Introducción
En diciembre de 1977, un revolucionario silenciosamente apareció en el Journal d'Analyse Mathématique, una revista especializada en matemáticas. El autor, Hillel Furstenberg, no afirmó ningún resultado emocionante, ni siquiera nuevo. Simplemente había ofrecido una prueba de un teorema que otro matemático, Endre Szemerédi, ya había probado dos años antes.
A pesar de eso, el artículo de Furstenberg dejó una huella duradera en las matemáticas. Su nuevo argumento contenía un núcleo de perspicacia con consecuencias de gran alcance: podías reformular problemas como el que Szemerédi había resuelto, sobre conjuntos de números enteros, en preguntas sobre puntos que se mueven en el espacio.
En los años transcurridos desde entonces, las técnicas de Furstenberg se han utilizado una y otra vez, y poco a poco se han ajustado y mejorado. A principios de este año, fueron sobrealimentados, apareciendo en dos nuevos artículos que descubren patrones infinitos en conjuntos de números enteros, avanzando a pasos agigantados más allá del teorema de Szemerédi, que ahora tiene 47 años.
Prueba de Furstenberg
Szemerédi había estado examinando conjuntos que contienen una "fracción positiva" de todos los números enteros. Tome, por ejemplo, el conjunto que contiene todos los múltiplos de 5. A medida que observa franjas cada vez más grandes de la recta numérica, los múltiplos de 5 continúan apareciendo regularmente. Los matemáticos dicen que el conjunto que contiene todos los múltiplos de 5 tiene la fracción de un quinto de todos los números enteros.
Por el contrario, si bien hay una cantidad infinita de números primos, estos se vuelven tan escasos a medida que los números aumentan de tamaño que el conjunto de todos los números primos no contiene una fracción positiva de los números enteros, o dicho de otro modo, no tiene una densidad positiva. . En cambio, se dice que los primos tienen densidad cero.
Szemerédi estaba buscando ejemplos de las llamadas progresiones aritméticas, o cadenas de números espaciados uniformemente. Por ejemplo, imagina que tienes una secuencia infinita de números como los cuadrados perfectos: {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …}. Los cuadrados perfectos tienen una progresión aritmética de longitud tres que se esconde en los primeros términos: {1, 25, 49}. Cada número en esta progresión es 24 más que su predecesor.
Szemerédi demostró que cualquier conjunto que comprende una fracción positiva de los números enteros debe contener progresiones aritméticas arbitrariamente largas. El resultado fue un hito en el subcampo de las matemáticas llamado combinatoria aditiva.
La prueba de Szémeredi, aunque brillante, era casi imposible de seguir. "Hasta el día de hoy, creo que solo hay tres o cuatro personas que realmente entienden la prueba [de Szemerédi]", dijo terence tao, matemático de la Universidad de California, Los Ángeles.
Así que el argumento más comprensible de Furstenberg fue bienvenido. Para escribirlo, Furstenberg se basó en métodos de su propio campo de las matemáticas, los sistemas dinámicos. Un sistema dinámico es cualquier proceso que cambia con el tiempo. Esto podría ser algo tan simple como una bola de billar rodando alrededor de una mesa de billar. Todo lo que necesita es una forma de representar matemáticamente su sistema y una regla sobre cómo evoluciona. Una pelota, por ejemplo, puede describirse por su posición y velocidad. Ese sistema progresa de una manera prescrita en el tiempo, siguiendo las leyes de la física clásica.
Furstenberg estaba más interesado en algo llamado teoría ergódica. En lugar de observar el estado de un sistema en un momento dado, los teóricos ergódicos estudian las estadísticas durante largos períodos. Para una bola de billar, eso podría significar averiguar si la bola termina en algunos lugares de la mesa más que en otros debido a la forma en que tiende a rebotar en las paredes.
