কিভাবে সহজ গণিত সুচ সরানো | কোয়ান্টা ম্যাগাজিন

কল্পনা করুন যে আপনি একটি চালকবিহীন গাড়িতে রাস্তায় নামছেন যখন আপনি সামনে কোনো সমস্যা দেখতে পাচ্ছেন। একজন আমাজন ডেলিভারি চালক তাদের ভ্যানটি একটি ডাবল-পার্ক করা ইউপিএস ট্রাকের অর্ধেক পথ ধরে নিয়ে গেল বুঝতে পারার আগে তারা এটি অতিক্রম করতে পারবে না। এখন তারা আটকে আছে. আর তুমিও.

রাস্তাটি একটি U-ey বন্ধ করার জন্য খুব সরু, তাই আপনার AI-বর্ধিত অটোমোবাইলটি একটি তিন-পয়েন্ট বাঁক শুরু করে। প্রথমে, গাড়িটি একটি কার্বের দিকে বাঁকানো পথ নেয়। একবার সেখানে গেলে, এটি অন্য পথে চলে এবং বিপরীত কার্ব পর্যন্ত ব্যাক আপ করে। তারপরে এটি স্টিয়ারিং হুইলটিকে প্রথম বাঁকানো পথের দিকে ঘুরিয়ে দেয়, বাধা থেকে এগিয়ে এবং দূরে গাড়ি চালায়।

মধ্যবর্তী বাঁক তৈরির এই সাধারণ জ্যামিতিক অ্যালগরিদম আপনাকে কঠিন পরিস্থিতিতে সাহায্য করতে পারে। (আপনি যদি কখনও সমান্তরাল পার্ক করে থাকেন তবে আপনি জানেন যে এই পিছন পিছন ঘুরানো আপনার জন্য কী করতে পারে।)

এখানে একটি মজার গাণিতিক সমস্যা রয়েছে যে আপনার গাড়িটি ঘুরানোর জন্য আপনার কতটা জায়গা দরকার এবং গণিতবিদরা 100 বছরেরও বেশি সময় ধরে এটির একটি আদর্শ সংস্করণ নিয়ে কাজ করছেন। এটি 1917 সালে শুরু হয়েছিল যখন জাপানি গণিতবিদ সোইচি কাকেয়া একটি সমস্যা তৈরি করেছিলেন যা আমাদের ট্রাফিক জ্যামের মতো শোনায়। ধরুন আপনি দৈর্ঘ্যের একটি অসীম পাতলা সুই পেয়েছেন 1. ক্ষুদ্রতম অঞ্চলের ক্ষেত্রফল কত যেখানে আপনি সুচটিকে 180 ডিগ্রি ঘুরিয়ে তার আসল অবস্থানে ফিরিয়ে আনতে পারেন? এটি কাকেয়ার সুই সমস্যা হিসাবে পরিচিত, এবং গণিতবিদরা এখনও এর বৈচিত্র অধ্যয়ন করছেন। আসুন সহজ জ্যামিতিটি দেখে নেওয়া যাক যা কাকেয়ার সুই সমস্যাটিকে এত আকর্ষণীয় এবং আশ্চর্যজনক করে তোলে।

অনেক গণিত সমস্যার মতো, এটিতে কিছু সরলীকরণ অনুমান জড়িত যা এটিকে কম বাস্তবসম্মত কিন্তু আরও পরিচালনাযোগ্য করে তোলে। উদাহরণস্বরূপ, আপনি যখন গাড়ি চালাচ্ছেন তখন গাড়ির দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ গুরুত্বপূর্ণ, তবে আমরা ধরে নেব যে আমাদের সুইটির দৈর্ঘ্য 1 এবং প্রস্থ শূন্য রয়েছে। (এর মানে সূচের নিজেই শূন্যের একটি ক্ষেত্র রয়েছে, যা আমাদের সমস্যা সমাধানের অনুমতি দেওয়ার ক্ষেত্রে একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।) এছাড়াও, আমরা ধরে নেব যে সুই, একটি গাড়ির বিপরীতে, তার সামনের প্রান্তে, তার পিছনের প্রান্তের চারপাশে পিভট করতে পারে। , অথবা মাঝখানে যেকোন বিন্দু।

