Hvorfor matematikere genbeviser, hvad de allerede ved

Det første bevis, som mange mennesker nogensinde lærer, tidligt i gymnasiet, er den antikke græske matematiker Euklids bevis på, at der er uendeligt mange primtal. Det tager kun et par linjer og bruger ingen begreber, der er mere komplicerede end heltal og multiplikation.

Hans bevis bygger på det faktum, at hvis der var et endeligt antal primtal, ville multiplikation af dem alle sammen og tilføje 1 indebære eksistensen af ​​et andet primtal. Denne modsigelse indebærer, at primtallene skal være uendelige.

Matematikere har et mærkeligt populært tidsfordriv: at bevise det igen og igen.

Hvorfor gider du gøre dette? For det første er det sjovt. Endnu vigtigere, "Jeg tror, ​​at grænsen mellem rekreativ matematik og seriøs matematik er meget tynd," sagde William Gasarch, professor i datalogi ved University of Maryland og forfatter til et nyt bevis lagt online tidligere i år.

Gasarchs bevis er kun det seneste i en lang række af nye beviser. I 2018, Romeo Meštrović fra University of Montenegro samlet næsten 200 beviser for Euklids sætning i en omfattende historisk undersøgelse. Faktisk hele feltet af analytisk talteori, som bruger kontinuerligt varierende mængder til at studere heltal, formentlig opstået i 1737, da den matematiske kæmpe Leonhard Euler brugte det faktum, at den uendelige række 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … divergerer (hvilket betyder, at den ikke summerer til et endeligt tal), for igen at bevise, at der er et uendeligt antal primtal.

Christian Elsholtz, matematiker ved Graz University of Technology i Østrig og forfatter til endnu et nyligt bevis, sagde, at i stedet for at bevise hårde resultater fra mange mindre resultater - hvad matematikere gør, når de systematisk samler lemmaer til teoremer - gjorde han det modsatte. "Jeg bruger Fermat's Last Theorem, som virkelig er et ikke-trivielt resultat. Og så konkluderer jeg et meget simpelt resultat.” At arbejde baglæns som dette kan afsløre skjulte forbindelser mellem forskellige områder af matematik, sagde han.

"Der er lidt konkurrence derude for folk om at have det mest latterligt svære bevis," sagde Andrew Granville, matematiker ved University of Montreal og forfatter af to andre beviser. "Det skal være sjovt. At gøre noget teknisk forfærdeligt er ikke meningen. Den eneste måde, du vil gøre noget svært på, er, at det er morsomt.”

Granville sagde, at der er en alvorlig pointe med denne venlige ene-upmanship. Forskere bliver ikke kun fodret med spørgsmål, som de forsøger at løse. “Skabelsesprocessen i matematik handler ikke om, man sætter bare en opgave til en maskine, og maskinen løser den. Det handler om, at nogen tager det, de har gjort tidligere, og bruger det til at skabe en teknik og skabe en måde at udvikle ideer på.”

Som Gasarch udtrykker det: "Alle papirerne udgår fra et sødt nyt bevis på, at primtal er uendelige til seriøs matematik. Den ene dag ser du bare på primtal, og den næste dag ser du på tætheder af kvadrater."

Gasarchs bevis begynder med, at hvis man farver de heltal med et endeligt antal farver, vil der altid være et talpar med samme farve, hvis sum også er den farve, som var bevist i 1916 af Issai Schur. Gasarch brugte Schurs teorem til at vise, at hvis der var et endeligt antal primtal, så ville der eksistere en perfekt terning (et heltal, som 125, der er lig med et andet heltal ganget med sig selv tre gange), som er summen af ​​to andre perfekte terninger. Men tilbage i 1770 havde Euler bevist, at der ikke eksisterer en sådan kube - den n = 3 tilfælde af Fermats sidste sætning, som hævder, at der ikke er nogen heltalsløsninger til aⁿ + bⁿ = cⁿ forum n større end 2. Ud fra den modsigelse ræsonnerede Gasarch, at der må være et uendeligt antal primtal.

Et af Granvilles 2017-beviser brugte et andet teorem fra Fermats. Granville stolede hovedsageligt på en 1927-sætning af Bartel Leendert van der Waerden, som viste, at hvis man farver de heltal med et endeligt antal farver, eksisterer der altid vilkårligt lange kæder af jævnt fordelte heltal med samme farve. Ligesom Gasarch startede Granville med den antagelse, at primtal er endelige. Han brugte derefter van der Waerdens sætning til at finde en sekvens af fire jævnt fordelte, identisk farvede perfekte kvadrater. Men Fermat havde bevist, at en sådan sekvens ikke kan eksistere. Modsigelse! Da en sådan sekvens kunne eksistere, hvis der var et endeligt antal primtal, men den ikke kan eksistere, må der være et uendeligt antal primtal. Granvilles bevis var det andet nylige primære bevis, der tog udgangspunkt i van der Waerdens sætning - Levent Alpöge, nu postdoc ved Harvard University, havde også brugt resultatet i en 2015 papir, udgivet, mens han stadig gik på college.

Granville er en særlig fan af Elsholtz' papir, som også anvender Fermats sidste sætning og den kontrafaktiske antagelse, at der kun er endeligt mange primtal. Ligesom Gasarch inkorporerede Elsholtz Schurs teorem, dog på en noget anden måde. Elsholtz gav også et andet bevis ved hjælp af en 1953-sætning af Klaus Roth, som siger, at sæt af heltal over en vis størrelse skal indeholde grupper med tre lige store tal.

Nogle dybere - og endda praktiske - matematiske spørgsmål kan besvares ved at bygge videre på dette arbejde. For eksempel ville offentlig nøglekryptering, der er afhængig af vanskeligheden ved at faktorisere store tal, være meget let at bryde, hvis vi levede i en verden med endeligt mange primtal. Elsholtz spekulerer på, om der derfor kan være en sammenhæng mellem beviserne for uendeligt mange primtal og beviser, hvor svært det er at knække sådanne krypteringsskemaer. Der er "en eller anden svag forbindelse til Euklids teorem," sagde Elsholtz. "Det ville være interessant at se de dybere forbindelser."

Granville sagde, at den bedste matematik kan vokse fra mærkelige kombinationer af forskellige områder og emner og ofte dukker op, efter at matematikere har brugt årevis på at nude over problemer på lavere niveau, men underholdende. Han er fascineret af, at tilsyneladende fjerntliggende emner kunne anvendes til talteori. I en nylig undersøgelse roste Granville den "sparsomme elegance" af en 1955 bevis af Hillel Furstenberg, som brugte punktsæt-topologi. Ligesom Alpöge var Furstenberg stadig på college, da hans bevis blev offentliggjort. Han ville gå videre til en berømte karriere i en forskellige matematiske discipliner.

Granville spurgte retorisk, om nye beviser for Euklids gamle resultat "bare er nysgerrighed eller noget, der har en langsigtet betydning." Han besvarede sit eget spørgsmål og sagde: "Jeg kan ikke fortælle dig det."