La idea clave de Furstenberg era ver conjuntos de números enteros no como objetos fijos, sino como estados momentáneos en un sistema dinámico. Puede parecer un pequeño cambio de perspectiva, pero le permitió usar herramientas de la teoría ergódica para probar resultados en combinatoria. En ese momento, Furstenberg no tenía idea de que sus ideas cobrarían vida propia. “Era solo que me gustaba tener esta otra prueba”, dijo. Pero otros vieron la promesa de la conexión entre la teoría ergódica y la combinatoria. “Toda una generación de teóricos ergódicos comenzó a lanzarse a la combinatoria y a resolver todos estos problemas, y viceversa”, dijo Tao.
En los últimos años, cuatro matemáticos... BrynaKra, joel moreira, florian richter y donald robertson — han desarrollado las técnicas de Furstenberg para encontrar no solo progresiones arbitrariamente largas dentro de cualquier conjunto que contenga una fracción positiva de los números enteros, sino versiones infinitas de estructuras llamadas sumas.
“Las sumas son mucho menos específicas que las progresiones; tienen un aspecto mucho menos especial”, dijo Robertson. “Pero es más interesante y más delicado, porque las sumas son configuraciones infinitas, mientras que las progresiones son finitas”.
Si Furstenberg construyó un puente entre la teoría ergódica y la combinatoria, Kra, Moreira, Richter y Robertson lo ampliaron hasta convertirlo en “una autopista de seis carriles”, dijo Tao.
B + C conjetura
El teorema de Szemerédi fue propuesto por primera vez, pero no probado, en 1936 por dos matemáticos. Uno de ellos fue un matemático húngaro famoso por hacer conjeturas: Paul Erdős. En 2016, mientras Moreira trabajaba en su tesis doctoral en la Universidad Estatal de Ohio, se topó con otra conjetura que Erdős había hecho sobre las estructuras llamadas sumsets.
Un sumset está formado por otros dos conjuntos; llama a esos B y C. La suma, escrita como B + C, se construye sumando todos los pares posibles de números, tomando un número de B y el otro de C. Erdős conjeturó que para cualquier conjunto A que contiene una fracción positiva de números enteros, existen otros conjuntos infinitos B y C cuyo sumset está contenido dentro A. En el artículo que Moreira estaba leyendo, los autores habían probado la conjetura de Erdős cuando A contiene una gran fracción de los números enteros. Pero para conjuntos de densidad positiva más pequeños, el resultado aún se desconocía. “Tan pronto como leí la declaración, pensé que era una muy buena pregunta, porque es muy simple”, dijo Moreira. “O es falso, o no debería ser difícil. Lo cual, por supuesto, estaba mal. No fue falso ni fácil”.
Moreira incorporó al proyecto a Richter y Robertson, amigos suyos de la escuela de posgrado. Robertson, ahora en la Universidad de Manchester, se había graduado un año antes que Moreira, y Richter estaba un par de años por detrás. Los tres estaban bien versados en la aplicación de técnicas de teoría ergódica a la combinatoria. Pero este problema planteó nuevos desafíos.
"Prácticamente no había precedente para encontrar sumas infinitas dentro de un conjunto de densidad positiva", dijo Daniel Glasscock, matemático de la Universidad de Massachusetts, Lowell, que asistió a la escuela de posgrado con Moreira, Richter y Robertson.
Tal vez por esa razón, el problema de sumset resultó difícil de acorralar. “Tenemos que forzar, un poco, la teoría ergódica para que se manifieste”, dijo Moreira. Sus esfuerzos eventualmente dieron sus frutos, y en lo que marcin sabok de la Universidad McGill llamó un "logro asombroso", lograron probar la conjetura de Erdős en 2018. Su prueba fue más tarde publicado en el Anales de Matemáticas, una de las revistas de matemáticas más prestigiosas.
Las nuevas pruebas
Ese artículo dejaba abiertas dos grandes interrogantes. Uno de estos fue otra conjetura sumset de Erdős llamada la B + B + t conjetura.
Moreira, Richter y Robertson también se habían planteado una pregunta propia: si tiene un conjunto de densidad positiva A, ¿puedes encontrar tres conjuntos infinitos? B, C y ahora D - donde B + C + D está dentro A? ¿Qué pasa con cuatro conjuntos infinitos? ¿Cinco?