লক্ষ্য হল ক্ষুদ্রতম অঞ্চল খুঁজে বের করা যা সুইকে 180 ডিগ্রি ঘুরতে দেয়। শর্তগুলির একটি নির্দিষ্ট সেটকে সন্তুষ্ট করে এমন ক্ষুদ্রতম জিনিসটি খুঁজে পাওয়া চ্যালেঞ্জিং হতে পারে, তবে শুরু করার একটি ভাল উপায় হল সেই শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে এমন কিছু সন্ধান করা এবং পথ ধরে আপনি কী শিখতে পারেন তা দেখুন। উদাহরণস্বরূপ, একটি সহজ উত্তর হল সুইটিকে তার শেষ বিন্দুর চারপাশে 180 ডিগ্রি ঘোরানো, এবং তারপরে এটিকে পিছনে স্লাইড করা। এটি সুইটিকে তার আসল অবস্থানে ফিরিয়ে দেয়, কিন্তু এটি এখন বিপরীত দিকে নির্দেশ করছে, যেমন কাকেয়ার সুই সমস্যা প্রয়োজন।

মোড়ের জন্য প্রয়োজনীয় অঞ্চল হল ব্যাসার্ধ 1 সহ একটি অর্ধবৃত্ত, যার ক্ষেত্রফল $latex A = frac{1}{2} pi r^2 = frac{1}{2} pi (1)^2 = frac{ 1}{2} pi = frac{pi}{2}$। তাই আমরা একটি অঞ্চল খুঁজে পেয়েছি যে কাজ করে.

যেকোন বিন্দুতে ঘোরানোর জন্য আমাদের জাদুকরী গাণিতিক সূঁচের ক্ষমতার সুবিধা নিয়ে আমরা আরও ভাল করতে পারি। এটিকে এর শেষবিন্দুতে ঘোরানোর পরিবর্তে, এর মধ্যবিন্দুতে ঘোরানো যাক।

আপনি এটিকে কাকেয়ার কম্পাস বলতে পারেন: আমাদের সূঁচ উত্তর দিকে নির্দেশ করে শুরু হয়, কিন্তু ঘূর্ণনের পরে এটি একই জায়গায় থাকে কিন্তু দক্ষিণ দিকে নির্দেশ করে। এই অঞ্চলটি $latex frac{1}{2}$ ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত, তাই এর ক্ষেত্রফল হল $latex A=pi r^2 = pi (frac{1}{2})^2 = pi frac{1}{ 4} =frac{pi}{4}$। এটি আমাদের প্রথম অঞ্চলের অর্ধেক এলাকা, তাই আমরা অগ্রগতি করছি।

পরবর্তী কোথায়? আমরা আমাদের চালকবিহীন-গাড়ির দ্বিধা থেকে অনুপ্রেরণা নিতে পারি এবং সুচের জন্য তিন-পয়েন্ট টার্নের মতো কিছু ব্যবহার করার কথা বিবেচনা করতে পারি। এই আসলে বেশ ভাল কাজ করে.

এই কৌশলটি ব্যবহার করে সুই দ্বারা প্রবাহিত অঞ্চলটিকে ডেল্টয়েড বলা হয় এবং এটিও কাকেয়ার প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে। এর ক্ষেত্রফল গণনা করার জন্য আমরা এখানে যে প্রাথমিক জ্যামিতি নিয়ে আলোচনা করছি তার চেয়ে বেশি প্রয়োজন (প্যারামেট্রিক বক্ররেখার জ্ঞান সাহায্য করে), কিন্তু দেখা যাচ্ছে যে এই বিশেষ ডেল্টয়েডের ক্ষেত্রফল - দৈর্ঘ্য 1 এর একটি রেখার অংশ দ্বারা প্রবাহিত - ঠিক $latex frac{pi}{8}$। এখন আমাদের কাছে একটি আরও ছোট অঞ্চল রয়েছে যেখানে আমরা কাকেয়ার সুই ঘুরিয়ে দিতে পারি, এবং আমরা এটিই করতে পারি তা ভেবে আপনাকে ক্ষমা করা যেতে পারে। কাকেয়া নিজেও ভাবল এমনটা হতে পারে।

