Geomeetria "metsikus läänes" määratlevad matemaatikud sfääri ümber | Ajakiri Quanta

Kui olete kunagi olnud vihmasel pärastlõunal liikluses ummikus, olete ilmselt jälginud, kuidas vihmapiisad autoaknast üksteist kihutavad. Kui tilgapaarid põrkuvad, sulanduvad nad uueks piisaks, kaotades oma eraldiseisva identiteedi.

See ühinemine on võimalik, kuna veepiisad on peaaegu sfäärilised. Kui kujundid on paindlikud – nagu vihmapiisad on –, ei muuda kera kinnitamine midagi. Teatud matemaatika valdkondades on sfääri külge kinnitatud kera ikkagi kera, ehkki võib-olla suurem või tükilisem. Ja kui sõõrikule liimitakse kera, on teil ikkagi sõõrik – mulliga. Kui aga kaks sõõrikut kokku sulavad, moodustavad need kahe auguga kuju. Matemaatikute jaoks on see hoopis midagi muud.

See kvaliteet muudab sfäärid geomeetrite jaoks ülioluliseks katsealuseks. Matemaatikud saavad sageli sfääridest saadud õppetunde üle kanda keerukamatele kujunditele, vaadates, mis juhtub, kui need kaks kokku õmmelda. Tegelikult saavad nad seda tehnikat rakendada igale kollektorile – matemaatiliste objektide klassile, mis sisaldab lihtsaid kujundeid, nagu kerad ja sõõrikud, aga ka lõpmatuid struktuure, nagu kahemõõtmeline tasapind või kolmemõõtmeline ruum.

Sfäärid on eriti olulised geomeetria aladistsipliinis, mida nimetatakse kontaktgeomeetriaks. Kontaktgeomeetrias vastab iga kolmemõõtmelise kollektori punkt – näiteks 3D-ruum, kus me elame – tasapinnale. Tasapinnad võivad punktist punkti kallutada ja keerduda. Kui nad teevad seda viisil, mis vastab teatud matemaatilistele kriteeriumidele, nimetatakse kogu tasandite komplekti kontaktstruktuuriks. Kollektorit (nagu 3D-ruumi) koos kontaktstruktuuriga (kõik tasapinnad) nimetatakse kontaktkollektoriks.

Ehkki kontaktstruktuurid võivad tunduda olevat vaid kaunistused, annavad need põhjapanevaid teadmisi kollektoritest, millest nad elavad, ja seoseid füüsikaga. Kaasaegsed matemaatikud saavad kasutada kontaktkollektoreid, et sõnastada ümber teooriad valguse käitumise ja viisi kohta vesi voolab läbi ruumi.

Tulemused kolmemõõtmeliste kontaktkollektorite kohta jõuavad sageli tagasi sfääridesse. Kui liimite kontaktsfääri mõnele teisele kontaktkollektorile, näiteks 3D-sõõrikule, saab kera 3D-versioon osa oma kontaktstruktuurist liidule annetada. Kui soovite tõestada, et sõõrikul võib olla kontaktstruktuur, mille tasapinnad väänavad tuhat korda ümber sõõrikuaugu ümber tehes, võite esmalt ehitada selle konstruktsiooni kerale ja seejärel lisada selle sõõrikule, lõigates mõlemasse kujundisse väikese augu. ja paikades need mööda servi kokku. Matemaatikud, kes uurivad, millised kontaktstruktuurid võivad antud kollektoril eksisteerida, tuginevad sageli sellele raamistikule, ütlesid John Etnyre, Georgia Tehnoloogiainstituudi matemaatik. "Nad teevad palju tööd, et vähendada probleemi mõistmiseni, mis sfääris toimub," ütles ta.

As Jonathan Bowden, Regensburgi ülikooli matemaatik, ütleb: "Kui te ei saa aru ühest sfäärist, kuidas ma saan aru millestki muust?"

