递归序列的惊人行为 | 广达杂志

在数学中，简单的规则可以解开复杂而美丽的宇宙。 以著名的斐波那契数列为例，它的定义如下：它以1和1开始，后面的每个数字都是前两个数字之和。 前几个数字是：

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …

是的，很简单，但这种不起眼的配方却产生了一种具有深远意义的模式，一种似乎与自然世界的结构交织在一起的模式。 它可以从鹦鹉螺壳的螺纹、我们手指的骨头以及树枝上叶子的排列中看到。 它的数学范围延伸到几何、代数和概率等领域。 自从这个数列被引入西方八个世纪以来（印度数学家早在斐波那契之前就已经研究过它），这些数字继续吸引着研究人员的兴趣，这证明了即使是最基本的数列也可以有多么深的数学深度。

在斐波那契数列中，每一项都建立在其之前的项之上。 这种递归序列可以表现出各种各样的行为，其中一些行为非常违反直觉。 举个例子，美国数学家在 1980 世纪 XNUMX 年代首次描述了一系列奇怪的序列 迈克尔·索莫斯.

与斐波那契数列一样，索莫斯数列也是从一系列数开始。 索莫斯-k 序列开始于 k 其中。 Somos 的每个新任期-k 序列的定义是：将前面的项配对，将每对相乘，将各对相加，然后除以该项 k 位置回到序列中。

这些序列不是很有趣，如果 k 等于 1、2 或 3——它们只是一系列重复的数字。 但对于 k = 4、5、6 或 7 这些序列有一个奇怪的特性。 尽管涉及很多除法，但分数不会出现。

“通常我们不会出现这种现象，”索莫斯说。 “这是一个看似简单的递归，类似于斐波那契数列。 但这种简单背后隐藏着很多东西。”

其他数学家继续揭示索莫斯序列与看似不相关的数学领域之间的惊人联系。 七月份发表的一篇论文使用它们 构建解决方案 到用于模拟从捕食者与猎物相互作用到在高能等离子体中传播的波的一切事物的微分方程组。 它们还用于研究数学对象的结构，称为 簇代数 并连接到 椭圆曲线 ——这是破解费马大定理的关键。

珍妮丝·马卢夫伊利诺伊大学研究生发表了 Somos-4 和 Somos-5 序列的第一个证明 是不可分割的 （意味着它们的所有项都是整数）于 1992 年。 其他证明 不同数学家得出的相同结果大约在同一时间出现，并证明了 Somos-6 和 Somos-7 序列是积分的。

索莫斯序列的这种奇怪性质令数学家感到震惊。 “当我了解索莫斯序列时，我就对它们产生了兴趣，”说 詹姆斯·普罗普是马萨诸塞大学洛厄尔分校的数学教授。 “事实上，无论你走多远，Somos-4 到 Somos-7 总是给出整数，当你从天真的角度看待事物时，这似乎是一个奇迹。 因此需要不同的视角。”

普罗普在 2000 年代初期发现了一个新的视角，当时他和他的同事发现 Somos-4 序列中的数字实际上正在计算某些东西。 序列中的项对应于某些图中发现的结构。 对于某些图，可以将顶点（点）与边（线）配对，以便每个顶点都恰好连接到另一个顶点 - 没有未配对的顶点，也没有顶点连接到多个边。 Somos-4 序列中的项计算特定图序列的不同完美匹配的数量。

这一发现不仅为 Somos 序列提供了新的视角，而且还引入了思考和分析图变换的新方法。 普罗普和他的学生们通过将结果公布在屏幕上来庆祝 T恤衫.

“对我来说，数学的一大吸引力在于，当你通过不同的路径到达同一个目的地时，似乎正在发生一些神奇或深刻的事情，”普罗普说。 “这些序列最酷的一点是，有多种观点可以解释为什么你会得到整数。 那里有隐藏的深处。”

对于编号更高的 Somos 序列，故事发生了变化。 Somos-18 的前 8 项是整数，但第 19 项是分数。 此后的每个 Somos 序列也包含小数值。

德国数学家 Fritz Göbel 在 1970 世纪 XNUMX 年代开发的另一种序列是 Somos 序列的有趣对位。 这 n戈贝尔序列的第一项定义为所有前面项的平方和加 1，除以 n。 与 Somos 序列一样，Göbel 序列涉及除法，因此我们可能期望项不会保留整数。 但有一段时间——随着序列变得越来越庞大——它们似乎是这样的。

戈贝尔数列的第 10 项约为 1.5 万，第 11 项约为 267 亿。 第 43 项太大而无法计算 — 它有大约 178 亿位数字。 但在 1975 年，荷兰数学家 亨德里克·伦斯特拉 表明与前 42 项不同，第 43 项不是整数。

戈贝尔序列可以通过用立方、四次方甚至更高的指数替换和中的平方来推广。 （根据这种约定，他的原始序列称为 2-Göbel 序列。）这些序列还显示出一种令人惊讶的趋势，即从整数项的扩展延伸开始。 1988年，亨利·伊布施泰特 显示 89-Göbel 数列（使用立方体而不是平方）的前 3 项是整数，但第 90 项不是整数。 随后对其他戈贝尔序列的研究发现了更长的延伸。 例如，31-Göbel 序列一开始就有多达 1,077 个整数项。

XNUMX月，九州大学数学家松平伦之介， 松坂俊树 和土田功起 分享了一篇论文 表明对于一个 k- 戈贝尔序列，无论选择 k，序列的前 19 项始终是整数。 他们受到一部名为“日本漫画”的启发来研究这个问题 清净炭，翻译过来就是“整数的故事”。 A 漫画书中的框架 要求读者找出最小可能值 N_k，此时的点 k-Göbel 序列不再产生整数项。 三位数学家着手回答这个问题。 松坂说：“整数在如此长的时间内出乎意料地持续存在，这与我们的直觉相矛盾。”“当与直觉相反的现象发生时，我相信总会有美丽的存在。”

他们发现了一种重复行为的模式 k 增加。 通过关注有限数量的重复案例，他们使计算变得容易处理，并且能够完成证明。

仔细看看序列 N_k 透露出另一个惊喜： N_k 如果它是纯粹随机的，则它成为素数的频率比您预期的要高得多。 “随着 k- 戈贝尔序列，它们是整数，这不仅是值得注意的，”说 理查德·格林，科罗拉多大学数学家。 “值得注意的是质数出现的频率如此之高。 这使得看起来可能发生了更深层次的事情。”

尽管新论文证明了 N_k 总是至少 19，不知道是否总是有限，或者是否存在 k 其序列无限地包含整数。 “N_k 行为神秘。 ......人们有一种理解其潜在模式的基本愿望，”松坂说。 “这可能类似于我小时候解决老师布置的谜题时感受到的快乐。 时至今日，那些当时的感觉仍然萦绕在我的心头。”

广达 正在进行一系列调查，以更好地为我们的观众服务。 就拿我们的 数学读者调查 您将有机会免费赢取 广达 货品。