কিন্তু এই সুই সমস্যাটি একটি বড় মোড় নেয় যখন রাশিয়ান গণিতবিদ আব্রাম বেসিকোভিচ আবিষ্কার করেন যে আপনি অসীমভাবে ভাল করতে পারেন। তিনি এই অঞ্চলের অপ্রয়োজনীয় বিটগুলিকে দূরে সরিয়ে দেওয়ার জন্য একটি পদ্ধতি নিয়ে এসেছিলেন যতক্ষণ না এটি তার ইচ্ছামত ছোট হয়।

প্রক্রিয়াটি প্রযুক্তিগত এবং জটিল, তবে বেসিকোভিচের ধারণার উপর ভিত্তি করে একটি কৌশল দুটি সাধারণ ধারণার উপর নির্ভর করে। প্রথমে, 1 এর উচ্চতা এবং 2 এর ভিত্তি সহ নীচের সমকোণী ত্রিভুজটি বিবেচনা করুন।

এই মুহুর্তের জন্য আমরা সুইটিকে সম্পূর্ণভাবে ঘুরিয়ে দেওয়ার কথা ভুলে যাব এবং শুধুমাত্র একটি সাধারণ তথ্যের উপর ফোকাস করব: যদি আমরা উপরের শীর্ষে 1 দৈর্ঘ্যের একটি সুই রাখি, তাহলে ত্রিভুজটি যথেষ্ট বড় হবে যাতে সুইটি সম্পূর্ণ 90 ঘোরাতে পারে। একপাশ থেকে অন্য দিকে ডিগ্রি।

যেহেতু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হল $latex A=frac{1}{2}bh$, এই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $latex A=frac{1}{2} গুণ 2 গুণ 1 = 1$।

এখন, এখানে প্রথম গুরুত্বপূর্ণ ধারণা: 90-ডিগ্রি ঘূর্ণন সংরক্ষণ করার সময় আমরা অঞ্চলের ক্ষেত্রফল কমাতে পারি। কৌশলটি সহজ: আমরা মাঝখানে ত্রিভুজটি কেটে ফেলি এবং তারপরে দুটি অর্ধেক একসাথে ঠেলে দিই।

এই নতুন চিত্রটির ক্ষেত্রফল অবশ্যই আসলটির থেকে কম হতে হবে কারণ ত্রিভুজের অংশগুলি এখন ওভারল্যাপ করছে৷ প্রকৃতপক্ষে, চিত্রটির ক্ষেত্রফল গণনা করা সহজ: এটি 1 পাশের বর্গক্ষেত্রের মাত্র তিন-চতুর্থাংশ, তাই ক্ষেত্রফল হল $latex A = frac{3}{4}$, যা ক্ষেত্রফলের চেয়ে কম ত্রিভুজ দিয়ে আমরা শুরু করেছি।

এবং আমরা এখনও সুইটিকে আগের মতো একই দিকে নির্দেশ করতে পারি। শুধু একটি সমস্যা আছে: মূল কোণটি দুটি অংশে বিভক্ত হয়েছে, তাই সেই দিকগুলি এখন দুটি পৃথক অঞ্চলে বিভক্ত।

যদি সুইটি নতুন অঞ্চলের বাম দিকে থাকে তবে আমরা এটিকে দক্ষিণ এবং দক্ষিণ-পূর্বের মধ্যে 45 ডিগ্রি ঘোরাতে পারি এবং যদি এটি ডানদিকে থাকে তবে আমরা এটিকে দক্ষিণ এবং দক্ষিণ-পশ্চিমের মধ্যে 45 ডিগ্রি ঘোরাতে পারি, তবে যেহেতু দুটি অংশ পৃথক করা হয়েছে , মনে হচ্ছে না যে আমরা এটিকে পুরো 90 ডিগ্রী ঘোরাতে পারি যেমনটা আমরা আগে করতে পারতাম।