Me kipume arvama, et sfäärid on lihtsad kujundid: need on lihtsalt kõik punktid, mis on keskpunktist kindlal kaugusel. Näiteks on ring, mis on ühemõõtmeline, aga ka tavalise palli nagu korvpalli kahemõõtmeline pind. Kuid kui lisate kontaktstruktuurid, võivad sfäärid muutuda keerulisemaks, kui võite arvata. Ja kuna matemaatikud püüavad sorteerida kontaktikollektorite korrastamata ookeanis, võivad uut tüüpi sfäärid anda neile vihjeid selle kohta, mida nad võivad sügavusest välja püüda.

Hiljutises artiklis, mida eelmisel nädalal sisuliselt uuendati, neli matemaatikut - Bowden, Fabio Gironella, Agustin Moreno ja Zhengyi Zhou — on avastanud uut tüüpi kontaktsfääri ja koos sellega lõpmatu hulga uusi kontaktkollektoreid.

Täielik kontaktisport

Valdkonnana tekkis kontaktgeomeetria järk-järgult sajandite jooksul. Kuigi tänapäeva matemaatikud näevad tagasi vaadates vihjeid kontaktgeomeetriale 17. sajandi optika ja 19. sajandi termodünaamika uurimisel, siis alles 1950. aastatel. oli lause Matemaatiku sõnul kasutati esmakordselt paberil "kontaktkollektorit". Hansjörg Geiges" teema ajalugu.

Selleks ajaks olid matemaatikud juba teadlikud mõnest kontaktkollektori näitest. Tehnilistel põhjustel on kontaktkollektorid vaid paaritute mõõtmetega. Standardsel kolmemõõtmelisel ruumil on kontaktstruktuur, mis koosneb tasapindade ridadest, mis kalduvad järk-järgult ettepoole. See struktuur laieneb loomulikult sellele, mida matemaatikud nimetavad kolmemõõtmeliseks sfääriks. (See on neljamõõtmelise kuuli pind, samamoodi nagu kahemõõtmeline matemaatiline kera on tavalise kolmemõõtmelise kuuli pind.)

Alates 1960. aastate lõpust hakkasid matemaatikud esitama uusi näiteid kontaktkollektoritest. 1968. aastal tegi Mihhael Gromov edusamme uute kontaktstruktuuride leidmisel teatud kollektoritele, nagu kolmemõõtmeline ruum ja Jean Martinet järgnes aastal 1971 näidetega nn kompaktsete kujundite kohta (mis on lõplikud ja selge piiriga) nagu 3D-sfäär. 1977. aastal mõtles Robert Lutz välja, kuidas luua mis tahes kolmemõõtmelisele kollektorile uus kontaktstruktuur. Lutzi konstruktsioon hõlmas kontakti kollektori lahti viimist, selle üles keeramist ja kokku õmblemist viisil, mis säilitas selle aluseks oleva kuju samaks, kuid sundis kontaktstruktuuri uude konfiguratsiooni. Selle tulemuseks oli uus kontaktstruktuur lõpmatu 3D-ruumi, 3D-sfääri ja suvalise hulga veelgi võõramate objektide jaoks, näiteks kuubik, mille põhjast läbi pistades näete seda ülevalt alla rippumas.

Siiski jätsid need tulemused 20. sajandi lõpu matemaatikutele palju vastuseta küsimusi kontaktkollektorite kohta. Millised kontaktstruktuurid seal olid? Kuidas neid kategoriseerida? "Kui matemaatikud mõne teema juurde jõuavad, tahavad nad alati objekte klassifitseerida või mõista," ütles Jakov Eliashberg, Stanfordi ülikooli matemaatik, kes aitas kaasa kontaktgeomeetria varases arengus.

Dimensioonides viis ja rohkem – pidage meeles, kontaktkollektoritel võib olla vaid paaritu arv mõõtmeid – need küsimused ei ole ikka veel vastused. Kolmemõõtmelise juhtumi puhul saavutas suure osa edusammudest peaaegu üksi Eliashberg, kes saabus 1980. aastatel Californiasse Berkeleysse Nõukogude Liidust sisserändajana.

