他们已经掌握了沙利文猜想背后的基本结构，”说 弗朗切斯科·马吉 德克萨斯大学奥斯汀分校的。
米尔曼和尼曼的中心定理是“不朽的”，摩根在一封电子邮件中写道。 “这是一项了不起的成就，有很多新想法。”
暗影泡泡
我们对真实肥皂泡的经验提供了关于最佳气泡簇应该是什么样子的诱人直觉，至少在涉及小簇时是这样。 我们用肥皂棒吹出的三重或四重气泡似乎有球形的壁（有时是扁平的），并且往往会形成紧密的团块，而不是一长串的气泡。
但要证明这些确实是最优气泡簇的特征并不容易。 例如，数学家不知道最小化气泡簇中的墙壁是始终是球形还是平坦的——他们只知道墙壁具有“恒定的平均曲率”，这意味着从一点到另一点的平均曲率保持不变。 球体和平面具有这种特性，但许多其他表面也具有这种特性，例如圆柱体和称为波形的波浪形。 米尔曼说，具有恒定平均曲率的表面是“一个完整的动物园”。
但在 1990 年代，Sullivan 认识到，当您想要包含的卷数最多比维度大 XNUMX 时，有一个候选集群似乎比其他集群更出色——一个（也是唯一一个）集群具有我们倾向于的特征看到一小簇真正的肥皂泡。
为了了解如何构建这样一个候选对象，让我们使用 Sullivan 的方法在平面中创建一个三气泡簇（因此我们的“气泡”将是平面中的区域而不是三维对象）。 我们首先选择球体上彼此距离相同的四个点。 现在想象这四个点中的每一个都是一个小气泡的中心，只存在于球体的表面（因此每个气泡都是一个小圆盘）。 给球体上的四个气泡充气，直到它们开始相互碰撞，然后继续充气，直到它们共同填满整个表面。 我们最终得到一个对称的四个气泡簇，使球体看起来像一个膨胀的四面体。
接下来，我们将这个球体放在一个无限平面的顶部，就好像这个球体是一个停在无限地板上的球。 想象一下，球是透明的，北极有一个灯笼。 四个气泡的墙壁将在地板上投射阴影，在那里形成气泡簇的墙壁。 在球体上的四个气泡中，三个将向下投射到地板上的阴影气泡； 第四个气泡（包含北极的那个）将向下投射到三个阴影气泡簇外的无限广阔的地板上。
我们得到的特定的三气泡簇取决于我们将球体放在地板上时碰巧定位球体的方式。 如果我们旋转球体，使不同的点移动到北极的灯笼，我们通常会得到不同的阴影，地板上的三个气泡会有不同的区域。 数学家有 证明 对于您为区域选择的任何三个数字，基本上只有一种定位球体的方法，因此三个阴影气泡将恰好具有这些区域。
我们可以在任何维度自由地执行这个过程（尽管更高维度的阴影更难可视化）。 但是我们的影子集群中可以有多少气泡是有限度的。 在上面的例子中，我们不可能在平面上创建一个四气泡簇。 这需要从球体上彼此距离相同的五个点开始——但不可能在球体上放置那么多等距的点（尽管您可以使用更高维的球体来做到这一点）。 Sullivan 的过程仅适用于在二维空间中创建最多三个气泡的集群，在三维空间中创建四个气泡，在四维空间中创建五个气泡，等等。 在这些参数范围之外，沙利文式气泡簇根本不存在。
但是在这些参数中，沙利文的程序给我们提供了远远超出我们的物理直觉可以理解的环境中的气泡簇。 “在 [15 维空间] 中无法想象 23 个气泡是什么，”Maggi 说。 “你怎么会梦想描述这样一个物体？”
然而，沙利文的气泡候选者从它们的球形祖先那里继承了一组独特的特性，让人联想到我们在自然界中看到的气泡。 它们的墙壁都是球形或平坦的，并且在三个墙壁相交的地方，它们会形成 120 度角，就像对称的 Y 形一样。 您尝试封装的每个卷都位于单个区域中，而不是拆分到多个区域中。 每个气泡相互接触（以及外部），形成一个紧密的簇。 数学家已经证明，沙利文气泡是唯一满足所有这些性质的星团。
当沙利文假设这些应该是最小化表面积的集群时，他基本上是在说，“让我们假设美，”马吉说。
但泡沫研究人员有充分的理由对假设提出的解决方案很漂亮就正确的假设持谨慎态度。 “有非常著名的问题......你会期望最小化器的对称性，而对称性会严重失败，”Maggi 说。
例如，以最小化表面积的方式用等体积的气泡填充无限空间是一个密切相关的问题。 1887 年，英国数学家和物理学家开尔文勋爵提出解决方案可能是一种优雅的蜂窝状结构。 一个多世纪以来，许多数学家都认为这是可能的答案——直到 1993 年，一对物理学家 确定了一个更好的，虽然不太对称，选项。 “数学充满了……发生这种奇怪事情的例子，”Maggi 说。