Después de plantear la versión de conjuntos múltiples, los matemáticos se quedaron atascados por un tiempo. Parecía que las técnicas que habían usado para la conjetura de los dos conjuntos habían llegado a su límite.
“No pudimos encontrar una reformulación dinámica de este problema”, dijo Richter. Su enfoque, dijo, “simplemente fracasó desde el principio”.
Pasaron dos años antes de que vieran un progreso real. En ese momento, Richter era becario postdoctoral en la Universidad Northwestern, donde BrynaKra era profesor. En 2020, ante la imposibilidad de reunirse en persona debido a la pandemia de covid-19, Kra y Richter se encontraron discutiendo el problema de sumset a través de Zoom.
“Eventualmente, se nos ocurrieron algunas otras variaciones que entendíamos”, dijo Kra.
Kra y Richter comenzaron a hablar con Moreira y Robertson todas las semanas, reexaminando la prueba de 2018.
“Lo que tuvimos que hacer fue repensar cada paso de la prueba, comenzando con esa traducción a un sistema dinámico”, dijo Kra.
Útil para su causa fue un 2019 por un matemático francés llamado anfitrion bernardo. Host había vuelto a probar el resultado de Moreira, Richter y Robertson y había descubierto cómo hacer que la teoría ergódica cantara. En opinión de Moreira, Host “vio cómo escribir nuestra prueba de la forma en que debería haber sido escrita”.
Con las mejoras de Host en la mano, Kra, Moreira, Richter y Robertson continuaron modificando su prueba, tratando de extraer el argumento más simple y elegante posible. "Simplemente lo analizamos, supongo, una y otra vez, para ver realmente: ¿cuál es el quid de la cuestión?". dijo Richter. “Al final, teníamos una prueba que se parecía muy poco a la prueba inicial”.
La prueba con la que terminaron, como la de Furstenberg, veía los conjuntos infinitos de números enteros como marcas de tiempo en un sistema dinámico. Sin embargo, este sistema dinámico se visualiza mejor como puntos que saltan en el espacio.
Aquí hay una imagen aproximada de cómo funciona: comience parándose en una esquina de una habitación cerrada, llámela Esquina 0. Está equipado con una lista de tiempos A. Ese conjunto, A, es un conjunto de enteros de densidad positiva.
También está equipado con una regla para moverse por la habitación. Cada segundo, te mueves a un nuevo lugar, en función de dónde estabas parado. La regla exacta que siga se diseñará para que coincida con su conjunto de tiempos A — siempre que la marca de tiempo esté en A, te encontrarás en un área especial de la habitación.
Por ejemplo, di A consiste en todos los números divisibles por 4, y cada segundo, te mueves en el sentido de las agujas del reloj hasta la siguiente esquina de la habitación. Después de un segundo, te mueves a la esquina 1; después de dos segundos, esquina 2, y así sucesivamente. Luego, cada cuatro pasos, es decir, cada vez que está en A - habrás vuelto al Rincón 0 original.
Este proceso continúa para siempre. Viajando de esquina a esquina en un círculo en el sentido de las agujas del reloj, visitará cada esquina infinitamente muchas veces. Un punto al que te acercas un número infinito de veces se llama punto de acumulación.
Kra, Moreira, Richter y Robertson demostraron que puedes elegir inteligentemente uno de estos lugares para encontrar tu suma B + C. En el ejemplo de la esquina, toma la esquina 1. Llegas allí en los tiempos 1, 5, 9 y 13, tiempos que parecen 4.n + 1 para algún número entero n. Dejar B ser el decorado de aquellos tiempos.
Ahora imagine que en lugar de comenzar en la esquina 0, comienza en la esquina 1. Esto significa que a veces es divisible por 4, se encontrará nuevamente en la esquina 1 y llegará a la esquina 0 tres pasos después: a veces 3, 7, 11 o cualquier número de la forma 4n + 3. Llame al conjunto de esos tiempos C.