Keerake ja hüüdke

Ajendatuna küsimusele Berkeley uuelt tuttavalt Jesús Gonzalo Pérezilt, kes oli uurinud Lutzi tehnikat uute kontaktkollektorite loomiseks, märkas Eliashberg, et kõigil kolmemõõtmelistel kontaktkollektoritel, mida saate Lutzi strateegiat kasutades saada, on teatud ühisjooni. 1989. aastal avaldas ta a seemnepaber kirjeldades neid kollektoreid üksikasjalikult. Ta nimetas uut kontaktkollektorite klassi "üle keeratuks", kuna kontaktstruktuuri tasapinnad pöörlesid mitu korda, lisaks kontaktstruktuuriks kvalifitseerumiseks vajalikule keerdumisele. Eliashbergi 1989. aasta töö vastas praktiliselt kõigile küsimustele, mis matemaatikutel tekkida võivad kolmemõõtmeliste ümberkeeratud kollektorite kohta, kuid mis tahes muud kontaktkollektorit – mida Eliashberg nimetas „tiheks” selle kontaktstruktuuri vähesuse tõttu – oli palju raskem saada.

"Kui keerutatud struktuure on palju, siis tihedad kontaktstruktuurid on haruldasemad või vähemalt vähem mõistetavad," ütles Heidelbergi ülikooli matemaatik Moreno.

Üks erinevus ümberkeeratud ja tihedate kontaktkollektorite vahel saab selgeks, kui vaatleme kollektorit suurema ruumi piirina. Kuna kontaktkollektorid on paaritumõõtmelised, moodustavad nad alati paarismõõtmelise kollektori serva. (Mõelge sellele, kuidas ringi ühemõõtmeline kõver ümbritseb kahemõõtmelist ketast või kuidas lõpmatu joon lõikab kahemõõtmelise tasandi kaheks eraldi pooleks.) Kontaktgeomeetrial on paarimõõtmeline vaste, mida nimetatakse sümplektiliseks geomeetriaks. Matemaatikud tahtsid teada, kas kontaktkollektori sisemus – mis on alati paarismõõtmeline – moodustab sümplektilise kollektori või mitte.

Kui see nii on, nimetatakse algset kontaktkollektorit täidetavaks. Täidetavus on eriline omadus. Eliashbergi ja Gromovi 1980. aastate ja 1990. aastate alguse tulemused viitasid sellele, et täidetavaid kontaktkollektoreid ei saa ümber keerata – need peavad olema tihedad. Kuid vastupidine stsenaarium oli hägusem – kas kollektor võib olla tihe, kuid mitte täidetav?

"Pikka aega oli võimalik, et võib-olla oli pingul olemine lihtsalt täidetavuse peegeldus," ütles Etnyre. Eliashberg oli tõestanud, et kolmemõõtmelisel sfääril on ainult üks tihe kontaktstruktuur, mis on samuti täidetav. Kuid 2002. aastal koos Ko Honda California Ülikoolist Los Angeleses Etnyre'is leidnud näite kolmemõõtmelisest kontaktkollektorist, mis oli tihe, kuid mittetäidetav.

Kõrgema mõõtmega juhtudel olid asjad ebakindlad. "Meil on palju tööriistu, et uurida kontaktstruktuure kolmes dimensioonis, ja meil pole praktiliselt ühtegi kõrgete mõõtmetega. Ja see on tõeline probleem, ”ütles Etnyre.

"Kontakttopoloogias on kõrgemad mõõtmed tõesti metsik lääs. Inimesed ei tea tegelikult toimuvast peaaegu midagi, ”ütles Honda. Tekkis küsimus: kas on olemas tihedaid, kuid mittetäidetavaid suurte mõõtmetega kontaktkollektoreid? Ja kui jah, siis millised need välja näevad?

Hoides seda tihedalt

2013. aastal kolm matemaatikut leidis tee Etnyre ütles, et luua selliseid kollektoreid, kuid "nende ehitatud kollektorid olid tegelikult väga-väga keerulised. Ta lisas, et pole teada, kas selline keerukusaste oli vajalik. Kui jah, siis lihtsate kollektorite (nt kera) puhul võib tiheduse ja täidetavuse vahel siiski olla tihe seos.