黑暗艺术
当沙利文在 1995 年宣布他的猜想时，它的双气泡部分已经漂浮了一个世纪。 数学家已经解决了 二维双泡问题 两年前，以及随后的十年，他们解决了这个问题 三维空间 然后在 更高 尺寸. 但当谈到沙利文猜想的下一个案例——三重气泡时，他们可以 证明猜想 只有在二维平面中，气泡之间的界面特别简单。
然后在 2018 年，米尔曼和尼曼在被称为高斯气泡问题的环境中证明了沙利文猜想的类似版本。 在这种情况下，您可以将空间中的每个点都视为具有货币价值：原点是最昂贵的点，离原点越远，土地就越便宜，形成钟形曲线。 目标是创建具有预选价格（而不是预选体积）的围场，以最小化围场边界的成本（而不是边界的表面积）。 这个高斯气泡问题在计算机科学中应用于舍入方案和噪声敏感性问题。
米尔曼和尼曼提交了他们的 证明 到 数学年鉴，可以说是数学最负盛名的期刊（后来被接受）。 但两人无意就此收工。 他们的方法似乎也适用于经典的泡沫问题。
他们来回折腾了好几年的想法。 “我们有一份 200 页的笔记文件，”米尔曼说。 起初，感觉好像他们在进步。 “但很快它就变成了，‘我们尝试了这个方向——不。 我们尝试了 [那个] 方向 - 不。'”为了对冲他们的赌注，两位数学家也从事其他项目。
然后去年秋天，米尔曼来休假并决定拜访尼曼，这样他们就可以集中精力解决泡沫问题。 “在休假期间，这是尝试高风险、高收益类型的事情的好时机，”米尔曼说。
在最初的几个月里，他们一无所获。 最后，他们决定给自己一个比沙利文完全猜想更容易的任务。 如果你给你的气泡一个额外维度的呼吸空间，你会得到一个好处：最好的气泡簇将在中心平面上具有镜像对称性。
沙利文猜想是关于二维及以上维度的三重气泡，三维及以上维度的四重气泡，依此类推。 为了获得额外的对称性，Milman 和 Neeman 将他们的注意力限制在维度 XNUMX 及以上的三重气泡、维度四及以上的四重气泡，等等。 “只有当我们放弃获取所有参数时，我们才真正取得了进展，”尼曼说。
有了这种镜像对称性，米尔曼和尼曼提出了一个扰动论点，即稍微膨胀镜子上方的气泡簇的一半，并缩小镜子下方的一半。 这种扰动不会改变气泡的体积，但会改变它们的表面积。 Milman 和 Neeman 表明，如果最优气泡簇具有任何非球形或非平面的壁，那么将有一种方法可以选择这种扰动，从而减少簇的表面积——这是一个矛盾，因为最优簇已经具有最小的表面区域可能。
使用扰动来研究气泡并不是一个新想法，但弄清楚哪些扰动将检测到气泡簇的重要特征是“有点黑暗的艺术，”尼曼说。
事后看来，“一旦你看到 [Milman 和 Neeman 的扰动]，它们看起来很自然，”说 乔尔·哈斯 加州大学戴维斯分校。
但是，Maggi 说，认识到这些扰动是自然的，比一开始就想出来要容易得多。 “到目前为止，你还不能说，'最终人们会找到它，'”他说。 “这真是一个非常了不起的天才。”
Milman 和 Neeman 能够使用他们的扰动来证明最佳气泡簇必须满足沙利文簇的所有核心特征，也许除了一个：每个气泡必须相互接触的规定。 最后一个要求迫使 Milman 和 Neeman 努力应对气泡可能连接成集群的所有方式。 当只涉及三个或四个气泡时，没有太多的可能性需要考虑。 但是随着气泡数量的增加，不同可能的连接模式的数量也在增长，甚至比指数增长还要快。
米尔曼和尼曼起初希望找到一个涵盖所有这些情况的总体原则。 但在花了几个月“打破我们的头脑”之后，米尔曼说，他们决定暂时满足于一种更临时的方法，让他们能够处理三重和四重泡沫。 他们还宣布了一个未发表的证据，证明沙利文的五重泡沫是最优的，尽管他们还没有确定它是唯一的最优集群。
米尔曼和尼曼的工作是“一种全新的方法，而不是对以前方法的扩展，”摩根在一封电子邮件中写道。 Maggi 预测，这种方法很可能会被推得更远——可能是超过五个气泡的集群，或者是沙利文猜想不具有镜像对称性的情况。
没有人期望进一步的进展会很容易； 但这从未阻止米尔曼和尼曼。 “根据我的经验，”米尔曼说，“我有幸能够做的所有重要事情都需要不放弃。”
