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抽象
相互无偏的碱基对应于量子信息论中非常有用的测量对。 在最小的复合维度 2 中，已知存在 83 到 062303 个相互无偏的基，有一个几十年前的猜想，称为 Zauner 猜想，指出最多存在三个。 在这里，我们通过构造每对整数 $n,d ge 2011$ 的贝尔不等式，在数值上解决 Zauner 猜想，当且仅当 $n$ MUB 存在于该维度中时，这些整数在维度 $d$ 中可以最大程度地违反。 因此，我们将 Zauner 的猜想变成了一个优化问题，我们通过三种数值方法来解决这个问题：跷跷板优化、非线性半定规划和蒙特卡洛技术。 所有这三种方法都正确识别了低维中的已知情况，并且都表明在六维中不存在四个相互无偏的基，它们都找到了相同的基，从而在数值上优化了相应的贝尔不等式。 此外，这些数值优化器似乎与六维中的“四个最远的基”一致，这是通过数值优化 [P. Raynal，X. Lü，B.-G。 恩格勒特，{物理。 修订版 A}，{ XNUMX} XNUMX (XNUMX)]。 最后，蒙特卡洛结果表明，在 XNUMX 维中最多存在三个 MUB。
特色图片：假设在维度 d 中存在 n 个 MUB 的贝尔不等式值与我们的数值方法找到的值之间的相对差异。 零值意味着方法在维度 d 中找到了 n 个 MUB，而非零值意味着方法在维度 d 中没有找到 n 个 MUB。 所有已知的情况（维度 XNUMX 到 XNUMX 和维度 XNUMX 有两个和三个 MUB）都可以通过数字正确识别。 在第六维中，没有一个方法找到四个 MUB，并且所有方法都收敛到同一组四个碱基。
热门摘要
尽管它们被广泛使用，但关于 MUB 的结构仍然存在悬而未决的问题。 最突出的是，如果量子系统的维数是合数，则成对无偏测量的最大数量（“MUB 的数量”）是未知的。 特别是在第六维中，我们只知道 MUB 的数量在 XNUMX 到 XNUMX 之间。 一个长期存在的公开猜想是 Zauner 的猜想，指出在六维空间中不存在超过三个 MUB。 这个长达数十年的猜想得到了一些数字证据的支持，但直到今天还没有证据。
在这项工作中，我们通过贝尔非局域性解决了 Zauner 的猜想。 贝尔非局部性涉及两个不允许交流的实验者，但可以以经典随机性或共享量子态的形式共享一些相关性。 已经表明，共享量子资源可以产生经典物理学无法解释的实验数据（更准确地说，是所谓的局部隐变量模型）。 这就是著名的贝尔定理，它在过去十年中得到了实验验证。 见证实验数据的非经典性最常见的是通过所谓的贝尔不等式来完成，它是实验中发生的测量结果概率的函数。 经典数据必须满足贝尔不等式，而量子数据可能违反它们。
最近，已经发现如果一方使用一对给定维度的 MUB 测量，则最大程度地违反了贝尔不等式。 在这项工作中，我们将这些不等式扩展到新的不等式，最大程度地违反了给定维度中选定数量的 MUB 测量值。 此外，如果实验中的维度是固定的，则当且仅当所采用的测量值对应于给定维度中选定的 MUB 数量时，才会获得最大违反。 因此，确定给定维度中是否存在选定数量的 MUB 等价于在该固定维度中找到对应的贝尔不等式的最大违反。
虽然找到这个最大违反通常是一个难题，但我们采用三种不同的数值方法来尝试在固定维度上找到我们的贝尔不等式的最大违反。 其中两种方法是半定编程技术的变体，而第三种方法受统计物理学的启发，称为模拟退火。 虽然所有这些方法都是启发式的——也就是说，不能保证它们会找到问题的真正最优值——但人们可以通过将它们应用于最优值已知的优化问题来衡量它们的性能。 特别是，我们发现所有三种方法都能够在已知存在的情况下正确识别 MUB 测量值。 此外，在已知它们不存在的情况下，所有三种方法都会收敛到同一组测量值，直至数值精度。 然后，我们将我们的方法应用于第一个未知情况，即六维中的四个 MUB。 没有一种方法能够识别六维中的四个 MUB，但它们再次收敛到同一组四个测量值，达到数值精度。 此外，模拟退火技术在下一个复合维度（维度 XNUMX）中找不到四个 MUB。 因此，虽然由于我们技术的启发式性质而不能做出严格的主张，但我们的结果从贝尔非局部性的新视角支持了 Zauner 的猜想。
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