2015. aastal näitasid tollal Müncheni Ludwig Maximiliani ülikoolis töötav Bowden ja kaks kaastöötajat, et teatud kontaktkollektoreid saab hoolikalt nikerdada ja kokku lappida, et moodustada kera ilma nende kontaktstruktuure ohverdamata. Nende töö näitas, et matemaatikud ei saanud mitte ainult viia kontaktstruktuuri sfäärist üle keerulisemasse kontaktkollektorisse - asjade tavalisse suunda -, vaid ka luua sfäärile täiesti uue kontaktstruktuuri, alustades keerukama näitega.

Aastaks 2019 oli ta alustanud koostööd Gironella ja Morenoga. Sel aastal nad avaldas raamatu tuginedes mitme varasema matemaatiku tehnikatele. Need kolm leidsid näiteid kontaktkollektoritest, millel olid sümplektilised, kuid püsimatud täidised: täidised, mida kutsuti "nõrkadeks täidisteks", kadusid, kui kontaktkollektorit oli õigel viisil kohandatud.

Pärast pandeemia algust hakkasid nad kahtlustama, et suudavad ehitada soovitud omadustega sfääre. Nad võtsid mõned kontaktkollektorid ja töötlesid need hoolikalt sfäärideks: lõigati auk siia, lappisid selle sinna. Kui need olid valmis, oli neil lõputu kogum tihedaid, kuid mittetäidetavaid sfääre. Ja kuna sfäärid võivad oma kontaktstruktuuride osi teistesse kollektoritesse üle kanda, lõi see tihedad, kuid mittetäidetavad igasuguse kujuga ja erinevat tüüpi kontaktkollektorid.

Kolmik näitas Zhoule oma paberi varajast mustandit 2022. aasta keskel, lootes, et ta loeb mõnda nende arvutust korrektuuri. Zhou oli varem koostööd teinud nii Moreno kui ka Gironellaga ning oli tuttav mõne tehnikaga, mida nende mustand kasutas. "Lugesin paberi läbi ja mõistsin, et sellel on tohutu potentsiaal veelgi tugevamate tulemuste saamiseks," ütles Hiina Teaduste Akadeemia matemaatik Zhou. Ta naasis nende juurde täis uusi ideid.

Rühm kaasas Zhou ülevaated oma paberile ja nad neli postitasid selle veebis 2022. aasta novembris. Nende töö näitab, et on võimalikud kitsad, kuid mittetäidetavad sfäärid mõõtmetega viis ja rohkem ning selle tulemusel luuakse palju uusi näiteid tihedatest kontaktkollektoritest. mis on vaid nõrgalt täidetavad, tunnistades 2019. aasta paberi tujukaid "nõrke täidiseid". Siis uuendasid nad eelmisel nädalal lehte olulise üldistusega. Nad suudavad nüüd leida tihedaid ja nõrgalt täidetavaid kontaktkonstruktsioone iga seitsme või suurema mõõtmega kollektori jaoks.

Kuigi nende tõendid paljastavad lõpmatu hulga uusi näiteid, on kõrgema mõõtmega kontaktkollektorite – ja isegi kõrgema mõõtmega sfääride – uurimine alles algamas.

"See annab meile pilguheit sellele, mis tundub olevat väga metsik ja omamoodi keeruline maailm," ütles Moreno ja lisas hiljem: "Ma ütleksin, et kõrgemad mõõtmed söövad mitme järgmise põlvkonna tähelepanu."

"Praegu proovite lihtsalt näiteid leida; sa üritad asju eristada; sa lihtsalt üritad saada aimu, mis seal on. Ja sfääri asjade mõistmine on omamoodi idu või seeme, mis võib aidata teil mõista teisi olukordi, ”ütles Etnyre. "Meil pole tegelikult veel vahendeid selle järgmise sammu tegemiseks."

Quanta viib läbi mitmeid küsitlusi, et meie vaatajaskonda paremini teenindada. Võtke meie matemaatika lugejaküsitlus ja teid osaletakse tasuta võitmiseks Quanta kaup.