এখানেই দ্বিতীয় গুরুত্বপূর্ণ ধারণাটি আসে। সুইকে একপাশ থেকে অন্য দিকে নেওয়ার একটি ছিমছাম উপায় রয়েছে যার জন্য বেশি জায়গার প্রয়োজন নেই। দাবাতে আপনি হয়তো জানেন যে নাইট এল আকৃতিতে চলে। ওয়েল, আমাদের সুচ একটি N আকারে সরানো যাচ্ছে.

এখানে এটা কিভাবে করা হয়েছে. প্রথমে, সুইটি N-এর একপাশে স্লাইড করে। তারপর এটি তির্যক বরাবর পয়েন্টে ঘুরতে থাকে এবং নিচের দিকে স্লাইড করে। তারপর এটি আবার ঘোরে এবং N এর অন্য দিকে স্লাইড করে তার ট্রিপ শেষ করে।

প্রথমে এই এন-আকৃতির পদক্ষেপটি খুব বেশি নাও লাগতে পারে, তবে এটি খুব দরকারী কিছু করে। এটি সুইকে একটি সমান্তরাল রেখা থেকে অন্যটিতে "লাফ" দিতে দেয়, যা আমাদের সুইকে এক অঞ্চল থেকে অন্য অঞ্চলে পেতে সহায়তা করবে। আরও গুরুত্বপূর্ণ, এটি অনেক এলাকা প্রয়োজন ছাড়াই তা করে। প্রকৃতপক্ষে, আপনি এটিকে আপনার পছন্দ মতো অল্প এলাকা প্রয়োজন করতে পারেন। কারণটা এখানে.

মনে রাখবেন যে আমাদের সূঁচের প্রস্থ শূন্য। সুতরাং সুচটি সামনের দিকে বা পিছনের দিকে যেকোন রেখার ক্ষেত্রফল শূন্য থাকবে। এর অর্থ হল N শেপ বরাবর সুইকে উপরে, নীচে বা তির্যকভাবে সরানোর জন্য প্রয়োজনীয় অঞ্চলটি শূন্য এলাকা সহ টুকরো দিয়ে তৈরি হবে।

এটি কেবল N আকৃতির কোণে ঘূর্ণন ছেড়ে দেয়।

এই পদক্ষেপগুলি এলাকা প্রয়োজন. আপনি প্রতিটি কোণে একটি বৃত্তের একটি ছোট সেক্টর দেখতে পারেন। কিন্তু এখানে ছিমছাম অংশ: আপনি N লম্বা করে এই অঞ্চলগুলিকে ছোট করতে পারেন।

একটি বৃত্তের একটি সেক্টরের ক্ষেত্রফলের সূত্র হল $latex A = frac{theta}{360} pi r^2$, যেখানে $latex theta$ হল ডিগ্রীতে সেক্টরের কোণের পরিমাপ। N যতই লম্বা হোক না কেন, সেক্টরের ব্যাসার্ধ সর্বদা 1 হবে: এটাই সুচের দৈর্ঘ্য। কিন্তু N লম্বা হওয়ার সাথে সাথে কোণটি সঙ্কুচিত হয়, যা সেক্টরের ক্ষেত্রফলকে হ্রাস করবে। এইভাবে, আপনি যতটা প্রয়োজন এন প্রসারিত করে অতিরিক্ত এলাকাটিকে যতটা চান তত ছোট করতে পারেন।

মনে রাখবেন যে আমরা আমাদের ত্রিভুজাকার অঞ্চলের ক্ষেত্রফলকে দুই ভাগে ভাগ করে এবং টুকরাগুলিকে ওভারল্যাপ করে কমাতে সক্ষম হয়েছি। সমস্যাটি ছিল যে এটি 90-ডিগ্রী কোণটিকে দুটি পৃথক টুকরোতে বিভক্ত করে, আমাদের সুইটিকে সম্পূর্ণ 90 ডিগ্রি ঘোরাতে বাধা দেয়। এখন আমরা একটি উপযুক্ত N আকৃতিতে ট্যাক করে সেই সমস্যার সমাধান করতে পারি যাতে সুইটির একপাশ থেকে অন্য দিকের পথ রয়েছে।

