介绍
结理论开始是为了理解宇宙的基本构成。 1867 年，当科学家们急切地试图找出可能解释所有不同种类物质的原因时，苏格兰数学家和物理学家彼得·格思里·泰特向他的朋友和同胞威廉·汤姆森爵士展示了他的产生烟圈的装置。 汤姆森——后来成为开尔文勋爵（温标的同名）——被戒指迷人的形状、稳定性和相互作用所吸引。 他的灵感将他引向了一个令人惊讶的方向：也许，他想，就像烟圈是空气中的漩涡一样，原子是发光以太中打结的漩涡环，物理学家认为，光是通过它传播的一种不可见的介质。
尽管这个维多利亚时代的想法现在听起来很荒谬，但这并不是一项轻率的调查。 这个涡旋理论有很多值得推荐的地方：结的多样性，每个都略有不同，似乎反映了许多化学元素的不同特性。 涡环的稳定性也可能提供原子所需的持久性。
涡旋理论在科学界获得了关注，并启发泰特开始将所有的结制表，创造出他希望相当于一张元素表的东西。 当然，原子不是结，也没有以太。 到 1880 年代后期，Thomson 逐渐放弃了他的涡旋理论，但到那时，Tait 被他的结的数学优雅迷住了，他继续他的制表项目。 在这个过程中，他建立了纽结理论的数学领域。
我们都熟悉绳结——它们让我们脚上穿鞋，把船固定在码头上，让登山者离开下面的岩石。 但这些结并不完全是数学家（包括泰特）所说的结。 虽然缠结的延长线可能会打结，但总有可能解开它。 要获得数学结，您必须将绳索的自由端连接在一起以形成闭合回路。
由于结的股线像绳子一样灵活，数学家将结理论视为 拓扑，可塑性形状的研究。 有时可以解开一个结，让它变成一个简单的圆圈，我们称之为“解开结”。 但更多时候，解开一个结是不可能的。
结也可以结合形成新的结。 例如，将一个称为三叶草的简单结与其镜像相结合会产生一个方形结。 （如果你加入两个相同的三叶结，你就打了一个奶奶结。）
使用数字世界的术语，数学家说三叶结是质数结，方结是复合结，和数字 1 一样，解结都不是。 这一类比在 1949 年得到进一步支持，当时霍斯特·舒伯特证明了每个结要么是素数，要么可以唯一地分解为素数。
创建新结的另一种方法是将两个或多个结交织在一起，形成一个链接。 Borromean 戒指，之所以如此命名，是因为它们出现在意大利 Borromeo 家族的徽章上，就是一个简单的例子。
Thomson 和 Tate 并不是第一个以数学方式看待结的人。 早在 1794 年，卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）就在他的个人笔记本中写下并绘制了结的例子。 Gauss 的学生 Johann Listing 在他 1847 年的专着中写到了结 Vorstudien zur 拓扑学 （“拓扑学初步研究”）——这也是拓扑学一词的由来。
但 Tait 是第一位研究结理论中基本问题的学者：所有可能结的分类和列表。 通过多年的艰苦工作，他仅使用几何直觉，发现并分类了所有素数结，当投影到平面上时，最多有七个交叉点。
在 19 世纪后期，泰特了解到另外两个人——托马斯·柯克曼牧师和美国数学家查尔斯·利特尔——也在研究这个问题。 在他们的共同努力下，他们将所有主要结分类为多达 10 个交叉点，其中许多具有 11 个交叉点。 令人惊讶的是，他们最多 10 人的桌子是完整的：他们没有错过任何结。
值得注意的是，Tait、Kirkman 和 Little 在没有未来几年发现的定理和技术的情况下取得了如此多的成就。 但对他们有利的一件事是，大多数小结都是“交替的”，这意味着它们有一个投影，其中交叉点表现出一致的上下上下模式。
交替结具有比非交替结更易于分类的特性。 例如，很难找到任何结的投影的最小交叉次数。 但多年来错误地假设所有结都是交替的泰特推测了一种方法来判断你是否找到了最小数量：如果交替投影没有可以通过翻转结的一部分来移除的交叉点，那么它一定是具有最少交叉次数的投影。
泰特关于交替结的猜想和另外两个猜想最终成真。 然而，这些著名的猜想直到 1980 年代末和 90 年代初才使用由沃恩琼斯在 1984 年开发的数学工具得到证明，他因在结理论方面的工作而获得菲尔兹奖。
不幸的是，交替的结只能带你到目前为止。 一旦我们遇到八个或更多交叉的结，非交替结的数量会迅速增加，从而使泰特的技术变得不那么有用。
所有 10 个交叉结的原始表格是完整的，但 Tait、Kirkman 和 Little 重复计算。 直到 1970 年代，在普林斯顿大学学习结理论的律师 Kenneth Perko 才注意到其中两个结是彼此的镜像。 为了纪念他，他们现在被称为 Perko 对。
在上个世纪，数学家发现了许多聪明的方法来确定结是否真的不同。 本质上，这个想法是 识别不变量 — 与结相关联的属性、数量或代数实体，通常可以简单地计算。 （这些属性的名称如着色性、桥数或扭动。）有了这些标签，数学家现在可以轻松比较两个结：如果它们在任何给定属性上不同，那么它们就不是同一个结。 然而，这些属性都不是数学家所说的完全不变量，这意味着两个不同的结可能具有相同的属性。
由于所有这些复杂性，结制表仍在进行中也就不足为奇了。 最近，在 2020 年，本杰明·伯顿 分类所有素结 多达 19 个过境点（其中近 300 亿个）。
传统的结理论只有在三个维度上才有意义：在二维中只有解结是可能的，而在四个维度中，额外的空间允许结自行解开，因此每个结都与解结相同。
但是，在四维空间中，我们可以结球。 要了解这意味着什么，请想象定期切割一个普通球体。 这样做会产生圆圈，就像纬线一样。 然而，如果我们有一个额外的维度，我们可以将球体打结，这样切片，现在是三维的，而不是二维的，可以是结。
这个想法是最近结理论最大成果之一的背后。 2018 年，当时的研究生 Lisa Piccirillo 解决了一个 50 年前的问题 关于约翰康威首次发现的 11 交叉结。 这个问题与一个叫做 sliceness 的属性有关。 正如我们所看到的，当我们在四个维度上切割一个打结的球体时，我们会在三个维度上获得一个结或链接。 有时我们可以从一个打结的光滑球体中获得一个给定的结，但对于其他结，球体必须像一张废纸一样打结和起皱。 Piccirillo 从本质上证明了康威的结属于后一种类型。 用技术术语来说，她证明了这不是“平滑切片”。
几个世纪以来，结理论在数学领域纵横交错。 它始于数学的一个应用领域，汤姆森试图使用结来理解物质的构成。 随着这个想法逐渐消失，它变成了一个纯数学领域，一个有趣但仍然不实用的拓扑领域的一个分支。 但近年来，纽结理论再次成为数学的一个应用领域，因为科学家们使用纽结理论的思想来研究 流体动力学, 电动力学, 打结的分子，例如 DNA 等等。 幸运的是，当科学家们忙于研究其他事物时，数学家们正在建立结目录和解开其秘密的工具。