Ahora, comience su proceso desde la Esquina 0 nuevamente. Esta vez, mira lo que sucede si tomas un número de B y un numero de C — digamos, 13 de B y 3 de C - y sumarlos.
Esto tomaría 13 + 3 = 16 segundos. Como 16 es múltiplo de 4, está en A. Pero también puedes predecir que 13 + 3 será divisible por 4, y por lo tanto en A, sin realmente sumar 13 y 3 juntos. Solo sigue lo que sucede en el sistema dinámico cuando esperas 13 + 3 segundos: Primero, pasan 13 segundos. En ese punto, te encuentras en la Esquina 1. Luego, comenzando desde la Esquina 1, avanzas tres pasos más, lo que te lleva de vuelta a la Esquina 0. Como comenzaste desde la Esquina 0 y terminaste allí, debes haber esperado un múltiplo de cuatro segundos, lo que significa que la cantidad total de tiempo era un número en el conjunto original A.
Para que este argumento funcionara, el grupo tuvo que lidiar con muchos detalles matemáticos complicados. Por ejemplo, en la mayoría de los casos, tiene una cantidad infinita de lugares disponibles para moverse, no solo cuatro esquinas. Eso significa que en realidad no volverás a un lugar infinitas veces; solo te acercarás infinitas veces. Eso introdujo nuevas complicaciones matemáticas al argumento. Pero una vez que descubrieron cómo funcionaría el proceso, supieron que podrían abordar las preguntas más difíciles que buscaban.
“Se nos ocurrió esta prueba aquí, e inmediatamente quedó claro cómo generalizarla”, dijo Richter, quien ahora trabaja en el Instituto Federal Suizo de Tecnología de Lausana. Para probar la versión de conjuntos múltiples de la conjetura, por ejemplo, los investigadores simplemente podrían agregar un punto de acumulación a la ruta. El argumento general era el mismo, solo que con una nueva capa de complicación.
Resolver todos los tecnicismos no fue fácil. Después de decidirse por su configuración dinámica, Kra, Moreira, Richter y Robertson tardaron más de un año en resolver las pruebas de las conjeturas más difíciles. En junio de este año, el grupo finalmente publicó dos artículos. uno probado la versión de conjuntos múltiples de la conjetura sumset. El otro demostrado el B + B + t versión de la conjetura, que requiere que el segundo conjunto C ser igual al primer conjunto B, desplazado por alguna constante, t.
Siguientes Pasos
Aunque los artículos de junio resuelven dos cuestiones sobre sumas, Kra, Moreira, Richter y Robertson prevén un largo futuro para su línea de investigación. “Al igual que con todo lo que pidió Erdős, solo quiere que pongamos el pie en la puerta”, dijo Moreira, ahora en la Universidad de Warwick. "Pero ahora tenemos que abrir la puerta e ir a explorar qué más hay".
En sus nuevos artículos, los cuatro matemáticos exponen varias posibles direcciones de exploración, en forma de preguntas aún sin respuesta. Uno se basa en el hecho de que, aunque cualquier conjunto de densidad positiva A contiene una suma infinita B + C, no necesariamente contiene los dos componentes B y C. ¿Cuándo puedes insistir en eso? B y C también debe estar contenido dentro A? Los autores también desafían a los matemáticos a descubrir si pueden encontrar una secuencia infinita de conjuntos infinitos cuyas sumas estén contenidas en A.
Otra pregunta abierta en el campo ya ha sido respondida por Matt Bowen, un estudiante graduado de Sabok en la Universidad McGill. En octubre, él publicado una prueba de que si asignas a cada entero uno de varios colores, puedes encontrar una suma B + C y un producto de conjuntos BC dentro de uno solo de los colores.
Todavía se desconoce exactamente a dónde conducirá el nuevo trabajo de Kra, Moreira, Richter y Robertson. Pero Tao, al menos, es optimista sobre las nuevas técnicas que ha desarrollado el grupo. Lo que logran con sus métodos es "en realidad bastante sorprendente", dijo. “Hay otras preguntas que involucran conjuntos infinitos que antes se consideraban sin esperanza, ahora al alcance de la mano”.