এই আপডেট হওয়া অঞ্চলে, সুই এখনও আগের মতোই পুরো 90 ডিগ্রি ঘুরতে পারে, এটি এখন দুটি পর্যায়ে ঘটে। প্রথমত, সুইটি 45 ডিগ্রি ঘুরে এবং বাম দিকে উল্লম্ব প্রান্তের সাথে লাইন আপ করে। এর পরে, এটি অন্য দিকে পেতে N আকার বরাবর চলে যায়। একবার এটি সেখানে গেলে, এটি অন্য 45 ডিগ্রি ঘুরিয়ে নিতে বিনামূল্যে।

এটি সুইটিকে 90 ডিগ্রি সরে যায় এবং এটিকে ঘুরিয়ে রাখতে, আপনি কেবল অঞ্চলটির ঘোরানো অনুলিপি যোগ করুন।

উপযুক্ত N আকৃতি যুক্ত করার সাথে সাথে, সুইটি একটি ত্রিভুজাকার উপদ্বীপ থেকে পরের দিকে লাফ দিতে পারে, যতক্ষণ না এটি চারদিকে না যায় ততক্ষণ পর্যন্ত নিজেকে একটু একটু করে ঘুরতে পারে, ঠিক যেমন একটি গাড়ি তিন-বিন্দু বাঁক নির্বাহ করে।

বিশদ বিবরণে আরও শয়তানী গণিত রয়েছে, তবে এই দুটি ধারণা — যে আমরা ক্রমাগত মূল অঞ্চলের ক্ষেত্রফলকে ছোট করে ছোট করে এন আকৃতি ব্যবহার করে টুকরো টুকরো যেতে পারি তা নিশ্চিত করার সাথে সাথে এটিকে টুকরো টুকরো করে এটিকে চারপাশে স্থানান্তর করতে পারি — আমাদের সাহায্য করুন একটি সঙ্কুচিত অঞ্চলে সুইটি সরান যা শেষ পর্যন্ত আপনার ইচ্ছামত ছোট হতে পারে।

এই ধরনের অঞ্চল তৈরির জন্য একটি আরও মানক পদ্ধতির শুরু হয় সমবাহু ত্রিভুজ দিয়ে এবং "পেরন গাছ" ব্যবহার করে, যা ত্রিভুজগুলিকে টুকরো টুকরো করার এবং প্রসারিত করার এবং টুকরোগুলিকে একসাথে ফিরিয়ে আনার চতুর উপায়। ফলাফলটি বেশ চমকপ্রদ।

সম্প্রতি, গণিতবিদ ড অগ্রগতি করেছে এই পুরানো সমস্যার নতুন বৈচিত্রের উপর, উচ্চ মাত্রায় সেট করা এবং আকারের বিভিন্ন ধারণা সহ। আমরা সম্ভবত কখনই একটি AI-চালিত গাড়িকে কাকেয়া-সুই-পয়েন্ট টার্ন বের করতে দেখতে পাব না, তবে আমরা এখনও এর প্রায় শূন্যতার সৌন্দর্য এবং সরলতার প্রশংসা করতে পারি।

অনুশীলন

1. ক্ষুদ্রতম সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত যা একটি কাকেয়া সুই সেট হিসাবে কাজ করে?

2. আপনি তিনটি ওভারল্যাপিং বৃত্তাকার সেক্টর দ্বারা গঠিত একটি অঞ্চল "Reuleaux ত্রিভুজ" ব্যবহার করে অনুশীলন 1-এ সমবাহু ত্রিভুজের থেকে কিছুটা ভাল করতে পারেন। ক্ষুদ্রতম Reuleaux ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কতটি কাজ করে?